Chương 2 gồm các kiến thức về biến ngẫu nhiên bao gồm biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục; các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, mốt, trung vị,
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ
Biên soạn: Bộ môn Toán
Cần Thơ – 2015
LƯU HÀNH NỘI BỘ
Trang 3LỜI NÓI ĐẦU
Xác suất thống kê Y – Dược là môn học nhằm cung cấp cho sinh viên Y – Dược những kiến thức Toán cơ bản, cần thiết và hữu ích về Xác suất và Thống kê nhằm giúp sinh viên học được các kiến thức chuyên ngành
Bài giảng gồm 8 chương:
Chương 1: Xác suất và các công thức tính xác suất
Chương 2: Biến ngẫu nhiên
Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng
Chương 4: Véctơ ngẫu nhiên
Chương 5: Tổng thể và mẫu
Chương 6: Ước lượng các tham số thống kê
Chương 7: Kiểm định giả thuyết thống kê
Chương 8: Tương quan và hồi qui
Chương 1 gồm các kiến thức bao gồm các khái niệm và công thức cơ bản của xác suất như khái niệm biến cố, các định nghĩa xác suất, công thức cộng và nhân xác suất, công thức xác suất đầy
đủ, công thức Bayes,…trong đó có một số phần sinh viên đã học ở phổ thông Bên cạnh đó, do đặc thù chuyên ngành, tài liệu bổ sung thêm phần xác suất trong chẩn đoán
Chương 2 gồm các kiến thức về biến ngẫu nhiên bao gồm biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục; các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, mốt, trung vị,…
Chương 3 gồm các phân phối xác suất thông dụng như phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, phân phối Poisson, phân phối chuẩn,….và các công thức tính xấp xỉ
Chương 4 gồm các khái niệm về véctơ ngẫu nhiên như hệ số tương quan, hiệp phương sai, kỳ vọng và phương sai có điều kiện, …
Chương 5 gồm khái niệm tổng thể và mẫu; các tham số đặc trưng của tổng thể, mẫu như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn,…; phân phối trung bình, tỷ lệ, phương sai của mẫu ngẫu nhiên và các phương pháp tính các tham số của mẫu cụ thể
Chương 6 gồm ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy các tham số (trung bình, tỷ lệ, phương sai) của một tổng thể và hai tổng thể
Chương 7 gồm kiểm định giả thuyết thống kê các tham số (trung bình, tỷ lệ, phương sai) của một tổng thể và hai tổng thể Bên cạnh đó, tài liệu còn bao gồm kiểm định phân phối, sự phù hợp đồng nhất, độc lập của các phân phối
Chương 8 gồm các khái niệm tương quan và hồi qui của các biến ngẫu nhiên
Trong bài giảng có những định lý yêu cầu sinh viên chấp nhận mà không chứng minh vì cách chứng minh khá phức tạp hoặc chưa thực sự cần thiết Chủ yếu làm thế nào để sinh viên hiểu và vận dụng vào việc giải bài tập Tuy nhiên, khi đã hiểu các kiến thức được trình bày trong bài giảng một cách vững chắc thì sinh viên có thể tự trang bị thêm cho mình các kiến thức chuyên sâu về Xác suất thống kê theo yêu cầu của công việc khi ra trường hoặc có nhu cầu học tập tiếp tục lên cao trong tương lai
Trang 4Trong bài giảng có sử dụng một số ví dụ và bài tập trong cuốn [1], [2] và [3]
Chúng tôi rất mong đón nhận và chân thành biết ơn những đóng góp của người đọc về những thiếu sót của bài giảng này cả về nội dung lẫn hình thức
Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về địa chỉ email ltbuu@tdu.edu.vn
Trang 5MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG 0 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
0.1 Giải tích tổ hợp 1
0.1.1 Quy tắc cộng 1
0.1.2 Quy tắc nhân 1
0.1.3 Hoán vị 1
0.1.4 Chỉnh hợp 1
0.1.5 Tổ hợp 2
0.1.6 Nhị thức Newton 2
0.2 Tập hợp 2
0.2.1 Khái niệm 2
0.2.2 Các phép toán trên tập hợp 3
CHƯƠNG 1 XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 4
1.1 Phép thử và biến cố: 4
1.1.1 Phép thử 4
1.1.2 Biến cố 4
1.1.3 Quan hệ giữa các biến cố 5
1.2 Định nghĩa xác suất: 7
1.2.1 Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển 7
1.2.2 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê 9
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 10
1.3 Các công thức tính xác suất 10
1.3.1 Công thức cộng xác suất 10
1.3.2 Công thức nhân xác suất 12
1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ - công thức Bayes 14
1.3.4 Công thức Bernoulli 17
1.4 Xác suất trong chẩn đoán 18
1.4.1 Xác suất liên quan đến xét nghiệm T 18
1.4.2 Tính xác suất hậu nghiệm 20
1.4.3 Mô hình ngưỡng (Threshold Model) 22
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 24
CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 29
2.1 Biến ngẫu nhiên 29
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 29
2.2.1 Định nghĩa 29
2.2.2 Bảng phân phối xác suất 29
2.2.3 Hàm mật độ xác suất (hay gọi tắt hàm mật độ) 30
2.2.4 Hàm phân phối xác suất (hay gọi tắt hàm phân phối) 30
2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 31
2.3.1 Định nghĩa 31
2.3.2 Hàm phân phối xác suất (hay gọi tắt là hàm phân phối) 32
2.3.3 Một số công thức tính xác suất 32
Trang 62.4 Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên 34
2.4.1 X là biến ngẫu nhiên rời rạc 34
2.4.2 X là biến ngẫu nhiên liên tục 35
2.5 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 36
2.5.1 Kỳ vọng (E(X) - Expectation) 36
2.5.2 Phương sai (V(X) - Variance) 37
2.5.3 Mốt (Mod(X) - Mode) 38
2.5.4 Trung vị (Med(X) - Medium) 38
2.5.5 Hàm gây moment 40
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 41
CHƯƠNG 3 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 44
3.1 Phân phối Bernoulli (B(p)) 44
3.1.1 Định nghĩa 44
3.1.2 Tính chất: 44
3.1.3 Mô hình có phân phối Bernoulli 44
3.2 Phân phối nhị thức (B(n;p) 45
3.2.1 Định nghĩa 45
3.2.2 Tính chất 45
3.3 Phân phối siêu bội H(N; N A ; n) 47
3.3.1 Định nghĩa 48
3.3.2 Tính chất 48
3.4 Phân phối Poisson P() 49
3.4.1 Định nghĩa 49
3.4.2 Tính chất: 49
3.5 Phân phối chuẩn N(; 2 ) 50
3.5.1 Phân phối chuẩn N(; 2 ) 50
3.5.2 Phân phối chuẩn tắc N(0; 1) 50
3.5.3 Cách tra bảng phân phối chuẩn tắc 51
3.5.4 Các công thức tính xác suất 53
3.5.5 Phân vị chuẩn mức 54
3.6 Phân phối “khi bình phương” 55
