Giáo trình toán tài chính dành cho bậc cao đẳng

Bài 3 LÝ THUYẾT CÂN BẰNG SẢN LƯỢNG TRONG NỀN KINH TẾ ĐÓNG 1 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các[.]

LỜI GIỚI THIỆU

Tài chính nói chung, toán tài chính nói riêng là học phần cơ bản được giảng dạy ở tất cả các Trường đại học và cao đẳng thuộc khối ngành tài chính ngân hàng Toán tài chính nhằm cung cấp cho sinh viên các phương pháp tính toán về lãi suất, tiền lãi, giá trị của tiền tệ theo thời gian, giá trị của các công cụ tài chính, toán tài chính là một môn học ứng dụng vào các nghiệp vụ kinh doanh cụ thể

Xin chân thành cảm ơn các tác giả trong các tài liệu mà nhóm tác giả đã tham khảo trong quá trình biên soạn giáo trình này Nhân dịp này, nhóm tác giả gửi lời cảm ơn đến các đồng nghiệp đã tham gia đóng góp ý kiến quý báu trong suốt quá trình biên soạn

TP, HCM, ngày 29 tháng 05 năm 2020

Tham gia biên soạn

1 VÕ NGỌC BẢO

2 NGUYỄN THÂN

2

MỤC LỤC

LỜI GIỚI THIỆU 1

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT 4

DANH MỤC CÁC HÌNH 5

CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN – LÃI KÉP 7

1.1 Tổng quan 7

1.1.1 Lợi tức – lợi tức đơn 7

1.1.2 Tỷ suất lợi tức – lãi suất 8

1.2 Lãi đơn 8

1.2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn 8

1.2.2 Lãi suất ngang giá 10

1.2.3 Lãi suất trung bình 11

1.2.4 Lãi suất thực 11

1.3 Lãi kép 12

1.3.1 Khái niệm – công thức 12

1.3.2 Lãi suất tương đương và lãi suất tỷ lệ 14

1.3.3 Lãi suất trung bình trong lãi kép 15

1.3.4 Lãi suất thực trong lãi kép 15

1.4 So sánh giữa lãi đơn và lãi kép 16

LUYỆN TẬP 19

CHƯƠNG 2: CHUỖI TIỀN TỆ 21

2.1 Khái niệm 21

2.1.1 Khái niệm Chuỗi tiền tệ 21

2.1.2 Phân loại Chuỗi tiền tệ 21

2.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ 22

2.2.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ 22

2.2.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ 24

2.3 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi cố định (chuỗi đều) 26

