Giáo trình xác suất thống kê phần 1 nguyễn đình hiền

Nội dung dựa trên chương trình Xác suất thống kê khối B của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhưng viết lại theo khung chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

»ư Á N Đ À O T Ạ O G IẦ O V IÊ N T H C S

LO AN N o 1718 - VIE (SF)

NGU YẾN ĐÌNH HIẺN

G iá o t r ì n h XÁC SUẤT THỐNG KÊ

p(Aj).p(B/Ai)

P(B)

M Ở ĐẨU

Xác suất thống kê là một ngành khoa học được dạy trong các trường Đại học và Cao đẳng của gần như tất cả các ngành, kể cả tự nhiên và xã hội, tuy nhiên nội dung dạy có khác nhau Tuỳ yêu cầu của từng ngành mà chỉ định số tiết, trong các ngành kĩ thuật sinh học và nông nghiệp thường dạy từ 45 đến 75 tiết, nội dung cũng được lựa chọn khác nhau

Giáo trình Xác suất thống kê này được viết cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm

Kĩ thuật Nông nghiệp Nội dung dựa trên chương trình Xác suất thống kê khối B của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhưng viết lại theo khung chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với thời lượng và yêu cầu.Giáo trình cố gắng cung cấp cho học viên một số kiến thức cơ bản về Xác suất và thống kê để có cách nhìn biện chứng hơn về các hiện tượng tự nhiên và

xã hội, để hiểu kĩ hơn một số phần mang tính định lượng trong sinh học và có

cơ sở để học môn Phương pháp thí nghiệm nên chỉ trình bày một cách đơn giản các khái niệm xác suất và biến ngẫu nhiên, kèm theo nhiều thí dụ minh hoạ Phần thống kê chỉ trình bày kĩ mục đích của từng vấn đề, các bước tính, cách kết luận và các thí dụ minh hoạ

Để nắm được kiến thức trình bày trong sách không có cách nào tốt hơn là xem kĩ thí dụ và làm đầy đủ bài tập

Giáo trình viết cho người học, do đó khi dạy các giáo viên cần tham khảo thêm các sách viết kĩ hơn, sâu hơn về Xác suất thống kê toán học như các giáo trình dùng cho khối sinh của Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm hay Đại học Nông nghiệp

Phần bài tập có bài giải mẫu và đáp số Vì học viên đã quen với tin học nên giáo trình cung cấp thêm một số chương trình đơn giản viết bằng ngôn ngữ Pascal để học viên có thể tự mình tính toán các bài tập xác suất thống kê và chuẩn bị cho sau này học môn Phương pháp thí nghiệm

Trong giáo trình các phần đánh dấu * có thể bỏ qua, nếu có điều kiện thì đọc để mở rộng kiến thức

Sau đây là nội dung chính của giáo trình:

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp, nếu học

viên đã học rồi (phần này hiện đã dạy ở nhiều trường Trung học phổ thống) thì chỉ nhắc lại và củng cố qua bài tập

Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về Xác suất, đây là chương quan

trọng và rất khó dạy, do đó phải khéo léo kết hợp giữa cách trình bày sao cho không trừu tượng quá mà vẫn đảm bảo tính chặt chẽ, vì thực chất chương này chính là hệ tiên đề của môn Xác suất Yêu cầu cần đạt được là giới thiệu mô hình suy luận sau: Phép thử có các kết quả trực tiếp, gọi là các sự kiện sơ cấp,

sự kiện là tập hợp một số sự kiện sơ cấp, xác suất là số đánh giá khả năng xuất hiện của sự kiện Xác suất tuân theo một sô' quy tắc tính và yêu cầu phải nắm được hai quy tắc cộng và nhân tổng quát và đơn giản

Chương 3 giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên, phần này không nên sa

vào các định nghĩa trừu tượng mà phải thật cụ thể, do đó cần theo dõi các thí

dụ, qua đó tổng hợp nên khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối Phần sô' đặc trưng có thể dạy sơ qua, chú ý đến ý nghĩa của kì vọng và phương sai chứ không đi sâu chứng minh các tính chất

Chương 4 cần trình bày kĩ phân phối nhị thức và phân phối siêu bội Trong

phần biến liên tục chỉ tập trung trình bày phân phối chuẩn và cách tính gần đúng phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Với thời lượng 15 tiết, phần này không nên học hoặc dạy tràn lan mà chỉ tập trung vào một số điểm chính, tuy nhiên giáo trình vẫn viết đầy đủ để học viên tham khảo Phần bài tập đã chọn các bài phù hợp với trĩnh độ cao đẳng, không khó quá, nhưng cũng không thể coi là quá dễ

