Cac chuyen de toan dai so lop 9

CĂN BẬC HAI M ục tiêu  Ki ến thức + Nêu được định nghĩa căn bậc hai số học của số không âm.. Căn thức bậc hai Căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức b

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038

Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng 5 năm 2022

CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

BÀI 1 CĂN BẬC HAI

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nêu được định nghĩa căn bậc hai số học của số không âm

+ Điều kiện có căn bậc hai của một số thực

+ Nắm vững quan hệ so sánh của căn bậc hai số học

 Kĩ năng

+ Tìm được căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số

+ Phân biệt được định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học

+ Biết so sánh các căn bậc hai

+ Giải được phương trình x a=

+ Giải được phương trình 2

x =a

Số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau:

Số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là − a

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0=

Căn bậc hai số học

Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

2 So sánh hai căn bậc hai số học

Với hai số a và b không âm, ta có

a< ⇔b a < b

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số

Bài toán 1 Tìm căn bậc hai

Phương pháp giải

Căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a không âm là số x

Ví d ụ: Tìm căn bậc hai của 121

Căn bậc hai số học của 0 là 0

So sánh

0≤ < ⇔a b a < b

CĂN BẬC HAI

0

a=

viết 0 0= Do đó 121 có hai căn bậc hai là 11 và 11−

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

Ví d ụ: Tìm căn bậc hai số học của 121

a) Ta có 9= Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3 3

b) Căn bậc hai số học của 0 là 0

Vì x không âm nên 0≤ <x 4

ĐÁP ÁN - BÀI 1 CĂN BẬC HAI

D ạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số

2 và

12

c) Ta có x2−25=0 2 2 5

5

5

x x

CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nắm được định nghĩa căn thức bậc hai

+ Nắm vững điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức bậc hai

+ Hiểu được hằng đẳng thức 2

 Kĩ năng

+ Giải được phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai

+ Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa

+ Bi ết cách so sánh các căn bậc hai

+ Rút gọn được biểu thức dạng 2

A

I LÍ THUY ẾT TRỌNG TÂM

1 Căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn

thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức

lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

Điều kiện xác định

Biểu thức A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy

giá trị không âm

2 Nh ắc lại một số dạng bất phương trình cơ bản

Chia hai vế của bất phương trình cho một số dương

bất kỳ thì bất phương trình không đổi chiều, còn

chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì

bất phương trình đổi chiều

A là căn bậc hai của A

A là biểu thức dưới dấu căn A

A có nghĩa khi A≥0

2 A khi A 0

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Giải phương trình, bất phương trình

Bài toán 1 Gi ải phương trình

d) Ta có 2

9

x = −

Vì −9 là số âm nên phương trình vô nghiệm

Ví d ụ 2 Giải các phương trình sau

d) Ta có x2+ ≥ và 1 0 − <2 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài toán 2 Gi ải bất phương trình

3

x < − f) x− ≥ − 1 3Với số dương a ta có

x x

x >a x ≥a x >a x ≥a có nghiệm với mọi

x thỏa mãn điều kiện xác định, còn bất phương

Vì x− ≥ với mọi 1 0 x≥1

Mà − <3 0 nên bất phương trình nghiệm đúng với

mọi x thỏa điều kiện xác định

Vậy bất phương trình có nghiệm x≥1

Ví d ụ 2 Giải các bất phương trình sau

c) 2x− ≤ 1 3 d) 3x2+ ≤ − 1 1

Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa

Bài toán 1: Biểu thức A có nghĩa

Bài toán 2: Bi ểu thức B

A có nghĩa Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:

a) 5 61

x x

−

12

x x

Vậy biểu thức có nghĩa với mọi x

Bài toán 3: Bi ểu thức chứa nhiều căn bậc hai và có mẫu thức

Tìm tất cả các điều kiện của biểu thức chứa căn và

mẫu thức sau đó kết hợp lại

Vậy biểu thức A có nghĩa khi 1< ≤x 2

+

− c)

