Giáo trình xác suất thống kê phần 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MÔN TOÁN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất cả các ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 M� l� PhÇn 1 Lý[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM

-

BỘ MÔN TOÁN LÝ

GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Dành cho sinh viên tất cả các ngành học

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Thái Nguyên, năm 2017

1.1 Giải tổhợp 6

1.1.1 Quy 6

1.1.2 Quy nhân 7

1.1.3 Hoánvị 7

1.1.4 Chỉnh hợp 8

1.1.5 Chỉnh hợplặp 8

1.1.6 Tổ hợp 9

1.1.7 Phươngphápgiải mộtbàitoángiải tổhợp 9

1.2 Phpthửvà biến 10

1.2.1 Phpthử 10

1.2.2 Biến (sựkiện) 1

1.2.3 Quanhệgiữa biến 1

1.2.4 Phân mộtbiến theohệđầyđủ 13

1.3 định nghĩavề suất 14

1.3.1 Địnhnghĩa điểnvề suất 14

1.3.2 Địnhnghĩathốngkêvề suất 17

1.3.3 Nguyênlý suất lớnvà suất nhỏ 18

1.4 định lý bản 19

1.4.1 Địnhlý suất 19

1.4.2 Địnhlýnhân suất 20

1.4.3 Địnhlý suấttoànphần- ĐịnhlýBayes 23

1.4.4 ĐịnhlýBernoulli 26

Bài tập 1 28 2 BiếnngẫunhiênvàQuyluật phânphối suất 33 2.1 Biếnngẫunhiên 33

2.2 Quyluậtphânphối suất biếnngẫu nhiên 34

2.2.1 Bảngphânphối suất biếnngẫunhiênrời 35

2.2.2 Hàmphânphối xuất 37

2.2.3 Hàmmậtđộ suất 40

2.3 tham số trưng biếnngẫunhiên 43

2.3.1 Kỳvọngtoán 44

2.3.2 Phươngsai 48

2.3.3 Độ 50

2.4 Mộtsốquyluật phânphối suấtthôngdng 51

2.4.1 Quyluậtkhông-một 52

2.4.2 Quyluậtnhị 52

2.4.3 QuyluậtPoisson 53

2.4.4 Quyluật N(a, σ 2 ) 54

2.4.5 Quyluậtkhibìnhphương-χ 2 60

2.4.6 QuyluậtStudent-T(n) 61

2.4.7 địnhlí giớihạn 62

Bàitập 2 66 Phần2.Thốngkêtoán 70 3 Cơsởlýthuyếtmẫu 71 3.1 Tổngthểvà mẫu 71

3.1.1 Tổngthểvà tổngthể 71

3.1.2 Mẫuvàphươngpháp mẫu 71

3.1.3 Mẫungẫunhiên 73

3.2 phươngpháp môtảmẫungẫunhiên 74

3.2.1 Sắpxếpsốliệu nghiệm 74

3.2.2 Hàmphânphối nghiệm mẫu 75

3.2.3 Biểudiễnsốliệubằngbiểuđồ 76

3.3 trưng mẫungẫunhiên 79

3.3.1 Hàmthốngkê 79

3.3.2 Trungbìnhmẫu 79

3.3.3 Phươngsai mẫu 80

3.3.4 Phươngsai điều mẫu 80

3.3.5 Độ tiêu mẫu vàđộ tiêu điều mẫu 80

3.3.6 Saisốtiêu 81

3.3.7 tính trưngmẫu 81

3.3.8 Tầnsuất mẫu 84

Bàitập 3 84 4 lượngthamsố 87 4.1 Phươngpháp lượngđiểm 87

4.1.1 Phươngpháp hàm lượng(phươngpháp mômen) 87

4.2 Phươngpháp lượngbằngkhoảngtin 90

4.2.1 Kháiniệm 90

4.2.2 lượngkỳvọng biếnngẫunhiên phânphối 91

4.2.3 lượng kì vọng toán biến ngẫu nhiên không theo quy luật phân phối 97

4.2.4 lượngkhoảng tỉlệ 97

Bàitập 4 100 5 Kiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 106 5.1 Kháiniệm 106

5.1.1 Giảthuyếtthốngkê 106

5.1.2 Tiêu kiểmđịnh giảthuyếtthốngkê 107

5.1.3 Miền bỏgiảthuyếtthống kê 107

5.1.4 Giátrịquansát tiêu kiểmđịnh 107

5.1.6 sai lầm phảikhikiểmđịnh 108

5.1.7 Thủ kiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 108

5.2 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrịtrungbình 108

5.2.1 Đãbiếtphươngsai 109

5.2.2 Chưabiếtphươngsai 110 5.3 Kiểmđịnhsự bằngnhau hai kỳvọng hai biếnngẫunhiên phânphối 113 5.4 Kiểmđịnhgiảthuyết suất 116 5.4.1 Trường hợpmộttổng thể 116 5.4.2 Trường hợphai tổngthể 117 Bài tập 5 118 6 Tươngquanvàhồiquy 123 6.1 Đồthịphântán 123