2.3.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ 26

2.3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ 28

2.4 Chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật 30

2.4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng 30

2.4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân 32

LUYỆN TẬP 35

CHƯƠNG 3: VAY VỐN 38

3

3.1 Tổng quan 38

3.2 Các phương thức hoàn trả 39

3.2.1 Trả vốn vay và lãi một lần khi đáo hạn 39

3.2.2 Trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn 41

3.2.3 Trả nợ dần định kỳ 42

3.3 Trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định 44

3.3.1 Kỳ khoản trả nợ 44

3.3.2 Bảng hoàn trả 44

3.3.3 Định luật trả nợ dần định kỳ bằng kỳ khoản cố định 45

3.4 Trả nợ dần định kỳ cố định phần trả nợ gốc 46

3.5 Quỹ dự phòng trả nợ 47

LUYỆN TẬP 49

CHƯƠNG 4: TRÁI PHIẾU 52

4.1 Tổng quan 52

4.2 Các phương thức hoàn trả trái phiếu 55

4.2.1 Trái phiếu thanh toán một lần khi đáo hạn 55

4.2.2 Trái phiếu trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn 55

4.2.3 Trái phiếu được thanh toán dần định kỳ 57

4.3 Hoàn trả vốn vay trái phiếu bằng kỳ khoản cố định 57

4.3.1 Định luật trả nợ dần và các hệ quả 57

4.3.2 Bảng hoàn trả 58

4.3.3 Trái phiếu thanh toán cuối kỳ theo giá mua lại cao hơn mệnh giá 60

4.3.4 Vay vốn bằng cách phát hành trái phiếu có xổ số thưởng 61

4.4 Lãi suất sinh lợi và lãi suất chi phí của trái phiếu 62

4.4.1 Lãi suất sinh lợi của trái phiếu 62

4.4.2 Lãi suất chi phí của người đi vay 64

LUYỆN TẬP 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

4

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

5

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU - HÌNH

Hình 1.1 Đồ thị lãi suất 17

Hình 3.1 Đồ thị minh họa phương thức trả nợ gốc và lãi 1 lần khi đáo hạn 41

Hình 3.2 Đồ thị minh họa phương thức trả nợ dần 43

Hình 3.3 Bảng hoàn trả 43

Hình 4.1 Hình trái phiếu 53

6

GIÁO TRÌNH HỌC PHẦN Tên học phần: TOÁN TÀI CHÍNH

➢ Về kỹ năng:

✓ Tính toán thành thạo các bài tập xác định lãi đơn, lãi kép, chuỗi tiền tệ, các phương pháp hoàn trả nợ gốc và lãi trong vốn vay và trái phiếu

✓ Lập các bảng hoàn trả gốc và lãi trong vốn vay và trái phiếu

✓ Kỹ năng làm việc nhóm, định hướng trong xử lý công việc

✓ Trang bị cơ sở lý thuyết, phương pháp nghiên cứu để sinh viên có thể phát triển tư duy và biết cách thu thập các kiến thức về tài chính

➢ Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:

✓ Cẩn trọng trong việc tính toán các chỉ tiêu trong học phần toán tài chính

NỘI DUNG CỦA HỌC PHẦN

CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN – LÃI KÉP Giới thiệu

Nội dung chính của chương bao gồm : Các khái niệm cơ bản và hai phương thức tính lợi tức (lãi đơn, lãi kép), các loại lãi suất (lãi suất hiệu dụng, lãi suất chiết khấu, lãi suất danh nghĩa) Ngoài ra, sinh viên sẽ biết cách xác định giá trị của một khoản vốn tại một thời điểm nhất định

Mục tiêu

Sau khi học xong nội dung này, người học có thể:

✓ Trình bày được các khái niệm về lãi đơn, lãi kép, tỷ suất lợi tức

✓ Xác định đúng số tiền lãi theo phương thức lãi đơn và lãi kép

✓ Nhận biết được các đặc điểm của lãi suất

Nội Dung

1.1 Tổng quan

1.1.1 Lợi tức – lợi tức đơn

Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau: góc độ của người cho vay và của người đi vay

➢ Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất định Khi nhà đầu tư đem đầu

tư một khoản vốn, nhà đầu tư sẽ thu được một giá trị trong tương lai lớn hơn giá trị

đã bỏ ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức

➢ Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay Những rủi

8

ro này sẽ ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai

➢ Khoản tiền đi vay (hay bỏ ra để cho vay) ban đầu gọi là vốn gốc Số tiền nhận được từ khoản vốn gốc sau một khoản thời gian nhất định gọi là giá trị tích luỹ

1.1.2 Tỷ suất lợi tức – lãi suất

➢ Tỷ suất lợi tức (lãi suất) là tỷ số giữa lợi tức thu được (phải trả) so với vốn đầu tư (vốn vay) trong một đơn vị thời gian

o Tiền lãi là số tiền phải trả để được sử dụng một khoản tiền (trong trường hợp đi vay) hoặc được nhận cho việc trì hoãn sử dụng (trong trường hợp gửi tiền hoặc đầu tư) trong một khoảng thời gian nhất định

o Lãi suất thường được tính trên đơn vị năm

o Vốn gốc là số tiền bỏ ra đầu tư ( hoặc vay ) ban đầu

Ví dụ 1: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng sau khoảng thời gian một

năm, người này nhận được 112 triệu đồng Tính tiền lãi và lãi suất của khoản tiền trong kỳ hạn một năm

Trả lời :

Tiền lãi = 112 triệu đồng – 100 triệu đồng = 12 triệu đồng

Lãi suất = 12 triệu đồng/ 100 triệu đồng = 12%/năm

1.2 Lãi đơn

1.2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn

Phương thức tính lãi theo lãi đơn là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ không được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau Tiền lãi của mỗi kỳ đều được tính theo vốn gốc ban đầu và đều bằng nhau

