Giải tích 3 gk 20142

Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20142 Lời giải Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 Câu 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∶ a) ∑ 1 √n ∞ n=1 ln (1 + 1 n ) Chuỗi số này là[.]

GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20142

Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64

Câu 1: Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∶

a) ∑ 1

√n

∞

n=1

ln (1 +1

n)

Chuỗi số này là chuỗi số dương ∀n > 1

Khi n → +∞ ∶ 1

√nln (1 +

1

n) ~

1

n32

mà ∑ 1

n32

∞

n=1

là chuỗi hội tụ

→ chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

b) ∑(−1)n

ln n

∞

n=2

Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu

{ 1

ln n} là một dãy số dương, đơn điệu giảm dần về 0

→ chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz

Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

a) ∑ 1

n + 1(x − 1)n

∞

n=1

Đặt x − 1 = t Chuỗi đã cho trở thành ∑ antn

∞

n=1

với an = 1

n + 1

Bán kính hội tụ R = lim

n→+∞| an

an+1| = limn→+∞|n + 1

n + 2| = 1

Xét t = 1, ∑ 1

n + 1

∞

n=1

là chuỗi phân kỳ

Xét t = −1, ∑(−1)n

n + 1

∞

n=1

là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz

→ −1 ≤ t < 1

→ −1 ≤ x − 1 < 1

→ 0 ≤ x < 2

→ miền hội tụ là x ∈ [0; 2)

b) ∑n − 1

nx

∞

n=1

Chuỗi đã cho là chuỗi số dương ∀n ≥ 1

Khi n → +∞ ,n − 1

nx ~ 1

nx−1

nx−1

∞

n=1

hội tụ ↔ x − 1 > 1

→ x > 2

→ miền hội tụ là x ∈ (2; +∞)

Câu 3: Giải các phương trình vi phân ∶

a) y′ cos2x = y

→ dy

dx cos

2x = y

→ dy

y =

dx

cos2x

Tích phân 2 vế ∶

→ ln|y| = tan x + C

→ y = etan x+C

Nghiệm tổng quát của ptvp đã cho là y = etan x+C ,

ngoài ra còn có y = 0 là nghiệm kì dị

b) y′+y

x = x

2y3

( Đây là phương trình bernoulli )

Đặt v = y−2, phương trình đã cho trở thành:

v′ +−2

x v = −2 x

2

Thừa số tích phân của ptvp trên là: p(x) = e∫ −2xdx = 1

x2 Nhân cả 2 vế với p(x):

→ 1

x2 v′ +−2

x3 v = −2

→ ( 1

x2 v )

′

= −2

→ 1

x2 v = −2x + C

→ 1

x2y2 = −2x + C

x2y2+ 2x + C = 0

Vậy tích phân tổng quát của ptvp đã cho là u(x, y, C) = 1

x2y2+ 2x + C = 0 Ngoài ra có y = 0 là nghiệm kì dị

Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = 1

x2− 3x + 2 thành chuỗi lũy thừa của x + 3

Đặt t = x + 3 → x = t − 3

(t − 3)2− 3(t − 3) + 2 =

1

t2− 9t + 20 =

1 (t − 4)(t − 5)

t − 5−

1

t − 4=

1

5.

1 t

5− 1

−1

4.

1 t

4− 1

=1

4.

1

1 −4t

−1

5.

1

1 −5t Khai triển maclaurin của f(t) là ∶

f(t) = 1

4∑

tn

4n

∞

n=0

−1

5∑

tn

5n

∞

n=0

Vậy khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa của x + 3 là ∶

f(x) = 1

4∑

(x + 3)n

4n

∞

n=0

−1

5∑

(x + 3)n

5n

∞

n=0 Câu 5: Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm số

f(x) = x, { −1 < x < 1

tuần hoàn chu kì 2

Nhận xét: f(x) = x là hàm số lẻ, suy ra hệ số a0 và an đều bằng 0

= 2 (−x cos nπx

nπ |0

1

+sin nπx (nπ)2 |

0

1

) =2(−1)

n−1

nπ Vậy khai triển thành chuỗi Fourier của f(x) là

→ F(x) = ∑(−1)n−1 2

nπ

∞

n=1

sin nπx Tại x = −1, x = 1 hàm không liên tục, theo định lí Dirichlet ∶

→ F(−1) = f(−1

−) + f(−1+)

F(1) = f(1

−) + f(1+)

→ F(x) = {

0 , x = −1

x , −1 < x < 1

0 , x = 1

Câu 6: Tính tổng

1 3.5+

1 5.7+

1 7.9+ ⋯

(2n + 1)(2n + 3) =

1

2 (

1 2n + 1−

1 2n + 3)

→ 1

3.5+

1

5.7+

1 7.9+ ⋯

= lim

n→+∞

1

2 (

1

3−

1

5+

1

5−

1

7+

1

7−

1

9+ ⋯ +

1 2n + 1−

1 2n + 3)

= lim

n→+∞

1

2 (

1

3−

1 2n + 3) =

1 6

Câu 7: Giải phương trình vi phân

(x + 1

y2) dy + (y + 1

x2) dx = 0

Ta thấy

∂ (x + 1

y2)

∂ (y + 1

x2)

→ thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần

Giả sử du(x, y) = (x + 1

y2) dy + (y + 1

x2) dx

Xuất phát từ uy′ = x + 1

y2

→ u(x, y) = ∫ (x + 1

y2) dy = xy +−1

y + g(x)

→ ux′ = y + g′(x) = y + 1

x2

→ g′(x) = 1

x2 Chọn g(x) = −1

x

Ta có tích phân tổng quát của ptvt đã cho là ∶

u(x, y) = xy −1

x− 1

y = C