6.2 Hệsốtươngquan 124

6.2.1 Phân ýnghĩahệsốtươngquan 124

6.2.2 Hệsốtươngquanmẫu 125

6.2.3 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrị ρ 127

6.3 Hồiquytuyếntínhđơngiản 128

6.3.1 Môhìnhhồiquy tuyếntínhđơngiản 128

6.3.2 Phươngtrình hồiquytuyếntínhđơngiản tổngthể 129

6.3.3 Phươngtrình đườnghồiquytuyếntínhmẫu 130

Lời nói đầu

suất thống kê" là một môn thiết đối với sinhviên khối trường Kinh Nông-Lâm-Sinh-Y bởi nội dung phong phúvà sự ứng dng rộng rãi nó trong nhiều lĩnh

ngànhNông-Lâm-Sinh-Y

Giáotrình gồmhai phần Phần I: "Lý thuyết suất" hai Chương 1 trangbịnhững kiến bản về giải tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan

quy luậtphânphối suất thôngdngvà định lývề luật sốlớn,định lýgiới hạn

trình bàytrong này Phần II: "Thốngkê toán" gồm 4 Chương 3 trình bày

4vàChương5quantâmđếnhaibàitoán bảnlà lượngthamsốvàkiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê bàitoánvềtươngquanvàhồiquytuyếntínhđơngiản đề đếnởChương

nhậtthêm thuật ngữbằngtiếngAnhđểbạn thểlàm quenvới thuậtngữ đó

trong

Trongnhững kiến rộnglớn về lýthuyết suấtvà thốngkê toán, để lựa

nhữngvấn đề thiếtviếttrongkhuônkhổmột giáotrìnhnhỏsao phùhợpvới nội

Phần 1 Lý thuyết suất

Sựkhông rấtphổbiếntrongthếgiớimàtađangsống:từ vấnđề thếgiới

tự nhiên như nắng, mưa, giông, bão, đến vấn đề về đời sống trị, xã hội

người.Ngay Sinh-Lão-Bệnh-Tử- mộtquyluậttấtyếumàai biết,là đường

mà mỗi đờingười đều phải trải quathì nhìn nằmngoài sự điều khiển

hơn rất nhiều Hãythử tưởng tượng xemthế giới này sẽ trở nênbuồn tẻ, ngắt đến

những hiệntượngmangtínhngẫunhiênnhằm php dựbáo hiệntượng ngẫunhiênđó

Biến ngẫu nhiên và suất

Chương này dành đểgiới thiệu kháiniệm nền móng suất: php thử, biến

nhân, địnhlýtoànphần,Bayesvà địnhlýBernoulli

"đếm":đếmsốkếtquả,đếmsốkhảnăngxảy ra,đếm giảiquyếtvấn đề, nói

là đếm sốlượng nhữngđối tượng nàođó màhầu hết loại đối tượng đề đến đềuthể môtả như là một dãy phần tử thỏamãn những điều kiệnnhất định Ta thể môphỏngmộtbàitoángiải tổhợpnhưsau

Bàitoán "Chon, k ∈ N vàtậphợpE = {x 1 , x 2 , , x n }gồm n phầntử nhau.Có baonhiêudãyx 1 x 2 x k phầntử lấytừtậpE vàthỏa mãn tính N 1 , N 2 , ?"

Cónhiều giảiquyếtbàitoántrêntùytheo lấyk phầntửvà phươngphápsắpxếp

Giảsửmột thể hiệntheomộttrongkphươngánA 1 , A 2 , , A k,trong

với hiệnphươngánA j nếu i 6= j,với mọii, j = 1, , k.Khiđó,

Ví d1.1.1 Một tổgồm 3sinh viênở TháiNguyên, 3sinhviên ở YênBái, 4sinh viênởTuyên Quangvà 4sinhviên ởHà Giang Cần 3sinhviên tỉnhđể đilaođộng Hỏibaonhiêu

Giải Phươngán1: 1 3sinhviênởTháiNguyên;Phươngán2: 1 3

sinh viên ởYên Bái;Phươngán 3: 4 3sinhviên ở Tuyên Quang;Phươngán 4:

giaonhau Tuy nhiên,trongnhiều trườnghợp,ta đếm sốphầntử hợphaitậphợphữuhạn giao ∅ Nếuký hiệun( •)là sốphầntử một tậphợpnàođó thìta quy

mởrộngsau:

Víd1.1.2 Mộthộinghịkhoa tếgồm100ngườibiếttiếngAnh,60ngườibiếttiếngPháp, 20ngườibiết hai thứtiếng và 50người lạikhông biết haithứ tiếngtrên Hỏi

Giải Gọitậphợpnhững ngườibiếttiếngAnhlàA,những ngườibiếttiếngPháp làB.KhiđótậphợpnhữngngườibiếttiếngAnh PháplàA ∪B.Theobàirata n(A) = 100; n(B) =

A i hiện bởi1trongn i vớimọii = 1, , k.Khiđó, n 1 n 2 n k

Ví d 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm 7ký tự, trong đó 2 ký tự đầu là mã số tỉnh, ký tự thứ ba

nhấtbao nhiêubiểnsốxe nhau?

Số hoánvị nphầntử,kýhiệuP n,là

Víd 1.1.5 (i) Có3ngườiA, B, C xếpvào3 ngồi.Ta P 3 = 3! = 1 ì 2 ì 3 = 6

xếpnhưsau:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Giải Rõ ràng mỗi số gồm3 số nhau tạora từ 1, 2, 3 là một hoánvị 3 phầntử.Vậyta P 3 = 3! = 1 ì 2 ì 3 = 6số,đó là:123, 132, 213, 231, 312, 321.

xếpthờikhóabiểu trongngày?

xếpthờikhóabiểutrongngàylà

nhiêu để 5ngườivào7quầynóitrên?

ngẫunhiêntại7 quầy là

A 5

7 = 7 5 = 16.807.

một sốtrườnghợp biệtsau

C n 0 = C n n = 1; C n 1 = C n n−1 = n.