Phần thống kê bắt đầu bằng chương 5, giới thiệu khái niệm tổng thể, mẫu

quan sát và các tham số của mẫu quan sát, tiếp theo là công thức ước lượng trung bình |J của biến phân phối chuẩn và xác suất p của phân phối nhị thức Chương này không yêu cầu trình bày lí thuyết mà phải thật cụ thể, học xong phải biết cách tính trung bình cộng, phương sai mẫu, cách tra cứu bảng cp(u),

<t>(t), t và biết cách ước lượng |I, p

Chương 6 cũng chỉ trình bày rất ngắn gọn bài toán kiểm định giả thiết, giả

thiết và đối thiết, giới thiệu quy tắc kiểm định giá trị trung bình của một biến phân phối chuẩn và bài toán so sánh hai trung bình của hai tổng thể phân phối chuẩn Chương này để tiết kiệm thời gian có thể trình bày bằng bảng kẻ sẵn, nêu các trường hợp gặp phải khi kiểm định, công thức tính, cách kết luận (tương tự như ở phụ chương 2)

Chương 7 trình bày kiểm định một phân phối và bảng tương liên Cả hai

phần này liên quan đến biến định tính và đều dùng phân phối Khi bình phương

(%2) do đó khi trinh bày cũng có thể dùng bảng kẻ sẩn để làm nổi bật nội dung

và cách làm rất giống nhau của hai phần (xem phụ chương 2)

Chương 8 giới thiệu tương quan và hồi quy tuyến tính, nếu ít thời gian thì

chỉ trình bày ý nghĩa hệ số tương quan, cách tính, các kết luận Phần hồi quy tuyến tính chỉ trình bày ý nghĩa của mô hình tuyến tính để tính xấp xỉ biến ngẫu nhiên Y theo biến đã cho X, cách tính các hệ số, kết luận

Phần đáp số trình bày gần hết các đáp số của các bài tập của các chương,

kể cả bài tập thường và bài tập có ghi dấu *

Phụ chương 1 giới thiệu một sô' chương trình viết bằng ngôn ngữ Pascal

dưới dạng thật đơn giản để học sinh, nếu đã học tin học và có điều kiện sử dụng máy tính, có thể tự mình tính toán xác suất và thống kê trên máy tính cũng như tự tạo ra bảng tính để tra cứu

Phần phụ chương 2 có bảng ghi các thuật ngữ xác suất thống kê dùng

trong giáo trình và các công thức Phần công thức có thể dùng để tham khảo khi trình bày phần thống kê sao cho ngắn gọn, dễ hiểu

Cuối cùng là các bảng tính, các bảng này rất cần cho phần thống kê nên khi dạy phải chỉ cho học viên cách tra cứu cả xuôi lẫn ngược

Giáo trình đã nhận được sự góp ý chân tình, chính xác và tỉ mỉ của Phó giáo sư, Tiến sĩ Đào Hữu Hồ và Phó giáo sư, Tiến sĩ Tô cẩm Tú Tác giả xin chân thành cảm ơn

Viết giáo trình là việc khó và càng khó khi thời lượng tương ứng của môn học lại rất ít Chắc chắn cuốn sách này còn nhiểu thiếu sót, rất mong sự góp ý của bạn đọc Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 1 năm 2003

Tác giả

GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Chương này không nằm trong nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc

vé các kiến thức chung đã được dạy ở Phổ thông, tuy nhiên để hiểu được các phép tính xác suất, thống kê ở các chương sau thì cần phải học, hoặc nếu

đã học rồi thỉ ôn lại các khái niệm cơ bản như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lặp, nhị thức Niu-tơn.

Hai nhóm khác nhau nếu có ít nhất một thành viên khác nhau hoặc thành viên của nhóm giống nhau nhưng thứ tự chọn khác nhau, do đó phân công công việc trong nhóm khác nhau

Thí dụ 3

Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết Có 3 đội sẽ được huy chươne: một đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy

chương đồng Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu dự báo vế danh sách bộ ba được huy chương? Ta lại lập luận như ở thí dụ 2, vì thực lực như nhau nên có thể có 8 cách dự báo đội được huy chương vàng, sau đó còn 7 cách dự báo đội được huy chương bạc, cuối cùng có 6 cách dự báo đội được huy chương đồng, như vậy tất cả có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập 3 của 8 đội Hai dự báo khác nhau nếu trong danh sách 3 đội được huy chương có ít nhất tên một đội khác nhau hoặc vẫn cùng tên 3 đội nhưng thứ tự khác nhau do đó

có sự thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương

Tổng quát Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như

vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật Nếu vật nào cũng có khả năng được chọn như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứhai (n - k + 1) cách chọn vật thứ k Tất cả có n(n - 1) (n - k + 1) chỉnhhợp chập k của n vật Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau hoặc vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau

Định nghĩa Một nhóm k vật lấy lần lượt trong sô' n vật khác nhau gọi là

một chỉnh liợp chập k của n vật Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A * ,

được tính theo công thức:

Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác về thứ tự đưa 3 mũ cho 3 khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ (hoán vị) các mũ, sau mỗi lần đổi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết quả gọi là một hoán vị của 3 mũ Nếu nói theo cách trình bày ở thí dụ 1.1 thì mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp chập 3 của 3 mũ

Thí dụ 5

Có 4 người bạn A, B, c , D đi xem văn nghệ và chọn 4 ghế ngồi cạnh nhau

nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, c ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ Nếu đổi chỗ 2 người thì được một cách săp xếp mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị.

Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp thì có 4 người lần lượt chọn cả 4 và thứ tự chọn chính là số ghế, như vậy mỗi hoán vị chính là một chỉnh hợp chập 4 của 4 người, dùng công thức (1.1) có số hoán vị của 4 người là 4! = 4.3.2.1 = 24

Thí dụ 6

Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau sẽ ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp hàng theo một trật tự khác những lần tập trước Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ mới quay lại cách xếp hàng đầu tiên?

Coi mỗi cách sắp hàng là một cách sắp xếp 6 cụ vào 6 chỗ, tức là một hoán

vị của 6 cụ, cũng có thể coi đó là một chỉnh hợp chập 6 của 6 cụ, có thể tính được tất cả có 6! = 720 cách xếp hàng Như vậy phải 720 ngày sau, tức là gần 2 năm sau 6 cụ mới xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng đầu tiên

Tổng quát Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật

thứ nhất để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai,, (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k Mỗi cách sắp xếp được gọi là một hoán vị của n vật

Định nghĩa Một nhóm il vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp

được gọi là một hoán vị Mỗi hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n vật.

Sô'hoán vị được tính theo công thức:

3 (tổ hợp chập 2 của 3 mũ) X 2 (hoán vị của 2 mũ) = 6 (chỉnh hợp chập 2

của 3 mũ)

Thí dụ 8

Trong thí dụ 2 chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên, gọi đó là một tổ hợp chập 3 của 10 người Sau khi chọn xong mới sắp xếp 3 người vào 3 công việc: (nhóm trưởng, phụ trách chỉ tiêu kinh tế, phụ trách chỉ tiêu kĩ thuật), tất

cả có 3! = 6 cách sắp xếp Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 3 người và là một chỉnh hợp chập 3 của 10 người, ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 10 người X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 10 người

Thí du 9

Trong thí dụ 3 người ta đưa ra một dự báo chung về 3 đội đoạt huy chương, mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội Sau khi có dự báo chung như thế nếu ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào được huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì được một dự báo cụ thể, mỗi dự báo cụ thể là một chỉnh hợp chập 3 của 8 đội Ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 8 đội X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 8 đội

Tổng quát Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật, gọi một nhóm như

vậy là một tổ hợp chập k của n vật Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các vật trong nhóm Khi lấy k vật ta có thể lấy một lúc hoặc lấy lần lượt nhưng không chú ý đến thứ tự của các vật được lấy ra

Sau khi có một tổ hợp nếu đổi chỗ k vật thì được k! hoán vị khác nhau, mỗi hoán vị là một chỉnh họp chập k, như vậy mỗi tổ hợp chập k có thể "sinh" ra k! chỉnh hợp chập k

Định nghĩa Một nhóm k vật lấy ra từ n vật khác nhau gọi lờ một tổ hợp

Tổng quát Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy 1 vật, lấy

xong lại trả lại nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước, mỗi nhóm k vật được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật

So với chỉnh hợp ở mục 1.1 thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong chỉnh hợp lặp có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại

Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy, vật thứ hai có n cách lấy, , vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n X n X X

n = nk chỉnh hợp lặp

Cũng có thể hiểu như sau: có n loại vật (năm sô' 1, 2, , 5 hoặc năm chữ cái trên một vòng khoá, mười số 0, 1, , 9 tại một vị trí của chữ số trên máy điện thoại hoặc trên vé xổ số)

Lấy k vật (k có thể lớn hơn n) có phân biệt thứ tự (6 vòng, bảy chữ số, bốn chữ số), k vật có thể cùng loại hoặc khác loại, ta có một chỉnh hợp lặp chập k của n vật

Sô' chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức:

§5 NHỊ THỨC NIU-TƠN

Ở phổ thông đã học một số khai triển nhị thức:

Khai triển nhị thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Khai triển nhị thức (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Khai triển nhị thức (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Đối với nhị thức tổng quát (a + b)n ta có công thức sau:

/ » \n n 1 n 1 1 /■'i2 n 2 ■ 2 k n k I k 1-k^ /1

(a + b) = a + c * a b + c ^ a b + + CỊỊa b + ề + b (1.3)

Để chứng minh công thức này ta lập luận:

Coi (a + b)n là tích của n thừa số (a + b), kết quả khi khai triển là tổng của nhiều sô' hạng, mỗi số hạng là tích của n số, hoặc a hoặc b, lấy trong mỗi thừa

số (a + b), thí dụ an k bk được tạo thành bằng cách lấy số a trong (n - k) thừa

số (a + b), còn số b lấy trong k thừa số (a + b) còn lại

Có cách chọn k thừa số trong n thừa số, do đó có c „ số an k bk, kết

quả có số hạng an k bk trong công thức (1.5)

Trước khi trình bày tiếp về nhị thức, chúng ta xem xét lại công thức tính tổ hợp Theo định nghĩa giai thừa thì n! = 1 2 n với n > 1

Nếu bổ sung 0! =1 thì có thể mở rộng công thức tính tổ hợp với 0 < k < n:

£ k _ n ( n - l ) ( n - k + l ) _ n ( n - l ) ( n - k + l ) ( n - k ) 3 2 1

k ! ị n - k ) !

Có thể kiểm tra để thấy: c j j = c j = l ; C{J“ k = C „ ; c j +1 = c £ - 1 + c j

Từ đó xây dựng tam giác Pascan để tra cứu cỊ^

Tam giác Pascan

Tam giác Pascan còn được dùng để viết khai triển của nhị thức (a + b) thành tổng của các số hạng, sô' hạng thứ k bằng hệ sô' lấy ớ hàng thứ n cột ktrong tam giác Pascan nhân với an k bk

Thí dụ: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + óab^ + b6

1.5 Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ sáu chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5

1.6 Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với nhau một lượt đi, một lượt về Ban tổ chức phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

l ễ7 Có 3 cụ ông, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ

bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau?

1.8 Có 3 cặp vợ chồng đi xem văn nghệ và ngồi vào 6 ghế trên một hàng Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau?

1.9 Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển sách Sinh

a) Có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách lên giá sách?

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho sách cùng môn học ở cạnh nhau?

1.10 Có bao nhiêu số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?

1.11 Trong mặt phẳng có n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua 2 điểm trong số n điểm đã cho?

l ễ12 Cho đa giác lồi n đỉnh D], D2, , Dn Có tất cả bao nhiêu đường chéo?

l ế13 Có 12 điểm nằm trên một đường tròn

a) Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho?

b) Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các điểm đã cho?

1.14ề Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng

c) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó ít nhất có 2 bi trắng

d) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi trắng

1.15 Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ

a) Có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 3 người

b) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có một nữ

c) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có ít nhất một nữ

CÁC KHÁI NIỆM CO BẢN VỀ XÁC SUẤT■

§1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN

Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm những việc này, trong điều kiện cho phép, phải lặp lại nhiều lần Ta gọi chung các công việc này là phép thử Khi lặp lại phép thử ta thấy có phép thử luôn cho cùng một kết quả, thí dụ đun nước

ở điều kiện cao độ và áp suất binh thường thì đến 100°c nước sẽ sôi, trứng gà trong đàn gà không có trống khi ấp sẽ không nở, hạt giống nếu xử lí ở nhiệt độ quá cao hoặc nồng độ hoá chất quá cao sẽ không nẩy mầm, lai cây đậu hoa vàng có cặp gen trội AA với cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa thì cây ở thế hệ Fị có hoa vàng, , ta gọi đó là các kết quả tất yếu

Ngoài loại phép thử cho kết quả tất yếu ra còn có rất nhiều phép thử khi lập lại sẽ cho các kết quả khác nhau, số kết quả đó có thể hữu hạn, có thể vô hạn,

có thể lấy các giá trị rời rạc hay liên tục, thí dụ sinh con có thể trai hay gái, ấp trứng có thể nở hoặc không, trồng 10 cây thì số cây sống có thể là 0, 1, , 10, làm thí nghiệm có thể thành công hoặc thất bại, các phép thử có nhiều kết quả như trên được gọi là phép thử ngẫu nhiên

Để đơn giản chúng ta tập trung vào loại phép thử ngẫu nhiên và gọi vắn tắt là phép thử, mỗi phép thử được thực hiện trong những điéu kiện nhất định, gọi là điều kiện đầu, và chỉ xét loại phép thử có thể lặp lại nhiều lần (về lí thuyết có thể lặp lại vô số lần) với cùng điểu kiện đầu Kết quả của phép thử gọi là sự kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp (biến cố cơ bản) và kí hiệu là ej, e2, Nếu biết hết các sự kiện sơ cấp thì có tập hợp Q (ej, e2, .), gọi là tập hợp các

sự kiện sơ cấp

Một nhóm (tập hợp con của Q) các sự kiện sơ cấp gọi là một sự kiện (biến cố) Sự kiện được kí hiệu bằng các chữ A, B, c , và nếu tìm được nét chung của các sự kiện sơ cấp thuộc (hay họp thành) một sự kiện nào đó thì có thể đặt tên đầy đủ cho sự kiện đó

Thí dụ Gieo một con xúc xắc, sự kiện sơ cấp là ra mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sự kiện ra mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4, 6), sự kiện ra mặt lẻ B bao gồm ba sự kiện sơ cấp (1 ,3 , 5).

Nếu gieo hai con xúc xắc thì các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2), ( l ,3 ) , ế,(6 ,6 )

Sự kiện "Có mặt 6" bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6), , (6, 1),

Chúng ta tóm tắt sơ đồ theo dõi một phép thử:

Cho điều kiện đầu, tiên hành một phép thủ ta được một kết quả, gọi kết quả đó

lả một sự kiện sơ cấp Lặp lại (tiến hành lại phép thử trong cùng diều kiện đầu như phép thử trước) ta được sự kiện sơ cấp có thể giống sự kiện sơ cấp cũ hoặc khác Tập hợp tất cả các sự kiện sơ cấp được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Í1 Một tập hợp con của ũ được gọi là một sự kiện, như vậy mỗi sự kiện bao gồm một sô'sự kiện sơ cấp.

Có hai sự kiện đặc biệt: sụ kiện tứ yếu là tập hợp Q và sự kiện không thể (hay bất khả) là tập rỗng 0 , tức là tập hợp không bao gồm một sự kiện sơ cấp nào.

§2 XÁC SUẤT

Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra

Thí dụ gieo một con xúc xắc, sự kiện ra mặt chẵn và sự kiện ra mặt lẻ có mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện "ra số chia được cho 3" ít xuất hiện hơn, sự kiện ra mặt 6 lại còn ít xuất hiện hơn nữa Sự kiện "ra một sô' ít hơn 7" là sự kiện tất yếu, còn sự kiện "Ra một số lớn hơn 6" là sự kiện không thể

Như vậy trong một phép thử mỗi sự kiện có một mức độ (hay khả năng) xuất hiện mà chúng ta muốn đánh giá (hay đo) bằng một con số

Nếu đối với sự kiện A ta tìm được con số đánh giá mức độ xuất hiện thì sẽ gọi số đó là xác suất của sự kiện A và kí hiệu là p(A) Để thống nhất thang điểm đánh giá chúng, ta chọn xác suất là một số nằm giữa 0 và 1.

Thí dụ gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và làm bằng chất liệu đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác suất ra mặt lẻ vàbằng—, còn xác suất "ra môt số chia hết cho 3" l à—, xác suất "ra mặt 6" l à—,

xác suất của sự kiện tất yếu là 1 còn xác suất của sự kiện không thể là 0

Khi điểu kiện đầu thay đổi thì xác suất có thể thay đổi, thí dụ con xúc xắc không cân đối hoặc chất liệu không đồng đều, chỗ nặng, chỗ nhẹ thì các xác suất nói trên không còn đúng nữa

Như vậy với điều kiện đầu cụ thể, khi tiến hành phép thử mỗi sự kiện có một mức độ hay khả năng xuất hiện và sô' đo (hay đánh giá) khả năng xuất hiện dó được gọi là xác suất của sự kiện Xác suất của sự kiện A, kí hiệu p(A), được chọn sao cho:

§3 CÁCH TÍNH XÁC SUÂT

Có rất nhiều cách tính xác suất, có cách tính chặt chẽ theo hệ tiên đề giúp xây dựng xác suất thành một ngành toán học với lí thuyết và ứng dụng phong phú, có cách tính trực quan hơn và dựa vào các môn học khác như tính xác suất theo Cơ học, theo Hình học, theo Đại số, Trong sách này chúng ta dùng hai cách tính xác suất: cách tính thống kê và cách tính đồng khả năng

Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử và tính tần suất của sự kiện A trong các loạt đó, người ta thấy tần suất khá ổn định (khác nhau rất ít) và thường dao động quanh một sô' xác định Khi số phép thử tăng lên (và khá lớn) thì biên độ (sai khác giữa tần suất và số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần và càng ngày càng ít xuất hiện các biên độ lớn Số xác định nói trên được lấy làm xác suất.Cách tính thống kê đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp với thực tế nhưng không chính xác và không thể dùng để tính xác suất trong những trường hợp phức tạp hoặc các trường hợp không thể trực tiếp lặp lại phép thử.

Trong thực tế, khi xem xét một số lượng lớn sản phẩm, chúng ta thường dùng phần trăm (%), thí dụ số học sinh thi đỗ là 90%, số sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 75%, số người bị bệnh trong một đợt dịch là 30% Theo cách tính

thống kê có thể đổi % sang xác suất như sau: nếu số đạt tiêu chuẩn là p% thì khi

pchọn ngẫu nhiên một sản phẩm xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn là ——

Cách tính thống kê đã được dùng từ xa xưa để tính xác suất sinh con trai, con gái, xác suất xuất hiện các hiện tượng lạ trong tự nhiên như lũ lụt, sóng thần, nhật thực, nguyệt thực,

3Ễ2 Cách tính cổ điển hay cách tính đồng khả năng

Tiến hành một phép thử và giả sử n kết quả (sự kiện sơ cấp) của phép thử

có khả năng xuất hiện như nhau, gọi đó là phép thử có n kết quả đồng khảnăng Khi đó người ta lấy xác suất của mỗi kết quả là —

Thí dụ 3

Gieo một đồng tiền có thể coi hai kết quả sấp (S), ngửa (N), là 2 sự kiện sơ cấp đồng khả năng, mỗi sự kiện có xác suất — Nếu gieo một lúc hai đồng tiền thì có thể coi 4 kết quả sau là đồng khả năng: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N), mỗi

sự kiện sơ cấp có xác suất — Nếu gọi A là sự kiện "Hai đồng tiền cùng mặt"

2 1thì xác suất p(A) = — = - vì A gồm 2 sự kiện sơ cấp (S, S) và (N, N)

gồm 3 kiểu gen AA, Aa, aA, do đó xác suất để cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng

4

Thí dụ 5

Vé xổ sô' có bốn chữ số, khi quay số trúng thưởng có 1 vé trúng giải nhất Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất Có tất cả 104 = 10000 vé bôn chữ số, có thể coi đó là 10000 kết quả đồng khả năng khi quay số trúngthưởng Như vậy mỗi vé có xác suất trúng giải nhất như nhau và bằng -Ậ—

10000Tính xác suất để vé trúng giải nhất là vé có bốn chữ sô' khác nhau Trong

10000 vé có A^o = 10 9 8 7 = 5040 vé có bốn chữ sô' khác nhau (vé xổ số

có thể bắt đầu bằng số 0) như vậy xác suất để vé trúng giải nhất có bốn chữ sốkhác nhau là = 0,504

10000

*

§4 QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUÂT

Sau khi tính xác suất của các sự kiện tương đối đơn giản, chúng ta xem xét các sự kiện phức tạp hon Để làm được việc này, ta xét một số phép tính trên các sự kiện.Gọi A và B là hai sự kiện xác định trên tập hợp các sự kiện sơ cấp Q (C|, e2, , en)

Hội của hai sụ kiện A và B kí hiệu A n B là sự kiện bao gồm các sự kiện SO' cấp vừa của sự kiện A, vừa của sự kiện B (Hội A n B còn được gọi là sự

kiện "A và B" hoặc giao của A và B)

Khi tiến hành phép thử nếu kết quả là một trong các sự kiện sơ cấp nói trên thì cả A cả B đều xảy ra (xuất hiện) Như vậy hội của hai sự kiện A, B là sự kiện "cả A và B đều xảy ra"

Thí dụ 6

Gieo một xúc xắc, sự kiện A"ra số chẵn" và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" có hội là sự kiện sơ cấp " ra mặt 6 ", nói cách khác nếu kết quả vừa là số chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện B) thì hội A nB là sự kiện "ra mặt 6"

Sự kiện đối lập của sự kiện A, kí hiệu à , là sự kiện bao gồm các sụ kiện

sơ cấp trong Í2 nhưng không thuộc A

Thí dụ 8

Gieo một xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẵn" thì sự kiện đối lập Ã

là sự kiện "ra mặt lẻ"

Thí dụ 9

Khi thi thì sự kiện A "thi đỗ" có sự kiện đối lập A là "thi trượt"

Hai sự kiện A và B xung khắc nếu hội của chúng rỗng A n B = 0

Khi tiến hành phép thử hai sự kiện xung khắc không có sự kiện sơ cấp chung nào nên không th ể xuất hiện đồng thời.

Thí dụ 13

Khi thi thì sự kiện A "đạt điểm giỏi" và sự kiện B " đạt điểm khá" là hai sự kiện xung khắc, nhưng không đối lập, vỉ còn nhiểu điểm khác

Sự kiện A và sự kiện c "trên trung bình" không xung khắc

Qua các thí dụ trên ta thấy đối lập là trường hợp riêng của xung khắc Đối lập thì xung khắc nhưng xung khắc chưa chắc đã đối lập

Hợp của hai sự kiện A ỉ>à B, kí hiệu A u B , là sụ kiện bao gồm tất cả các

sự kiện sơ cấp của sự kiện A và sự kiện B.

Khi tiến hành phép thử thì sự kiện A uB xuất hiện khi có ít nhất một trong hai sự kiện A và B xuất hiện

Nếu phân tích kĩ có thể thấy có ba trường hợp: A xuất hiện nhưng B không xuất hiện ( A n B), B xuất hiện nhưng A không xuất hiện (A n B), cả A và B đéu xuất hiện (A n B)

Hợp A u B còn được gọi là sự kiện "A hoặc B”

Thí dụ 14

Khi gieo xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẩn ", B là sự kiện "ra một

số chia hết cho 3" thì sự kiện A uB gồm bốn sự kiện sơ cấp (2, 3, 4, 6)

Thí dụ 15

Trong thí dụ 12, khi rút bi trong hộp nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng thì sự kiện đối lập A là sự kiện rút được bi xanh hoặc bi đỏ A = B u c

Quy tắc cộng đơn giản

Ta thừa nhận quy tác cộng đơn giản sau đây:

"bi rút ra không phải bi trắng", B u c là sự kiện "rút được bi xanh hoặc bi đỏ"

p (A u B) = p(A) + p(B) nếu A và B xung khắc

Hệ quả: Gọi A là sự kiện đối lập của sự kiện A, ta có:

p(Ã ) = 1 - p(A)

(2.4)

(2.5)

Gọi c là sự kiện "đạt điểm giỏi", c là hợp của A và B

p(C) = p (A u B) = p(A) + p(B) = 0,3 + 0,4 = 0,7

Thí dụ 18

70% sản phẩm của xí nghiệp thuộc loại I, 20% thuộc loại II, số còn lại thuộc loại III

Khi kiểm tra để xuất khẩu thì chỉ chấp nhận sản phẩm loại I hoặc II

Gọi A là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại I

B là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại II

c là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm được chấp nhận cho xuất khẩu

p(C) = p (A u B) = 0,7 + 0,2 = 0,9

Xác suất có điều kiện

Xét một phép thử được tiến hành trong một điều kiện đầu nào đó và hai sự kiện A, B

Xác suất có điểu kiện p(B/A) là xác suất của B khi đã xảy ra sự kiện A

Có thể coi như B được tính khi phép thử được tiến hành trong điéu kiện đầu mới gồm điều kiện đầu cũ cộng thêm sự xuất hiện (có mặt) sự kiện A

Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử ta thừa nhận quy tác nhân sau:

p(A n B ) = p ( A ) p(B/A) = p (B ) p(A/B) (2.6)

Thí dụ 22

Trong hộp có 10 phiếu, 2 phiếu ghi "trúng thưởng" Một người rút lần lượt

2 phiếu, tính xác suất để cả 2 phiếu đều trúng thưởng Gọi A là sự kiện phiếu đầu trúng thưởng, B là sự kiện phiếu thứ hai trúng thưởng, c là sự kiện 2 phiếu đều trúng thưởng Có thể tính như sau:

Khi rút phiếu đầu có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng

Khi đã xảy ra A thì còn lại 9 phiếu trong đó có 1 phiếu trúng do đó

p(B/A) = — Từ đó suy ra:

hỗ nên sẽ thay thuật ngữ "không phụ thuộc" bằng thuật ngữ "độc lập".

Hai sự kiện A, B trong cùng một phép thử gọi là độc lập khi pịAIB) = p(A) (hoặc p(B/A) = p(B)).

Nếu A và B độc lập thì có thể chứng minh A và B độc lập, A và B độc lập, A và B độc lập

Trong thực tế nếu hai sự kiện A và B trong cùng một phép thử không ảnh hưởng đến nhau thì thường thừa nhận tính độc lập

Quy tắc nhăn đơn giản

Nếu A và B độc lập thì từ quy tắc nhân (2.6) suy ra quy tắc nhãn dơn giản sau:

p(AnB ) = p(A)p(B) (2.7)

Thí dụ 24

Hai người đi bắn, xác suất để người thứ nhất bắn trúng đích là p(A) = 0,7, xác suất để người thứ hai bắn trúng đích là p(B) = 0,8

Xác suất để cả hai người bắn trúng

p(A nB ) = 0,7 0,8 = 0,56

Thí dụ 25

Sản phẩm mới làm ra phải gửi đi kiểm nghiệm ở hai phòng thí nghiệm độc lập Nếu cả hai phòng chấp nhận thì sản phẩm được sản xuất đại trà

Xác suất để sản phẩm được phòng thí nghiệm A chấp nhận là 0,8 Xác suất

để được phòng thí nghiệm B chấp nhận là 0,9 Vậy xác suất để sản phẩm được đem ra sản xuất đại trà là 0,8 0,9 = 0,72

Quy tắc cộng tổng quát

Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử thì có thể chứng m inh quy tắc cộng tổng q u át sau:

p(A u B ) = p(A) + p(B) - p(AnB) (2.8)

Nếu A và B xung khắc thì p(AnB) = 0 nên (2.8) trùng với quy tắc cộng đơn giản (2.4)

Có thể lập luận như sau: c là sự kiện đối lập củá sự kiện "cả hai phòng thí nghiệm đều không chấp nhận sản phẩm mới":

p(C) = 1- p (Ã n B) = 1 - 0,2 X 0,1 = 0,98

§5 HỆ S ự KIỆN ĐẦY ĐỦ VÀ XÁC SUÂT TOÀN PHẨN

Cho một hệ các sự kiện A], A2, , An trong một phép thử Nếu hệ thoả mãn hai điều kiện:

a) Từng đôi xung khắc, tức là Aj n Aj = 0 với i * j (i, j = 1, n )

b) Hợp của tất cả các sự kiện là sự kiện tất yếu, tức là A ! u A2 u u An = Q thì được gọi là hệ đầy đủ hay hệ toàn phần

Có thể trình bày lại hai điều kiộn trên dưới dạng: Có m ột và chỉ một trong các sự kiện Aj xảy ra khi tiến hành phép thử (Có một là điều kiện b/, còn chì

có một là điều kiện a/)

Khi có một hệ sự kiện đầy đủ thì có thể tính xác suất của một sự kiện bất kì

B trong phép thử đó theo công thức:

p(B) = píA^pCB/Aj) + p(A2)p(B/A2) + + p(An)p(B/An) (2.9)

p(B)= £ p ( A ¡) p (B /A ¡)

i=l

Thí dụ 28

Cửa hàng nhận trứng của 3 cơ sở nuôi gà theo tỉ lệ: 25%, 35% và 40% Nếu

tỉ lệ trứng hỏng của 3 cơ sở là 5%, 4% và 2% thì xác suất để một quả trứng mua tại cửa hàng bị hỏng là bao nhiêu?

Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 sự kiện xảy ra: sự kiện Aị "trứng của cơ sở I ", sự kiện A2 "trứng của cơ sở II", sự kiện A3 "trứng của cơ sở III" Xác suất của ba sự kiện trên lần lượt là: 0,25; 0,35; 0,40

Gọi B là sự kiện trứng mua ở cửa hàng bị hỏng Xác suất trứng hỏng tại ba

cơ sở lần lượt là p(B/Aj) = 0,05; p(B/A2) = 0,04; p(B/A3) = 0,02

p(B) = 0,25 0,05 + 0,35 0,04 + 0,40 0,02 = 0,0345

Thí dụ 29

Có 2 hộp bên ngoài giống nhau, hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm hỏng và 9 'sản phẩm tốt, hộp thứ hai chứa 2 sản phẩm hỏng và 8 sản phẩm tốt Lấy ngẫu

nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Tính xậc suất để được sản phẩm tốt.

Gọi A| là sự kiện lấy được hộp thứ nhất, A2 là sự kiện lấy được hộp thứ hai,

vì chọn ngẫu nhiên nên p(A]) = — ; p(A2) = — Gọi B là sự kiện "sản phẩm tốt"

ta có:

1 9 1 8 _ 17p(B) = — — + 4-.—- = — = 0 ,8 5 ỗ

2 10 2 10 20

Thí dụ 30

Đem một cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa lai với một cây đậu hoa

vàng ở thế hệ F2 trong thí dụ 4 Gọi A[ là sự kiện cây đậu hoa vàng ở thế hộ F 2

mang cặp gen trội, A2 là sự kiện cây đậu hoa vàng mang cặp gen Aa A] và A2

3 3 2 3

§6 CÔNG THỨC BAYES

Cho một hệ sự kiện đầy đủ A ị, A2, An Xác suất của sự kiện B tính theo công thức (2.9)

Viết lại công thức nhân tổng quát

p(A£ n B ) = p(Aj) p(B/A¡) = p(B) p(Aj/B)chia 2 bên cho p(B) được:

p(A| / B) = P<A i)- P ^ /A i) ( i = ĩ ^ ) (2ể10)

P( d )