Lời giải chi tiết đề thi giữa kỳ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ——————– * ——————— LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 NĂM HỌC 2016 2017 CLB CHÚNG TA CÙNG TIẾN WE LEARN WE SHARE TP Hồ Chí Minh Ngày 3 thá[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

——————– * ———————

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI GIỮA KỲ

MÔN : GIẢI TÍCH 1

NĂM HỌC : 2016 - 2017

CLB CHÚNG TA CÙNG TIẾN

WE LEARN - WE SHARE

TP Hồ Chí Minh Ngày 3 tháng 11 năm 2017

Lời nói đầu

Tài liệu này do Ban Chuyên Môn CLB Chúng Ta Cùng Tiến biên soạn với mục đích hỗ trợ việc học tập cho các bạn đang học môn Giải Tích 1, đặc biệt là các bạn tân sinh viên Tài liệu khá ngắn, tuy nhiên đó cũng là công sức của các bạn trong CLB, đã

bỏ ra thời gian để giải đề cũng như gõ ra một tài liệu như thế này

Tài liệu giải đề chủ yếu theo hướng tìm được đáp án là chính, giúp sinh viên tìm được đáp án một cách nhanh chóng nhất Một số chỗ có thêm phần mở rộng và chú thích riêng

Nếu có bất cứ thắc mắc hay đóng góp gì, đừng ngần ngại, hãy liên lạc với CLB Chúng

Ta Cùng Tiến nhé !

Email : chungtacungtienbk@gmail.com

Fanpage : https://www.facebook.com/Chungtacungtien

CLB Chúng Ta Cùng Tiến

2

Chúng

T a

Cùng

Tiến

Câu 1: Điểm uốn của đồ thị hàm số f (x) = xe−2x là

Giải

Ta có f0(x) = e−2x+ x − 2.e−2 ⇒ f00(x) = e−2x(4x − 4)

f00(x) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ f (x) = e−x2

Chọn C

Câu 2 : Tập giá trị cũa hàm số f (x) = sin(arctan(x2+ 1)) là

2/2, 1) Giải

Ta có x2+ 1 ≥ 1 ⇒ π

4 ≤ arctan(x2 + 1) ≤ 3π

4 ≤ f (x) = sin(arctan(x2 + 1)) ≤ sin3π

√

2

2 ≤ f (x) ≤ 1

Chọn đáp án D

Câu 3 : Số tiệm cận của đồ thị hàm số f (x) = (x + 1)ln(2 − 1

x) là

Giải

~ Tiệm cận đứng :

lim

x→∞f (x) = ∞.ln2 = ∞

Vậy hàm số có 1 tiệm cận xiên Ta không cần tính tiệm cận xiên vì đề chỉ hỏi số tiệm cận

~ Tiệm cận ngang :

Dễ thấy là đường x = 0

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho f (x) = arctan(√3

2x − 1) Tìm f−1(x)

A tan(x/2 + 1)3 B arctan(2x + 1)3 C 12tan(x3 + 1) D tan32x+1

Giải

y = arctan(√3

2x − 1) ⇒√3

2x − 1 = tany ⇒ 2x − 1 = tan3y ⇒ x = tan

3y + 1 2 Chọn đáp án D

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

Câu 5 : Tập xác định của hàm số f (x) = arcsin(lnx) là

Giải Trước hết có lnx thì x > 0 trước đã Còn arcsin thì ta phải nhớ lại là phần trong ngoặc phải nằm trong đoạn [−1, 1] vậy thì −1 ≤ lnx ≤ 1 nên 1

e ≤ x ≤ e Chọn đáp án A

Câu 6: Tính giới hạn của hàm số I = lim

x→0 +x1/ln(x)

Giải Câu này vừa nhìn vào thì ngay lập tức cầm máy tính lên Nhập biểu thức vào và nhấn nút CALC ( dưới nút SHIFT ) và Chọn đáp án giá trị x là 0,000001 ta ra được 2,71828 chính là số e

Hay cách khác :

I = lim

x→0 +x

1 ln(x) = lim

x→0 +e

ln







 x

1 ln(x)









= lim

x→0 +e





1 ln(x).ln(x)





= lim

x→0 +e1 = e (Bằng e với mọi x ?? Vậy cho dù em có bấm máy số gì đi nữa thì vẫn ra được kết quả đúng !)