(a + b) n = a n + C n 1 a n−1 b + + C n k a n−k b k + + C n n−1 ab n−1 + b n

Ví d1.1.11 (i)Chọnngẫunhiênra 2ngườitừmộtnhóm3ngườiA, B, C.Khiđó,

C 3 2 = 3!

suấtsaunày.Trongquátrìnhgiảimộtbàitoángiải tổhợp, đòihỏinhiềutư

dùng.Do đó,ta mộtsốnhậnxt sau

a) Về lấy phầntử:Tathườngdùng4 để lấyrak phầntửtừn phầntử

1.Lấytheonghĩa tổhợp

3.Lấyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà khônghoànlại.

4.Lấyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà hoànlại

phầntử lấylầnlượttừngphầntửmột,lấyk lần

- 3phânbiệtvới hai đầuở lấyk lầnhaylấy1lần

Cóhailoại phpthử: Phpthửkhông ngẫu nhiênlàphp thửmà khi tiếnhànhta đã

atmotphe) thì sẽ sôi ở 100 0

là php thử không ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong giáo trìnhnày, ta để đến php thử ngẫu nhiên, là loại php thử mà ta không thể biết

"phpthử" ngắngọnthay thuậtngữ"phpthửngẫunhiên"

Víd1.2.1 thínghiệmsauđâylà php thử:(i)Tung mộtđồngtiềnvàquansát xemxuấthiệnmặt sấphay mặtngửa

100

1.2.2 Biến (sự kiện)

Định nghĩa1.2.2 (i)Khi mộtphp thử hiện, mộtkết quảmàta quansát gọi

là biến sơ (simpleevent)

(ii)Tậphợpgồmmộtsốbiến sơ gọi làbiến ngẫunhiên(randomevent)và

khôngđúng.NếutagọiV làtậphợpgồm biến ngẫunhiênthìtrong mộtphpthử,

số phầntử V sẽlớnhơn sốphầntử khônggianmẫuS rấtnhiều

Ví d 1.2.4 (i) Gieo một đồngtiền đối và đồng Kýhiệu H là biến "Đồng tiềnxuất hiện mặtsấp" và T làbiến "Đồng tiền xuất hiệnmặt ngửa" Khi đóH, T làhai biếnsơ phpthửtrênvà khônggianmẫulà S = {H, T }

lẻ", là biến ngẫunhiên php thửđã vàkhônggian mẫulà

S = {E 1 , E 2 , , E 6 }.

(iii) Tiến hành xt nghiệm và ghilại nhóm máu một số người Ký hiệu A là biến

"NgườimangnhómmáuA"; Blàbiến "NgườimangnhómmáuB"; AB làbiến "Ngườimang nhómmáu AB"; O là biến "Ngườimang nhómmáu O" Khiđó biến sơ

Cho A và B là hai biến bất kỳ Taxt một số mốiquan hệ giữa và mô tả

Định nghĩa 1.2.5 (i) Biến A gọi là ko theo (imply)biến B nếu A xảy ra thì B

xảyra, ký hiệulà A ⇒ B A ⊂ B) Nếu Ako theoB và B kotheoA thìA và

B gọilàhaibiến bằng nhau(equalevents), kýhiệulàA = B

(ii)Hợp (union) haibiến Avà B,kýhiệu bởi A ∪ B,làbiến xảyra khi vàkhiítnhất mộttronghaibiến A B xảyra `

khi AxảyranhưngB khôngxảyra

A xảyrathìbiến B khôngxảyra và lại,nghĩalàA ∩ B = ∅.

Chú ý1.2.6 (i) Ta thể mởrộngmối quanhệ giữa biến một sốhữu hạnbấtkỳbiến

(ii)Từ Định nghĩa 1.2.2,ta thấyngay haibiến đốilập thìxung nhưng lạithì nhìn khôngđúng Víd biến E i (i = 1, , 6)trong phpthử gieomột

làxung với nhau từngđôi,nhưng biến E i khôngđối lậpvới biến E j,vớimọii 6= j

(iii)Tathườngviết biến AB thay biến giaoA ∩ B.NếuAvà B làhai biến

(iv)NếuAvà B làhaibiến xung thì biến AvàB;AB vàAB; AB vàAB

(v)Php hợpvà giao biến tính giaohoán, kếthợpvàphânphối.Nghĩalà

trọngsau

Định nghĩa1.2.7 biến A 1 , , A n gọilà mộthệ đầyđủ biến (system ofmutually and exhaustiveevents)nếuthoảmãnhaiđiềukiện:

(i)Chúngxung vớinhautừngđôi một,nghĩalà A i ∩ A j = ∅,vớimọii 6= j

A 1 + A 2 + + A n = Ω.

Nếukhảnăngxảyra biến đólànhưnhauthìtagọilàhệđầyđủđồngkhảnăng(system

of equallylikelyandexhausiveevents)

thể sosánh kháiniệmtrên, taxt vídsau

xuất hiệnmặt số lẻ".Hãymôtả biến A, B, A + B, AB, A thôngqua biến

Giải Rõràngkhônggian mẫu phpthửtrên làS = {E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 }và

A = E 2 + E 4 + E 6 ; B = E 1 + E 3 + E 5 ; A = B; AB = ∅; A + B = S.

