wachter a. relativistische quantenmechanik

Offensichtlich besitzt die Klein-Gordon-Gleichung neben L¨osun- gen mit positiven Energieeigenwerten E = +cp0 auch solche mit negativen Energieeigenwerten E = −cp0, die durch das ”verbote

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Dr Armin Wachter

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Im Hinblick auf Fehler ist wiedergutmachen wichtiger als vorbeugen Dasist der Kern der Philosophie der menschlichen Erkenntnis, die als kritischerRationalismus bekannt ist und ihren vielleicht st¨arksten Niederschlag in denmodernen Naturwissenschaften findet Erkenntnis entwickelt sich demnachaus einer Folge von Vermutungen und Widerlegungen, von vorl¨aufigen Pro-bleml¨osungen, die durch kompromißlose und gr¨undliche Pr¨ufungen kontrol-liert werden Wichtig hierbei ist die Feststellung, daß gewonnene Erkennt-nis nie verifizierbar, sondern allenfalls falsifizierbar ist Mit anderen Worten:Eine naturwissenschaftliche Theorie kann h¨ochstens als

”nicht maßen falsch“ angesehen werden, und zwar nur so lange, bis diese Theorienachpr¨ufbar falsche Vorhersagen liefert Ein hinreichendes Kriterium f¨ur ihreRichtigkeit gibt es dagegen nicht

bewiesener-Die Newtonsche Mechanik, zum Beispiel, konnte als

”nicht ßen falsch“ angesehen werden, bis Ende des 19 Jahrhunderts erstmals Expe-rimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit durchgef¨uhrt wurden, die imWiderspruch zu den Vorhersagen von Newtons Theorie standen Weil sichinnerhalb Albert Einsteins spezieller Relativit¨atstheorie bis heute kein Wi-derspruch zur physikalischen Realit¨at finden l¨aßt (und diese Theorie dar¨uberhinaus einfach im Sinne der ihr zugrundeliegenden Annahmen ist), wird dierelativistische Mechanik zur Zeit als legitimer Nachfolger der NewtonschenMechanik angesehen Dies bedeutet nicht, daß deshalb die Newtonsche Me-chanik v¨ollig aufgegeben werden muß Sie hat lediglich ihren fundamenta-len Charakter verloren, weil ihr G¨ultigkeitsbereich nachweislich auf den Be-reich kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit einge-schr¨ankt ist

bewiesenerma-Der G¨ultigkeitsbereich der Newtonschen Theorie wurde allerdings im sten Jahrzehnt des 20 Jahrhunderts noch in anderer Hinsicht eingeschr¨ankt,n¨amlich in Bezug auf die Gr¨oße der physikalischen Objekte, die sie beschreibt

er-In jener Zeit wurden Experimente durchgef¨uhrt, aus denen hervorging, daßsich mikroskopische Objekte wie Atome und Molek¨ule v¨ollig anders verhaltenals es die Newtonsche Mechanik vorhersagt Die Theorie, die diesen neuarti-gen Ph¨anomenen in besserer Weise Rechnung tragen konnte, war die im Fol-gejahrzehnt entwickelte nichtrelativistische Quantenmechanik Von ihr warallerdings schon zum Zeitpunkt ihrer Entstehung abzusehen, daß sie ebenfalls

nichtrelativisti-”nicht bewiesenermaßen falsche“ Theorien

zur Beschreibung mikroskopischer Naturerscheinungen sog

Quantenfeldtheo-rien angesehen Sie zeichnen sich dadurch aus, daß sie

• lorentzkovariant formulierbar sind, also mit der speziellen

Relativit¨atstheo-rie im Einklang stehen,

• Viel-Teilchentheorien mit unendlich vielen Freiheitsgraden sind und u.a.

Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozessen in qualitativ und tativ exzellenter Weise Rechnung tragen

quanti-Der Weg zu diesen modernen Theorien verlief nat¨urlich ¨uber einige schritte Man ging zun¨achst von der nichtrelativistischen Quantenmechanik– mit der zugeh¨origen Ein-Teilchen-Wahrscheinlichkeitsinterpretation – ausund versuchte, diese so zu erweitern, daß sie lorentzkovariant ist Dies f¨uhrte

Zwischen-als erstes zur Klein-Gordon-Gleichung Zwischen-als relativistische Beschreibung von

Spin-0-Teilchen Mit dieser Gleichung war jedoch ein grundlegender Makelverbunden In ihr treten n¨amlich L¨osungen mit negativer Energie auf Abge-sehen davon, daß sie sich a priori einer vern¨unftigen Interpretation zu ent-ziehen scheinen, bedeutet ihre Existenz aus quantenmechanischer Sicht, daß

es z.B keine stabilen Atome geben d¨urfte, da ein atomares Elektron durchfortw¨ahrende Strahlungs¨uberg¨ange auf immer tiefere Niveaus des nach un-ten unbeschr¨ankten negativen Energiespektrums rutschen k¨onnte Ein weite-res Problem dieser Gleichung besteht in dem Fehlen einer positiv definitenWahrscheinlichkeitsdichte, welche f¨ur die gewohnte quantenmechanisch-sta-tistische Deutung unerl¨aßlich ist Diese Schwierigkeiten waren der Grunddaf¨ur, daß man lange Zeit nicht an einen physikalischen Sinn der Klein-Gordon-Gleichung glaubte

In dem Bestreben, an einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichtefestzuhalten, entwickelte Dirac stattdessen eine Gleichung zur Beschreibung

von Elektronen (allgemeiner: Spin-1/2-Teilchen), die allerdings auch L¨gen mit negativer Energie liefert Hier war es jedoch aufgrund der guten

osun-¨

Ubereinstimmung der Diracschen Vorhersagen mit experimentellen den im niederenergetischen Bereich, wo die negativen Energiel¨osungen ver-nachl¨assigt werden k¨onnen (z.B Energiespektrum des Wasserstoffatoms, gy-romagnetisches Verh¨altnis des Elektrons), schwer m¨oglich, den physikalischenSinn dieser Theorie v¨ollig zu negieren

Befun-Um die Elektronen innerhalb seiner Theorie vor einem Sturz in tive Energiezust¨ande zu bewahren, f¨uhrte Dirac einen Kunstgriff ein, die

nega-sog L¨ ochertheorie In ihr wird davon ausgegangen, daß das Vakuum aus

einem vollst¨andig besetzten

”See“ von Elektronen mit negativer Energie steht, der aufgrund des Paulischen Ausschließungsprinzips mit keinem wei-teren Teilchen gef¨ullt werden kann Diese neuartige Annahme erm¨oglicht

be-Vorwort VII

dar¨uber hinaus eine (zumindest qualitativ akzeptable) Erkl¨arung f¨ur chenzahl ¨andernde Prozesse So kann z.B ein Elektron mit negativer EnergieStrahlung absorbieren und in einen beobachtbaren Elektronzustand mit posi-tiver Energie angeregt werden Zus¨atzlich hinterl¨aßt dieses Elektron ein Loch

Teil-im See der negativen Energien, zeigt also die Abwesenheit eines Elektrons mitnegativer Energie an, das von einem Beobachter relativ zum Vakuum als An-wesenheit eines Teilchens mit entgegengesetzter Ladung und entgegengesetz-

ter (also positiver) Energie gedeutet wird Dieser Prozeß der Paarerzeugung

impliziert offensichtlich, daß es neben dem Elektron ein weiteres Teilchengeben muß, welches sich lediglich im Vorzeichen der Ladung vom Elektron

unterscheidet (Antiteilchen) Dieses Teilchen, das sog Positron, wurde kurze

Zeit sp¨ater tats¨achlich gefunden und lieferte eine eindrucksvolle Best¨atigungder Diracschen Ideen Heute weiß man, daß zu jedem Teilchen ein Antiteil-chen mit umgekehrten (nicht unbedingt elektrischen) Ladungsquantenzahlenexistiert

In der Klein-Gordon-Theorie konnte schließlich das Problem des Fehlenseiner positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte umgangen werden, indemdie Gr¨oßen ρ und j als Ladungsdichte und Ladungsstromdichte uminter-

pretiert wurden (Ladungsinterpretation) Der Sturz von positiven

Energie-zust¨anden auf negative Niveaus ließ sich allerdings in diesem Fall nicht durcheine l¨ochertheoretische Vorstellung beseitigen, da das Paulische Ausschlie-ßungsprinzip hier nicht greift und es deshalb keinen vollst¨andig besetztenSee von Spin-0-Teilchen mit negativer Energie geben kann

Die Klein-Gordon- und Dirac-Theorie liefern experimentell verifizierbareAussagen, solange man sich auf niederenergetische Ph¨anomene beschr¨ankt,bei denen Teilchenerzeugungs- und -vernichtungsprozesse keine Rolle spie-len Sobald man allerdings auch hochenergetische Prozesse einzubeziehenversucht, treten in beiden Theorien unweigerlich M¨angel und Widerspr¨uchezutage Den erfolgreichsten, weil bisher in keinem Widerspruch zu experimen-tellen Erfahrungen stehenden Ausweg bietet aus heutiger Sicht, wie bereitserw¨ahnt, der ¨Ubergang zu quantisierten Feldern, also zu Quantenfeldtheori-en

Dieses Buch greift einen Ausschnitt des soeben beschriebenen nisprozesses heraus und besch¨aftigt sich mit den Theorien von Klein, Gordonund Dirac zur relativistischen Beschreibung von massiven, elektromagnetisch

Erkennt-wechselwirkenden Spin-0- bzw Spin-1/2-Teilchen, und zwar unter

weitest-gehender Ausklammerung quantenfeldtheoretischer Aspekte (relativistischeQuantenmechanik

”im engeren Sinne“) Hierbei steht vor allem die wortung folgender Fragen im Vordergrund:

Beant-• Inwieweit lassen sich die Konzepte der nichtrelativistischen

Quantenme-chanik auf relativistische Quantentheorien ¨ubertragen?