A với A là m ột số có chứa căn bậc hai số học Phương pháp giải

Bài toán 2: Rút g ọn biểu thức dạng 2

A v ới A là m ột biểu thức chứa biến

phương của một tổng hay bình phương của một

c) Tính giá trị của P khi x=2

Bài toán 3: Gi ải phương trình chứa biểu thức 2

A v ới A là m ột biểu thức chứa biến Phương pháp giải

Ví dụ: Tìm x biết 2

Hướng dẫn giải

Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình

phương của một tổng hay bình phương của một

x= ⇔ =x (không thỏa mãn điều kiện x≥3)

• Nếu x<3 thì x+ = ⇔ =6 7 x 1(thỏa mãn điều kiện x<3)

Câu 1: Tính giá trị biểu thức:

b) Tính giá trị của P khi x=1

c) Tính giá trị của P khi x=3

ĐÁP ÁN - BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2

c) Điều kiện 1

2

x≥ Ta có 2x− ≤ ⇔1 3 2x− ≤ ⇔ ≤ 1 9 x 5

Kết hợp điều kiện ta được 1 5

2≤ ≤ Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1 5

2≤ ≤ xd) Ta có 3x2+ ≥ > và 1 1 0 − <1 0 nên bất phương trình vô nghiệm Vậy bất phương trình vô nghiệm

Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa

1 (thoa man dieu kien)

3 (khong thoa man dieu kien)

x

x x

a) P có nghĩa khi và chỉ khi

( ) ( )

2

2

2 2

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nắm được định lí a b = a b, với a và b là hai số không âm

+ Hiểu được cách áp dụng khai phương của một tích

+ Hiểu được cách nhân các căn bậc hai các số không âm

 K ĩ năng

+ Biết cách khai phương của một tích

+ Biết cách nhân các căn bậc hai

+ Giải được các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai

+ Biết cách rút gọn và tính giá trị biểu thức

+ Giải được phương trình chứa căn bậc hai

+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai

I LÍ THUY ẾT TRỌNG TÂM

Định lí

Với hai số a và b không âm, ta có a b= a b

Khai ph ương của một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm,

ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết

quả với nhau

Nhân các c ăn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta

có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai

a, b là hai s ố không âm

A, B LÀ CÁC BI ỂU THỨC KHÔNG ÂM

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Khai phương một tích

Bài toán 1 Khai ph ương một tích các số không âm

P hương pháp giải

Dựa vào quy tắc khai phương của một tích:

Với hai số a và b không âm, ta có

Đưa các tích trong căn về dạng số chính phương

(bình phương của một số) sau đó dựa vào quy tắc

khai phương của một tích

a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; N có nghĩa

b) Với giá trị nào của x thì M =N

Đẳng thức A B = A B đúng khi hai biểu thức

Vậy N có nghĩa khi x≥1

b) Để M và N đồng thời có nghĩa thì x≥1 Khi đó

D ạng 2: Nhân các căn bậc hai

Bài toán 1: Nhân các c ăn bậc hai

P hương pháp giải

Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai:

Với hai số a và b không âm, ta có

Sử dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với

phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a và

3 2

= −1

a) ( )2

7− 6 c) ( 5− 3 ) ( 5+ 3 ) d) (3− 7 3) ( + 7 )

Áp dụng quy tắc:

+) Khai phương của một tích

+) Nhân các căn bậc hai

.3

khi 02

y y

b) Ta có

2 2

y y

27.3

x x

Bài toán 2 Đặt nhân tử chung

P hương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định để biểu thức có nghĩa

- Phân tích biểu thức trong căn thành nhân tử hoặc

đưa các thừa số ra ngoài dấu căn để được nhân tử

 =

⇔  =



13

x

x (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x=1;x=3

b) x− +1 4(x− +1) 9(x− =1) 6 Điều kiện xác định: x≥1

⇔ =x 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x=2

x (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm =x 1;x=17

5 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm

⇔ =x 9(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x=9

Ta có a b+ ≥2 ab ⇔ + −a b 2 ab≥ ⇔0 ( a− b)2 ≥0 (luôn đúng với a, b là hai số không âm)

Dấu “=” xảy ra khia b=

⇔ − + − + − ≥ (luôn đúng với a, b, c là các số không âm)