với nhau từng đôi và A, B là hai biến đối lập nên php thử trên hai hệ đầy đủ là

{E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 } và{A, B}

Qua ví d trên, ta thấy rằngđối với mỗi một php thử, thể viết nhiều hệ

Địnhnghĩa1.2.9 GiảsửE 1 , E 2 , , E nlàmộthệđầyđủ biến Alàmộtbiến

rỗngnàođó.Khiđó

A = AΩ = A(E 1 + E 2 + + E n ) = AE 1 + AE 2 + + AE n

và tanóirằngA phân giántiếp thành biến E 1 , E 2 , , E n

A,ngườitadùngmột sốđể trưng khảnăngxảyra biến đólànhiềuhayít,gọilà suất (probability) biến A,ký hiệuP (A).Trong này,tasẽ đưa ra

định,nhưngquađóta thểhìnhdungrasựpháttriển môn suấtvà vaitrò nóđối

Địnhnghĩa suất điển dựatrênhaigiảthiết"mấu sau:

1.Số biến sơ trongphpthửngẫu nhiênlàhữuhạn(finite)

2.Tất biến sơ phảiđồngkhảnăng(equallikelihood), nghĩalàkhảnăngxảy

lợi biến A,nghĩalà nếumột trongm biến đó xảyra thìkotheo Axảy ra Khi đó

ta địnhnghĩasau

Định nghĩa 1.3.1 suất (probability) xuất hiện biến A trong một php thử, ký hiệu

năng thể xảyrakhi hiệnphp thửđó.Nghĩalà

n .

Dựavào địnhnghĩa biến ngẫu nhiên, biến và biến rỗng, tính

Tính 1.3.2 (i)0 6 P (A) 6 1.

(ii)P (Ω) = 1.

(iii)P ( ∅) = 0.

Chú ý1.3.3 (i)Nếutaxembiến A nhưlàtập khônggian mẫuS vàký hiệun( •)

là sốphầntử mộttậphợpthì trongđịnhnghĩatrên thểviếtlạinhư sau:

n(A) n(S) .

(ii) tính suấtdựavào địnhnghĩatrênnêntheotrìnhtự sau:

-Xtphpthử đangquansát phảilàphp thửđồngkhảnăngkhông

Theo ýtrên,đểtính suấtbằngđịnhnghĩa điển,taápdngmộtsốphươngpháptư duysauđểđếm sốphầntửtrongkhông gianmẫuvàsốphầntử tậphợpA

đồng khảnăngtrongphpthửlàkhá nhỏvà suyđoánkhá đơngiản

Giải.GọiAlàbiến "Bắt gàmái".Phpthửbắtngẫunhiênmột gàtrong

mái là

10 = 0, 4.

php thử sốbiến sơ rấtlớnvàkhôngthểsuyđoán tiếphay biểuthịbằngsơ

nhưđã trìnhbàyở 1.1

Ví d1.3.5 Bỏngẫunhiên5láthưvào 5phongbìđã ghisẵnđịa Tính suất:

(i)Cả 5lá thưđềuđếnđúngđịa

(ii)Chỉ láthứnhấtđếnđúngđịa

Giải.Bỏngẫunhiên5láthưvào5phongbìđãđề địa Khiđó,sốphầntửtrongkhônggianmẫulà n(S) = 5! = 120.

(i)GọiAlàbiến "Cả5láthư đềuđếnđúngđịa Do đón(A) = 1

120 = 0, 008.

(ii) Gọi B là biến "Chỉ lá thứ nhất đến đúng địa Khi đó 1 bỏ lá thứ

đón(B) = 1 ì 4!

120 = 0, 2.

(iii)Gọi C là biến "Chỉ lá thứ nhấtvà lá thứ hai đến đúngđịa Khiđó,

nhiênvào 3phongbì lại.Do đón(C) = 1 ì 1 ì 3!

1

20 = 0, 05.

Ví d1.3.6 Một hộpkín 100 hạtđậu giống,trongđó 40hạt đậuhoa vàng thuần

30hạt đậu hoavàng không thuần và 30hạt đậu hoa trắng Chọn ngẫu nhiên 3

hạtđậu Hãytính suấtđể

(ii)Chọn 3hạtđậu hoavàng

(iii)Chọn đúngmộthạt đậuhoatrắng

phần tửtừ 100 phần tử khôngquan tâm đếnthứ tự nên số biến sơ đồng khả năngtrongkhônggianmẫu làn(S) = C 3

C 3 100

C 3 100

C 3 100

= 0, 448.

Ngoàira, để thể hình dung một quan hơn về php thử và biến

ta thườngsử dngmột số loạisơđồ như: sơđồ Venn giớithiệu năm1880 bởinhà toán

đồ hình ,sơđồ dạngbảng, haymôtảtậphợp

định

(ii)Tuy nhiên, nhưtrên đãđề địnhnghĩa nàyđòi hỏikhảnăng xảyra biến sơ

là như nhau và số biến sơ phải hữu hạn Đây là một giả thiết khá mạnh bởi

nhiên1trong10viên bi,nếuquantâmđếnthứtự viênbithìđólà biến sơ đồng

khả năng,

nàygiới thiệumột địnhnghĩa về suất hết, giả sử tatiến hànhn

php thửvới mộthệđiềukiện, trongđóbiến A xuấthiệnmlần

n

gọilàtầnsuất(relative xuấthiệnbiến Atrongn phpthửđã

Tathấyrằngkhinthayđổithìm thayđổi.Ngay khitiếnhànhn phpthử vớimộthệđiều kiệnthìtần sốvà tầnsuất n lầnthử này thể tần sốvà tầnsuất n lần thử Tuy nhiên tần suất tính ổnđịnh,nghĩa là khisố php thử n tănglên đủlớn thìtần suấtsẽ biếnđổirất nhỏxung quanhmộtgiá trị định Đểminh họanhậnxt trên,ta lạimộtvídkinh điển hiệnbởiBuffonvà Pearsonđểnghiênkhảnăngxuấthiệnmặtsấpkhitungmột đồngxunhưsau

Địnhnghĩa 1.3.9 suấtxuất hiệnbiến Alàgiới hạn tầnsuấtxuất hiệnbiến đókhiphp thửtănglênvô hạn.