• Wo liegen die Grenzen einer relativistischen

Ein-Teilchen-Wahrscheinlich-keitsinterpretation?

VIII Vorwort

• Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen der

Klein-Gordon- und Dirac-Theorie?

• Wie lassen sich relativistische Streuprozesse, insbesondere solche mit

Be-teiligung von Paarerzeugungs- und -vernichtungseffekten, im Rahmen derKlein-Gordon- bzw Dirac-Theorie beschreiben, ohne den Formalismus derQuantenfeldtheorie zu bem¨uhen, und wo liegen hier die Grenzen?

Im Gegensatz zu manchen anderen Lehrb¨uchern, in denen die

”reinen rien“ von Klein, Gordon und Dirac zusammen mit deren Ein-Teilcheninter-pretation zugunsten einer m¨oglichst fr¨uhen Einf¨uhrung der Feldquantisierungrelativ schnell abgehandelt werden, betont das vorliegende Buch gerade die-sen Standpunkt, um so ein tieferes Verst¨andnis der damit verbundenen Pro-bleme zu vermitteln und letztlich die Notwendigkeit von Quantenfeldtheorien

Theo-zu motivieren

Dieses Lehrbuch wendet sich somit an alle Studierenden der Physik, die

an einer ¨ubersichtlich geordneten Darstellung der relativistischen mechanik

Quanten-”im engeren Sinne“ und deren Abgrenzung zur weiterf¨uhrendenQuantenfeldtheorie interessiert sind Seinen Anspruch in Bezug auf Verst¨and-lichkeit und physikalische Einordnung priorisierend, bewegt sich dieses Buchmathematisch auf mittlerem Niveau und kann von jedem gelesen werden, derdie theoretischen Kursvorlesungen zu den Gebieten der klassischen Mecha-nik, klassischen Elektrodynamik und nichtrelativistischen Quantenmechanikabsolviert hat

Das Buch ist in drei Kapitel plus Anhang aufgeteilt Das erste tel besch¨aftigt sich mit der Darlegung der Klein-Gordon-Theorie zur rela-tivistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen Der Schwerpunkt liegt da-bei, wie bereits erw¨ahnt, auf den M¨oglichkeiten und Grenzen der Ein-Teilcheninterpretation dieser Theorie im Sinne der gewohnten nichtrelativi-stischen Quantenmechanik Dar¨uber hinaus werden umfassende Symmetrie-betrachtungen der Klein-Gordon-Theorie angestellt, ihre nichtrelativistischeN¨aherung systematisch in Potenzen von v/c entwickelt und schließlich einige

Kapi-einfache Ein-Teilchensysteme diskutiert

Im zweiten Kapitel behandeln wir die Dirac-Theorie zur relativistischen

Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen, wobei auch hier wieder großer Wert auf

ihre Ein-Teilcheninterpretation gelegt wird Beide Theorien, die ja aus stimmten Erweiterungen der nichtrelativistischen Quantenmechanik hervor-gehen, erlauben prinzipiell einen sehr direkten Eins-zu-Eins-Vergleich ihrerEigenschaften Dem wird in besonderer Weise dadurch Rechnung getragen,daß die einzelnen Abschnitte dieses Kapitels strukturell gleich aufgebaut sindwie diejenigen des ersten Kapitels – nat¨urlich nur bis auf Dirac-spezifischeThemen, wie z.B die L¨ochertheorie oder den Spin, die an geeigneten Stellengesondert betrachtet werden

be-Das dritte Kapitel enth¨alt die Beschreibung relativistischer

Streuprozes-se im Rahmen der Dirac- und, weiter hinten, der Klein-Gordon-Theorie

In Anlehnung an die nichtrelativistische Quantenmechanik werden

relati-Vorwort IX

vistische Propagatorverfahren entwickelt und mit den bekannten ten der Streuamplitude und des Wirkungsquerschnittes in Zusammenhanggebracht Auf diese Weise entsteht ein Streuformalismus, mit dessen Hil-

Konzep-fe sich sowohl Ein-Teilchenstreuungen in Anwesenheit eines tischen Hintergrundfeldes als auch – mit entsprechenden Erweiterungen –Zwei-Teilchenstreuungen approximativ berechnen lassen Anhand konkreterBetrachtungen von Streuprozessen in den niedrigsten Ordnungen werden die

elektromagne-Feynman-Regeln entwickelt, die alle erforderlichen Rechnungen auf eine

ge-meinsame Grundlage stellen und graphisch formalisieren Dabei muß betontwerden, daß sich diese Regeln in ihrer Allgemeinheit nicht zwingend aus demverwendeten Streuformalismus ergeben, sondern in h¨oheren Ordnungen auchrein quantenfeldtheoretische Aspekte beinhalten Genau an dieser Stelle gehtdieses Buch also erstmalig ¨uber die relativistische Quantenmechanik

”im geren Sinne“ hinaus! Die anschließende Diskussion der quantenfeldtheoreti-schen Korrekturen (allerdings ohne ihre tiefere Begr¨undung) und deren exzel-lente ¨Ubereinstimmung mit experimentellen Befunden mag in diesem Buchals der vielleicht gr¨oßte Motivator zur Besch¨aftigung mit Quantenfeldtheorienselbst, als theoretischem Fundament der Feynman-Regeln, dienen

en-Wichtige Gleichungen und Zusammenh¨ange werden in Form von tions- und Satzk¨asten zusammengefaßt, um so dem Leser ein strukturiertesLernen und schnelles Nachschlagen zu erm¨oglichen Desweiteren befinden sichnach jedem Abschnitt eine Kurzzusammenfassung sowie einige Aufgaben (mitL¨osungen), mit deren Hilfe das Verst¨andnis des behandelten Stoffes ¨uberpr¨uftwerden kann Der Anhang enth¨alt eine kurze Zusammenstellung wichtigerFormeln und Konzepte

Defini-Abschließend sei der Hoffnung Ausdruck verliehen, daß dieses Buch dazubeitragen m¨oge, die L¨ucke zwischen der nichtrelativistischen Quantenmecha-nik und modernen Quantenfeldtheorien zu schließen und die Notwendigkeitquantisierter Felder durch Darlegung der relativistischen Quantenmechanik

”im engeren Sinne“ physikalisch verst¨andlich zu motivieren

K¨oln im Februar 2005 Armin Wachter

Aufgabenverzeichnis XV

1. Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen 1

1.1 Klein-Gordon-Gleichung 4

1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung 4

1.1.2 Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung 10 1.1.3 Interpretation der negativen L¨osungen, Antiteilchen 12

Aufgaben 19

1.2 Symmetrietransformationen 23

1.2.1 Aktive und passive Transformationen 23

1.2.2 Lorentz-Transformationen 25

1.2.3 Diskrete Transformationen 26

Aufgaben 31

1.3 Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie 32

1.3.1 Verallgemeinertes Skalarprodukt 33

1.3.2 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung 36

1.3.3 G¨ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes 42

1.3.4 Klein-Paradoxon 45

Aufgaben 49

1.4 Nichtrelativistische N¨aherung der Klein-Gordon-Theorie 54

1.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall 55

1.4.2 Relativistische Korrekturen 56

Aufgaben 63

1.5 Einfache Ein-Teilchensysteme 66

1.5.1 Kastenpotential 66

1.5.2 Radiale Klein-Gordon-Gleichung 71

1.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf 73 1.5.4 Coulomb-Potential 78

