Phßng GD §T §øc thä §Ò thi chän häc sinh dù thi olimpic n¨m häc 2006 2007 M«n To¸n 7 ( Thêi gian 90 phót) §Ò ra C©u1 Cho a + b + c = 2007 vµ 1 1 1 1 90a b b c c a + + = + + + TÝnh S = a b c b c c a a[.]
Trang 1Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007
Môn: Toán 7 ( Thời gian: 90 phút)
Đề ra:
Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 1 1 1 1
90
a b b c c a+ + =
Tính: S = a b c
b c c a a b+ +
Câu2: Tìm 3 phân số tối giản Biết tổng của chúng bằng 15 83
120, tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: 1 1 1; ;
4 5 6 Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77
Câu4: Tìm x biết rằng: x− − 2 2x+ − = − 3 x 2
Câu5: Cho tam giác ABC có Aˆ 120 < °.Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác
đều ABD và ACE
a) Chứng minh: BMD = 600
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD
c) Chứng minh: ∠AMC = ∠BMC
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN
Phòng giáo dục Đức thọ
Trờng THCS Hoàng Xuân Hãn
***********************
Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007
Môn: Toán 7 ( Thời gian: 90 phút)
Đề ra:
Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và 1 1 1 1
90
a b b c c a+ + =
Tính: S = a b c
b c c a a b+ +
Câu2: Tìm 3 phân số tối giản Biết tổng của chúng bằng 15 83
120, tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ; 7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với: 1 1 1; ;
4 5 6 Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 3y2 = 77
Câu4: Tìm x biết rằng: x− − 2 2x+ − = − 3 x 2
Câu5: Cho tam giác ABC có Aˆ 120 < °.Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác
đều ABD và ACE
a) Chứng minh: BMD = 600
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD
c) Chứng minh: ∠AMC = ∠BMC
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ hơn 120°) sao cho: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN
Trang 2§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm To¸n 7 n¨m häc: 2006 – 2007
C©u1: 3 ®iÓm
Tõ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 – (b + c); b = 2007 – (a + c); c = 2007 – (b + a)(1®)
=>S = 2007 (b c) 2007 (a c) 2007 (a b)
90
b c a c a b
10 − = 10 = 10 (0,5 ®iÓm) C©u2: 4 ®iÓm
Gäi c¸c ph©n sè cÇn t×m lµ: a c e; ; ;( ; ; ; ; ;a b c d e f Z b d f; ; ; 0)
Tö sè cña chóng tØ lÖ thuËn víi: 5; 7; 11 nªn ta cã a:c:e = 5:7:11 hay:
5 7 11
a = =c e (0,5®)
MÉu sè cña chóng tØ lÖ nghÞch víi 1 1 1; ;
4 5 6=> mÉu sè tØ lÖ thuËn víi 4; 5; 6
=>
4 5 6
b = =d f (0,5®)
§Æt:
5 7 11
a = =c e = k;
4 5 6
b= =d f = p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p;f
= 6p(0,5®)
=>a b d+ + =c e f 45k p+57k p+116p k =75k+8460k p+110k = 26960p k (1 ®iÓm)
Mµ 15 83 1883
120 120
a c e
b d+ + =f = => 269.60.p k =1883120 ⇒ =k p 72 (0,5 ®)
=> 5.7 35
4.2 8
a
b = = ; 7.7 49
5.2 10
c
d = = ; e f =11.76.2 =7712(0,5 ®iÓm) C©u3: 2 ®iÓm
Tõ 2x2 + 3y2 = 77 => 0 3 ≤ y2 ≤ 77 => 0 ≤ y2 ≤ 25 kÕt hîp víi 2x2 lµ sè ch½n
=>3y2 lµ sè lÎ => y2 lµ sè lÎ => y2 ∈ { 1; 9; 25 } ( 1 ®)
+ Víi y2 = 1 => 2x2 = 77 – 3 = 74 x2 = 37 (KTM)
+ Víi y2 = 9 => 2x2 = 77 – 27 = 50 x2 = 25 x =5 hoÆc x = -5
+ Víi y2 = 25 => 2x2 = 77 – 75 = 2 x2 = 1 x = 1 hoÆc x = -1 (0,5 ®) VËy ta cã c¸c trêng hîp sau: 0,5 ® (nÕu thiÕu 1 trêng hîp trõ 0,25 ®)
C©u4: 4 ®iÓm
x− − 2 2x+ − = − 3 x 2 (1)
+ Víi 3
2
x≤−
th×: (1) 2 – x + 2x +3 – x = -2 0x = -7 ( KTM) + Víi 3 2
2 x
− < ≤ th× (1) 2 – x – 2x – 3 – x = -2 - 4x = - 1 x =1
4 (TM) + Víi x > 2 th× (1) x - 2 – 2x – 3 – x = -2 - 2x = 3 x = 3
2
− (KTM) VËy x =1
4
Trang 3Bài5:7 điểm
a) Ta có: ∆ADC = ∆ABE (c-g-c) => ∠ADC
=∠ABE
Gọi F là giao điểm của AB và CD Xét
∆ADFvà∆BMF
Có D Bˆ = ˆ; ∠AFD = ∠BFM ( đối đỉnh) ( 1 đ) => ∠BMF =∠FAD => ∠BMF = 60°=>∠BMC
=120°
b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP =>∆BMP là tam giác đều => BP = BM;
∠MBP =60°
Kết hợp với ∠ABD =60° => ∠MBA = ∠PBD => ∆PBD = ∆MBA (c-g-c) => AM = DP
AM + MB = DP + PM = DM (2 điểm)
c) Từ: ∆PBD = ∆MBA => ∠AMB = ∠DPB, mà: ∠BPD = 120°=>∠BMA =120°
=> ∠AMC =120° =>∠AMC = ∠BMC (1 điểm)
d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều NPA và NQB Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I Thì
I là điểm thỏa mãn: ∠NIP = ∠PIQ = ∠QIN => Điểm I là điểm cần dựng (1
điểm)