Víd1.3.10.Để địnhtỷlệnảymầm mộtgiốnglúa,ngườitagieothử5000hạtvàquansát thấy 120 hạtkhông nảymầm Vậy suất tìmxấpxỉ bằng

haytỷ lệnảymầmlà97, 6%

Nhậnxt 1.3.11 (i) Địnhnghĩathốngkêvề suất tamộtgiá trịgầnđúngdựatrên

sởquansát tếđểđưa rakếtluận suất xảyra mộtbiến Địnhnghĩa nàykhông

đòihỏi nhữngđiềukiệnnhưđịnhnghĩa điểnvà độ khá lớn,phùhợpvới

tế như tínhtoánlýthuyết

(ii)Tuy nhiên,địnhnghĩanày ápdng nhữngphpthử thểlặplạinhiềulầnmộtlậpvới những điềukiện giốnghệtnhau Hơn nữa, để định giátrị suất

nàynhiềukhi không hiện vì hạn vềthời gianvàkinhphí

Ngoài định nghĩa vừa nêu trên, người ta đưa ra những định nghĩa như định

suất quan, Tuynhiên,vớikhuônkhổ giáotrìnhnày, tôikhôngtrìnhbàynhữngđịnhnghĩa đóởđâymàdànhđểbạn tựthamkhảo

bằng 0 Trong trườnghợp đó,liệu ta thể rằng nhữngbiến này sẽ khôngxảy ra khihiệnphp thử? Tất nhiên takhông thểkết luậnnhư vậy,vì thậm một biến

Tuynhiên,quanhiềulầnquansát,ngườitathấyrằng biến suấtnhỏgầnnhư

sẽkhôngxảyrakhitiếnhànhmộtphpthử.Trên sởđóta thểđưara"Nguyênlý tế

thì tế thể rằng trong một php thử biến đó sẽ không xảy ra Chú ý rằng

tế thể rằngtàuđếngađúnggiờ,nhưngnếu suấtđểdùkhôngmởkhisử dng

0, 01

Tương tự như vậy,ta thể đưa ra "Nguyên lý xảy ra biến

suấtlớn" nhưsau:Nếu biến ngẫunhiên suấtgầnbằng 1thì tế thể rằng

là lớnsẽ quyđịnhtrongtừngbàitoán thể

Địnhlý 1.4.1 (i)NếuA vàB là haibiến bấtkỳthì

(ii) NếuA,B vàC làbabiến bất kỳthì

Hệ quả1.4.2 (i)NếuA vàB là haibiến xung thìP (A + B) = P (A) + P (B).

P (A 1 + + A n ) = P (A 1 ) + + P (A n ) = 1.

(iii)Tổng suất haibiến đốilập nhaubằng1, làP (A) + P (A) = 1.

xem tivilà0, 5, suấtđểhaivợ xemtivi là0, 4.Hãytính suấtđể

(i)Tivi ngườixem

(ii)Tivikhông aixem

Giải GọiAlàbiến "Chồngxemtivi", B làbiến "Vợxemtivi" Khiđó,

(i)Biến "Tivi ngườixem" làA ∪ B.VìA vàB khôngxung nhau nênápdng

Định lý

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 8 + 0, 5 − 0, 4 = 0, 9.

(ii)Biến "Tivikhông ngườixem" làA ∪ B.Đâylàbiến đốilậpvớibiến "Tivingười xem"nên

P (A ∪ B) = 1 − 0, 9 = 0, 1.

Víd1.4.4 Trongmộtphòngthínghiệm, mộthộpkínđựng25hạtgiốngđậutương,trong

đó 15 hạt giống đậu tương hạn Chọn ngẫu nhiên 3 hạt giống trong hộp để gieo thửnghiệm.Hãytính suấtđể

(ii)Chọn khôngquá 1hạtgiốngđậutương hạn

(iii)Chọn ítnhất 1hạtgiốngđậutương hạn

Giải.Sốbiến sơ đồngkhảnănglàsố ngẫunhiên3trongsố25hạtgiống,do

đó n(S) = C 3

25 GọiA i làbiến "Chọn i hạtgiốngđậu tương hạn",i = 0, , 3

(i)GọiAlàbiến "Chọn 3hạt giốngđậutương hạn".KhiđóA = A 3 và

3 15

C 3 25

C 3 25

1

15 C 2 10

C 3 25

= 0, 346.

(iii)GọiC làbiến "Chọn ítnhất1hạt giốngđậutương hạn".Khiđóbiến

đốilậpC là"Không hạtgiốngđậutương hạnnào"vàvì C = A 0 nên

0

15 C 3 10

C 3 25

= 0, 0522suyraP (C) = 1 − P (C) = 1 − 0, 0522 = 0, 9478.

hết, ta khái niệmsau

Định nghĩa 1.4.5 Giả sử A và B là hai biến bất kỳ trong một php thử sao

điềukiện probability) A theoB,kýhiệulàP (A |B)

2 ; P (B) =

2

3 .