1.5.5 Oszillator-Coulomb-Potential 82

Aufgaben 87

XII Inhaltsverzeichnis

2 Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen 91

2.1 Dirac-Gleichung 92

2.1.1 Kanonische Formulierung der Dirac-Gleichung 92

2.1.2 Dirac-Gleichung in lorentzkovarianter Form 99

2.1.3 Eigenschaften der γ-Matrizen und kovariante Bilinearformen 104

2.1.4 Spinoperator 107

2.1.5 Projektionsoperatoren 110

2.1.6 Interpretation der negativen L¨osungen, Antiteilchen und L¨ochertheorie 113

Aufgaben 122

2.2 Symmetrietransformationen 130

2.2.1 Eigentliche Lorentz-Transformationen 130

2.2.2 Spin der Dirac-L¨osungen 135

2.2.3 Diskrete Transformationen 136

Aufgaben 142

2.3 Ein-Teilcheninterpretation der Dirac-Theorie 146

2.3.1 Ein-Teilchenoperatoren und Feshbach-Villars-Darstellung 146

2.3.2 G¨ultigkeitsbereich des Ein-Teilchenkonzeptes 150

2.3.3 Klein-Paradoxon 152

Aufgaben 155

2.4 Nichtrelativistische N¨aherung der Dirac-Theorie 161

2.4.1 Nichtrelativistischer Grenzfall 161

2.4.2 Relativistische Korrekturen 163

Aufgaben 168

2.5 Einfache Ein-Teilchensysteme 170

2.5.1 Kastenpotential 170

2.5.2 Radiale Form der Dirac-Gleichung 174

2.5.3 Freies Teilchen und kugelsymmetrischer Potentialtopf 177 2.5.4 Coulomb-Potential 180

Aufgaben 186

3. Relativistische Streutheorie 189

3.1 R¨uckblick: Nichtrelativistische Streutheorie 191

3.1.1 L¨osung der allgemeinen Schr¨odinger-Gleichung 191

3.1.2 Propagatorzerlegung nach Schr¨odinger-L¨osungen 195

3.1.3 Streuformalismus 197

3.1.4 Coulomb-Streuung 206

Aufgaben 209

3.2 Streuung von Spin-1/2-Teilchen 216

3.2.1 L¨osung der allgemeinen Dirac-Gleichung 216

3.2.2 Fourier-Zerlegung des freien Fermionpropagators 219

3.2.3 Streuformalismus 223

3.2.4 Spurbildungen mit γ-Matrizen 229

Inhaltsverzeichnis XIII

Aufgaben 234

3.3 Spin-1/2-Streuprozesse 236

3.3.1 Coulomb-Streuung von Elektronen 238

3.3.2 Elektron-Proton-Streuung (I) 247

3.3.3 Elektron-Proton-Streuung (II) 259

3.3.4 Vorl¨aufige Feynman-Regeln im Impulsraum 267

3.3.5 Elektron-Elektron-Streuung 271

3.3.6 Elektron-Positron-Streuung 276

3.3.7 Compton-Streuung an Elektronen 282

3.3.8 Elektron-Positron-Vernichtung 290

3.3.9 Fazit: Feynman-Regeln im Impulsraum 295

Aufgaben 300

3.4 Korrekturen h¨oherer Ordnung 308

3.4.1 Vakuumpolarisation 312

3.4.2 Selbstenergie 318

3.4.3 Vertexkorrektur 323

3.4.4 Physikalische Konsequenzen 327

Aufgaben 335

3.5 Streuung von Spin-0-Teilchen 337

3.5.1 L¨osung der allgemeinen Klein-Gordon-Gleichung 338

3.5.2 Streuformalismus 340

3.5.3 Coulomb-Streuung von Pionen 342

3.5.4 Pion-Pion-Streuung 345

3.5.5 Pionproduktion durch Elektronen 351

3.5.6 Compton-Streuung an Pionen 355

3.5.7 Fazit: Erweiterte Feynman-Regeln im Impulsraum 361

Aufgaben 363

A Anhang 369

A.1 Spezielle Relativit¨atstheorie 369

A.2 Bessel-Funktionen, sph¨arische Bessel-Funktionen 376

A.3 Legendre-Funktionen, Legendre-Polynome, Kugel߬achenfunktionen 377

A.4 Dirac-Matrizen und Bispinoren 380

Sachverzeichnis 383

Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

1 L¨osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung 19

2 Lagrange-Dichte und Energie-Impuls-Tensor des freien Klein-Gordon-Feldes 20

3 Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (I) 31

4 Eigenschaften V-hermitescher und V-unit¨arer Operatoren 49

5 Feshbach-Villars-Transformation (I) 51

6 Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (I) 52

7 Zitterbewegung (I) 53

8 Diagonalisierbarkeit der Hamiltonschen Klein-Gordon-Gleichung 63

9 Diagonale Hamiltonsche Klein-Gordon-Gleichung bisO
v6/c6 64 10 Exponentialpotential 87

Relativistische Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen 11 L¨osungen der freien Dirac-Gleichung 122

12 Nichtunitarit¨at von Bispinortransformationen (I) 123

13 Ladungskonjugation freier Dirac-Zust¨ande 124

14 Erwartungswerte ladungskonjugierter Dirac-Zust¨ande 124

15 Dirac-Gleichung f¨ur strukturierte Teilchen 126

16 Quadratische Form der Dirac-Gleichung 127

17 Lagrange-Dichte und Energie-Impuls-Tensor des freien Dirac-Feldes 128

18 Vollst¨andigkeits- und Orthogonalit¨atsrelationen freier Bispinoren 142

19 Nichtunitarit¨at von Bispinortransformationen (II) 143

20 Freie Dirac-Zust¨ande unter Raumspiegelung und Zeitumkehr 143 21 Erwartungswerte zeitumgekehrter Dirac-Zust¨ande 144

22 Lorentzartigkeit der P CT -Symmetrietransformation (II) 145

23 Feshbach-Villars-Transformation (II) 155

24 Konstruktion von Ein-Teilchenoperatoren mittels Vorzeichenoperator (II) 157

25 Gordon-Zerlegung 158

XVI Aufgabenverzeichnis

26 Zitterbewegung (II) 159

27 Anomales magnetisches Moment strukturierter Teilchen 168

28 Fouldy-Wouthuysen-Transformation 169

29 Eigenschaften der Spinorkugel߬achenfunktionen 186

Relativistische Streutheorie 30 Integraldarstellung der Θ-Funktion 209

31 Fourier-Zerlegung von G (0,±) 211

32 Allgemeine Eigenschaften von G(±) 213

33 Unitarit¨at der Streumatrix 214

34 Quadrat der δ-Funktion 215

35 Zerlegung von SF(0) nach ebenen Wellen 234

36 Kausalit¨atsprinzip von SF(0) 234

37 Kinematische Konstellationen bei der Compton-Streuung 300

38 Elektron-Positron-Vernichtung im Schwerpunktsystem 301

39 Elektron-Positron-Erzeugung im Schwerpunktsystem 304

40 Furry-Theorem 306

41 Beseitigung der Infrarotkatastrophe 335

42 Kausalit¨atsprinzip von ∆(0)F 363

43 Pion-Antipion-Streuung im Schwerpunktsystem 364

44 Pion-Antipion-Vernichtung im Schwerpunktsystem 366

1 Relativistische Beschreibung von

Satz 1.1: Prinzipien der nichtrelativistischen Quantenmechanik

1) Der quantenmechanische Zustand eines physikalischen Systems wirddurch einen Zustandsvektor|ψ(t)
in einem komplexen unit¨aren Hilbert-

RaumH beschrieben Auf diesem Raum ist ein positiv definites

Skalar-produktψ| ϕ
mit folgenden Eigenschaften definiert:

2 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Es gibt jedoch auch Observable ohne klassisches Analogon wie z.B denSpin

3) Jeder Zustandsvektor|ψ
l¨aßt sich nach der orthonormierten Eigenbasis {|ωi
} einer Observablen ˆ Ω entwickeln:

|ψ
=

i

|ω i
ω i | ψ
, ˆ Ω |ω i
= ω i |ω i
, ω i | ω j
= δ ij

Eine Messung der zum Operator ˆΩ korrespondierenden dynamischen

Va-riable ergibt einen seiner Eigenwerte ω i mit der Wahrscheinlichkeit

W (ω i) =| ωi| ψ
|2

ψ| ψ
.

Der statistische Mittelwert (Erwartungswert) der Observablen ˆΩ, der

sich aus einer großen Anzahl von gleichartigen Messungen identischerSysteme ergibt, lautet bei Normierung von|ψ
auf ψ| ψ
= 1

 ˆ Ω
= ψ| ˆ Ωψ
= ψ| ˆ Ω |ψ

4) Der Zustandsvektor|ψ(t)
gen¨ugt der Schr¨odinger-Gleichung

i¯hd|ψ(t)

dt = ˆH |ψ(t)

Hierbei ist ˆH der hermitesche Operator der Gesamtenergie

(Hamilton-Operator) Im einfachsten Fall ergibt er sich aus der Hamilton-Funktiondes korrespondierenden klassischen Systems:

ˆ

H = H(x i → ˆxi , p i → ˆpi )

Aus der Hermitezit¨at von ˆH folgt der Erhaltungssatz d ψ| ψ
/dt = 0.

Diese, im Schr¨odinger-Bild formulierten quantenmechanischen Grunds¨atzelassen sich durch die Wahl einer bestimmten Darstellung (einer bestimmtenBasis) weiter konkretisieren In der Ortsdarstellung, die wir im weiteren Ver-lauf fast ausschließlich betrachten werden, wird der abstrakte Zustandsvek-tor|ψ(t)
durch eine Wellenfunktion ψ(x, t) repr¨asentiert, welche alle raum-

zeitlichen und sonstigen Informationen des zu beschreibenden physikalischenSystems enth¨alt Die Gr¨oße|ψ(x, t)|2 wird als Wahrscheinlichkeitsmaß daf¨urinterpretiert, das physikalische System am Raumzeitpunkt (x, t) vorzufinden.