Thông thường ta bấm máy đều sẽ đúng trừ một số trường hợp cần coi chừng :

• Bấm ra số vô cùng nhỏ như là xxx.10−abc chưa chắc nó đã là 0 có thể nó là

enum hay là một số hoàn toàn khác

• Còn những trường hợp như sau gần như là đúng 99,69

– Ra một số hay gần đúng một số như 1,2,3, 0.9999, 0.6666

– Ra các số liên quan tới e như 2,71828 và các số là lạ như 7,mấy, 0 phết mấy nó chính là các lũy thừa của e, các bạn bấm ln(Ans) để biết số mũ

Chọn đáp án C

Câu 7: Cho hàm số y = y(x) dạng tham số

(

x = t + 1/t

y = t3− 3t + 1 Tính đạo hàm cấp hai

y00(x) = d

2y

d2x tại t = 2.

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

Giải

Ta có y0(x) = y

0(t)

x0(t) =

3t2− 3

1 − 1

t2

= 3t2 ⇒ y00(x) = (y

0(x))0

x0(t) =

6t

1 − 1

t2

⇒ y00(t = 2) = 16 Chọn đáp án D

Câu 8: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f (x) = x

2

3

√

x3+ 3x2 là

Giải

Ta có











a = lim

x→∞

f (x)

x = limx→∞

x

3

√

x3+ 3x2 = 1

b = lim

x→∞(f (x) − ax) = lim

x→∞( x

2

3

√

x3+ 3x2 − x) Tìm a thì dễ rồi, còn b thì hơi khó Ở đây các bạn nhập luôn biểu thức vào máy để bấm, Chọn đáp án x = 9999999 dễ thấy b = −1

Tuy nhiên nếu chơi "ĐẸP " thì làm như sau :

b = lim

x→∞( x

2

3

√

x3+ 3x2 − x) = lim

x→∞

x

3

√

x3+ 3x2



x −√3

x3+ 3x2

= lim

x→∞1 x

3− x3− 3x2

x2 + x.√3

x3 + 3x2+p(x3 3+ 3x2)2 = lim

x→∞1 −3x2

x2+ x2+ x2 = −1 Chọn đáp án B

Câu 9 : Tìm giới hạn hàm số I = lim

x→+∞

n

r 12n3+ 22n+1 4n3+ 1 + 22n−1

Giải Nhập giá trị khoảng 150 vào ta thấy hàm tiến tới 2 ( Do nếu nhập số lớn hơn thì máy báo M athERRO - lỗi tính toán)

Hay ta có thể làm theo cách "củ chuối" sau:

I = lim

x→+∞

n

r 12n3+ 22n+1 4n3+ 1 + 22n−1 = lim

x→∞

n

r

22n+1

2n−1 = lim

x→∞

n

√

2n+2 = 2

n + 2

n = 2.2

2

n = 2 Chọn đáp án B

Câu 10 : Tìm a, b để hàm số f (x) =√

ax + b + 1

x đạt cực trị tại (1, 4)

A a = 0, b = 9 B a = 6, b = 3 C a = 1, b = 8 D Các câu khác sai

Giải

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

Câu này khá đơn giản, ta lấy đạo hàm của f (x) rồi lần lượt thế các đáp án vào với

x = 1, nếu là cực trị thì nó sẽ bằng 0

f0(x) = a

2√

ax + b − 1

x2

Ta thấy chỉ có đáp án B thoản mãn Chọn đáp án B

Câu 11: Cho hàm số f (x) =











−sinx 4x , x > 0

b, x = 0√

a − x − 2

x , x < 0

liên tục tại 0 Tìm ab

Giải

Để hàm số liên tục thì

lim

x→0 +f (x) = lim

x→0 −f (x) = f (0) ⇔ b = lim

x→0 +

−sinx 4x = limx→0 −

√

a − x − 2

x→0 +

−x 4x = b = lim

x→0 −

a − 4 − x

1

√

a − x + 2

Dễ thấy b = 1

4 Còn về a, ta thấy để triệt tiệu cái (a − 4) cho x rút gọn thì x = 4 thế vào

ta thấy kết quả cũng bằng 1

4 Vậy ab = −1

4 .4 = −1 Chọn đáp án A.