Tuy nhiên, một hỏi đặtralà suấtđểxuất hiệnbiến A vớiđiềukiện biến B xảy

ralàbaonhiêu?Theođịnhnghĩa điển,dướigiảthiếtđồngkhảnăng biến sơta

n(AB) n n(B) n

sơ thuậnlợi B, (n(B) 6= 0 vìgiảthiết biến B đãxảy ra)

Chúý1.4.7 Vớihaibiến A, B bấtkỳthìnhìn P (A | B) 6= P (B | A).Thậtvậy,xt

lý thuyết suất giớithiệu nhưsau

Địnhnghĩa1.4.8 AvàB gọilàhaibiến lập(indenpendentevents)nếuP (A |B) =

làmthayđổi suấtxảyrabiến kia Trongtrườnghợp lạithìgọilàhaibiến ph(dependentevents)

phần tử từ n phầntử một lần lượt hoàn lại haykhông hoàn lại) nhưđã ở

1.1.8

Víd1.4.9 Trongmột kín 5gàmáivà3gàtrống.Bắtngẫunhiênlầnlượthailần,mỗilần một GọiAlàbiến "Bắt gàtrốngở lầnthứnhất";B là biến "Bắt

gà trốngởlầnthứhai"

-Trường hợp1:nếubắt theophương hoànlạithìP (A) = 3/8và vì sauđó gà

-Trường hợp2:nếubắttheophương khônghoànlạithì suấtđểbắt gàtrống

suất bắt gà trốngởlầnthứhainênA vàB nàylạitrởthànhhaibiếnph

Địnhlý1.4.10.(i)ChoAvàBlàhaibiến KhiđóP (AB) = P (A)P (B |A) = P (B)P (A|B).

(ii)ChoA 1 , A 2 , , A n là biến Khiđó

P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 )P (A 2 |A 1 ) P (A n |A 1 A n−1 ).

mộttổng haibiến xung trongĐịnhlý

Hệquả1.4.11 A vàB là haibiến lậpnếuvà nếuP (AB) = P (A)P (B).

với nhau

Víd1.4.13 Trongmột kín 10 thỏ tobằngnhau, trongđó 6thỏtrắngvà 4

thỏđen Bắtngẫunhiênliêntiếpkhônghoànlại2lần, mỗilần1 thỏ.Tìm suấtđể(i)Cả2 đềulàthỏ trắng

(iii)GọiC làbiến "Bắt ítnhấtmộtthỏtrắng".Ta sẽtính suất biến đối

Ví d1.4.14 Với giảthiếtnhưtrongVí d1.4.3,hãy tính suấtđể

(i)Nếu xemtivi thìvợkhông xemtivi

Giải GọiAlàbiến "Chồngxemtivi", B làbiến "Vợxemtivi" Khiđó,

P (AB) = P (A) − P (AB) = 0, 8 − 0, 4 = 0, 4.

hếttagiớithiệuĐịnh lý suấttoànphần(Lawof TotalProbabilityTheorem)

Định lý 1.4.15 Cho một hệđầy đủ biến E 1 , , E n và A làmột biến bấtkỳ Khi

gián tiếpthông quamộthệđầyđủ biến Do đóta thểviết

A = ΩA = (E 1 + E 2 + + E n )A = E 1 A + E 2 A + + E n A.

xung vớinhautừng đôi,ta

P (A) = P (E 1 A) + P (E 2 A) + + P (E n A)

= P (E 1 )P (A |E 1 ) + P (E 2 )P (A |E 2 ) + + P (E n )P (A |E n ).

Víd1.4.16 Mộttrại nuôi nhập giốngtừ3 sởsảnxuất giốngvớitỷlệtương

Tiếptheo,tagiớithiệumột liênquanmậtthiếtvớiĐịnhlý suấttoànphần,

đólàĐịnh lýBayes(Bayes Theorem)

Địnhlý1.4.17 Chomột hệđầyđủ biến E 1 , , E n vàA làmộtbiến nàođótrong

P (E k |A) = P n P (E k )P (A |E k )

i=1

P (E i )P (A |E i )

.

P (AE k ) = P (A)P (E k |A) = P (E k )P (A |E k ).

VìP (A) > 0 nênta

P (E k |A) = P (E k P (A) )P (A |E k )

Dùng Định lý suấttoàn phần, ta tính P (A) = P n

i=1

P (E i )P (A/E i )và thayvào

Giải Xtbiến đốilậpA:"Con bắt đạttiêu Khiđó

P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0, 0285 = 0, 9715; P (A|A 2 ) = 0, 96.

Do biến A đãxảyranênápdng ĐịnhlýBayesta

P (A 2 |A) = P (A 2 )P (A |A 2 )

0, 3 ì 0, 96

nghiệm (priorprobability).địnhlýBayes đưarabởimột sưngườiAnhtênlàR.T.Bayes (1702-1761) php tính suất P (E 1 |A), , P (E n |A)sau khiphp thử

probability) Cả haiđịnhlý trênđều rất nhiềuứng dngtrong giải bàitoán

lĩnh nôngnghiệp,sinh kinhtế, ytế, bảohiểm,giảitrí,

hàng muabảohiểm họthành3nhóm I,IIvà IIIlầnlượt lànhóm hàng

độ rủirothấp, vàtrungbình.BiếtrằngnhómI 30%,nhómII 20%,nhómIII

(ii)Giảsử tyđóđãphảitrảbảohiểm một hàngđãbịrủiro.Theoanh

1.4.4 Định lý Bernoulli

nhấtđịnh trongkếtquả một dãy php thửliên tiếp hiệnlặpđilặplại nhiềulần Chú ýrằng php thửnày phải lậpvới nhau, nghĩalà suấtđểxảy ramột biến