Giả sử một khoản vốn gốc đầu tư ban đầu là 1 đồng và mỗi kỳ thu được một khoản lợi tức không đổi là I (ở đây lưu ý giá trị không đổi là lợi tức, không phải là lãi suất hiệu dụng) Do đó, đối với hàm vốn hoá, ta sẽ có:

V(1) = 1 + I

x 100

V(n) = 1+ i.n (n 0) (1)

Nếu gọi i là lãi suất đơn

V n là giá trị cuối tính đến thời điểm n

Chú ý: Lãi đơn chủ yếu được dùng cho các đầu tư ngắn hạn

Trong một số trường hợp, thời gian đầu tư được tính chính xác theo ngày (ví dụ:

ông A gửi một số tiền vào ngân hàng vào ngày 01/09/2020 với lãi suất 9%/năm và rút tổng giá trị tích luỹ vào ngày 13/10/2020), lợi tức được tính theo công thức sau:

I = V0∗ i ∗ n

N (4) Trong đó: V0 : vốn gốc ban đầu

i : lãi suất

n: thời gian đầu tư

N: số ngày trong năm

n, N được xác định như sau:

- Cách 1: Tính số ngày chính xác của đầu tư và quy ước mỗi năm là 365 ngày

10

Tuy nhiên trước đây còn sử dụng những cách tính sau :

- Cách 2: Quy ước mỗi năm 360 ngày và mỗi tháng 30 ngày

- Cách 3: Tính số ngày chính xác của đầu tư và quy ước mỗi năm là 360 ngày

Trong một số trường hợp cụ thể, có thể tính số ngày chính xác của đầu tư và quy định số ngày của mỗi năm là 365 ngày đối với năm thường và 366 ngày đối với năm nhuận

Ví dụ 3: Vào ngày 08/03/2020, Hoà gửi vào ngân hàng 40.000.000 đồng với lãi

suất đơn là 8%/năm và rút tiền ra vào ngày 11/09/2020 Tính lợi tức Hoà thu được theo 3 phương pháp trên

- Cách 1: Số ngày gửi tiền từ 08/03/2020 đến 11/09/2020 sẽ là: 187 ngày

1.2.2 Lãi suất ngang giá

➢ Lãi suất ngang giá còn được gọi là lãi suất tương đương là 2 lãi suất i và ik

có cùng một số vốn gốc và cùng một thời gian nhưng 2 chu kỳ khác nhau cho tiền lãi tương đương nhau

n : Số tháng trong năm

i : Lãi suất danh nghĩa

ik : Lãi suất ngang giá

Ví dụ 4 : Ngân hàng thương mại X cho công ty M vay 100 triệu đồng trong thời

hạn 18 tháng với lãi đơn 13,2% /năm, hãy tính lãi suất ngang giá? số tiền nhận được tính theo năm? Theo tháng ?

Lãi suất ngang giá hàng tháng :

ik = i / n = 13,2%/12 = 1,1%

ik = i / n (5)

11

Số tiền nhận được Vn tính theo năm : 100 (1+18/12 *13,2% ) = 119,8 triệu đồng

Số tiền nhận được Vn tính theo tháng : 100 (1+18 *1,1% ) = 119,8 triệu đồng

1.2.3 Lãi suất trung bình

Trong quá trình đầu tư có thể có nhiều mức lãi suất khác nhau theo thời gian khác

nhau Do đó, cần phải tính lãi suất trung bình

Công thức tính như sau :

𝑖𝑡𝑏 = ∑𝑛.𝑖𝑘

∑𝑛 (6)

Ví dụ 5 : Doanh nghiệp M vay của ngân hàng thương mại X số tiền 100 triệu đồng, lãi

đơn và thời gian tương ứng như sau : 6 tháng đầu lãi suất 12%/năm, 5 tháng tiếp theo với lãi suất 13,3%/ năm và 7 tháng cuối với lãi suất 14,4%/năm Tính lãi suất trung bình và tổng số tiền mà doanh nghiệp M phải trả

Trong đó ir : Lãi suất thực I: Tiền lãi

Ir : Chi phí thực tế trong thời gian vay f : Chi phí phát sinh

PV : Vốn vay thực sử dụng V : Vốn vay (gốc )

Cr : Chi phí thực tế trả ngay khi vay

Ví dụ 6 : Doanh nghiệp A vay của ngân hàng thương mại Y số tiền 200 triệu đồng, lãi

đơn 9,6%/năm Ngoài ra, còn có phí hồ sơ 200.000 đồng và các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc Tính lãi suất thực nếu thời hạn vay là 12 tháng và thời hạn vay 4 tháng ? nếu trong hợp đồng Doanh nghiệp A phải trả lãi trước thì lãi suất thực là bao nhiêu ?