Dấu “=” xảy ra khi a b c= =

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nắm được định lí a a

b = b với a là số không âm, b là số dương

+ Hiểu được cách chia các căn bậc hai

 K ĩ năng

+ Biết cách khai phương một thương

+ Biết cách chia các căn bậc hai

+ Giải các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai

+ Rút gọn và tính giá trị biểu thức

+ Giải phương trình chứa căn bậc hai

+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai

I LÍ THUY ẾT TRỌNG TÂM

Định lí

Với số a không âm, số b dương ta có a a

Khai ph ương của một thương

Muốn khai phương của một thương ,a

b trong đó

0

a ≥ và b > ta có thể lần lượt khai phương số a 0,

và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả

thứ hai

Chia các c ăn bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn

bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b

rồi khai phương kết quả đó

S Ơ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Khai phương một thương

Bài toán 1 Khai ph ương một thương các số dương

P hương pháp giải

Muốn khai phương một thương ,a

b trong đó a ≥0

và b >0, ta có thể lần lượt khai phương số a và số

b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

H ướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

01

0

1 0

10

1 0

x y

x y

y x

D ạng 2: Chia các căn bậc hai

Bài toán 1 Chia các c ăn bậc hai

P hương pháp giải

Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai: Với hai số a

không âm, b là số dương ta có

b)

3 3

33

Sử dụng tính chất phân phối giữa phép chia với

phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a

không âm, b dương ta có

Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có

nghĩa (nếu cần) Áp dụng quy tắc

- Khai phương của một thương

- Chia các căn bậc hai

- Hằng đẳng thức

Ví d ụ: Rút gọn biểu thức

a) 2 : 63

y y

27:3

x

x với x ≠0

x x

2 2

2 2 2 2

=+ + với − < ≤1 x 0.

Thực hiện theo các bước sau

B ước 1 Tìm điều kiện để biểu thức trong căn có

nghĩa

Ví d ụ: Giải phương trình 1 2

2

x x

vế để khử căn Suy ra x −1 và x −2 cùng dấu hoặc x =1

Điều kiện xác định: x ≤1 hoặc x >2

Bình phương hai vế phương trình ta được

(thỏa mãn điều kiện 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

− =

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

D ạng 1 Khai phương của một thương

x x

D ạng 4 Giải phương trình chứa căn thức

a) Điều kiện 2 4 0 2

x x

 ≥

−

≥ ⇔ +  < −

Bình phương hai vế ta được 2 4 4 2 4 4 4 4

1

x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −4

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nắm được cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán liên quan

 Kĩ năng

+ Biết cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn

+ Biết cách đưa thừa số vào trong dấu căn

+ Biết cách khử mẫu biểu thức lấy căn

+ Biết cách trục căn thức ở mẫu

I LÍ THUY ẾT TRỌNG TÂM

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà B ≥0, ta có

khi 0

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà B ≥0, ta có

2

A B= A B, tức là

Nếu A 0;≥ B≥ thì 0 A B= A B2

Nếu A<0;B≥0 thì A B = − A B2

Kh ử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức A, B mà A B ≥ 0 và B ≠0, ta có

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Bài toán 1 Đưa thừa số là các số chính phương ra ngoài dấu căn

Phương pháp giải

)

+ Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng

tích, trong đó thừa số là bình phương của

một biểu thức

)

+ Khai phương thừa số này và viết kết

quả ra ngoài dấu căn

Ví d ụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Bài toán 2 Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn

Phương pháp giải

)

+ Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích

trong đó thừa số là bình phương của một biểu thức

)

+ Khai phương thừa số này và viết kết quả

ra ngoài dấu căn

Chú ý: Dấu của biểu thức

Câu 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

• Nếu A ≥0 thì ta nâng A lên lũy thừa

bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn:

A B= A B2 (với A 0;≥ B≥0)

• Nếu A <0 thì ta coi A như là − −( )A

Ta nâng ( )−A lên lũy thừa bậc hai

rồi viết kết quả vào trong dấu căn

Ví d ụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn

Còn dấu " "− vẫn để trước dấu căn:

A B= − A B2 (với A<0;B≥ ) 0 d) Điều kiện xác định: x 0

−

L ỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

Vận dụng công thức: Với hai biểu thức A, B mà

L ỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

2

3x 3x y x 3 y

x x x

x x

−+

c Điều kiện xác định: x≥0;x≠ 1

11

x x x

2

x x

1

x x

−

13

x x

x x x

x x x

Hai biểu thức A+ B và A− B gọi

là hai biểu thức liên hợp với nhau

Ví d ụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

8

+ +

=

−+ +

= − 2 2 6

4

x x

L ỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

x x x

x x

Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu

thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả

L ỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

Thực hiện các phép biến đổi đơn giản

biểu thức chứa căn bậc hai rồi thu gọn các

12.100 2.25 64.2

• Căn bậc ba của số dương là số dương

• Căn bậc ba của số âm là số âm

f) Ta có

3 3

125

x

c)

5 3

2

64

x x

542

22

+) Khai triển rút gọn một vế sao cho bằng vế

còn lại, hoặc rút gọn cả hai vế của đẳng thức đưa

Vậy VT=VP (đẳng thức được chứng minh)

x x x

x x

L ỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:

13

f) Ta có

3 x6 +6x4 =x2 + ⇔2 3 x6+6x4 = x2+2 ⇔x6+6x4 =x6+6x4+12x2+ ⇔8 12x2+ =8 0 1

Lại có x2 ≥ ⇔0 12x2 ≥ ⇔0 12x2+ ≥ > ∀ 8 8 0, x

Do đó, phương trình ( )1 vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅

M ục tiêu

 Ki ến thức

+ Nắm được khái niệm hàm số, giá trị hàm số, điều kiện xác định của hàm số

+ Hiểu được khái niệm đồ thị hàm số

+ Hiểu được định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

 Kĩ năng

+ Tính được giá trị của hàm số f x t( ) ại x= x0

+ Tìm được điều kiện xác định của hàm số

+ Biểu diễn được tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

I LÍ THUY ẾT TRỌNG TÂM

1 Khái ni ệm hàm số

Khái ni ệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho

với mỗi giá trị của x, ta xác định được một và chỉ một

giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x

và x được gọi là biến số

Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức

Giá tr ị của hàm số và điều kiện xác định của hàm

s ố

Điều kiện xác định của hàm số y= f x( ) là tất cả các

giá trị của biến x sao cho biểu thức f x ( ) có nghĩa

Giá trị của hàm số y= f x( )tại x=x0 được xác định

bằng cách thay x bằng x r0 ồi tính Kí hiệu y0 = f x( )0

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi

y = y không là hàm số của x vì với giá x

trị x0 = cho hai giá tr1 ị y là 0 y0 = và 1 y0 = − 1

1

Đồ thị hàm số y= +x 1

f x cũng tăng lên thì hàm số y= f x( ) được gọi là

hàm s ố đồng biến trên  (gọi tắt là hàm số đồng

biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương

ứng f x gi( ) ảm đi thì hàm số y= f x( ) được gọi là

hàm s ố nghịch biến trên (gọi tắt là hàm số nghịch

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP

D ạng 1: Tìm điều kiện của hàm số

Bài toán: Tìm điều kiện của hàm số y= f x( )

=+ là

( ) ( )

x >x ⇔ f x > f x

Điều kiện xác định của hàm số

là điều kiện của biến số x để

biểu thức f x ( ) có nghĩa

Hàm số nghịch biến khi x tăng thì y giảm

Với A x và ( ) B x ( ) là các đa thức đại số biến x Ví d ụ 4 Điều kiện của hàm số y= f x( )=2x+ là 1

Vậy hàm số xác định với mọi x∈ 

Ví d ụ 2 Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định

2

x y x

+

=

−Điều kiện: x+ ≥1 0;x− ≠2 0

Xét x+ ≥ ⇔ ≥ −1 0 x 1;x− ≠ ⇔ ≠2 0 x 2

Vậy điều kiện xác định của hàm số là x≥ −1;x≠2

Ví d ụ 3 Tìm điều kiện của x để các hàm số sau xác định

3 2

x y