Định nghĩa1.4.20 Mộtdãy gồm n php thử lập, trongmỗi php thử hai biến

vàothứtựphpthử gọilàdãyphpthửBernoullihay đồBernoulli(Bernoulli

Ví d1.4.21 (i)Một xạthủ 10viên đạn, bắn lầnlượt từng viên mộtvào bia với suấttrúng mỗiviênlà0, 8.Đây làdãyphpthử Bernoullivới n = 10, p = 0, 8, q = 0, 2.(ii)Gieo 100 hạtgiống, suất nảymầm mỗi hạtlà 0, 9.Khi đóta dãy php thửBernoullivớin = 100, p = 0, 9, q = 0, 1

(iii)Mộtgiađìnhsinh5người (mỗilầnsinhmột suấtsinh traiởmỗilần

là0, 51.Đâylàdãy phpthửBernoullivớin = 5, p = 0, 51, q = 0, 49

php thửBernoullivới n = 50, p = 0, 25, q = 0, 75

(v) Có 10 người, mỗi người bắn một viên đạn vào bia Đây không phải là dãy php thử

Vớidãy php thử Bernoulli, ta quantâm tới hai bài toán là tìm suất để trong n phpthử,biến Axuất hiệnđúng k lầnvà xuấthiện từk 1 đếnk 2 lầnkhông phânbiệt thứtự Đểgiảiquyếthaibài toántrên,ta ĐịnhlýBernoullisau:

Địnhlý1.4.22 Chomộtdãyn phpthửBernoullivới suấtxuấthiệnbiến Atrong mộtphp thửlàP (A) = pvàP (A) = 1 − p = q.Khiđó

(i) suấtđểtrong nphpthử,biến Axuấthiệnđúngk lầnkhông phânbiệtthứ tựlà

Chứng minh (i)Gọi B là biến "Trongn php thử biến A xuất hiện đúngk lần khôngphânbiệtthứtự".Tathấybiến B thểxuấthiệntheonhiều nhau.Giảsửtaxtmộttrườnghợp B làbiến A xuấthiệnởkphp thửđầu (n − k)phpthửtiếptheoxuất hiệnA.Vì php thửlà lậpvớinhau nênta

đến k 2 lần khôngphânbiệtthứ tự".Khiđó với mỗigiátrị k,biến B k làbiến

B trong (i).Vì B k xung từngđôimộtnênta thểviếtH = P k 2

pháp mớiđểấptrứngđạttỷ lệnởlà92%.Họđemấpthử10quả Hãytính suất:

(i)Tất sốtrứngđềunở

(ii)Cóít nhất9quảnở

Giải.Nếuta mỗiquảtrứnggàđemấplàmộtphpthửthìđâylàmộtdãyphpthửBernoulli

Xtdãyphp thử Bernoullivới sốlầnthử làn và P (A) = p Vớin định,giátrị P n (k)

Định nghĩa1.4.24 Sốk = k 0 sao P n (k 0 ) > P n (k), với mọi k = 0, 1, , n gọi là

đểtìmsốk 0,taxthai trườnghợpsau

- Nếu (np − q) là một số nguyên thì P n (k) đạt đại tại hai giá trị k 0 = np − q và

lời.Hãytính suấtđể:

(i)Sinhviênđóbịâm điểm

(ii)Sinhviênđóđạttừ 30điểmtrởlên

Giải.GọiAlàbiến "Sinhviêntrảlờiđúngmột hỏi".Nếuta mỗilầntrảlờimột

năng: A là biến trảlời đúng hỏi,P (A) = p = 1/4 và A là biến trảlời sai hỏi,

toánthỏamãn điều kiện dãyphpthửBernoulli.Nếugọin 1 làsố trảlờiđúng,n 2

làsố trảlờisaithì

(i)Theo đềbài, ta hệsau

(

n 1 + n 2 = 10 5n 1 − 2n 2 < 0.

Giảihệ trên với ý rằng n 1 , n 2 làsốnguyên, ta n 1 < 3; n 2 > 7. Do đó, suấtđểsinhviên đóbịđiểmâmlà

Vìn 1 là sốnguyênnênn 1 > 8.Do đó suấtđểsinhviên đó trên30điểmlà

Vậy,nếusinhviên đótrảlờihúhọathì đúnghai −6điểm

1 Thang máy một tòanhà7tầngxuấtpháttừtầng1với 3 Tính suấtđể

Mỗi ngườiraởmộttầng nhau

(a)Cả hai bắtrađều là

ra6 quả Tính suấtđểtrong6quảlấyra

(a)3 quảtrắng,2 quảđỏvà1 quảđen

(b)4 quảđỏ

Không quảnàomàutrắng

4 Một hộpđựng12quảbóng bàntrongđó 5quảmàutrắng, 4 quảmàuvàng và 3quả

(a)Cả 3quả màu trắng

Có ítnhất2quả màutrắng

(d)Có đúngmộtquảmàu trắng

5 Xếp ngẫunhiên4 lên9toatàuhỏa Tính suấtđể:

(a)4 ngườilêntoađầu

(b)4 ngườilên mộttoa

4 ngườilên4toa nhau

khônghoànlại.Tính suấtđể:

7 *Mộtnhóm8 ngườingồitrênmộtghếdàigồm 8 Tính suấtđể:

(b)Haingười đóluônngồi nhauhaingười

ngẫunhiên

Tỷ lệ người bệnh timlà 0, 08, bệnh huyếtáp là0, 05 và hai loại bệnh

(a)Ngườiđókhông loạibệnh nào

(d)Ngườiđó bệnh huyếtápnếunhưkhông bệnhtim

10 Có20kiệnhàng,mỗikiệnhàng 10sảnphẩm.Trong sốđó 8kiệnloại1,mỗikiệnhàng mộtphếphẩm;7kiệnhàngloại2,mỗikiệnhàng 2phếphẩmvà5kiệnhàngloại3,mỗikiện hàng 3phếphẩm Lấyngẫunhiên mộtkiệnhàng rồitừđólấy ngẫunhiênmộtsảnphẩm