3.7 Phân phối Student 56
3.8 Phân phối Fisher - Snedecor 57
3.9 Luật số lớn 57
3.9.1 Khái niệm hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên 57
3.9.2 Bất đẳng thức Markov 58
3.9.3 Bất đẳng thức Tchebyshev 58
3.9.4 Định lý Tchebyshev 59
3.9.5 Định lý Bernoulli 59
3.10 Các công thức tính xấp xỉ 60
3.10.1 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson 60
3.10.2 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn 60
3.10.3 Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức 61
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 63
Trang 7CHƯƠNG 4 VÉCTƠ NGẪU NHIÊN 66
4.1 Véctơ ngẫu nhiên 66
4.1.1 Khái niệm 66
4.1.2 Mối quan hệ giữa hai thành phần của véctơ ngẫu nhiên 66
4.2 Phân phối xác suất của véctơ ngẫu nhiên hai chiều 66
4.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 66
4.2.2 Phân phối biên (phân phối lề) 67
4.2.3 Hàm mật độ xác suất 68
4.3.4 Hàm phân phối xác suất 68
4.3 Các tham số đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên V = (X,Y) 69
4.3.1 Kỳ vọng và phương sai của các thành phần 69
4.3.2 Hiệp phương sai (Covariance) 69
4.3.3 Hệ số tương quan (X Y, ) 70
4.3.4 Ma trận hiệp phương sai 70
4.3.5 Ma trận tương quan 70
4.4 Kỳ vọng và phương sai có điều kiện 71
4.4.1 Phân phối có điều kiện 71
4.4.2 Kỳ vọng và phương sai có điều kiện của hai biến X, Y rời rạc 71
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 74
CHƯƠNG 5 TỔNG THỂ VÀ MẪU 76
5.1 Các tham số đặc trưng của tổng thể 76
5.1.1 Tổng thể 76
5.1.2 Các tham số đặc trưng của tổng thể 76
5.2 Các tham số đặc trưng của mẫu 77
5.2.1 Mẫu 77
5.2.2 Mẫu ngẫu nhiên 78
5.2.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên 79
5.2.4 Phân phối mẫu 81
5.3 Sắp xếp số liệu và phương pháp tính các tham số mẫu cụ thể 86
5.3.1 Trường hợp mẫu có kích thước nhỏ: 87
5.3.2 Trường hợp mẫu có kích thước lớn: 88
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 93
CHƯƠNG 6 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ 96
6.1 Ước lượng điểm 96
6.1.1 Ước lượng không chệch 96
6.1.2 Ước lượng hiệu quả 96
6.1.3 Ước lượng vững 96
6.2 Ước lượng khoảng tin cậy 97
6.2.1 Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể 98
6.2.2 Ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể p 102
6.2.3 Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 2 104
6.2.4 Ước lượng khoảng tin cậy về hai trung bình của hai tổng thể 1 và 2 106
6.2.5 Ước lượng khoảng tin cậy về hai tỷ lệ của hai tổng thể p 1 và p 2 109
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 111
Trang 8CHƯƠNG 7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 115
7.1 Các khái niệm 115
7.1.1 Khái niệm kiểm định giả thuyết thống kê 115
7.1.2 Giả thuyết H 0 và đối thuyết H 1 115
7.1.3 Sai lầm loại 1 (SLL1) và sai lầm loại 2 (SLL2) 116
7.1.4 Sơ lược về bài toán kiểm định giả thuyết thống kê 118
7.2 Kiểm định có tham số 119
7.2.1 Kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể 119
7.2.3 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể p 122
7.2.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể 2 124
7.2.5 Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 trung bình X và Y của 2 tổng thể X, Y 125
7.2.6 Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 tỷ lệ p X và p Y của hai tổng thể X và Y 129
7.2.7 Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của 2 phương sai X2, Y2 của hai tổng thể X ,Y 130
7.3 Kiểm định sự phù hợp của một phân phối 131
7.3.1 Kiểm định một phân phối phù hợp với phân phối Poisson 131
7.3.2 Kiểm định một phân phối phù hợp với phân phối chuẩn 132
7.4 Kiểm định sự phù hợp của phân phối lý thuyết và phân phối thực nghiệm 134
7.5 Kiểm định sự đồng nhất của các phân phối 135
7.6 Kiểm định sự độc lập hay phụ thuộc của các phân phối 137
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 140
CHƯƠNG 8 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 143
8.1 Mối quan hệ của hai biến ngẫu nhiên 143
8.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên hai chiều 143
8.1.2 Mối quan hệ của hai biến ngẫu nhiên 143
8.1.3 Đồ thị phân tán 143
8.2 Hệ số tương quan 143
8.2.1 Moment tương quan (Hiệp phương sai - Covarian) 143
8.2.2 Hệ số tương quan 144
8.2.3 Ước lượng hệ số tương quan 144
8.2.4 Tính chất của hệ số tương quan 146
8.2.5 Tỷ số tương quan 148
8.3 Hồi qui 148
8.3.1 Kỳ vọng có điều kiện 148
8.3.2 Hàm hồi qui 149
8.3.3 Xác định hàm hồi qui 149
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 155
PHỤ LỤC I Bảng tra 1: Bảng hàm Laplace 2 2 1 ( ) ; ( ) ( ) 2 x f x e f x f x ; i
Bảng tra 2: Hàm 0 22 0 1 ; ( 0) 1 ( )0 2 z ze dtt z z iii
Trang 9Bảng tra 3: Bảng phân vị Student t n; với P T T n ; ; T T n v Bảng tra 4: Bảng phân vị “khi bình phương” n2; với 2 2 2 2
P n vii Bảng tra 5: Bảng phân vị Fisher Fv v1 2; ; với P F F v v 1 2 ; ; ; F F v v ( ; )1 2 x
* TÍNH TOÁN CÁC THAM SỐ CỦA TỔNG THỂ VÀ MẪU BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-570ES xx
* TÍNH TOÁN HỆ SỐ TƯƠNG QUAN VÀ TÌM HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI Y = A + BX BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-570 ES xxi
TÀI LIỆU THAM KHẢO I
Trang 11Giả sử công việc A nào đó có thể được thực hiện bằng một trong k phương án
Có n1 cách thực hiện theo phương án thứ nhất, có n2 cách thực hiện theo phương án thứ hai,…, có nk cách thực hiện theo phương án thứ k; và hai phương án khác nhau không có cách thực hiện chung
Khi đó, công việc A có n = n1 + n2 + … + nk cách thực hiện
0.1.2 Quy tắc nhân
Giả sử công việc A nào đó được thực hiện tuần tự qua k giai đoạn
Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, có n2 cách thực hiện giai đoạn thứ hai,…, và nk cách thực hiện giai đoạn thứ k
Khi đó, công việc A có n = n1.n2…nk cách thực hiện
0.1.3 Hoán vị
Hoán vị của m phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ m phần tử đã cho
Số hoán vị của m phần tử được ký hiệu Pm
Công thức tính: Pm m !