Orts- und Impulsoperator sind in dieser Darstellung gegeben durch

Erwartungs-1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen 3

• Wegen der M¨oglichkeit der Teilchenerzeugung bei

Wechselwirkungsener-gien, die mindestens gleich der Ruheenergie des betrachteten Teilchenssind, ist der G¨ultigkeitsbereich der zu entwickelnden Ein-Teilchentheorie

auf Teilchenenergien E, Teilchenimpulse p und elektromagnetische

Wech-selwirkungspotentiale A µ beschr¨ankt, f¨ur die gilt

|E − m0c2| < m0c2, |p|,e

c A

µ < m

0c , ∆E  m0c2 , ∆p  m0c ,

wobei m0 die Ruhemasse des Teilchens bezeichnet Dies ist gerade der

Bereich der nichtrelativistischen N¨ aherung.

• Aufgrund dieser Einschr¨ankungen und der Heisenbergschen

zur Compton-Wellenl¨ ange λc= ¯h/(m0c) des Teilchens.

Diese Punkte werden wir bei der nun folgenden Diskussion der Theorie (wie auch bei der Behandlung der Dirac-Theorie im n¨achsten Kapi-tel) besonders ber¨ucksichtigen und weiter konkretisieren

Klein-Gordon-Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden die Grundz¨uge der Gordon-Theorie zur relativistischen Beschreibung von Spin-0-Teilchen ent-wickelt Hierbei werden wir u.a mit negativen Energiezust¨anden konfron-

Klein-tiert, die sich mit Hilfe der Transformation der Ladungskonjugation mit

An-titeilchen in Verbindung bringen lassen Der zweite Abschnitt besch¨aftigtsich mit den Symmetrieeigenschaften der Klein-Gordon-Theorie Neben denkontinuierlichen Symmetrietransformationen sind hier insbesondere auch diediskreten Symmetrien von Interesse, weil sie uns zu einem tieferen Verst¨and-nis der negativen Energiel¨osungen f¨uhren werden Im dritten Abschnitt er-weitern und vervollst¨andigen wir das Ein-Teilchenbild der Klein-Gordon-Theorie Durch Einf¨uhrung eines verallgemeinerten Skalarproduktes modi-

fizieren wir den nichtrelativistisch-quantenmechanischen Rahmen dergestalt,

4 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

daß eine konsistente Ein-Teilcheninterpretation m¨oglich wird Wir ren ferner den G¨ultigkeitsbereich des Klein-Gordonschen Ein-Teilchenbildesund zeigen einige Interpretationsschwierigkeiten auf, die sich außerhalb die-ses Bereiches ergeben Der vierte Abschnitt behandelt die nichtrelativistischeN¨aherung der Klein-Gordon-Theorie Es wird zun¨achst der nichtrelativisti-sche Grenzfall diskutiert, der erwartungsgem¨aß zu den Gesetzm¨aßigkeiten dernichtrelativistischen Quantenmechanik f¨uhrt Im Anschluß werden (h¨ohere)relativistische Korrekturen einbezogen, indem die Klein-Gordon-Gleichung

diskutie-mittels des Fouldy-Wouthuysen-Verfahrens in Potenzen von v/c entwickelt

wird Dieses Kapitel endet mit dem f¨unften Abschnitt, wo wir einige einfacheKlein-Gordonsche Ein-Teilchensysteme betrachten, und zwar auch vor demHintergrund einer konsistenten Ein-Teilcheninterpretation

Anmerkung Um Mißverst¨andnisse zu vermeiden, weisen wir darauf hin,daß im weiteren Verlauf die Begriffe

”Wellenfunktion“, ”L¨osung“ und

”stand“ synonym verwendet werden Sie alle beziehen sich auf die L¨osungs-funktionen der Klein-Gordonschen Wellengleichung Die in der Natur reali-sierten und beobachtbaren Zust¨ande nennen wir dagegen

Zu-”(Anti-)Teilchen“.Das Kennzeichen

”ˆ “ f¨ur quantenmechanische Operatoren wird nachfolgendunterdr¨uckt

1.1 Klein-Gordon-Gleichung

Wir beginnen unsere Diskussion der Klein-Gordon-Theorie mit dem len der Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer Form Hierbei stoßen wir so-fort auf zwei neuartige Ph¨anomene, die sich im Rahmen der gewohnten quan-tenmechanischen Betrachtungsweise einer vern¨unftigen Interpretation zu ent-ziehen scheinen, n¨amlich die Existenz von negativen Energiel¨osungen unddas Fehlen einer positiv definiten Wahrscheinlichkeitsdichte Anschließend

Aufstel-¨

uberf¨uhren wir die kanonische Gleichung in Hamiltonsche bzw Schr¨sche Form, die sich f¨ur viele Folgebetrachtungen als sehr n¨utzlich erweisenwird Zum Schluß kommen wir auf die o.g zwei Ph¨anomene zur¨uck und ent-wickeln hierf¨ur mit Hilfe der Transformation der Ladungskonjugation einephysikalisch akzeptable Deutung

odinger-1.1.1 Kanonische und lorentzkovariante Formulierung der Gordon-Gleichung

Klein-In der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist der Ausgangspunkt dieEnergie-Impuls-Beziehung

E = p2

2m ,

welche durch die Korrespondenzregel

1.1 Klein-Gordon-Gleichung 5

E −→ i¯h ∂

∂t , p −→ −i¯h∇ ⇐⇒ p µ −→ i¯h∂ µ (Viererimpuls)

auf die Schr¨odinger-Gleichung f¨ur freie Teilchen,

Freie Klein-Gordon-Gleichung Beide Schwierigkeiten k¨onnen umgangenwerden, indem man die quadratische Form von (1.1) zugrunde legt, also

E2= c2p2+ m2c4⇐⇒ p2− p2= p µ p µ = m2c2.

In diesem Fall erh¨alt man mit obiger Korrespondenzregel die freie

Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer Form,

−¯h2∂2φ(x)

∂t2 =

−c2¯h2∇2+ m20c4

φ(x) , x = (x µ ) , (1.2)die sich sofort in manifest lorentzkovarianter Form schreiben l¨aßt,

p µ p µ − m2

0c2

so daß hierin z.B das Transformationsverhalten der Wellenfunktion φ bei

ei-nem Wechsel des Bezugssystems leicht abzusehen ist Diese Gleichung wurdevon Erwin Schr¨odinger selbst im Jahre 1926 als relativistische Verallgemeine-rung der Schr¨odinger-Gleichung vorgeschlagen und in der Folgezeit von OskarBenjamin Klein und Walter Gordon im Detail studiert

Als erstes ist festzustellen, daß die Klein-Gordon-Gleichung im Gegensatzzur Schr¨odinger-Gleichung eine partielle Differentialgleichung zweiter Ord-nung in der Zeit ist, d.h zur eindeutigen Spezifikation eines Klein-Gordon-Zustandes ben¨otigt man die Anfangswerte φ(x) und ∂φ(x)/∂t Desweiteren

6 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ist zu erkennen, daß die Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von

Spin-0-Teilchen (spinlose Bosonen) geeignet erscheint, weil φ eine skalare Funktion

ist und keine inneren Freiheitsgrade besitzt, bzw weil der in (1.3) stehendeOperator nur auf die ¨außeren Freiheitsgrade (Raumzeitkoordinaten) von φ

−1 f¨ur r = 2 ,

wobei wir hier und im weiteren Verlauf mit p0 stets die positive Wurzelbezeichnen Offensichtlich besitzt die Klein-Gordon-Gleichung neben L¨osun-

gen mit positiven Energieeigenwerten E = +cp0 auch solche mit negativen

Energieeigenwerten E = −cp0, die durch das

”verbotene“ Energieintervall]− m0c2 : m0c2[ voneinander getrennt sind.1 W¨ahrend sich f¨ur die positi-ven L¨osungen die Interpretation als Teilchenwellenfunktion anbietet, ist diephysikalische Bedeutung der negativen L¨osungen a priori unklar, was dieKlein-Gordon-Theorie als relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Theorie zun¨achst unattraktiv erscheinen l¨aßt Wie wir im weiteren Verlaufjedoch sehen werden, k¨onnen die negativen L¨osungen mit Antiteilchen in

Verbindung gebracht werden, die in der Natur auch beobachtet werden, sodaß sich hier in der Tat eine fruchtbare Erweiterung der nichtrelativistischenTheorie andeutet Hiermit h¨angt ¨ubrigens auch zusammen, daß wir φ(2)p (x)

als negative L¨osung mit Impulsindexp betrachten, obwohl sie den

Impulsei-genwert−p besitzt.

Wir greifen das Interpretationsproblem der negativen Energien sp¨ater der auf und untersuchen im folgenden zun¨achst weitere Eigenschaften derKlein-Gordon-Gleichung

wie-Wechselwirkung mit elektromagnetischen Feldern, Eichinvarianz.