(a)Tính suấtđể sảnphẩmlấy ralàphếphẩm

hàngnàolànhiềuhơn

khá là60%.Gọimột sinhlên bảng

12 Một dự án trồng lâm nghiệp nhận giống trồng từ 3 sở sản xuất giống

90%

làđủtiêu 85% giốngdo sở2 làđủtiêu 80% giốngdo

(a)Tính suấtđể trồnglấyrađủtiêu

13 Trong mộtbệnhviện bỏng80% bệnhnhânbịbỏngdonóng,20%bệnhnhânbịbỏngdo

bỏngdohóa thì 60% bịbiến Từ tậpbệnhán rútngẫunhiênramộthồsơ

gây ra?

14 *Mộtnhânviêntiếpthịsảnphẩmkemdưỡngda mộthãngmỹphẩm 3 hàng

để đếntiếpthịvớikhảnănglựa nhưnhau suất đểnhânviênđóbán sảnphẩmở ba hàngthứ nhất,thứ hai, thứ3tươngứng là0, 4; 0, 5; 0, 6.Biếtrằng ởmộthàng người đó đến tiếpthị ba lần và một lần bán sản phẩm Tínhsuấtđể ngườiđóbán sảnphẩmở hàngthứba

15 Có 4nhómxạthủtậpbắn Nhómthứnhất 5người,nhómthứ2 7người,nhómthứ

nhóm theo thứ tựlà: 0, 8; 0, 7; 0, 6và 0, 5 Chọn ngẫu nhiênmột xạ thủ và xạ thủ nàybắn1viênđạnthấythấytrượt.Hãy địnhxemxạthủnày khảnăngởtrongnhómnàonhất

16 * Có3 xạthủloạiI và7 xạthủloại II suất bắntrúng mỗiloạixạthủ lầnlượt là 0,8; 0,7 Lấyngẫu nhiên ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên đạn vào bia.Tính suất để haixạthủđó đềubắntrúng

17 *Có10sinhviênđithitrongđó 3sinhviênđạtloạigiỏi,4khávà3trungbình.Trong

số20 hỏithiquyđịnhthìsinhviênloạigiỏitrảlời tất sinhviên khátrảlời

để sinhviênđó loạikhá

trongmỗilần sinhlà0,514.Tính suấtsao tronggiađìnhđó:

(a)Có 2 trai

19 Tỷlệ mộtloạibệnhAởmộtvùnglà10%.Trongđợtkhámbệnh vùngđóngười

tađãkhám 100người.Tìm suấtđểtrong100 người

(a)6ngườibịbệnh A;

(b)95ngườikhôngbịbệnh A;

ítnhất 1ngườibịbệnhA;

(d)TìmsốngườibịbệnhA khảnăngnhất?Tính suấttương ứng

một phươngánđúng Biếtrằng trảlời đúngmột hỏi 4điểm, trảlời sai

phươngántrảlời.Hãytính suất:

(b) sinhđó bịđiểmâm

Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân phối

suất

hết, ta quan tâm tới một trò mà thông qua đó, ta thể giới thiệu khái niệm

làsốtiềnthưởngtrongtrò trênthìX làmộtví dvềbiếnngẫunhiên.SởdĩgọiX làbiếnbởi giátrị X thayđổi trongtập giá trị{−3, 1, 2},X làngẫu nhiên vì mỗigiá trị

một hàmsốtừtậpkhônggianmẫuS vào tập số R,nghĩalàX : S −→ R,trong đó

X(E 1 ) = −3; X(E 2 ) = 1; X(E 3 ) = 1; X(E 4 ) = 1, X(E 5 ) = 2; X(E 6 ) = −3.

Định nghĩa2.1.1 Biến ngẫu nhiên (randomvariable)là biếnnhận giátrị là số phvào kếtquả php thửngẫunhiên

Ngườita thường dùng in X, Y, Z, X 1 , X 2 , để biến ngẫu nhiênvà

thường x, y, z, x 1 , x 2 , để giátrị thể nó Chú ý rằng

trongkết quả php thử,biến ngẫunhiên sẽnhận và nhận một trong giátrị thể

nó nênhệ{(X = x 1 ), (X = x 2 ), , (X = x n ) }lậpthànhmộthệđầyđủ biến

Víd2.1.2 (i)GọiX làsốviênđạnbắntrúngbiakhibắn3viên,khiđóX làbiếnngẫunhiên

thìX là biếnngẫunhiênrời với giátrị thể là1, 2, , 6.

(ii)Gọi X là thời gianlàm bài thi môn suất thống kê sinh viên Trường ĐạiNông Lâm: thời gian tối đa để làm bài là 60 phút và sinh viên không thể ra khỏi phòng thi

thua3ngàn đồng

biến ngẫunhiên X và Y trongtrò thứ nhấtvà thứ hai đều tập giátrị thể là

với giátrịđó nữa

Địnhnghĩa2.2.1 Quyluậtphânphối suất(probabilitydistribution) biếnngẫunhiên

kếtvới giátrị đó

Trong tế, người ta thường sử dng 3 phươngpháp để mô tả quy luật phânphốisuất biếnngẫunhiên,đólà:bảngphânphối suất,hàmphânphối suấtvà hàmmật