Ví dụ 0.1: Có 7 sinh viên Có bao nhiêu cách sắp 7 sinh viên này:
a) ngồi thành hàng dài? b) ngồi vào bàn tròn có đánh số? c) ngồi thành vòng tròn? Giải:
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu Akn
Công thức tính: k k
n
Ví dụ 0.2: Có 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 Có bao nhiêu cách sắp thành một số có 3 chữ số từ 6 chữ
số trên Biết rằng số có 3 chữ số được sắp có các chữ số:
a) Khác nhau b) Có thể giống nhau
Giải:
Trang 12Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, … và các phần tử của tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái thường như a, b, c, …
Trang 13Một phần tử a thuộc tập hợp A ký hiệu là aA và một phần tử b không thuộc tập hợp B được
Trang 14Chương 1
XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.1 Phép thử và biến cố:
1.1.1 Phép thử
Có hai loại hiện tượng:
(i) Hiện tượng tất yếu: là những hiện tượng nếu được thực hiện ở những điều kiện giống nhau thì kết quả giống nhau
Ví dụ 1.1: Đun nước đến 1000C thì nước sôi
Hiện tượng tất yếu là đối tượng nghiên cứu của Vật Lý, Hóa học
(ii) Hiện tượng ngẫu nhiên: là những hiện tượng dù đã được quan sát ở điều kiện giống nhau nhưng kết quả có thể khác nhau
Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của xác suất
- Phép thử ngẫu nhiên, hay gọi tắt là phép thử, là việc thực hiện một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào đó mà không biết kết quả nào sẽ xảy ra nhưng có thể biết tất cả các kết quả có thể xảy ra
- Phép thử ngẫu nhiên được ký hiệu
- Mỗi kết quả của phép thử là một biến cố sơ cấp, ký hiệu Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa
- Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu hay còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp, ký hiệu
Ví dụ 1.2: + Xét phép thử “tung 1 xúc xắc cân đối và đồng chất” Quan sát số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc ta thấy có 6 kết quả có thể xảy ra là 1, 2, 3, 4, 5, 6
không gian mẫu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
+ Xét phép thử “tung 1 đồng xu”
không gian mẫu = {S, N}
với S : đồng xu xuất hiện mặt sấp; N : đồng xu xuất hiện mặt ngữa
+ Xét phép thử “tung đồng thời 2 đồng xu”
không gian mẫu = {SS, SN, NS, NN}
+ Xét phép thử “tung một đồng xu nếu xuất hiện mặt sấp thì tung tiếp đồng xu đó lần thứ hai, nếu xuất hiện mặt ngửa thì tung một con xúc xắc”
không gian mẫu { ,SS SN N N N N N N, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
1.1.2 Biến cố
- Tập con của không gian mẫu được gọi là biến cố, ký hiệu bằng các chữa cái A, B, …
- Xét biến cố A, khi thực hiện phép thử ta được kết quả :
+ Nếu A, ta nói biến cố A xảy ra
+ Ngược lại, nếu A, ta nói biến cố A không xảy ra
- Biến cố không thể, ký hiệu , là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử
Trang 15- Biến cố chắc chắn, ký hiệu , là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử
- Mỗi kết quả của phép thử được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A nếu biến cố A xảy
ra khi kết quả của là
Ví dụ 1.3: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc cân đối và đồng chất”
Gọi C là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là 1 và 5 C = {1, 5}
Gọi D là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6 D là biến cố không thể (tức
là D = )
Gọi E là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6 E là biến cố chắc chắn (tức là E = )
Trong phép thử trên, nếu khi thực hiện phép thử kết quả là
+ = 4, ta nói biến cố A xảy ra
+ = 1, ta nói biến cố A không xảy ra
1.1.3 Quan hệ giữa các biến cố
Cho A, B là hai biến cố bất kỳ trong không gian mẫu
i) Quan hệ kéo theo (A B) : Nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra
Ví dụ 1.4: Trong phép thử “tung 1 xúc xắc”
Gọi Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là i, i1,6
và B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là lẻ B = {1, 3, 5}
Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, …, An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 biến cố Ai (i1,n) xảy ra, ký hiệu
1
n i i
iv) Tích (hay giao) của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A
và B cùng xảy ra, ký hiệu A B (hoặc A.B)
Trang 16Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, …, An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến
Tổng quát: n biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập toàn phần nếu một biến cố bất kỳ Ai
(i1,n) độc lập với tích (n-1) biến cố còn lại
+ n biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc lập từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ Ai, Aj (i j ;
i j n) độc lập với nhau
Chú ý : Nếu 2 biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố sau: A B A B A B, ; , ; , cũng độc lập ix) Một số lưu ý:
i) Biến cố sơ cấp là biến cố không thể biểu diễn thành tổng của các biến cố khác
ii) Mọi biến cố bất kỳ A đều biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp Các biến cố cố sơ cấp này là các biến cố thuận lợi cho biến cố A
Trang 17iii) Biến cố chắc chắn là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể, nghĩa là mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho Do đó, còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp
iv) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có cùng khả năng xuất hiện như nhau trong một phép thử ngẫu nhiên
v) Các khái niệm về biến cố được xây dựng trên các khái niệm về tập hợp nên các tính chất
Xác suất của một biến cố là một con số đo lường khả năng xảy ra khách quan của biến cố đó khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên
Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A)
1.2.1 Định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển
- Xét phép thử với các kết quả có thể xảy ra đồng khả năng và không gian mẫu có hữu hạn các biến cố sơ cấp (tức là { , , };| |1 n )
Trang 18Khi đó, xác suất của biến cố A là
| |( )
Ví dụ 1.8: Một hộp đựng 15 bi trong đó có 5 bi xanh và 10 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp trên Tính xác suất trong 3 bi lấy ra có
Cc) Gọi C là biến cố trong 3 bi lấy ra có nhiều nhất 1 xanh
Ví dụ 1.9: Một người gọi điện thoại nhưng lại quên 2 số cuối của số điện thoại cần gọi Tìm xác suất để người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi ?