Die Wechselwirkung eines relativistischen Spin-0-Teilchens mit einem tromagnetischen Feld l¨aßt sich wie in der Schr¨odingerschen Theorie durch fol-

elek-gende Operatorersetzung, der sog minimalen Kopplung, in der freien

Klein-Gordon-Gleichung ber¨ucksichtigen:

das elektromagnetische Viererpotential und e die

elek-trische Ladung des betrachteten Teilchens bezeichnen Hiermit gehen (1.2)und (1.3) schließlich ¨uber in2

wobei χ = χ(x) eine beliebige reelle skalare Funktion der

Raumzeitkoordina-ten bezeichnet Diese lokale Eichinvarianz l¨aßt sich wie in der schen Theorie auf die Klein-Gordon-Gleichung (1.4) bzw (1.5) ¨ubertragen,

nichtrelativisti-indem die Wellenfunktion φ durch Multiplikation einer Phase geeignet

Spin-0-λF µν F µν φ mit F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µin (1.5) in Betracht zu ziehen.

8 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

geht (1.8) ¨uber in die zur Klein-Gordon-Gleichung (1.5) formgleiche chung

Da physikalische Observable durch Bilinearformen der Art φ| |φ

re-pr¨asentiert werden, spielt ein gemeinsamer gleicher Phasenfaktor in φ keine

Rolle Die Klein-Gordon-Gleichung mit minimaler Kopplung ist deshalb ter lokalen Eichtransformationen des elektromagnetischen Feldes invariant.3

un-Kontinuit¨ atsgleichung Multipliziert man (1.4) bzw (1.5) von links mit

φ ∗und subtrahiert davon im Anschluß das komplex Konjugierte, dann ergibt

sich eine Kontinuit¨atsgleichung der Form

Hierbei wurde ein Overall-Faktor in ρ und j aus Analogiegr¨unden zur

nichtre-lativistischen Quantenmechanik eingef¨ugt Wie ¨ublich folgt aus (1.10) durchIntegration ¨uber den gesamten Raum der Erhaltungssatz

Schwie-3 Bemerkenswerterweise ist die Transformation (1.7) zusammen mit (1.9) gleich

derjenigen, die auch in der nichtrelativistischen Theorie zur Eichinvarianz derSchr¨odinger-Gleichung f¨uhrt

1.1 Klein-Gordon-Gleichung 9

Wir fassen unsere bisherigen Ergebnisse wie folgt zusammen:

Satz 1.2: Klein-Gordon-Gleichung

in kanonischer und lorentzkovarianter Form

Die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨odinger-Gleichung f¨ur 0-Teilchen ist die Klein-Gordon-Gleichung Sie lautet f¨ur ein minimal an-gekoppeltes elektromagnetisches Feld

wobei m0 die Ruhemasse und e die elektrische Ladung des Teilchens

be-zeichnen Diese Gleichungen sind invariant unter lokalen tionen des elektromagnetischen Feldes Aus der Klein-Gordon-Gleichungfolgt die Kontinuit¨atsgleichung

mit dem Impulseigenwert +p (f¨ur r = 1) bzw −p (f¨ur r = 2) Sie sind bzgl.

der sich aus ρ ergebenden Normierung (f¨ur freie Teilchen) in folgender Weisenormiert:

10 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

1.1.2 Hamiltonsche Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung

F¨ur unsere weitere Diskussion ist es n¨utzlich, die Klein-Gordon-Gleichungaus Satz 1.2, die ja eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist,

in ein System von gekoppelten Differentialgleichungen von erster Ordnung

in der Zeit zu ¨uberf¨uhren Dies hat den Vorteil, daß sie eine Schr¨artige Form erh¨alt, in der sich analog zur nichtrelativistischen Theorie einHamilton-Operator identifizieren l¨aßt Zu diesem Zweck gehen wir von derKlein-Gordon-Gleichung (1.11) aus und schreiben sie durch Einf¨uhrung von

odinger-φ = ϕ + χ ,

i¯h ∂

Zur Berechnung von ρ und j in der Hamiltonschen Formulierung setzen wir

(1.14) und (1.15) in (1.13) ein und erhalten

folgt aus (1.11) die Klein-Gordon-Gleichung in Hamiltonscher Form,

i¯h ∂ψ

∂t = Hψ , H =

τ3+ iτ22m0 p − e c A2+ τ3m0c2+ eA0 , (1.17)

wobei τ i die Pauli-Matrizen bezeichnen Die zugeh¨origen Ausdr¨ucke f¨ur ρ

12 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

mit dem Impulseigenwert +p (f¨ur r = 1) bzw −p (f¨ur r = 2) Sie sind bzgl.

der sich aus ρ ergebenden Normierung (f¨ur freie Teilchen) in folgender Weisenormiert:



d3xψ (r)†

p (x)τ3ψ p (r

) r δ rr
δ( p − p )

Ψ (r)†(p)τ3Ψ (r
)( r δ rr
, Ψ (r)(p) = Ψ (r)(−p) (1.19)

Zum tieferen Verst¨andnis dieses Satzes beachte man, daß der

Hamilton-Operator H in (1.17) nicht hermitesch ist, weil iτ2 nicht hermitesch ist.Hieraus wird sofort klar, warum sich keine positiv definite Wahrscheinlich-keitsdichte mit zugeh¨origer erhaltener Gesamtwahrscheinlichkeit finden l¨aßt,denn unter Benutzung des in der nichtrelativistischen Theorie verwendetenSkalarproduktes

ψ| O |φ
="φ | O † |ψ#∗ (O linearer Operator) (1.21)haben wir

Eine weitere wichtige Konsequenz aus der Nichthermitezit¨at von H ist,

daß eiH kein unit¨arer Operator ist Unter anderem deswegen erscheint dieVerwendung des Skalarproduktes (1.20) in der Klein-Gordon-Theorie unge-eignet, weil es in verschiedenen Bildern (z.B Schr¨odinger-Bild, in dem wiruns momentan befinden, oder Heisenberg-Bild) zu unterschiedlichen Ergeb-nissen f¨uhrt Mit diesem Problem werden wir uns in Unterabschn 1.3.1 n¨aherbesch¨aftigen

1.1.3 Interpretation der negativen L¨ osungen, Antiteilchen

Bis hierher haben wir die Klein-Gordon-Gleichung in kanonischer, kovarianter und Hamiltonscher Form niedergeschrieben und einige ihrer for-

lorentz-1.1 Klein-Gordon-Gleichung 13

malen Eigenschaften kennengelernt Wir wenden uns jetzt den bisher nachl¨assigten negativen Klein-Gordon-L¨osungen zu mit dem Ziel, f¨ur dieseund f¨ur die Gr¨oßen Q, ρ und j eine physikalisch sinnvolle Interpretation zu

wobei φ(−)eine L¨osung mit negativer Energie bezeichne Nun transformieren

wir diese Gleichung, indem wir von ihr das komplex Konjugierte nehmen underhalten die mathematisch ¨aquivalente Beziehung

φ(−)

C (x) = φ(−)∗ (x)

Die sich hieraus ergebenden Konsequenzen werden noch deutlicher, indem

man von der Eigenwertgleichung eines negativen Energieeigenzustandes Ψ(−)

in Hamiltonscher Formulierung ausgeht,

Insgesamt folgt: Beschreibt φ(−) bzw ψ(−) einen negativen

Klein-Gordon-Zustand der Ladung +e im Potential A µ, dann beschreibt

φ(−)

C = φ(−)∗ bzw ψ(−)

C = τ1ψ(−)∗einen positiven Klein-Gordon-Zustand der

Ladung −e im selben Potential A µ Dementsprechend nennt man die

obi-ge Transformation Ladungskonjugation Sie ist offensichtlich eine reziproke

Operation, weil ihre zweifache Ausf¨uhrung wieder auf die Ausgangsgleichungf¨uhrt Dar¨uber hinaus ist sie antilinear4, weil sich das relative Vorzeichenzwischen den Ableitungs- und Potentialtermen beim ¨Ubergang von (1.22)nach (1.23) umdreht Anhand der Ladungskonjugation er¨offnet sich somit

4 Ein OperatorO heißt antilinear, falls O(α1ψ1+ α2ψ2) = α ∗1Oψ1+ α ∗2Oψ2.

14 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ein Weg zur physikalischen Interpretation der negativen Klein-Gordon-L¨gen, daß n¨amlich deren Ladungskonjugierte die quantenmechanischen Wel-lenfunktionen von Antiteilchen der Ladung−e sind Bezogen auf die freien

osun-Klein-Gordon-L¨osungen bedeutet die Ladungskonjugation

φ (1,2) p,C (x) = φ (2,1) p (x) , ψ (1,2) p,C (x) = ψ p (2,1) (x)

Das heißt hier sind sowohl die urspr¨unglichen als auch die ten Wellenfunktionen L¨osungen derselben Gleichung, was nat¨urlich daranliegt, daß im freien Fall die Unterscheidung zwischen Zust¨anden verschiede-ner Ladung nicht m¨oglich ist

ladungskonjugier-Ladungsdichte, Ladungsstromdichte Wir sind nun in der Lage, den

Gr¨oßen Q, ρ und j eine physikalisch sinnvolle Interpretation zuzuf¨uhren Wie

wir weiter oben gesehen haben, kommt die Gr¨oße

de-so ist ρ f¨ur positive Klein-Gordon-L¨osungen positiv definit, |ϕ|  |χ|, und

f¨ur negative L¨osungen negativ definit, |ϕ|  |χ| (siehe Unterabschn 1.4.1).