Câu 12 : Khai triển Maclaurin f (x) = ln x + 2

2x + 1

 đến cấp 2

A f (x) = 1 + 3x − 2x2+ o(x2)

B f (x) = ln2 − 3/4x + 3/4x2+ o(x2)

C f (x) = lnx − 1/4x + 7/12x2+ o(x2)

D f (x) = ln2 − 3/2x + 15/8x2+ o(x2) Giải

Ta có

f (x) = ln x + 2

2x + 1



= ln(x + 2) − ln(2x + 1)

= −ln(1 + (2x)) + ln2 + ln(1 + x

2)

= ln2 − 2x + 4x

2

x

2 −x

2

8

= ln2 − 3/2x + 15/8x2+ o(x2) Chọn đáp án D

Câu 13: Số cực trị của hàm số f (x) = √3

x3− 3x2 là

Giải

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

f0(x) = 1

3.(3x

2− 6x).(x3 − 3x2)−

2

2− 2x

3

p(x3− 3x2)2

Số cực trị chính là số nghiệm của phương trình f0(x) = 0 , dễ thấy có 2 cực trị trong bài toán này

Chọn đáp án C

Câu 14: Cho hàm số f (x) =

(

xx, x ≥ 1

√

ax + b, x < 1 Tìm a, b để f có đạo hàm tại 1.

A a = 1, b = 1 B aa = 0, b = 1 C a = 2, b = 1 D a = 4, b = −3

Giải

Để có đạo hàm tại một điểm, hàm số phải thỏa 2 điều kiện là điều kiện liên tục, và điều kiện đạo hàm

( lim

x→1 +xx = lim

x→1 −

√

ax + b = f (1) (xx)0x=1+ = (√

ax + b)0x=1−

⇔







1 =√

a + b (x.xx−1+ lnx.xx)x=1+ = a

2√

ax + bx=1−

⇔







a + b = 1

a + b = a

2

4

⇔

(

a = 2

b = −1 Chọn đáp án C

Câu 15: Cho hàm số f (x) = arctan(x2− 2x) Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Tồn tại GTNN và không tồn tại GTLN

B Tồn tại GTLN và không tồn tại GTNN

C Không tồn tại GTLN và GTNN

D Tồn tại GTLN và GTNN Giải

Nhắc đến arctan thì ta nhớ ngay giá trị của nó nằm trong khoảng −π2,π2

Mặt khác x2− 2x = (x − 1)2− 1 có tập giá trị [−1, +∞), vẽ vòng tròn lượng giác ra, ta thấy arctan(x2− 2x) ≥ −π

4

Vì vậy chắc chắn không tồn tại GTLN của hàm số này, nên ta dùng sự trợ giúp 50:50 nhờ máy tính bỏ đi 3 phương án sai là B, C và D

Câu này thì một số bạn có thể sử dụng đạo hàm hay một số cách khác Tuy nhiên theo mình thì các bạn chỉ nên làm đơn giản như vậy thôi Chọn đáp án A

Câu 16 : Cho giới hạn lim

x→0

ax + b +√

1 − 4x x.arcsinx ∈ R∗ Tính giá trị của a + b

Chúng

T a

Cùng

Tiến

Giải

I = lim

x→0

ax + b +√

1 − 4x x.arcsinx

= lim

x→0

ax + b + 1 + 1

2(−4x) +

1

2.(

1

2 − 1)(−4x)

2

4

x2

= lim

x→0

x(a − 2) + b − x2

(

a = 2

b = −1 ⇐ a + b = 1 Chọn đáp án A

Câu 17: Khai triển Taylor f (x) = x + 1

x2+ 1 tại x0 = 1 đến cấp 2

A f (x) = 1 + x − x2+ o(x2)

B f (x) = 1 −12(x − 1) + o(x − 1)2

C f (x) = 1+(x−1)2+2(x−1)2+o(x−1)2

D Các câu khác sai Giải

Trước tiên đề yêu cầu khai triển tại x0 = 1 nên câu A là chắc chắn sai rồi

Đặt X = x − 1 ⇐ x = X + 1

f (x) = x + 1

x2+ 1

X2+ 2X + 2

= X + 2 2

1

1 + X

2+ 2X 2

= X + 2 2



1 −X

2+ 2X

2+ 2X)2

4



= X + 2 2



1 − X + X

2

2



= 1 − 1

2X = 1 −

1

2(x − 1) Chọn đáp án B

Câu 18: Cho f (x) = (1 + 2x)e2+x Tính f(10)(0)

Giải

Đề bài yêu cầu tính đạo hàm cấp 10 của f (x) tại x = 0 Theo công thức ta lấy 10! nhân

với hệ số phần tử bậc 10 của khai triển Maclaurin

Ta có f (x) = (1 + 2x)e2+x = (1 + 2x).e2.ex

Phần tử bậc 10 của khai triển là :

1.e2.x

10

10! + 2x.e

2.x

9

9! ⇐ f(10)(0) = 10!

 1.e2 1 10! + 2.e

2.1 9!



= 21e2

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

Câu 19 : Cho f (x) = ln(e2+ x) + 2x + 3 Tính (f−1)0(5)

Giải

f (x) = 5 ⇐ x = 0

Ta có (f−1(x))0 = 1

f0(x) =

1 1

e2+ x+ 2

2+ x

1 + 2e2+ 2x = 2 + e

−2

Chọn đáp án C

Câu 20 : Tính giới hạn I = lim

x→0

√

1 + x −√

1 − x − x xcosx − sinx

Giải

= lim

x→0

√

1 + x −√

1 − x − x xcosx − sinx

=

1 + 1

2x +

1 2

 −1 2



x2

1 2

 −1 2

  −3 2



x3









1 − 1

2x +

1 2

 −1 2



x2

1 2

 −1 2

  −3 2



x3

6









− x

x



1 −x

2

2



−



x −x

3

6



= lim

x→0

1

8x

3

−1

3 x

3

= −3 8

Gặp bài này trong đề thì đừng có dại mà làm nhé ! Rất mất thời gian, bấm máy đi cho

nhanh, mặc dù câu này theo mình thấy là bấm máy cũng không ra kết quả chính xác

Tuy nhiên ta vẫn chọn được đáp án D (ăn hên á)

LỜI KẾT

• Các dạng trong đề thi giữa kì môn Giải Tích 1 hầu như thay đổi rất ít Vì vậy việc

học chắn chắn những dạng này là cần thiết

• Mục đích là chọn đúng đáp án, chứ không phải thể hiện nhé ! Nên đừng la cà, hãy

tìm ra đáp án một cách nhanh nhất rồi chuyển qua câu khác

• Số đáp án D Các câu khác sai có xác suất xuất hiện trong đáp án rất ít, khoảng

1-2 câu, có năm thì không có câu nào Vì vậy hãy cân nhắc kỹ trước khi lựa chọn

nhé !

• Thỉnh thoảng đề trường mình có sai một vài câu một là bạn sẽ được auto cộng

điểm Hai là sẽ xém được auto công điểm Vì thế nếu chắc chắn đề sai và mình

tính đúng Hãy nắm bắt tâm lý tội phạm, khoanh vào đáp án mà đáng nhẽ nó

đúng (cái đúng mà bị ghi sai ấy)

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

• Nếu muốn được chỉ nhiều bí quyết hơn, ôn tập nhiều hơn và biết được nhiều kiến thức hơn Hãy tham gia các lớp học của CLB Chúng Ta Cùng Tiến nhé !

Nếu có bất kỳ thắc mắc gì, các bạn có thể post câu hỏi ngay trên group

facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ sẽ được đội ngũ CTCT giải đáp ngay nhé !

• Chúc các bạn học tốt và thi đạt điểm cao nhé !

Chú

ng

T a

Cùng

Tiến

[1] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Giáo trình Giải Tích 1, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA

TP HỒ CHÍ MINH, 2015

[2] Đề thi giữa kỳ môn giải tích 2016

[3] Tài liệu trên internet và các diễn đàn