Trang 19a) Biết rằng người đó nhớ 2 số cuối của số điện thoại là khác nhau ?
b) Người đó không nhớ gì về đặc điểm của 2 số cuối của số điện thoại cần gọi ?
1.2.2 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê
Giả sử phép thử có thể được lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong những điều kiện giống hệt nhau Nếu trong n lần thực hiện phép thử mà quan sát thấy biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số
k
n được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A
Người ta chứng minh được rằng: Khi n thì k P A( )
Ví dụ 1.10: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt số khi tung một đồng tiền, Buffon và Pearson tiến hành nhiều lần và kết quả cho bởi bảng sau:
Người thực hiện Số lần
thực hiện
Số lần xuất hiện mặt số Tần suất Buffon
Pearson (đợt 1)
Pearson (đợt 2)
4.040 12.000 24.000
2.048 6.019 12.012
0,5080 0,5016 0,5005
Ta đã biết xác suất xuất hiện mặt số khi tung đồng tiền là 0,5 Qua kết quả trên, ta thấy khi số lần tung càng tăng thì tần suất xuất hiện mặt số càng tiến dần về 0,5
Nhận xét: Phương pháp này khắc phục nhược điểm của phương pháp tính xác suất theo phương pháp cổ điển, tức là tính được xác suất dựa trên quan sát thực tế, không đòi hỏi phép thử phải có hữu hạn biến cố đồng khả năng, do đó phương pháp tính xác suất này được ứng dụng rộng rãi trong thực tế Tuy nhiên, do phương pháp tính xác suất theo phương pháp thống kê dựa trên kết quả quan sát nên yêu cầu phép thử phải thực hiện nhiều lần, vì thế trong nhiều bài toán thực tế không cho phép do điều kiện kinh phí để thực hiện phép thử
Trang 20Ví dụ 1.11: Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào một mục tiêu có 70 viên trúng mục tiêu Khi
đó, xác suất để xạ thủ bắn trúng mục tiêu là 70 7%
Ví dụ 1.12: Thống kê 10.000 thanh niên trưởng thành ở địa phương A thì thấy có 300 thanh niên mắc bệnh B Khi đó, ta nói xác suất để một thanh niên địa phương A mắc bệnh B là 3%
1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề
* Giả sử là biến cố chắc chắn Gọi là họ các tập con của thỏa các điều kiện sau:
i) chứa
ii) Nếu A, B thì A, A+B, A.B
Họ thỏa i) và ii) thì được gọi là đại số
iii) Nếu A1 , A2 , … , An , … là các phần tử của thì tổng và tích vô hạn
A1+A2+…+An+… và A1A2…An… cũng thuộc
Nếu thỏa i) , ii) và iii) thì được gọi là -đại số
* Xác suất trên (,) là một hàm số P xác định trên có giá trị trong đoạn [0;1] và thỏa 3 tiên đề sau:
i) P() = 1
ii) P(A+B) = P(A) + P(B) (với A, B xung khắc)
iii) Nếu dãy {An} có tính chất A1 A2 … An … và A1A2…An… = thì
Gọi n là số phần tử của không gian mẫu
n 1 là số phần tử của A\B ; n 2 là số phẩn tử của AB ; n 3 là số phần tử của B\A
Trang 21ii) Cho 3 biến cố bất kỳ A, B, C trong không gian mẫu
Ví dụ 1.13: Trong một lớp có 50 sinh viên trong đó 20 sinh viên có chứng chỉ A Ngoại ngữ,
22 sinh viên có chứng chỉ A Tin học và 10 sinh viên có cả hai chứng chỉ trên Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp trên, tính xác suất sinh viên được chọn
a) có ít nhất 1 chứng chỉ? (chứng chỉ A Ngoại ngữ hoặc chứng chỉ A Tin học)
b) không có chứng chỉ nào?
c) không có chứng chỉ A Ngoại ngữ hoặc không có chứng chỉ A Tin học?
d) có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng không có chứng chỉ A Tin học?
e) không có chứng chỉ A Ngoại ngữ nhưng có chứng chỉ A Tin học?
Giải:
Gọi A là biến cố sinh viên được chọn có chứng chỉ A Ngoại ngữ
Gọi B là biến cố sinh viên được chọn có chứng chỉ A Tin học
Trang 22( ) ( \ ) ( ) ( ) 0,44 0,2 0,24
1.3.2 Công thức nhân xác suất
1.3.2.1 Xác suất có điều kiện
Cho A, B là 2 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu
- Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B, ký hiệu P A B( | )
Gọi n là số phần tử của ; n B là số phần tử của biến cố B; n AB là số phần tử của biến cố AB
Giả sử B đã xảy ra, khi đó B là biến cố chắc chắn nên ta có thể chọn B là không gian mẫu thu gọn
Biến cố A xảy ra sau khi biến cố B đã xảy ra, ký hiệu A|B
Trong không gian mẫu , biến cố A|B xảy ra khi vả chỉ khi AB xảy ra
Chú ý: Khi cố định biến cố B thì xác suất có điều kiện P A B( | )có các tính chất sau:
Gọi A là biến cố lá bài lấy ra có số nút nhỏ hơn 5
Gọi B là biến cố lá bài lấy ra có màu đỏ
Trang 23Ví dụ 1.15: Xét phép thử “tung 1 xúc xắc với điều kiện xúc xắc được sơn màu xanh trên các mặt có số chấm là lẻ và sơn màu đỏ trên các mặt có số chấm là chẳn” Tính xác suất xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4 biết rằng xúc xắc xuất hiện mặt có màu xanh?