Trả lời :

- Vay trả cuối kỳ, kỳ hạn 12 tháng

1.3.1 Khái niệm – công thức tính

Phương thức tính theo lãi kép là phương thức tính toán mà tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn để đầu tư tiếp và sinh lãi cho kỳ sau Thông thường, đối với các giao dịch tài chính, lãi suất được sử dụng là lãi kép

Giả sử vốn gốc đầu tư ban đầu là 1đồng Hàm vốn hoá của kỳ thứ nhất sẽ là:

V(1) = 1 + I

V(2) = 1 + I + I + I² 1: vốn gốc ban đầu

I thứ nhất: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ nhất của vốn gốc 1 đồng

V(2) = (1+i)² Tương tự:

V(3) = (1+i)² + (1+i)².i

(1+i)²: giá trị tích luỹ vào đầu kỳ thứ 3 (cuối kỳ thứ 2) (1+i)².i: lợi tức sinh ra trong kỳ thứ 3 từ (1+i)²

V(3) = (1+i)3

Tương tự, ta sẽ rút ra được hàm vốn hoá là:

V(n) = (1+i)n với n là một số nguyên dương Đây chính là phương thức tính lãi theo lãi kép Ở đây, hàm vốn hoá được định nghĩa với mọi số n nguyên dương Tuy nhiên, hàm vốn hoá vẫn có thể định nghĩa với n 0 với giả thiết là hàm vốn hoá là hàm liên tục và lợi tức thu được từ khoản vốn gốc 1 đồng đầu tư ban đầu tại thời điểm n+s (n,s 0) là tổng của lợi tức thu được từ 1 đồng ban đầu tại thời điểm n và lợi tức thu từ giá trị tích luỹ tại thời điểm n trong khoảng thời gian s Với giả thiết này, hàm vốn hoá trong trường hợp lãi kép sẽ là :

V(n) = (1+i) n với n 0 (9)

Nếu gọi i là lãi suất kép

V n là giá trị cuối tính đến thời điểm n

14

Ví dụ 7 : Một khoản vốn gốc là 5.000.000 đồng được đầu tư trong 3 năm với lãi suất kép

là 7%/năm Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 3 là bao nhiêu?

Giải: Vn = V0(1+ i)n = 5.000.000 (1+0,07)3 = 6.125.215 đồng

1.3.2 Lãi suất tương đương và lãi suất tỷ lệ

1.3.2.1 Lãi suất tương đương

Lãi suất tương đương là 2 lãi suất i và ik có cùng một số vốn gốc và cùng một thời gian nhưng 2 chu kỳ khác nhau cho tiền lãi tương đương nhau

Với n : số năm, nk : số quý

i : Lãi suất danh nghĩa theo năm ta có : Vn = V0(1+i)n

ik : Lãi suất theo quý Vn = V0(1+ik)nk

Như vậy Vn = V0(1+i)n = V0(1+ik)nk Nên : (1+i)n = (1+ik)nk

Vậy i = √(1 + in k)nk− 1 (12)

Ví dụ 8 : Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/năm, Ông B cũng gửi

ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 12,36%/năm, tính giá trị tiền lãi ông A, B nhận được sau khi gửi 1 năm

15

1.3.3 Lãi suất trung bình trong lãi kép

Trong quá trình đầu tư có thể có nhiều mức lãi suất khác nhau theo thời gian khác

nhau Do đó, cần phải tính lãi suất trung bình

Công thức tính như sau : itb = √(1 + 𝑖1)𝑛 𝑛1 𝑥(1 + 𝑖2)𝑛2𝑥 … 𝑥 (1 + 𝑖𝑘)𝑛𝑘− 1 (14)

Ví dụ 10 : Ông T gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng thương mại A theo lãi kép với lãi

suất biến đổi theo thời gian tương ứng như sau : 2 năm đầu lãi suất 8%/năm, 3 năm tiếp theo với lãi suất 9%/ năm và 4 năm cuối với lãi suất 11%/năm Tính tiền lãi của ông T sau 9 năm và lãi kép trung bình hàng năm là bao nhiêu ?

