Së GD&§T Tuyªn Quang

Së GD&§T Tuyªn Quang Së GD&§T Tuyªn Quang Trêng THPT Hµm Yªn §Ò thi chän häc sinh giái To¸n n¨m häc 2007 2008 Thêi gian 180 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò bµi C©u 1 (5 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau[.]

Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Trờng THPT Hàm Yên Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2007 - 2008

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề bài:

Câu 1: (5 điểm)

Giải phơng trình sau: 3 x 1 3 x 13 5x

Câu 2: (4 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức sau:

Câu 3: (4 điểm)

1

11

u







 Tìm công thức tính un theo n

Câu 4: (4 điểm)

Tổng của m những số nguyên dơng liên tiếp bằng 2008 Xác định những số ấy

Câu 5: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD có canh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho

Đáp án và thang điểm Câu 1: (5 điểm)

  2

3

5

2

5 2



Câu 2: (4 điểm)

Ta có:

2

2

2

2

2

2

1 2

1 2 2

   

   

  

Cộng ba bất đẳng thức trên, ta đợc:

(1)

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dơng, ta đợc:

3

Từ (1) và (2) suy ra:

Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Câu 3:

Ta có:

1

2

3

11 10 1

10 11 1 9 102 100 2

10 102 1 9 2 1003 1000 3

u

Dự đoán un = 10n + n (1)

Chứng minh:

Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1

Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k

Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) đúng với n = k + 1

Vậy un = 10n + n,   n .

Câu 4: (4 điểm)

Giả sử tổng của m số nguyên dơng liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008:

k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008

1 2008 2

m m mk



A B

M

H

2

m









16 118

m k





 





Câu 5: (3 điểm)

Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a Khi đó BH = AB = BC nên ta có:

góc với Mn tại H và MN = AM + NC

Vậy SBMN 12BH.MN12a AM NC 

Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho

tam giác vuông MDN, ta có:

2

2

3

BMN

a