Giải:
Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4
Gọi B là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt có màu xanh
1.3.2.2 Công thức nhân xác suất
Cho A, B là 2 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu Khi đó, ta có
Nhận xét: Từ định nghĩa và các công thức trên suy ra
Hai biến cố A , B độc lập P(A.B) = P(A).P(B)
n biến cố A1 , A2 , …, An được gọi là độc lập từng đôi
Ta thấy phép thử trên có 4 kết quả có thể xảy ra (hay phép thử có 4 biến cố sơ cấp)
Gọi 1 = {S1S2}; 2 = {S1C2}; 3 = {C1S2}; 4 = {C1C2}
Đặt A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4}
Trang 24Vậy ba biến cố A, B, C độc lập từng đôi nhưng không độc lập toàn phần
Ví dụ 1.17: Cho hai hộp bi có hai loại bi: bi xanh và bi trắng cân đối và đồng chất, biết hộp I
có 20 bi, trong đó có 7 bi xanh; hộp II có 30 bi trong đó có 5 bi xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi Tính xác suất
a) Hai bi lấy ra cùng màu b) Hai bi lấy ra khác màu
Giải
Gọi X1 , X2 là biến cố lấy được bi xanh từ hộp I, II
T1 , T2 là biến cố lấy được bi trắng từ hộp I, II
a) Gọi A là biến cố hai bi lấy ra cùng màu
Chú ý: Cho A là 1 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu
Ta có A A và A A Hệ 2 biến cố { , }A A là hệ biến cố đầy đủ
Trang 251.3.3.2 Công thức xác suất đầy đủ
Cho { }Ai i n1, là hệ biến cố đầy đủ và B là 1 biến cố bất kỳ trong không gian mẫu
Chú ý: Xác suất ( | )P A B được gọi là xác suất hậu nghiệm, còn xác suất k P A được gọi i
là xác suất tiên nghiệm
Ví dụ 1.18 : Trong một kỳ thi có 100 thí sinh, trong đó có 60 nữ và 40 nam Kết quả có 40 thí sinh trúng tuyển, trong đó có 22 nam và 18 nữ
a) Lấy ngẫu nhiên 1 túi hồ sơ trong 100 thí sinh trên Tính xác suất túi hồ sơ đó trúng tuyển ? b) Giả sử lấy được túi hồ sơ trúng tuyển Tính xác suất túi hồ sơ đó của nữ ?
Giải
a) Gọi A biến cố lấy được túi hồ sơ của nam Khi đó, A là biến cố lấy được túi hồ sơ của nữ
B là biến cố lấy được túi hồ sơ trúng tuyển
Ta thấy, {A, A} là hệ biến cố đầy đủ
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố A và B ta có
Trang 26b) Áp dụng công thức Bayes cho ta
40 18( ) ( | ) 100 40
a) Gọi Ai (i = 1,2,3) lần lượt là biến cố lọ thuốc lấy được thuộc hộp I, II, III
B là biến cố lọ thuốc lấy được là lọ tốt
Hệ {A1, A2, A3} là hệ biến cố đầy đủ
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có
3 1
Áp dụng công thức Bayes cho ta
- Xác suất lọ thuốc hỏng được lấy thuộc hộp I là
1
1 3( ) ( | ) 3 10
0,2( )
0,2( )
0,2( )
P A P B A x
P A B
P BVậy lọ thuốc hỏng được lấy có khả năng thuộc hộp I là cao nhất
Ví dụ 1.20 : Trong một kỳ thi có 100 thí sinh, trong đó có 60 nữ và 40 nam Kết quả có 40 thí sinh trúng tuyển, trong đó có 22 nam và 18 nữ
a) Lấy ngẫu nhiên 1 túi hồ sơ trong 100 thí sinh trên Tính xác suất túi hồ sơ đó trúng tuyển ?
Trang 27b) Giả sử lấy được túi hồ sơ trúng tuyển Tính xác suất túi hồ sơ đó của nữ ?
Giải
a) Gọi A biến cố lấy được túi hồ sơ của nam Khi đó, A là biến cố lấy được túi hồ sơ của nữ
B là biến cố lấy được túi hồ sơ trúng tuyển
Ta thấy, {A, A} là hệ biến cố đầy đủ
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố A và B ta có
ii) Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A và A xuất hiện
iii) Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử không đổi và bằng p (tức là P A( ) p
Gọi A là biến cố gieo một hạt, hạt đó nẩy mầm
Ta thấy, việc gieo 10 hạt đậu xem như việc thực hiện 10 phép thử Bernoulli
Trang 28Giải
Áp dụng cơng thức Bernoulli với n là số sinh viên cần chọn
Gọi A là biến cố chọn 1 sinh viên trường đại học X, sinh viên đĩ bị cận thị
1.4 Xác suất trong chẩn đốn
1.4.1 Xác suất liên quan đến xét nghiệm T
Độnhạy(Sn) P T B Dương thật
là khả năng xét nghiệm cho dương tính (T+) đối với người bệnh B (tức B+)
( | )
Độchuyên(Sp) P T B Âm thật
là khả năng xét nghiệm cho âm tính (T-) đối với người khơng bệnh B (tức B-) ( | ) ươn û
(ii) Âm thật + Dươnggiả P T B ( | )P T B( | ) 1
(iii) Độ nhạy càng cao thì âm giả càng thấp và ngược lại
Độ chuyên càng cao thì dương giả càng thấp và ngược lại
B.4.1.2 Cách xác định độ nhạy và độ chuyên
B+ B-
Trang 29(i) Nếu N được chọn từ một dân số (cộng đồng) thì P B( ) N1
N được gọi là tỷ lệ bệnh B
đang lưu hành (Prevalence)
(ii) ( )P T và ( ) P T không phụ thuộc vào cỡ mẫu N mà tùy thuộc vào bản thân xét
nghiệm
(iii) Độ nhạy và độ chuyên không phù thuộc vào cỡ mẫu N và cũng không phụ thuộc vào tỷ
lệ bệnh đang lưu hành mà tùy thuộc vào bản thân xét nghiệm
1.4.1.3 Đường cong ROC (Receiver Operator Characteristic curve)
Trang 30ROC được vẽ trên hệ trục vuông góc: Trục hoành ứng với Dương giả và trục tung ứng với dương thật
Điểm cắt Cf (Cutoff) được gọi là tốt nhất khi với Cf đó Sn và Sp đều lớn (tức là Dương giả
và âm giả đều nhỏ)
1.4.1.4 Độ nhạy, độ chuyên và tỷ cơ hội
i) Số chênh của một biến cố (Odd)
