Toán kinh tế pot

Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức không đổi.. Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận trong quá

ThS PHÙNG DUY QUANG (chủ biên)

BÀI GIẢNG ÔN THI CAO HỌC

Môn: TOÁN KINH TẾ

Phần 1 Toán cơ sở ứng dụng trong kinh tế

§1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính

§2 Phương pháp giải hệ phương trình

TOÁN CAO CẤP 2

Chuyên đề 3 Giới hạn, liên tục, vi – tích phân hàm một biến số

§ 2 Giới hạn của hàm số

§ 3 Hàm số liên tục

§ 4 Đạo hàm, vi phân và ứng dụng

§5 Tích phân hàm một biến số Chuyên đề 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến số và ứng dụng

§ 1 Giới hạn và liên tục

§2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến

§ 3 Cực trị hàm nhiều biến Chuyên đề 5 Tổng hợp các dạng Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984

2 Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004

3 Bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008

4 Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp T1, T2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2010

5 Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế T1, T2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2010

6 Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mô hình toán kinh tế, NXB Thống kê, 2005

TOÁN CAO CẤP 1

Chuyên đề 1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

§1 MA TRẬN

1 Các khái niệm

Cho m, n là các số nguyên dương

Định nghĩa 1 Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột Một ma trận có m

dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m×n Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc ngoặc vuông Ma trận cấp m×n có dạng tổng quát như sau:

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

7 5 2

A A là một ma trận cấp 2 x 3 với

a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1

Định nghĩa 2

• Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp và các phần tử ở

vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

1 4

3 1

2 4 1

1 4

3 1 A

• Ma trận không cấp m x n là ma trận mà mọi phần tử đểu bằng 0 :θ = [ 0 ]m n

• Khi n = 1 người ta gọi ma trận A là ma trận cột, còn khi m = 1 người ta gọi ma trận

A là ma trận dòng

• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n Một ma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Khi đó các phần

từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử an1, an 12− ,

… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ

• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:

n 1 n 22

n 1 n 12

11

a 0

0 0

a a

0 0

a 0

a a

a a

1

1 n n 2

n 1 n

22 21 11

a a

a a

0 a

a a

a a

0 0

0 a

4 1 2

5 2 1

4 1 0

5 2 1

0 1 2

0 0 1 C

• Ma trận chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị :

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0 1 E

• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)

• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)

7 5 2

7 5

6 2 B

7 5

6 2

7 5 2 A

m 7

7 5

6 2 1 7

7 5

6 2 B

a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số

Định nghĩa 3 Cho hai ma trận cùng cấp m×n: A [ ]aij mn; B [ ]bij m n

= +

Tích của ma trận A với một số αlà một ma trận cấp m×n, kí hiệu αA và được xác

[ a ij]mn

A

× α

= αHiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính

Tính chất 1 Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m×n, α;β là các số bất kì ta luôn có:

2 1 2 B

; 1 1 0

4 2 1

14 7 4 3

1 2

2 1 2 ).

3 ( 1 1 0

4 2 1

3 1

2 / 3 2 / 1 1

0

0 1 3 5

3 1 2

1 E B 2

1 C

b) Phép nhân ma trận với ma trận

Cho hai ma trận :

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

1

p 22

21

p 12

11

b

b b

b b

b

b b

m 1 m

n 22

21

n 12

11

c

c c

c c

c

c c

trong đó c a b a b a b n a b ;(i 1 , 2 , , m j 1 , 2 , , p)

1

k ik kjnj

in j

2 2 i j 1 1 i

2 1

4 1 0

+

+ +

8 7 2 2 1 4 3 3 1 1 3 1 1 0 3

2 2 4 1 3 2 1 1 1 2 0 1 2 3 1

4 1 0 1 3

2 1 B

.

A

Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA

0 1 2

0 1 1 2

1 3 2 1

1 7 5 3 1 2 0 3

0 1 1 2

1 3 2 1 0 2 3

0 1 2 B

.

A

Còn B.A không tồn tại

Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận

Tính chất 2 Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được

0 0 B

; 0 0

1 0

0 0 A B

; 0 0

0 1 B

0 0 B

; 0 0

0 1

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 B A

c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n Ta xác định

b a

A Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình

θ

=

− + +

−

1 0

0 1 ).

bc ad ( d c

b a ).

d a ( d c

b a d c

b a E ) bc ad ( A ) d a

+ +

+ +

0 0

0 0 bc ad 0

0 bc ad ) d a ( d ) d a ( c

) d a ( b ) d a ( a d bc

1 1

2 1 1 0

1 1 1 0

1 1

3 1 1 0

1 1 1 0

2 1

n 1

A n Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức An

Định nghĩa 5 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạng

i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di ↔ dj( ci ↔ cj)

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi(kci)

iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hdi + dj( hci + cj)

5 2 1 2

6 4 2 1

A Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau: (1)

nhân dòng 2 với 2

(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3

0

0

5 2 0

0

0

5 3 1 1

0

8 6 5

1 1 2 0 0

1 8 2 1 0

7 4 3 1 1

1 2 0

2 1 1 C

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A

ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A

Định nghĩa 1 Cho một ma trận A vuông cấp n: A =

1

n 22

21

n 12

11

a

a a

a a

a

a a

12 11 a a

a a

22 21

12

a a

a a ) A

Ví dụ 2 Tính định thức 1 14 6 2 2

14 2

6 1

4

9.25x

32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a

a a

a

a a

a

A

Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà

mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo chính

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus” sau:

Ví dụ 4.Tính định thức

1 2 2

1 0 2

3 2 1 3

Ví dụ 5 Giải phương trình 0

1 2 4

1 1 1

1 x

−

=

2 x

1 x 0 2 x x 1 2

4

1 1

1

1 x

x

2 2

• Định thức cấp n (n ≥ 3):

det(A) = n a ( 1 ) i j det( Mij)

1 j

1 1 1 2009

1 x x 2010

0 0 0 2011

2

=

Giải : Đặt

1242008

1112009

1xx2010

0002011

111

1xx)1.(

2 1 1

−

⇔

2x

1x02x

) n , 1 j ( a

i

k 1k k k

b a

A CMR det(AT) =det(A)

Bạn đọc tự giải

Chú ý 1 Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột"

Tính chất 2 (Tính phản xứng)

Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

Ví dụ 2 Xét

d c

b a

và

b a

d c

1

in 2

i 1 i

n 12

11

nn 2

1

in 2

i 1 i

n 12

a

a a

a a k a

ka

ka ka

a a

=

Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa

Hệ quả 2 Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức

có hai dòng giống nhau nên nó bằng không

Ví dụ 2.19 Chứng minh định thức sau chia hết cho 17:

9 11 7 6

4 1 1 2

204 35

68 17

7 6 2 12

4 1 1 2

12 2 4 1

7 6 2 12 17 9

11 7

6

4 1

1 2

) 12 (

17 2 17 ) 4 (

17 1 17

7 6

2 12

Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất

Hệ quả 4 Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận trong quá trình tính định thức cấp n:

* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: di ↔ dj( ci ↔ cj), phép biến đổi này định thức đổi dấu

* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kdi(kci), phép biến đổi này định thức tăng lên

k lần

* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hdi + dj( hci + cj), phép biến đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức

Ví dụ 4 Tính định thức

y ' c cx y ' b bx y ' a ax

' c '

b '

a

c b

a 3

+ +

' c ' b ' a

c b a

3 2

1 yd d xd

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

) 3 d ( ) 3 c ( ) 3 b ( ) 3 a (

) 2 d ( ) 2 c ( ) 2 b ( ) 2 a (

) 1 d ( ) 1 c ( ) 1 b ( ) 1 a (

d c

b a

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

4 d 4 c 4 4 b 4 a 4

1 d 1 c 2 1 b 1 a 2

d c

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

6 6

2 2

2 2

1 d 1 c 1 b 1 a

d c

b

d d

d d

4

3 2

4 2

+ +

+ +

a c 2

c b 2

b

1 a c

b

1 c b a

4

+ + +

=

∆

Cộng các cột vào cột 1 ta được:

1 2

a c 2

c b 1 c b a

1 b a

1 c b a

1 a c

1 c b a

1 c b

1 c b a

4

+ + + + +

+ + +

+ + +

+ + +

=

∆

Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:

0 1 2

a c 2

c b 1

1 b a 1

1 a c 1

1 c b

1 ).

1 c b a

(

+ +

+ + +

1

in ij

1 i

n j

1 11

n

a

a

a

a

ij = − + được gọi là phần bù đại số của phần tử a ij của định thức d Cho định thức cấp n là ∆n Khi đó ∆n có thể tính theo hai cách sau:

i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :

j ij ij

n 1

j i ij

n a ( 1 ) det( M ) a A (1) ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:

1 i

ij j

i ij

n 1 j kj

n 1 i ik

Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về

tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2 Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0 nhất để khai triển Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy

Ví dụ 1 Tính định thức a)

0 5 4

2 1 3

1 1 2

4 2 1

2 1 3

1 2 1 3

1 2 ) 1 (

5 2 1

1 1 ) 1 (

1 2 ) 1 )(

1 ( 4 2

1 2 ) 1 (

3 4 2

2 1 ) 1 (

3 1 4 2

3 1 3 1

5 0 1 1 4

4 1 0 0

3 0 1 0

2 0 0 1 4

14 2 8

13 1 6

8 1 4

14 2 8

13 1 6

8 1 4 ) 1 (

1 14 2 8 3

13 1 6 2

8 1 4 1

0 0 0 1

1 1 c

c

c c

5

4

2 1

4 1

5 2 ) 1 (

1 30 0 16

5 0 2

8 1 4

2 1 d

d

d d

4

2 1

3 1

4 1 0 0

5 0 1 0

0 0 0 1

4 1 0

5 0 1

9 4 3

4 1 0

5 0 1 ) 1 (

1 9 4 3 2

4 1 0 0

5 0 1 0

0 0 0 1

1 1 4

4 1 ) 1 (

1 24 4 3

4 1 0

0 0 1

1 1

n 1 n 22

n 1 n 12

11

n

a 0

0 0

a a

0 0

a 0

a a

a a

1

1 n n 2

n 1 n

22 21 11

n

a a

a a

0 a

a a

a a

0 0

0 a

Ta chỉ cần xét ý a) Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :

nn 22 11 nn

n n 1 n n

n 1 n 22

1 1 11

nn

n n 1 n n

n 1 n 22

n 1 n 12

11

a 0

0

a a

a ) 1 (

a a 0

0

0

a a

a

0

a a

1

1 n n 2

n 1 n

22 21 11

a a

a a

0 a

a a

a a

0 0

0 a

b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:

Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của

ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

nn 33 22 11 nn

n 22

n 12

11

a

a a a a

a

0

a

a

a

nn 2

1

22 21 11

a

a a a

a a

a a

0

0 a

=

Ví dụ 1 Tính các định thức

a)

0 4 3 2 1

5 0 3 2 1

5 4 0 2 1

5 4 3 0 1

5 4 3 2 1

1

4 3 3 2 1

4 3

2 2 1

4 3

2 1 1

4 3

2 1

4

b a a a

a 1

a b a a a

1

a a

b a a 1

a a

a b a 1

a a

a a

1

+ +

Ví dụ 2 Tính định thức

a)

0 x x x x 1

x 0 x x x 1

x x 0 x x 1

x x x 0 x 1

x x x x 0 1

1 1 1 1 1 0

6 =

a x x x x x

x a x x x x

x x a x x x

x x x a x x

x x x x a x

x x x x x a

6 =

Giải: a)

• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra ∆6 = 0

• Nếu x ≠0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử chung (n -1) ra ngoài ta được:

0 x x x x x

x 0 x x x x

x x 0 x x x

x x x 0 x x

x x x x 0 x

x x x x x x

x 5

0 x x x x x

x 0 x x x x

x x 0 x x x

x x x 0 x x

x x x x 0 x

x x x x x 0

x

1

2 2

∆

Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:

3 5

2 2

x 5

x 0 0 0 0 0

0 x 0 0 0 0

0 0 x 0 0 0

0 0 0 x 0 0

0 0 0 0 x 0

x x x x x x

x

x x 1

x a

x x 1

a x 1

x x

x a 1

x x

x x 1

x a

a x

x x x a

x a

x x x a

a x x a

x x

x a x a

x x

x x x a

+ +

+ + +

=

∆

Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được

x a 0

0 0 0

0 x a

0 0 0

x a 0 0

0 0

0 x a 0

x x

x x 1

x

=

∆

§3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN VUÔNG

Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo

1 Định thức của tích hai ma trận vuông

Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n

Định lý 1 Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận

Định nghĩa 1 Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n Nếu có ma

trận vuông B cấp n sao cho

A.B = B.A = E thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu A-1 = B

0 1

0 1

0 1 4 0

0 1 4

1 0

0 1 4

1 0

0 1 4

0 0

0 0không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có

E

B

B

= θ = θ ≠

Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

Định lý 2 Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất

3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

Định lý 3 Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0

4 1 0

1 2 1 B

; 6 2

3 1 A

iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất

C A X C X

1 A C X C

3 1 A

Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch

Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo

Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:

Ltrong đó Aij là phần bù đại số của aij

3 5 2

3 2 1 A

2 4

32 11

3

2 4 2

1 A ) A det(

5 0 1

5 2 ) 1 ( A

; 13 8 1

3 2 ) 1 ( A

; 40 8 0

3 5 ) 1 (

22 2

1 12

1 1

2 0 1

2 1 ) 1 ( A

; 5 8 1

3 1 ) 1 ( A

; 16 8 0

3 2 ) 1 (

23 2

2 22

1 2

1 5 2

2 1 ) 1 ( A

; 3 3 2

3 1 ) 1 ( A

; 9 3 5

3 2 ) 1 (

33 2

3 32

1 3

3 5 13

9 16 40

3 5 13

9 16 40 A

) A det(

3 5 13

9 16 40

1 5 3 X 4 3

2 1

1 0

0 1 X 8 0 1

3 5 2

3 2 1

2 1

A khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

0 1 1 2

9 5

1 5 3 2

1 2

32 12

9 5

1 5 3 4 3

2 1

3 5 2

3 2 1

A khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

8 16

25 49

1 1

1 0

0 1 1 2 5

3 5 13

9 16 40

1 1

1 0

0 1 8 0 1

3 5 2

3 2 1

X

1

b) Phương pháp khử Gause-Jordan (Phương pháp biến đổi sơ cấp)

Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E và đưa E về ma trận A-1 Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss – Jordan):

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A

được ma trận mới ký hiệu (A|E)

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mới này để đưa dần

khối ma trận A về ma trận đơn vị E, còn khối ma trận E thành ma trận B, tức là (A|E) →(E|B) Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A

3 5 2

3 2 1 A

0 1 0

0 0 1

8 0 1

3 5 2

3 2 1

Bước 2: Biến đổi sơ cấp

− +

−

1 2 5

0 1 2

0 0 1

1 0 0

3 1 0

3 2 1

1 0 1

0 1 2

0 0 1

5 2 0

3 1 0

3 2 1

1 0

0

0 1

0

0 0

1 3 1

d d d

d d d

3 5 13

9 16 40 1 0 0

0 1 0

0 0 1 1

2 5

3 5 13

3 6 14 1

3 5 13

9 16 40

A 1

§4 HẠNG CỦA MA TRẬN

1 Khái niệm

Cho ma trận A =[ ]aij m n; 1 ≤ k ≤ min {m, n} Trước hết, ta nhắc lại khái niệm định thức con cấp k của ma trận A.Lấy ra k dòng và k cột khác nhau Định thức của ma trận cấp k có các phần tử thuộc giao điểm của k dòng và k cột đó được gọi là định thức con cấp k của

A , ký hiệu:

(1 i i i n ; 1 j j j n)

i

i22 kk ≤ < < < ≤ ≤ < < < ≤trong đó i1, i2 , …, ik là chỉ số của các dòng và j1, j2, …, jk là chỉ số của các cột đã lấy ra

8 6 3 2

4 3 1 1

Các định thức con cấp 1 của A chính là các phần tử của A

Các định thức con cấp 2 của A , chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2 và cột 1, 3 là

0 6

8 3

D 24

23 = = ,

Các định thức con cấp 3, chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2, 3 và cột 1, 3, 4 là

0 12 9

3

8 6

2

4 3

1

D 134

123 = = ; tạo bởi dòng 1, 2, 3 và cột 1, 2, 4 là 0

12 2 3

8 3 2

4 1 1

D 134

−

Định lý 1 Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức

con cấp cao hơn k cũng bằng 0

Định nghĩa 1 Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n ≠ θ Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)) Nếu r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ sở của A

Quy ước: r({ θ }) = 0

i) 0 ≤ ( A ) ≤ min {m, n}

ii) r(A) = r(AT)

iii) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì

* r(A) = n ⇔ A ≠ 0 hay A không suy biến

* r(A) < n ⇔ A = 0 hay A suy biến

8 6 3 2

4 3 1 1 A

Giải:

Ta có định thức con cấp 2: 20

12 2

8 3

3

6 3

2

3 1

8 6 2

4 3 1

D 134

0 12 2

3

8 3

2

4 1

8 6 3

4 3 1

0

0 0

0 0

0 0

0 0

a

a a

0 0

a a

a 0

a

a a

a a

n 1

r 2 r 2 22

n 1

r 1 r 1 12

11

với a11a22 … arr ≠0

Giải:

Ta có định thức con cấp r : a a a 0

a

0 0

a 0

a

a a

rr

r 2 22

r 1 12

11 r

12 r

(i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

ii) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của ma trận đó

Định lý 3

(i) Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp m×n bất kỳ, ta luôn có:

) B ( ) A ( ) B A

(ii) Với A và B là hai ma trận bất kỳ sao cho AB tồn tại, ta luôn có:

) A ( ) AB ( ≤ và ( AB ) ≤ ( B ) hay ( AB ) ≤ min {r(A), r(B) }(iii) Nếu A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì

r(A) + r(B) ≤ r(AB) + n

Hệ quả : Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có

) AB ( n ) B ( ) A

2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a) Phương pháp định thức

Trước hết, ta chứng minh kết quả:

Định lý 4 Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr Nếu mọi định thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A bằng r

Từ định lý này, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận như sau:

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có)

Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp

k 2 + chứa định thức cấp k 1 + khác 0 này (nếu có)

Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A

8 6 3 2

4 3 1 1 A

Giải:

Ta có định thức con cấp 2: 5

3 2

1 1

0 9 2 3

6 3 2

3 1 1

8 3 2

4 1 1

D đều bằng 0 nên r(A) = 2

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp

Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang B

Bước 2: Đếm số dòng khác không của B, số đó là hạng của A

4 1 1 2

2 4 3 1 A

Giải:

Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

B 0 0 0 0

0 7 7 0

2 4 3 1 0

5 5 0

0 7 7 0

2 4 3 1 2

1 2 1

4 1 1 2

2 4 3 1

A

2 3 2

2 1 2 1

d d d

d d d

B là ma trận dạng bậc thang có 2 dòng khác 0 nên r(A) = r(B) = 2

1 3 1 1

3 2 1 1 A

Giải: Ta biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang

Lấy dòng 1 cộng vào dòng 2, dòng 1 nhân với (- 1) cộng vào dòng 3, ta được:

−

3 m 5 0 0

2 5 0 0

3 2 1 1

2 1 3 1

d d d d

Nhân dòng 2 với (- 1) cộng vào dòng 3 ta thu được ma trận dạng bậc thang:

−

5 m 0 0 0

2 5 0 0

3 2 1 1

2 1 3 1

d d d d

Từ ma trận dạng bậc thang, ta có r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m – 5 = 0 ⇔ m = 5

Ví dụ 4 Tìm hạng của ma trận

n 3 0

2 1

2 1

A là ma trận vuông cấp 2 nên An cũng là ma trận vuông cấp 2 Theo định lý nhân định thức ta có det(An) = [det(A)]n = 3n

≠0 Nên r(An) = 2

Chuyên đề 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

§1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

• Nếu hệ (I) có số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ (I) được gọi là hệ vuông

• Nếu b1 = b2 = … = bm = 0 thì hệ (I) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

• Nghiệm của hệ (I) là một bộ n số (c1, c2, …, cn) sao cho khi thay thế

x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn vào (I) thì ta được m đồng nhất thức Có thể viết nghiệm dưới

c

c

c

• Giải hệ (I) là ta đi tìm tất cả các nghiệm của hệ (I)

m 1 m

2 n 22

21

1 n 12

11

b : a

a a

a a

b : a

a a

được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I)

Định nghĩa 2 Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

nghiệm Các phép biến đổi của hệ phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm của

hệ đó được gọi là phép biến đổi tương đương của hệ phương trình

Trong quá trình giải hệ phương trình, chúng ta thường dùng các phép biến đổi sau :

- Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

- Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0

- Nhân hai vế của một phương trình với một số tuỳ ý rồi cộng vào phương trình khác vế theo vế

Chú ý 1 Các phép biến đổi tương đương của hệ phương trình trên chính là các phép biến

đổi sơ cấp về dòng đối với ma trận bổ sung của hệ đó

2 Dạng ma trận, dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

m

b b

Khi đó hệ phương trình tuyến tính (I) được biểu diễn dưới dạng ma trận

j 1

Ví dụ 1 Cho hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình 4 ẩn

−

−

= + + +

=

− +

−

3 x x x x

2 x x x x

1 x x x x

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

1 2 1 2

1 1 2 1

2 : 1 2 1 2

1 : 1 1 2 1

+

= +

+ +

n n nn

2 n n 2

22

1 n n 2

12 1

11

b x a

b x a

x a

b x a

x a x

a

với a11a22…ann ≠0

được gọi là hệ có dạng tam giác

Ma trận hệ số A của hệ chính là ma trận dạng tam giác trên Dễ thấy rằng hệ này có nghiệm duy nhất Hệ này giải bằng cách giải từ phương trình thứ n để tìm ẩn xn, rồi giải phương trình thứ n -1 để tìm ẩn xn-1, …, quá trình đó cứ tiếp tục cho đến khi tìm được ẩn

x1 Cách giải này gọi là giải ngược từ dưới lên trên để tìm nghiệm của hệ phương trình

−

1 x

2 x x

1 x x x

3

3 2

3 2 1

Giải: Từ phương trình thứ 3 ta có x3 = -1 ; thay vào phương trình thứ 2 ta có x2 = 2 + 2x3

= 0 ; thay x2, x3 vào phương trình thứ nhất ta được : x1 = 1 + 2x2 – x3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất :

1 X

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+ +

r n rn r

rr

2 n n r

r 2 2

22

1 n n r

r 1 2

12 1

11

b x a

x a

b x a

x a

x a

b x a

x a

x a x

a

với a11a22 arr ≠0

được gọi là hệ dạng bậc thang

Ma trận bổ sung của hệ khi đó sẽ có bậc thang

b : a

0

0

0

0

b : a

a

a 0

b : a

a

a a

A~

r rm rr

2 n r

2 22

1 n r

1 12

11

Với hệ có dạng bậc thang, từ phương trình thứ r, ta tính xr thông qua các ẩn xr+1, xr+2, ,

xn Rồi thay vào phương trình thứ r -1 để tính xr – 1 theo các ẩn xr+1, xr+2, , xn quá trình trên cứ tiếp tục cho đến x2, x1

= +

− +

1 x x

2 x x x

1 x x x x

4 3

4 3 2

4 3 2 1

Giải: Từ phương trình thứ 3, ta có x3 = 2x4 – 1, thay vào phương trình 2 ta được

§2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Điều kiện tồn tại nghiệm

Định lý 1 (Định lý Kronecker-Capeli) Hệ phương trình tuyến tính (I) có nghiệm khi và

− +

= +

− +

−

=

−

− +

= +

− +

m x x x x

3 x x x x

2 x x x x

1 x x x x

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

Giải Ta có ma trận bổ sung của hệ là

3 : 2 4 5 2

2 : 1 2 3 1

:!

1 1 2 1

−

−

1 m : 0 0 0 0

4 : 2 1 0 0

3 : 2 1 1 0

1 : 1 1 2 1

m : 1 6 8 3

3 : 2 4 5 2

2 : 1 2 3 1

1 : 1 1 2 1

2 1

4 3 2

d d

d dd d d d

Từ đây ta có hệ có nghiệm ⇔ ( A ) = ( A~) ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1

2 Điều kiện duy nhất nghiệm

Định lý 2 Hệ phương trình tuyến tính (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

= + +

= + +

2 3 2 1

3 2 1

m x x mx

m x mx x

1 mx x x

Giải: Hệ có số phương trình bằng số ẩn và bằng 3 nên có nghiệm duy nhất

0 A 3 )

1 m 1

m 1 1

1 m

3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

a) Phương pháp giải hệ Cramer

Định nghĩa 5 Hệ Cramer là hệ n phương trình tuyến tính n ẩn (hệ vuông) có ma trận hệ

số A không suy biến (det(A) ≠ 0)

Định lý 3 Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất

Công thức nghiệm: xj =

A j

∆ (j = 1, n)

trong đó, ∆jlà ma trận nhận từ A bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do

= +

=

− +

4 x x

5 x

x

7 x x x

3 1

2 1

3 2 1

Giải

Ta có định thức của ma trận hệ số A là 7 0

1 0 3

0 1 1

2 3 4

; A x

; A

1

2 1

1 1

5 1 1

7 3 4

; 35 1 4 3

0 5 1

2 7 4

; 0 1 0

4

0 1

5

2 3

7

3 2

Ví dụ 4 Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất

= + +

= + +

2 3 2 1

3 2 1

3 2 1

m mx x x

m x mx x

1 x x mx

1 m 1

1 1 m

2 m

b) Phương pháp giải hệ tổng quát

Giả sử ta giải hệ tổng quát m phương trình tuyến tính, n ẩn dạng:

+ Nếu r(A) ≠ r(A % ) thì hệ (I) vô nghiệm

+ Nếu r(A) = r(A % ) = số ẩn (= n) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cramer