Da aufgrund des oben Gesagten positive L¨osungen zu Teilchen der Ladung

+e und die Ladungskonjugierten der negativen L¨osungen zu Antiteilchen derLadung −e geh¨oren, bietet es sich an, die durch ψ(±) gebildeten Ausdr¨ucke

ρ(±) als elektrische Ladungsdichte und dementsprechend j(±) als elektrische Ladungsstromdichte von Teilchen bzw Antiteilchen zu interpretieren Demzu-

folge ist Q(±)=±1 die (erhaltene) Gesamtladung des betrachteten Teilchens

bzw Antiteilchens (Ladungsinterpretation).5

Zusammenfassend halten wir fest:

Satz 1.4: Ladungskonjugation C und Ladungsinterpretation

5 Diese Interpretation l¨aßt sich auch außerhalb des G¨ultigkeitsbereiches des

Ein-Teilchenbildes aufrechterhalten In diesem Fall bedeutet Q die erhaltene

Gesamt-ladung aller betrachteten Teilchen und Antiteilchen, so daß die

Ladungsdich-te ρ an verschiedenen RaumzeitpunkLadungsdich-ten unLadungsdich-terschiedliches Vorzeichen annehmen

kann

1.1 Klein-Gordon-Gleichung 15

Sie macht aus einer positiven [negativen] Klein-Gordon-L¨osung der

La-dung +e [ −e] eine negative [positive] Klein-Gordon-L¨osung der Ladung

−e [+e].

• Eine positive Klein-Gordon-L¨osung φ(+)bzw ψ(+)repr¨asentiert ein

phy-sikalisches Spin-0-Teilchen der Ladung +e im Potential A µ, w¨ahrend dieLadungskonjugierte der negativen L¨osung φ(−)

C bzw ψ(−)

C (und nicht dienegative L¨osung selbst) das physikalische Antiteilchen mit entgegenge-setzter Ladung−e im selben Potential A µ beschreibt

• Die durch φ(+) bzw ψ(+) [φ(−) bzw ψ(−)] gebildeten Gr¨oßen Q, ρ und

j k¨onnen als elektrische Ladung, Ladungsdichte und

Ladungsstromdich-te des physikalischen Teilchens [AntiLadungsstromdich-teilchens] inLadungsstromdich-terpretiert werden dungsinterpretation)

(La-W¨ahrend also die Wellenfunktion eines Antiteilchens durch die gierte negative L¨osung beschrieben wird, erh¨alt man seine Ladungsgr¨oßen Q,

ladungskonju-ρ und j durch Verwendung der negativen L¨osungen selbst Im ¨ubern¨achsten

Abschnitt werden wir dieses Prinzip auf die Definition von bildunabh¨angigenSkalarprodukten und Erwartungswerten erweitern

Jetzt wird ¨ubrigens auch verst¨andlich, warum wir der negativen freienKlein-Gordon-L¨osung φ(2)p [ψ p(2)] den Indexp gegeben haben, obwohl sie den

Impulseigenwert−p besitzt Weil sie n¨amlich auf das zugeh¨orige physikalische

Antiteilchen (mit entgegengesetztem Impuls- und Energieeigenwert) bezogensein soll

Daß die in Satz 1.4 getroffenen Feststellungen in der Natur auch s¨achlich ihren Niederschlag finden, wird einerseits durch die experimentelleTatsache untermauert, daß bisher zu jedem bekannten Spin-0-Teilchen dasentsprechende Antiteilchen gefunden wurde Andererseits sprechen hierf¨ur dieexperimentell verifizierbaren Aussagen der Streutheorie, wie wir in Kapitel 3sehen werden

tat-Insgesamt sehen wir, daß die relativistische Verallgemeinerung der Schr¨dingerschen Theorie zur Klein-Gordon-Theorie zu einem neuen Freiheits-grad, n¨amlich der elektrischen Ladung, f¨uhrt, wogegen die nichtrelativisti-sche Theorie lediglich Zust¨ande mit festem Ladungsvorzeichen beschreibt.6

o-In diesem Zusammenhang ist auch die Feststellung wichtig, daß wir bei seren Betrachtungen von vornherein mit der Klein-Gordon-Gleichung f¨urZust¨ande mit der Ladung −e h¨atten beginnen k¨onnen, weil an keiner Stelle

un-das Ladungsvorzeichen eine ausschlaggebende Rolle gespielt hat Demzufolgew¨urden Teilchen die Ladung−e tragen und durch positive L¨osungen beschrie-

ben und Antiteilchen die Ladung +e tragen und durch ladungskonjugierte

negative L¨osungen beschrieben

6 Dies ist ¨ubrigens ein Charakteristikum aller relativistisch-quantenmechanischenErweiterungen

16 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

Interpretation der negativen L¨ osungen selbst Nachdem wir also den

ladungskonjugierten negativen Klein-Gordon-L¨osungen eine physikalisch volle Interpretation geben konnten, bleiben dennoch zwei gravierende Punkteoffen, n¨amlich in Bezug auf

sinn-• die physikalischen Implikationen, die mit der bloßen Existenz von negativen

L¨osungen verbunden sind, und

• die physikalische Interpretation der negativen L¨osungen selbst.

Die Existenz der L¨osungen mit negativer Energie f¨uhrt im Rahmen unsererbisherigen ¨Uberlegungen zu Schwierigkeiten und zu physikalischem Unsinn.Man denke hierbei z.B an ein pionisches Atom, bestehend aus einem po-sitiv geladenen Atomkern und einem umkreisenden negativ geladenen Pion(Spin-0-Teilchen) Das zugeh¨orige Energiespektrum l¨aßt sich z.B durch Ver-wendung des Coulomb-Potentials in der Klein-Gordon-Gleichung berechnen(siehe Unterabschn 1.5.4) und ist in Abb 1.1 qualitativ wiedergegeben

GebundeneZust¨ande

NegativesEnergiekontinuum

Abb 1.1. Qualitatives Energiespektrum eines pionischen Atoms Aufgrund derExistenz von negativen Energiezust¨anden k¨onnte das Pion durch laufende Strah-lungs¨uberg¨ange energetisch immer tiefer fallen

Die gebundenen Zust¨ande direkt unterhalb des positiven

Energiekontinu-ums mit E < m0c2 stimmen i.a sehr gut mit dem Experiment ¨uberein Esbesteht daher kein Zweifel, daß es sich hierbei um die Bindungszust¨ande des

1.1 Klein-Gordon-Gleichung 17

Pionatoms handelt Andererseits bedeutet die Existenz des negativen giekontinuums, daß z.B ein im Grundzustand befindliches Pion durch fort-gesetzte Strahlungs¨uberg¨ange immer tiefer rutschen k¨onnte Das Atom w¨aredemnach instabil, und es g¨abe aufgrund der laufenden Emission von Licht

Ener-eine Strahlungskatastrophe.7 Nun ist klar, daß nichts dergleichen beobachtetwird; unsere Welt k¨onnte gar nicht existieren, wenn es diesen Zerfall g¨abe.Wie wir weiter hinten sehen werden, besteht genau dasselbe Problem auch

in der Dirac-Theorie zur Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen Dort f¨uhrteDirac zur Verhinderung der Strahlungskatastrophe einen Kunstgriff ein, der

unter dem Namen L¨ ochertheorie bekannt ist Der hier interessante Aspekt

dieses Modells ist, daß das Vakuum als ein

”See“ betrachtet wird, der mit

Spin-1/2-Teilchen negativer Energie vollst¨andig besetzt ist und aufgrund desPaulischen Ausschließungsprinzips mit keinem weiteren Teilchen gef¨ullt wer-den kann Abgesehen davon, daß hierdurch nun die Strahlungskatastropheunterbunden ist, erhalten die negativen Zust¨ande eine unmittelbare physi-kalische Bedeutung, die physikalische Konsequenzen nach sich zieht wie z.B.die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren oder die

Res¨ umee Alles in allem ist festzustellen, daß wir mit Hilfe der

Ladungs-konjugation und der Ladungsinterpretation den positiven und jugierten negativen Klein-Gordon-L¨osungen sowie Q, ρ und j eine physika-

ladungskon-lisch sinnvolle Deutung als Teilchen, Antiteilchen, Ladung, Ladungsdichteund Ladungsstromdichte geben konnten Im Hinblick auf eine konsistenteEin-Teilcheninterpretation im gewohnten nichtrelativistisch-quantenmecha-nischen Sinne sind allerdings drei Punkte noch ungekl¨art:

[1] Die Ein-Teilcheninterpretation verlangt, daß sich die positiven und tiven L¨osungen vollst¨andig entkoppeln lassen, d.h., daß sich jeder gela-dene Klein-Gordon-Zustand durch eine ¨Uberlagerung von rein positivenoder rein negativen L¨osungen darstellen l¨aßt Im allgemeinen setzt sich

nega-7 Streng genommen ist das Pionatom aufgrund anderer Effekte nicht wirklich

sta-bil Jedoch spielen sich diese Effekte sehr viel langsamer ab, als die durch dieStrahlungs¨uberg¨ange in negative Energieniveaus prognostizierte Lebensdauer desAtoms

18 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

ein Klein-Gordon-Zustand jedoch aus dem vollst¨andigen System von sitiven und negativen L¨osungen zusammen Es ist also zu kl¨aren, unterwelchen Voraussetzungen bzw innerhalb welcher Grenzen eine vollst¨andi-

po-ge Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen m¨oglich ist Einederartige Aufspaltung f¨uhrt gleichzeitig zu einer positiv bzw negativ de-finiten Ladungsdichte, so daß eine quantenmechanisch-statistische Inter-pretation m¨oglich wird

[2] Die vollst¨andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungen deutet auch, daß nicht alle relativistischen Operatoren im Sinne desEin-Teilchenkonzeptes anwendbar sind, da sie i.a positive und negativeZust¨ande mischen Es erhebt sich deshalb die Frage, was sinnvolle Ein-

be-Teilchenoperatoren sind und wie sich diese konstruieren lassen.

[3] Um quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsaussagen ¨uber den Zustandvon Spin-0-Teilchen machen zu k¨onnen, ben¨otigen wir eine physika-lisch sinnvolle Definition von Skalarprodukten und Erwartungswerten,die ¨uberdies vom verwendeten Bild (Schr¨odinger-, Heisenberg-, Dirac-Bildetc.) unabh¨angig ist (siehe die Bemerkungen nach Satz 1.3)

Wie wir im weiteren Verlauf sehen werden, k¨onnen diese (und andere)

Punk-te in zufriedensPunk-tellender Weise gekl¨art werden, so daß sich schließlich eineinigermaßen widerspruchsfreies Ein-Teilchenbild der Klein-Gordon-Theorieinnerhalb definierter Grenzen ergibt

Zum Schluß dieses Abschnittes sei noch auf folgenden wichtigen Punkthingewiesen: Die Ladung, durch die sich ein Boson von seinem Antibosonunterscheidet, muß nicht unbedingt elektrischer Natur sein W¨ahrend sich

z.B das Pion π − und Antipion π+ in der Tat nur im elektrischen vorzeichen unterscheiden, treten in der Natur auch Bosonen wie etwa das

Ladungs-Kaon K0und Antikaon ¯K0auf, die beide elektrisch neutral sind aber

unter-schiedliche Vorzeichen der sog Strangeness-Ladung besitzen Ein Boson kann

auch ¨uberhaupt keine Ladung tragen F¨ur die zugeh¨orige Wellenfunktion mußdann offensichtlich gelten:

• Die Klein-Gordon-Theorie ist die relativistische Verallgemeinerung

der nichtrelativistischen Quantenmechanik zur Beschreibung von

Spin-0-Teilchen Ausgehend von der kanonischen bzw lorentzkovarianten



Aufgaben 19

Darstellung l¨aßt sich diese Theorie durch entsprechende Ersetzungen

in Hamiltonsche Form ¨uberf¨uhren

• Die Klein-Gordon-Theorie unterscheidet sich in zwei wesentlichen

Punk-ten von der nichtrelativistischen Theorie: Zum einen f¨uhrt die Gordon-Gleichung auf L¨osungen mit positiver und negativer Ener-

Klein-gie Zum anderen ist j0 aufgrund der Nichthermitezit¨at des Gordonschen Hamilton-Operators nicht positiv definit und kann deshalbnicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden

Klein-• Mit Hilfe der Ladungskonjugation und der

Ladungsinterpretati-on lassen sich diese beiden Ph¨anomene in physikalisch sinnvoller Weise

deuten: Teilchen der Ladung +e werden durch positive

Klein-Gordon-L¨osungen und Antiteilchen der Ladung −e durch die

Ladungskon-jugierten der negativen L¨osungen beschrieben j0 ist die elektrische

Ladungsdichte des betrachteten Teilchens und j die zugeh¨orige

La-dungsstromdichte.

• Im Rahmen des Ein-Teilchenkonzeptes lassen sich die mit den negativen

L¨osungen verbundenen Probleme (Interpretation,

Strahlungskatastro-phe) nicht l¨osen

• Im Hinblick auf eine m¨oglichst konsistente

Ein-Teilchen-Wahrscheinlich-keitsinterpretation der Klein-Gordon-Theorie bleibt zu kl¨aren, inwieferneine vollst¨andige Entkopplung von positiven und negativen L¨osungenm¨oglich ist und wie sich ein physikalisch sinnvolles sowie bildunabh¨angi-ges Skalarprodukt definieren l¨aßt

Aufgaben

1 L¨ osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung Zeigen Sie, daß die

L¨osungen der freien Klein-Gordon-Gleichung (1.16) mit scharfem Impulsdurch (1.18) gegeben sind

L¨ osung Zur L¨osung von (1.16) machen wir den Ansatz

20 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

f¨uhrt Notwendige Voraussetzung f¨ur die Existenz nichttrivialer L¨osungen istdas Verschwinden der Koeffizientendeterminante,

f¨ur freie Teilchen ergibt Die zu E(+) und E(−) geh¨orenden (unnormierten)

L¨osungen berechnen sich schließlich aus (1.26) zu

L¨ osung In der Hamiltonschen Formulierung lautet die Bewegungsgleichung

f¨ur das freie Klein-Gordon-Feld

i¯h ∂ψ

∂t = H

ψ ist ein zweikomponentiges komplexes Feld und l¨aßt sich durch die beiden

reellen Felder ψ 1,2 in der Weise

22 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

po-nertes Skalarprodukt f¨ur Spin-0-Teilchen und -Antiteilchen entwickeln den

wer-Man beachte: H¨atten wir die Lagrange-Dichte L mit ψ † anstatt mit ¯ψ

formuliert, so w¨aren wir bei der Variation vonL nach ψ †

α auf dieselbe

Bewe-gungsgleichung (1.29) gestoßen Wir fordern jedoch, daß die Wirkung I reell

sein soll, was im Falle von ¯ψ auf die Bedingung

I =



d3xdt

i¯h ¯ ψ ∂ψ

1.2 Symmetrietransformationen 23

1.2 Symmetrietransformationen

In diesem Abschnitt stellen wir unsere Bem¨uhungen um eine physikalisch sistente Ein-Teilcheninterpretation der Klein-Gordon-Theorie zun¨achst einwenig zur¨uck und besch¨aftigen uns stattdessen mit weiteren formalen Eigen-schaften der Klein-Gordon-Gleichung, n¨amlich ihren Symmetrieeigenschaf-ten Zu diesem Zweck pr¨azisieren wir zuerst die Begriffe

kon-”Transformation“und

”Symmetrietransformation“ Im Anschluß behandeln wir die lichen und diskreten Symmetrien der Klein-Gordon-Gleichung Hierbei wer-

kontinuier-den uns Letztere in Kombination mit der Ladungskonjugation C aus

Unterab-schn 1.1.3 zu einem tieferen Verst¨andnis der negativen L¨osungen f¨uhren, undzwar gerade auch im Hinblick auf die angestrebte Ein-Teilcheninterpretation

1.2.1 Aktive und passive Transformationen

Prinzipiell hat man zwischen zwei Klassen von Transformationen zu

unter-scheiden Die eine Klasse besteht aus den aktiven Transformationen, die sich

dadurch auszeichnen, daß bei ihnen der physikalische Zustand transformiertwird, wobei der urspr¨ungliche und transformierte Zustand von ein und dem-selben Bezugssystem betrachtet werden Ein Beispiel hierf¨ur sind die Eich-transformationen des elektromagnetischen Feldes [siehe (1.6) und (1.7)], diewir bereits als Symmetrietransformation der Klein-Gordon-Theorie identifi-ziert haben, weil sie die Form der Klein-Gordon-Gleichung nicht ¨andern

Die zweite Klasse sind die passiven Transformationen Hierbei wird nicht

der physikalische Zustand selbst, sondern das Bezugssystem (bzw das system) transformiert, so daß sich lediglich die Perspektive ¨andert, von deraus derselbe Zustand betrachtet wird Weil mit derartigen Transformationenimmer auch ein Wechsel der Raumzeitkoordinaten verbunden ist, nennt man

Basis-sie auch Koordinatentransformationen Da wir in diesem Buch relativistische

Theorien betrachten, sind die uns interessierenden tionen nat¨urlich gerade die Lorentz-Transformationen

Koordinatentransforma-Nun ist klar, daß man jeder passiven Transformation eine aktive formation zuordnen kann, die zu denselben Konsequenzen in Bezug auf dieErscheinungsform bzw Beschreibung des physikalischen Zustandes f¨uhrt Mitanderen Worten: Das Erscheinungsbild eines physikalischen Zustandes ist un-abh¨angig davon, ob das Bezugssystem des Betrachters oder stattdessen derphysikalische Zustand im