Số chênh của biến cố A, ký hiệu Od(A) là mức độ chênh lệch về khả năng xảy ra và không xảy ra của một biến cố
(i) - Nếu Od(A) > 1 : A có khả năng xảy ra lớn hơn A
- Nếu Od(A) < 1 : A có khả năng xảy ra nhỏ hơn A
- Nếu Od(A) = 1 : A và A có khả năng xảy ra như nhau
ii) Tỷ cơ hội (Likelihood)
Tỷ cơ hội (còn gọi là tỷ khả năng, hay tỷ xác suất), ký hiệu LR, nhằm so sánh khả năng biến cố A xảy ra trong điều kiện B với khả năng biến cố A xảy ra trong điều kiện không B (B)
( | )( )
1.4.2 Tính xác suất hậu nghiệm
Khi có kết quả của xét nghiệm T, tính xác suất hậu nghiệm PP P B T hoặc ( | )
( | )
1.4.2.1 Dùng công thức Bayes
Trang 31Tiền nghiệm = B+ = Pretest ( Od(B+) = Od(Pretest))
Hậu nghiệm dương = B+ | T+ = Posttest+ ( Od(B+ | T+) = Od(Posttest+))
Hậu nghiệm âm = B+ | T- = Posttest- ( Od(B+ | T-) = Od(Posttest-))
Trang 32( | ) ( ).
Od Posttest Od etest LRhay Od B T Od B LR
Od Posttest Od etest LR LR LR Nghĩa là lấy Od(Posttest) của xét nghiệm trước làm Od(Pretest) cho xét nghiệm sau (iv) Tính xác suất hậu nghiệm theo tỷ cơ hội và số chênh:
1.4.3 Mô hình ngưỡng (Threshold Model)
Trước khi cho làm xét nghiệm T, bác sĩ nghi ngờ bệnh nhân bị bệnh B, ký hiệu P(B+), là bao nhiêu?
Dưới góc độ xác suất tại một thời điểm, xác suất bị bệnh, P(B+), là trong khoảng (0;1)
Không điều trị Xét nghiệm Điều trị
Trang 33T: là vị trí mà tại đó không có sự khác nhau về giá trị giữa kết quả xét nghiệm với việc có điều trị T được gọi là ngưỡng điều trị
Nếu P(B+) > T bác sĩ cho rằng bệnh nhân bị bệnh, do đó bác sĩ cứ điều trị cho bệnh nhân mà không cần làm xét nghiệm
Ngưỡng xét nghiệm Tt và ngưỡng điều trị T được tính theo công thức sau:
Trường hợp xét nghiệm khá chính xét, ít rủi ro và ít tốn kém, bác sĩ thường cho làm xét nghiệm rộng rãi dù P(B+) cao hay thấp Vùng xét nghiệm rộng ra
Ngược lại, nếu xét nghiệm ít chính xác hoặc nhiều rủi ro và tốn kém thì bác sĩ ít chỉ định làm xét nghiệm Vùng xét nghiệm thu hẹp lại
Mô hình ngưỡng giải thích việc bác sĩ cho làm xét nghiệm T hay điều trị hay không điều trị là tùy vào P(B+) rơi vào cùng nào
Trang 34BÀI TẬP CHƯƠNG 1
XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
Bài 1.1 Một lớp học có 60 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm gồm 10 sinh viên trong lớp trên Tính xác suất trong nhóm sinh viên được chọn có:
a) đúng 3 sinh viên nữ b) có ít nhất 1 sinh viên nữ
c) không có sinh viên nữ nào d) có nhiều nhất 8 sinh viên nữ
Bài 1.2 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 nữ và 30 nam Trong kỳ thi môn toán có 10 sinh viên đạt điểm giỏi, trong đó có 6 nam và 4 nữ Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn toán, biết rằng sinh viên đó là nữ?
Bài 1.3 Một hộp đựng 10 phiếu trong đó chỉ có 2 phiếu có trúng thưởng Có 10 người lần lượt rút ngẫu nhiên mỗi người một phiếu
a) Tính xác suất người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng?
b) Giả sử người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng, tính xác suất người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng?
Bài 1.4 Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên hai viên đạn vào cùng một bia Xác suất trúng bia của viên thứ nhất là 0,85; nếu viên thứ nhất trúng bia thì xác suất trúng bia của viên hai là 0,8, còn nếu viên thứ nhất không trúng bia do tâm lý xác suất trúng bia của viên thứ hai là 0,55 Tính xác suất a) cả hai viên đạn trúng bia? b) viên thứ hai trúng bia? c) cả hai viên đều trật?
Bài 1.5 Xác suất bắn trúng bia của mỗi viên đạn là 0,75
a) Bắn ngẫu nhiên 15 viên đạn Tính xác suất có trúng bia?
b) Phải bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất có trúng bia lớn hơn 95%?
Bài 1.6 Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 19%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc
cả hai bệnh này là 5%
a) Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng Tính xác suất để người đó
a1) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp?
a2) không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp?
a3) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp?
a4) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp?
a5) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp?
b) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy có dấu hiệu mắc bệnh huyết áp Tính xác suất người này bị bệnh tim?
c) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy không có dấu hiệu mắc bệnh huyết áp Tính xác suất người này không bị bệnh tim?
d) Khám ngẫu nhiên 15 người trong vùng Tính xác suất trong 10 người được khám không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh tim?
e) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng Tính xác suất trong 20 người được khám không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp)?
Trang 35f) Cần khám tối thiểu bao nhiêu người trong vùng sao cho xác suất có ít nhất một người bị bệnh tim 90%?