1.3.4 Lãi suất thực trong lãi kép

Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng vốn vay trong thời gian nhất định , Công thức tính lãi suất thực trong lãi kép như sau :

it = √Fv

ν−f

n

− 1 (15) Trong đó it : Lãi suất thực n : số năm f : Chi phí phát sinh V : Vốn vay

Ví dụ 11 : Bà T vay của ngân hàng 400 triệu đồng, lãi kép 9%/năm, kỳ hạn ghép lãi 6

tháng vốn và lãi trả một lần khi đáo hạn Lệ phí vay 0,5% vốn gốc Tính lãi suất thực cho thời hạn vay 3 năm và kỳ hạn vay 1 năm

Giải :

1.4 So sánh giữa lãi đơn và lãi kép

Hàm vốn hoá V(n)đ = 1+ i.n V(n)k = (1+i)n

Hàm tích luỹ V(n)đ = V0.V(n)đ =

V0(1+ i.n)

V(n)k = V0.V(n)k =

V0(1+ i)n

Lợi tức của kỳ thứ n Inđ = V0.i.n Ink = V0*{(1+ i)n -1}

Trong đó : n 0 i : lãi suất V0 : vốn gốc

Riêng đối với hàm tích luỹ và lợi tức thu được của kỳ n, ta có bảng sau :

Ví dụ 12:

Một người đầu tư vốn gốc ban đầu là 200 triệu đồng với lãi suất là 9%/năm Tính giá trị tích luỹ người đó đạt được theo hai phương pháp lãi đơn và lãi kép nếu thời gian đầu tư là:

Inđ = 200* 9% *9/12 = 13,5 triệu

V(n)k= 200(1+9%)9/12 = 213,353 triệu

Ink = 213,353 - 200 = 13,353 triệu

n = 5 năm V(n)đ = 200(1+5.9%) = 290 triệu

Inđ = 200*9%*5 = 90 triệu

V(n)k = 200(1+9%)5 = 307,725 triệu

Ink = 200*{(1+9%)5 – 1} = 107,725 triệu

Củng cố chương : Các nội dung chính :

- Tỷ suất lợi tức (lãi suất) : tỷ số giữa lợi tức thu được (phải trả) so với vốn đầu tư

(vốn vay) trong một đơn vị thời gian

- Công thức tính Lãi đơn : Vn = V0 (1+ i.n)

- Công thức tính Lãi kép : Vn = V0 (1+ i)n

- Tiền lãi vào thời điểm kỳ hạn thứ n : In = Vn – V0

x 100

19

LUYỆN TẬP

Luyện tập 1: Bác Ba có số tiền lớn muốn chia số tiền làm 2 phần gửi ở hai ngân hàng

khác nhau Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X trong 15 tháng, lãi suất 14%/năm Số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y trong 12 tháng, lãi suất 12,5%/năm

Hãy tính số tiền Bác Ba gửi ở mỗi ngân hàng ? biết rằng :

- Hai khoản tiền trên chênh lệch nhau là 50 triệu đồng

- Tiền lãi của khoản vốn thứ nhất gấp đôi tiền lãi của khoản vốn thứ hai

- Phương thức tính lãi theo lãi đơn

Luyện tập 2: Một người vay ngân hàng 50 triệu đồng trong 20 tháng với lãi suất 12%/năm Lãi trả một lần ngay khi vay Hãy tính lãi suất thực (hiệu dụng ) ?

Luyện tập 3: Ngân hàng cho công ty S vay 500 triệu đồng tính lãi đơn, với các

mức lãi suất thay đổi như sau :

- Thời gian gửi là 3 quý theo lãi suất 0,8%/tháng

- Thời gian gửi trong 4 quý tiếp theo lãi suất được nâng lên 0,9%/tháng

- Thời gian gửi trong 6 quý tiếp theo lãi suất được nâng lên 1,01%/tháng

- Thời gian gửi trong 3 quý tiếp theo lãi suất được nâng lên 0,85%/tháng

Yêu cầu :

a Xác định tổng số tiền lãi thu được khi kết thúc đợt gửi?

b Hãy tính lãi suất trung bình 1 tháng của khoản tiền gửi trên ?