Trans-”gegenl¨aufigen Sinne“ transformiert wird

Um den allgemeinen Zusammenhang zwischen einer passiven und der geh¨origen aktiven Transformation zu verdeutlichen, betrachten wir einen Be-obachter, der mit seinem Referenzsystem fest verbunden ist und auf einenRaumpunkt schaut, dessen Lage er mit dem Koordinatenvektorx beschreibt.

zu-Das Erscheinungsbild irgend eines physikalischen Zustandes (z.B

Spin-0-Teilchen oder elektromagnetisches Feld), den er dort sieht, nennt er z( x)

Stel-len wir uns nun zun¨achst vor, daß eine Transformation des Referenzsystems

24 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

(z.B Verschiebung oder Drehung) durchgef¨uhrt und dem Beobachter das geh¨orige Transformationsgesetz mitgeteilt wird.8 Der Beobachter berechnetdaraus den Koordinatenvektorx  seines urspr¨unglichen Beobachtungspunk-

zu-tes im transformierten System, schaut aus der neuen Perspektive auf den spr¨unglichen Zustand und bezeichnet dessen Erscheinung mit z (x ) Dieser

ur-aktiveTransformation

Trans-Sobald er wieder aufblickt, sieht er eine von z( x) verschiedene Erscheinung,

die er mit z (x) bezeichnet, weil er der Meinung ist, immer noch in

diesel-be Richtung und auf denseldiesel-ben Punkt zu schauen Nun hat aus Sicht desBeobachters offensichtlich die aktive Transformation

z( x) −→ z (x)

8 Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit wird f¨ur dieses Beispiel vereinfachend genommen, daß der betrachtete Zustand zeitunabh¨angig und die Transformationrein r¨aumlich ist

Wir sehen also, daß die Zuordnung passive Transformation−→ aktive

Trans-formation im Prinzip immer m¨oglich ist Die Umkehrung gilt dagegen i.a.nicht Das heißt es gibt aktive Transformationen, die sich nicht (oder nurzum Teil) mit passiven Transformationen in Zusammenhang bringen lassen.Dies wird z.B anhand der Ladungskonjugationstransformation (siehe Satz1.4) sofort deutlich

Vor diesem Hintergrund l¨aßt sich jetzt der Begriff

”

Symmetrietransforma-tion“ wie folgt genauer fassen: Eine Symmetrietransformation f¨ uhrt zu formal identischen Bewegungsgleichungen und damit zu physikalisch ¨ aquivalenten Si- tuationen, und zwar beim ¨ Ubergang vom urspr¨ unglichen zum transformierten Bezugssystem im passiven Fall oder beim ¨ Ubergang vom urspr¨ unglichen zum transformierten physikalischen Zustand im aktiven Fall.

Diese Zwischenbemerkungen in Erinnerung behaltend wenden wir uns nunden Symmetrieoperationen der Klein-Gordon-Theorie zu

1.2.2 Lorentz-Transformationen

Die grundlegende Motivation zum Aufstellen der Klein-Gordon-Gleichungwar, daß sie den Prinzipien der speziellen Relativit¨atstheorie gen¨ugen soll.Dies impliziert die Forminvarianz der Klein-Gordon-Gleichung (1.12) un-ter Lorentz-Transformationen (siehe Anhang A.1), und zwar streng genom-men nur unter den eigentlichen Transformationen Nun l¨aßt sich leichtzeigen, daß die Klein-Gordon-Gleichung sogar unter allgemeinen Lorentz-Transformationen der Art

x µ −→ x µ = Λ µ

forminvariant ist Denn einerseits folgt aufgrund des skalaren Charakters derKlein-Gordonschen Wellenfunktion, daß diese unter (1.32) h¨ochstens um einePhase ge¨andert wird, d.h also im passiven Fall

Klein-Gordon-ν

26 1 Relativistische Beschreibung von Spin-0-Teilchen

von kontinuierlichen Parametern ab, deren m¨ogliche Werte auch die

identi-sche Transformation beinhalten In diesem Fall muß deshalb die Phase λ = 1

sein.9

1.2.3 Diskrete Transformationen

Parit¨ atstransformation P Als Beispiel f¨ur uneigentliche (diskrete)

lo-rentzartige Symmetrietransformationen betrachten wir die orthochrone

Trans-formation der Raumspiegelung, die auch Parit¨ atstransformation genannt wird

und definiert ist durch

zeit-formation ist (Λ2= 1) Wir haben also im passiven Fall

gelung P ,

wobei P f¨ur Parit¨atstransformation steht Das heißt entweder verh¨alt sich

φ unter Raumspiegelung wie ein Skalar (+) oder wie ein Pseudoskalar ( −).

Die zugeh¨orige aktive Transformation ergibt sich unter Ber¨ucksichtigung desallgemeinen Schemas von (1.30) und (1.31) zu

gelung P

(1.33)

Die Invarianz der Klein-Gordon-Gleichung unter dieser Transformation deutet physikalisch, daß ein in einem planaren Spiegel betrachteter und

be-im Einklang mit der Klein-Gordon-Theorie stehender physikalischer Prozeß

9 Wellenfunktionen, die sich unter Raumdrehungen nicht ¨andern, beschreiben perdefinitionem Teilchen mit Spin 0 Wir haben hier somit ein gruppen- bzw.transformationstheoretisches Argument daf¨ur vorliegen, daß die Klein-Gordon-Gleichung Spin-0-Teilchen beschreibt In Unterabschn 2.2.2 werden wir eintransformationstheoretisches Argument daf¨ur liefern, daß die Dirac-Gleichung

Spin-1/2-Teilchen beschreibt.

1.2 Symmetrietransformationen 27

ebenfalls einen realisierbaren, durch die Klein-Gordon-Gleichung baren Prozeß darstellt.10 Wendet man die aktive Raumspiegelung auf diefreien Klein-Gordon-Zust¨ande φ (1,2) p (x, t) an, so ergibt sich

beschreib-φ (1,2) p (x, t) −→ λ P φ (1,2) p (−x, t) = λP φ (1,2) −p (x, t)

Auf Teilchenebene bedeutet dies im Einklang mit unserer Erwartung: DieRaumspiegelung dreht den Impuls eines Spin-0-Teilchens um

ZeitumkehrtransformationT Neben lorentzartigen existieren auch

nicht-lorentzartige diskrete Symmetrieoperationen wie z.B die

Zeitumkehrtransfor-mation Der physikalische Gehalt der Zeitumkehrinvarianz der

Klein-Gordon-Gleichung l¨aßt sich am einfachsten anhand eines Films erkl¨aren Nimmt maneinen mit der Klein-Gordon-Theorie im Einklang stehenden physikalischenProzeß mit einer Filmkamera auf, dann bedeutet Zeitumkehrinvarianz, daßder r¨uckw¨arts abgespielte Film ebenfalls eine Folge physikalisch realisierbarerEreignisse beschreibt

Bei der Zeitumkehrtransformation, die man besser

”transformation“ nennen sollte, werden neben der Zeitrichtung alle Bewe-gungsrichtungen und somit alle r¨aumlichen Komponenten des Viererimpulses

Bewegungsumkehr-umgedreht Seine nullte Komponente bleibt dagegen wegen p0 = p0(p2) ver¨andert Dasselbe gilt f¨ur das Viererpotential, daA durch bewegte Str¨ome

un-und A0 durch Ladungen erzeugt werden Vom passiven Standpunkt aus trachtet bedeutet die Zeitumkehr11 (angedeutet durch das Symbol T ) also

be-x −→ be-x =x , t −→ t =−t

A0(x, t) −→ A0

T(x  , t  ) = A0(x, t) A(x, t) −→ A T(x  , t ) =−A(x, t)

kehr T

(1.34)

und

i¯h∂0−→ i¯h∂ 0 =−i¯h∂0 , i¯ h∂ i −→ i¯h∂ i= i¯h∂ i

Um zu sehen, wie sich die Wellenfunktion φ unter der Zeitumkehr

transfor-miert, starten wir von der Klein-Gordon-Gleichung im transformierten strichenen) System,

(ge-10Diese Analogie ist noch nicht vollst¨andig, da ein Spiegel lediglich die zu seinerEbene senkrecht stehende Komponente umdreht Erst nach einer zus¨atzlichen

Drehung um π um diese Senkrechte gelangt man zur Parit¨atstransformation.Die Drehung ist aber eine eigentliche Lorentz-Transformation und wurde soebendiskutiert

11Wir betonen noch einmal, daß es sich bei der Zeitumkehr um eine

nichtlorentz-artige Transformation handelt Deshalb ist es streng genommen auch nicht rechtfertigt, in diesem Zusammenhang von einer

ge-”passiven Transformation“ zusprechen Die Zeitumkehr ist nicht zu verwechseln mit der nichtorthochronen

Lorentz-Transformation der Zeitspiegelung, auf die wir in Aufgabe 3 noch zu

sprechen kommen werden