Bài 1.7 Trong dân số, tỷ lệ bệnh A là 25%, tỷ lệ bệnh B là 35% và trong số những người bệnh A thì tỷ lệ bệnh B là 75%
a) Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị bệnh B Tính xác suất người này mắc bệnh A?
b) Khám ngẫu nhiên một người khác và thấy người này không bị bệnh B Tính xác suất người này không bị bệnh A?
c) Khám ngẫu nhiên 15 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh B?
d) Khám ngẫu nhiên 20 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A?
e) Khám ngẫu nhiên 25 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A và bị bệnh B?
f) Khám ngẫu nhiên 30 người, tính xác suất có không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (không bị bệnh A cũng không bị bệnh B)?
Bài 1.8 Có ba hộp đựng thuốc Hộp B1 có 15 lọ thuốc trong đó có 5 lọ hỏng và 10 lọ tốt; hộp B2 có
20 lọ trong đó có 8 lọ hỏng và 12 lọ tốt; hộp B3 có 25 lọ thuốc trong đó có 10 lọ hỏng và 15 lọ tốt
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất trong 3 lọ được lấy có 2 lọ hỏng; ít nhất 1 lọ hỏng;
2 lọ tốt?
b) b1) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 lọ Tính xác suất lấy được lọ thuốc tốt? lọ thuốc hỏng?
b2) Nếu lấy được lọ tốt, phán đoán lọ tốt được lấy thuộc hộp nào?
c) Dồn chung ba hộp lại, sau đó lấy ngẫu nhiên 3 lọ Tính xác suất trong 3 lọ được lấy có 2 lọ tốt;
ít nhất 1 lọ tốt; không có lọ hỏng?
Bài 1.9 Một dân số có 45% đàn ông và 55% phụ nữ Tỷ lệ loạn sắc của đàn ông là 4% và của phụ
nữ là 0,5% Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó
a) Tính xác suất người này bị loạn sắc?
b) Nếu người này bị loạn sắc, tính khả năng người này là phụ nữ?
c) Nếu người này không bị loạn sắc thì khả năng người này là đàn ông bao nhiêu?
Bài 1.10 Bệnh A có thể đưa đến hậu quả: Chết 10%, liệt nửa người 40%, liệt hai chân 30%, khỏi hoàn toàn 20%
a) Tính xác suất người bệnh không chết, người bệnh bị tật (liệt nửa người hoặc liệt hai chân)? b) Nếu người bệnh không chết, tính xác suất để người đó bị tật?
Bài 1.11 Ở một vùng cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá Biết tỉ lệ người bị viêm họng trong
số người hút thuốc là 60%, còn trong số người không hút là 10%
a) Khám ngẫu nhiên một người Tìm xác suất để người đó bị viêm họng
b) Giả sử người được khám bị viêm họng Tìm xác suất anh ta hút thuốc
c) Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc bằng bao nhiêu?
Trang 36Bài 1.12 Tỷ lệ bệnh B của trẻ em trai trong dân số là 20% và của trẻ em gái là 25% Khám ngẫu nhiên 7 trẻ em trai và 8 trẻ em gái Tính xác suất trong 15 trẻ được khám có 1 trẻ, 2 trẻ, không có trẻ, ít nhất 1 trẻ bị bệnh B?
Bài 1.13 Một hồi cứu về bệnh ung thư vú sau phẩu thuật cho biết: Tỷ lệ sống không quá 5 năm là 35%, tỷ lệ có hạch di căn là 30% Trong hồi cứu này số ca vừa sống qua 5 năm và có di hạch di căn bằng phân nữa số ca không có hạch di căn và không sống quá 5 năm
a) Một người bị ung thư vú và có hạch di căn Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
b) Một người bị ung thư vú và không có hạch di căn Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
Bài 1.14 Tỷ lệ suy tim trong dân số là 3%, tỷ lệ bướu cổ là 12%, trong những người bướu cổ thì tỷ
lệ suy tim là 10%
a) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người vừa bị bướu cổ vừa bị suy tim lớn hơn 95%?
b) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người bị bướu cổ lớn hơn 90%?
c) Một người đến khám, thấy có dấu hiệu suy tim Tính xác suất người này bị bướu cổ?
d) Một người đến khám, thấy không có dấu hiệu suy tim Tính khả năng người này không bị bướu cổ?
Bài 1.15 Một bệnh nhân uống nhầm một trong ba loại thuốc A, B, hoặc C bề ngoài rất giống nhau
để trong tủ thuốc, biết rằng có 3 lọ loại A, 5 lọ loại B và 2 lọ loại C Uống nhầm loại thuốc nào cũng gây hạ huyết áp, biết rằng có 75% nếu dùng thuốc loại A, 65% nếu dùng thuốc loại B và 20% nếu dùng thuốc loại C
a) Tính xác suất bệnh nhân trên bị hạ huyết áp?
b) Giả sử bệnh nhân trên bị hạ huyết áp Ba loại thuốc trên có cách xử lý khác nhau và không tương thích Nếu không xử lý kịp thời sẽ để lại di chứng biết rằng khả năng để lại di chứng là 12% nếu uống nhầm thuốc loại A, 15% nếu uống nhầm thuốc loại B và 20% nếu uống nhầm thuốc loại C Để hạn chế di chứng phải xử lý theo hướng nào? (nhầm A, nhầm B hay nhầm C) Bài 1.16 Theo tài liệu nghiên cứu: trong 100 người bị đau nhói dưới ngực thì có 10 người bị bệnh mạch vành, 20 người bị bệnh đường hô hấp, 30 người bị bệnh đường tiêu hóa và số còn lại khỏe mạnh bình thường Gọi A là biến cố triệu chứng đau dưới ngực khi gắng sức và hết đau khi nghỉ ngơi Biết rằng nếu người bị bệnh mạch vành thì chắc chắn có triệu chứng A, nếu bị bệnh đường
hô hấp thì 25% có triệu chứng A, nếu bị bệnh đường tiêu hóa thì có 35% có triệu chứng A Một người có triệu chứng A đến khám bệnh, bác sĩ chỉ nghĩ đến 3 bệnh trên Khả năng người này bị bệnh nào là cao nhất?