Luyện tập 9:

Cô Đông vay của Cậu Hạ số tiền 300 triệu đồng, theo lãi suất 12%/ năm Hãy tính tổng

số tiền Cậu Hạ nhận được và tổng số tiền lãi sau :

a 3 năm cho vay?

b 4 năm 6 tháng cho vay ?

Luyện tập 10:

Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực là 12%/năm hãy tính

a Theo lãi đơn giá trị đạt được trong thời gian 6 tháng , 1 năm , 3 năm

b Theo lãi kép giá trị đạt được trong thời gian 6 tháng , 1 năm , 3 năm

Sau khi học xong nội dung này, người học có thể:

✓ Trình bày được các khái niệm về chuỗi tiền tệ

✓ Trình bày được các khái niệm về giá trị tương lai và giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ

✓ Xác định được giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ: đều, không đều, biến đổi có quy luật

Nội Dung

2.1 Khái niệm

2.1.1 Khái niệm Chuỗi tiền tệ

Chuỗi tiền tệ là một dãy những khoản tiền thanh toán theo những khoảng cách thời gian bằng nhau

Chuỗi tiền tệ còn gọi là kỳ khoản (những khoản tiền thanh toán theo chu kỳ ), có bao nhiêu kỳ hạn thì có bấy nhiêu khoản thanh toán

Chuỗi tiền tệ hình thành nhằm mục đích trả nợ hay tạo lập một khoản vốn và cũng

có thể là hệ quả tất yếu của việc đầu tư

Một chuỗi tiền tệ hình thành khi đã xác định được các yếu tố sau :

+ Số kỳ phát sinh (số lượng kỳ khoản ) : n

+ Số tiền thanh toán mỗi kỳ : a

+ Lãi suất tính cho mỗi kỳ : i

+ Độ dài của 1 kỳ : khoảng cách thời gian cố định giữa 2 kỳ thanh toán ( có thể là năm, quý, tháng … )

+ Ngày thanh toán đầu tiên

2.1.2 Phân loại Chuỗi tiền tệ

- Căn cứ vào số tiền thanh toán mỗi lần, có hai loại chuỗi tiền tệ :

22

+ Chuỗi tiền tệ cố định : số tiền phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau

+ Chuỗi tiền tệ biến đổi : số tiền phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau

- Căn cứ vào số kỳ thanh toán mỗi lần, có hai loại chuỗi tiền tệ :

+ Chuỗi tiền tệ có thời hạn: là loại chuỗi tiền tệ có số kỳ thanh toán phát sinh là hữu hạn + Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: là loại chuỗi tiền tệ có số kỳ thanh toán phát sinh là vô hạn

- Căn cứ vào ngày thanh toán đầu tiên, có hai loại chuỗi tiền tệ :

+ Chuỗi tiền tệ đầu kỳ : là loại chuỗi tiền tệ có lần thanh toán đầu tiên thực hiện ở thời điểm gốc

+ Chuỗi tiền tệ cuối kỳ : là loại chuỗi tiền tệ có lần thanh toán đầu tiên thực hiện sau thời điểm gốc ít nhất một kỳ

2.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ

2.2.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

2.2.1.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị của các kỳ khoản được đánh giá vào ngày thanh toán của kỳ khoản cuối cùng

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian cuối kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 1,n

i : lãi suất một kỳ

n : số lần thanh toán

FV : giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

Ta có FV = A 1 (1+i) n-1 + A 2 (1+i) n-2 + … + A n

Ví dụ 1: Anh Xoài gửi vào ngân hàng liên tục trong 5 năm vào cuối mỗi năm, số tiền gửi

lần lượt như sau : 132 triệu đồng, 240 triệu đồng, 300 triệu đồng, 164 triệu đồng, 270 triệu đồng Lãi suất tiền gửi là 8,5%/năm Ngay sau lần gửi thứ 5 do cần tiền đột xuất Anh Xoài rút hết ra Hỏi tổng số tiền Anh nhận được là bao nhiêu ?

2.2.1.2 Giá trị hiện tại ( hiện giá ) của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

Hiện giá của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị hiện tại của các kỳ khoản phát sinh trong tương lai ( giá trị chuỗi tiền tệ được tính quy về thời điểm gốc )

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian cuối kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 1,n

(𝟏 + 𝐢) 𝐧−𝟏 + 𝐀𝐧 𝟏

(𝟏 + 𝐢) 𝐧

Ví dụ 2: Một người gửi vào ngân hàng hàng năm lần lượt như sau (triệu đồng) : 132,

240, 300, 164, 270 Lãi suất tiền gửi là 8,5%/năm

Yêu cầu: Tính giá trị hiện tại của dòng tiền, trong trường hợp thời điểm gửi cuối năm

2.2.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

2.2.2.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian đầu kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 0,n

i : lãi suất một kỳ

n : số lần thanh toán

FV : giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

FV = A 0 (1+i) n + A 1 (1+i) n-1 + … + A n-1 (1+i)

Ví dụ 3: Chị Bưởi gửi tiền ngân hàng liên tục trong 5 năm vào đầu mỗi năm, số tiền gửi

lần lượt như sau : 132 triệu đồng , 240 triệu đồng, 300 triệu đồng, 164 triệu đồng, 270 triệu đồng Lãi suất tiền gửi là 8,5%/năm Hỏi tổng số tiền Chị nhận được cuối năm thứ 5

2.2.2.2 Giá trị hiện tại ( hiện giá ) của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian đầu kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 0,n

Ví dụ 4: Một người gửi vào ngân hàng hàng năm lần lượt như sau (triệu đồng) : 132,

240, 300, 164, 270 Lãi suất tiền gửi là 8,5%/năm

Yêu cầu: Tính giá trị hiện tại của dòng tiền, trong trường hợp thời điểm gửi đầu năm Bài giải :

2.3 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi cố định (chuỗi đều)

Chuỗi tiền tệ đều nghĩa là khi các khoản tiền xuất hiện hàng kỳ có giá trị bằng nhau tức là : A1 = A2 = An Như vậy : có thể gọi chung là A

Nguyên tắc chung : giá trị theo thời gian của một dòng tiền đều cũng chính là tổng các giá trị theo thời gian của các khoản tiền xuất hiện

2.3.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ

2.3.1.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian cuối kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 1,n

27

Hay

𝐅𝐕 = 𝐀(𝟏 + 𝐢)

𝐧− 𝟏𝐢

Ví dụ 5: Chị Táo gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau theo kiểu cuối năm có giá

trị 15.000 triệu đồng trong thời hạn 5 năm mỗi năm gửi 1 lần, lãi suất 12%/năm Tính giá trị tương lai của dòng tiền vào cuối năm thứ 5

2.3.1.2 Giá trị hiện tại ( hiện giá ) của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian cuối kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 1,n

(𝟏 + 𝐢)𝐧−𝟏 + 𝐀 𝟏

(𝟏 + 𝐢)𝐧Hay

𝐏𝐕 = 𝐀𝟏 − (𝟏 + 𝐢)

−𝐧𝐢

Ví dụ 6 : Anh Ổi gửi vào ngân hàng một món tiền như nhau theo kiểu cuối năm có giá trị

15.000 triệu đồng trong thời hạn 5 năm mỗi năm gửi 1 lần, lãi suất 12%/năm Tính giá trị hiện tại của dòng tiền mà Anh đã gửi

2.3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ

2.3.2.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ cố định (đều ) phát sinh đầu kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian đầu kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 0,n

i : lãi suất một kỳ

n : số lần thanh toán

FV : giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

Ta có FV = A(1+i) n + A (1+i) n-1 + … + A (1+i)

Hay

𝐅𝐕 = 𝐀(𝟏 + 𝐢)

𝐧− 𝟏

𝐢 (𝟏 + 𝒊)

Ví dụ 7 : Anh Táo gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau theo kiểu đầu năm có giá

trị 15.000 triệu đồng trong thời hạn 5 năm mỗi năm gửi 1 lần, lãi suất 12%/năm Tính giá trị tương lai của dòng tiền vào cuối năm thứ 5

2.3.2.2 Giá trị hiện tại ( hiện giá ) của một chuỗi tiền tệ cố định (đều ) phát sinh đầu kỳ

Sơ đồ thanh toán theo dòng thời gian đầu kỳ như sau :

Nếu ta gọi Aj : giá trị của kỳ khoản thứ j với j = 0,n

Ví dụ 8 : Anh Ổi gửi vào ngân hàng Một món tiền như nhau theo kiểu đầu năm có giá trị

15.000 triệu đồng trong thời hạn 5 năm mỗi năm gửi 1 lần, lãi suất 12%/năm Tính giá trị hiện tại của dòng tiền mà Anh đã gửi

2.4 Chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật

2.4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng

Xét một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công sai là r với r = aj+1 - aj, j=1,n số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i Ở đây, ta cũng đặt giả thiết là kỳ phát sinh trùng với kỳ vốn hoá

2.4.1.1 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

PV: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

FV: Giá trị tích luỹ (tương lai) của chuỗi tiền tệ

Giá trị tương lai FV:

Giá trị tương lai tại thời điểm n của chuỗi tiền tệ trên là FV

FV = an + an-1(1+i) + an-2(1+i)2 + …+ a2(1+i)n-2 + a1(1+i)n-1

FV= [a+(n-1)r] + [a+(n-2)r](1+i) + [a+(n-3)r](1+i)²

+ … + (a+r)(1+i)n-2 + a(1+i)n-1

FV = [a + a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1]

+ [(n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + … + r(1+i)n-2] Đặt A = a + a(1+i) + a(1+i)2 + …+ a(1+i)n-2 + a(1+i)n-1

B = (n-1)r + (n-2)r(1+i) + (n-3)r(1+i)² + … + r(1+i)n-2

Ta có:

Giá trị hiện tại PV:

Ví dụ 9: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 10 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là 20

triệu đồng, các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 5 triệu đồng hãy tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ trên ? biết rằng lãi suất là 6%/năm

32

2.4.1.2 Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

Giá trị tương lai FV: FV = [(a +r

2.4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân

Xét một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a, công bội là q với q = aj+1/aj với j=1,n, số kỳ phát sinh là n và lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là i

2.4.2.1 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

Giá trị tương lai FV:

33

Giá trị tương lai tại thời điểm n của chuỗi tiền tệ trên là FV:

FV = an + an-1(1+i) + an-2(1+i)2 + …+ a2(1+i)n-2 + a1(1+i)n-1

FV = a.qn-1+a.qn-2(1+i)+a.qn-3(1+i)² +…+ a.q.(1+i)n-2 + a(1+i)n-1

FV = a[qn-1 + qn-2(1+i) + qn-3(1+i)² + … + q.(1+i)n-2 + (1+i)n-1] Đặt S = qn-1 + qn-2(1+i) + qn-3(1+i)² + … + q.(1+i)n-2 + (1+i)n-1

Ta thấy S là tổng của một cấp số nhân với những đặt điểm sau:

- Số hạng đầu tiên là: (1+i)n-1

- Công bội là: q.(1+i)-1

Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ ở dạng chuẩn gồm 8 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là

300 triệu đồng , các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 10% hãy tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ trên ? biết rằng lãi suất là 12%/năm

Giải :

Kiểu dòng tiền : cuối kỳ

a = 300 triệu đồng, n =8 , i=12%/năm , a2 = a1(1+10%)

mà a1=a nên a2 = 300(1+10%) =330

q = aj+1/aj = 330/300 = 1,1 vậy q = 1,1

Giá trị tương lai :

2.4.2.2 Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

Giá trị tương lai FV : FV = FV(1+i)

FV = a𝑞n−(1+i)n

q−(1+i) (1+i)

Giá trị hiện tại PV : PV = PV.(1+i)

PV = aqn(1+i)−n−1

q−(1+i) (1 + i)

Ví dụ 12 :

Một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ ở dạng chuẩn gồm 8 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là

300 triệu đồng, các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 10% hãy tính giá trị tương lai và giá trị hiện

tại của chuỗi tiền tệ trên ? biết rằng lãi suất là 12%/năm

Giải :

Kiểu dòng tiền : đầu kỳ

a = 300 triệu đồng, n =8 , i=12%/năm , a2 = a1(1+10%)