XÁC SUẤT TRONG CHẨN ĐOÁN
Bài 1.17 Bệnh M chỉ có hai loại là M1 và M2 Chỉ xét hai triệu chứng là S1 và S2 Lấy ngẫu nhiên
390 người bệnh M, có 190 người thuộc loại M1 và 200 người thuộc loại M2 Phân tích như sau:
1
Trang 37S2 20 40 S2 80 60 a) Đặt xét nghiệm T chẩn đoán bệnh M2: T dương tính khi người bệnh M2 có S2 và T âm tính khi người bệnh M không có S2 Tính độ nhạy, độ chuyên, PV P M T( 2| ), PV P M( 2| )T
192 người bị M2 Trong 208 người bị M1 có 37 người không có S1 và không có S2, 103 người
có S1 và không có S2, 21 người không có S1 và có S2 Trong 192 người bị M2 có 33 người không có S1 và không có S2, 22 người có S1 và không có S2, 74 người không có S1 và có S2 a) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, tính xác suất bị M1 và xác suất bị M2 của bệnh nhân trong các trường hợp sau:
a1) không có S1 và không có S2? a2) có S1 và không có S2?
a3) không có S1 và có S2? a4) có S1 và có S2?
b) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, đặt xét nghiệm T chẩn đoán bệnh nhân đó bị M2 như sau: T dương tính khi bệnh nhân có S2 và T âm tính khi bệnh nhân đó không có S2 Tính độ nhạy và
độ chuyên của xét nghiệm T?
Bài 1.19 Một người đến khám vì ho ra máu Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì những trường hợp như vậy có thể là:
+ B1 = lao phổi với xác suất 0,60
+ B2 = dãn phế quản với xác suất 0,30
+ B3 = bệnh khác với xác suất 0,10
Cho bệnh nhân làm xét nghiệm IDR Kết quả IDR+
Theo kinh nghiệm của phòng xét nghiệm thì IDR+ trong bệnh nhân lao phổi là 0,70 và dương giả trong bệnh nhân khác là 0,05
Tính khả năng bệnh nhân trên bị lao phổi?
Bài 1.20 Tỷ lệ bệnh B trong một vùng là 20% Để chẩn đoán bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T1 Biết xét nghiệm T1 có độ nhạy là 90% và độ chuyên là 80%
a) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng Tính xác suất có đúng 3 người, ít nhất 1 người, nhiều nhất 2 người bị bệnh B?
b) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T1, kết quả T1 dương tính Tính xác suất người này mắc bệnh B?
c) Bác sĩ cho người này tiếp tục làm xét nghiệm T2, biết độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T2
bằng nhau và bằng 85%
c1) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là dương tính, tính xác suất người bị bệnh B? c2) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là âm tính, tính xác suất người bị bệnh B?
Trang 38Bài 1.21 Một người “nghi ngờ” mình bị bệnh B nên xin làm xét nghiệm để kiểm tra Có hai xét nghiệm T1 và T2 có chi phí và cách thực hiện như nhau Biết độ nhạy và độ chuyên của T1 là 85% và 90%; còn T2 là 92% và 82%
a) Nên chọn xét nghiệm nào để kiểm tra người này? Tại sao?
b) Biết tỷ lệ bệnh này trong dân số là 20/00 và xét nghiệm vừa chọn của người này có kết quả dương tính Tính khả năng người này bị bệnh B?
c) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả T âm tính Tính xác suất người này không mắc bệnh B?
Bài 1.22 Số bệnh nhân đến khám tại một phòng khám thường bị một trong ba bệnh B1, B2, B3 với
tỷ lệ 35%, 45%, 20% Để chẩn đoán, bác sĩ dùng ba xét nghiệm T1, T2, T3, kết quả mỗi xét nghiệm là + hay – (ký hiệu 1 hay 0)
(001| ) 0,3; (100 | ) 0,25; (011| ) 0,45(000 | ) 0,25; (010 | ) 0,75; (111| ) 1
b) Tương tự câu a) nhưng T1 âm, T2 âm?
c) Chứng tỏ rằng chỉ cần 2 trong 3 xét nghiệm trên là đủ chẩn đoán bệnh B1, B2 hoặc B3?
Bài 1.23 Bệnh B có 3 loại B1, B2, B3 lần lượt có tỷ lệ tương ứng là 30%, 20% và 50% Để chẩn đoán bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T, biết P T B | 1 25%; P T B | 2 10%;
a) Tính độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T1 và T2?
b) Nếu chỉ dùng 1 trong hai xét nghiệm để chẩn đoán bệnh nhân nghi ngờ mắc bệnh B, nên dùng xét nghiệm nào? Tại sao?
Bài 1.25 Chị A đến khám bệnh vì thấy đau ở vú Bác sĩ nghi ngờ chị A bị K vú với xác suất là 0,001 Chị A được cho làm xét nghiệm T1 và có kết quả là dương tính biết xét nghiệm T1 có độ nhạy là 99% và độ chuyên là 88% Sau khi có kết quả T1, chị A được cho làm tiếp xét nghiệm T2
và kết quả xét nghiệm T2 cũng dương tính, biết xét nghiệm T2 có độ nhạy 88% và độ chuyên là 99%
a) Tính xác suất chị A bị K vú?
b) Với 2 xét nghiệm T1, T2 nên cho chị A làm xét nghiệm nào trước và xét nghiệm nào sau? Giải thích?
Trang 39Chương 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1 Biến ngẫu nhiên
- Xét phép thử có không gian mẫu
Khi đó, X được gọi là biến ngẫu nhiên và x gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X
Ta thường dùng các chữ cái in hoa X, Y, Z, … để ký hiệu biến ngẫu nhiên và giá trị của nó được ký hiệu bằng các chữ cái thường x, y, z, …
- Biến ngẫu nhiên được chia thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc
là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập giá trị X() của nó là
một số hữu hạn các giá trị x1, x2, …, xn hoặc vô hạn đếm được các giá trị x1, x2, …, xn,…
Ví dụ 2.1: Gieo ngẫu nhiên ba xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi X là số xúc sắc xuất hiện mặt
“một chấm”
Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có là 0,1,2,3
Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố xúc xắc i xuất hiện mặt “một chấm”
Ta được không gian mẫu
2.2.2 Bảng phân phối xác suất
Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có của nó là x1 , x2 , …, xn với
Trang 402.2.3 Hàm mật độ xác suất (hay gọi tắt hàm mật độ)
Định nghĩa Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
xx
2.2.4 Hàm phân phối xác suất (hay gọi tắt hàm phân phối)
Định nghĩa Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất