Ổn định của các hệ thống điều khiển số 2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z Mặt phẳng p được sử dụng để xét ổn định của các hệ thống vòng kín liên tục.. Mặt phẳng z được sử dụng
Trang 1kín có dạng như sau:
y z G z N z
r z GH z D z
1 GH z 0 được gọi là phương trình đặc tính Các giá trị của z ứng với được gọi là các không (zeros) Các giá trị của z ứng với được gọi là các cực (poles)
0
N z
0
D z
2
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Mặt phẳng p được sử dụng để xét ổn định của các hệ thống vòng kín liên tục
Mặt phẳng z được sử dụng để xét ổn định của các hệ thống vòng kín rời rạc
1
2
Trang 2Nếu phương trình mô tả một điểm trong mặt phẳng p thì dọc theo trục ảo ta có:
p j
j
pT T j T
z e e e
Vì nên 0
(2.1)
j T
z e T j T T (2.2)
4
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Vị trí của các cực trên trục ảo của mặt phẳng p
đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng z
nếu các cực nằm bên trái mặt p thì một hệ thống rời rạc được xem là ổn định nếu các cực nằm trong vòng tròn đơn vị
3
Trang 3Các cực trên trục ảo của mặt phẳng p đã được ánh xạ lên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z
6
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Ví dụ 2.1: Cho một hệ thống có dạng như trên hình 2.2
Xét hệ có ổn định hay không nếu chu kỳ lấy mẫu T=1 giây
5
6
Trang 4Hàm truyền của hệ có dạng như sau:
1
y z G z
r z G z
Ở đây
1 1 2
2
2
2 1 4
Tp
T T
e
8
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
2
2 1 T
T
e
G z
z e
Với T=1 giây ta có:
0,135
G z
z
z
G z
7
Trang 5 1,729 1,594
0,135 0,135
z
G z
1,594
z
Hay nằm ngoài vòng tròn đơn
vị nên hệ không ổn định
10
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Ví dụ 2.1 Xác định chu kỳ lấy mẫu T sao cho hệ thống trong ví dụ 2.1 ổn định
Từ ví dụ 2.1 ta có hàm truyền của hệ có dạng như sau:
2
2
2 1 T
T
e
G z
z e
9
10
Trang 6Ta có phương trình đặc tính như sau
G z
2
hay
2
3 T 2 1
z e
Hệ ổn định nếu
1
3
hay
12
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.1 Ánh xạ từ mặt phẳng p vào mặt phẳng z
Từ mặt phẳng z chúng ta có thể phân tích ổn định của các hệ thống bằng cách sử dụng phương trình đặc tính
Tuy nhiên phương pháp sử dụng mặt phẳng z không cho chúng ta biết hệ có ổn định hay không khi hệ bị tác động bởi các thông số khác
Khi đó chúng ta phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn định như Jury, Routh-Hurwitz, Root Locus
11
Trang 7Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, chúng ta cần biểu diễn phương trình đặc tính có dạng như sau
Ở đây Từ đây ta có thể xây dựng các dãy như bảng 2.1
0 n
(2.3)
14
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
13
14
Trang 8Các phần tử của dãy được định nghĩa như sau:
Các phần tử ở cuối hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước theo thứ tự ngược
Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:
0 n k k
n k
a a b
1
n k k
c
2
n k k
c c d
16
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong vòng tròn đơn vị là
0
1 0
1 n 1 0
n
F F
a a
0 1
0 2
0 1
0 2
n n n
b b
c c
d d
m m
15
Trang 9Khi áp dụng tiêu chuẩn Jury ta thực hiện các bước sau:
Kiểm tra ba điều kiện (2.4) và dừng nếu một trong ba điều kiện này được thỏa mãn
Xây dựng dãy các số như bảng 2.1 và kiểm tra các điều kiện 2.5 Dừng lại nếu một trong các điều kiện (2.5) không được thỏa mãn
18
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury
Tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên Đối với các hệ thống bậc
2 và bậc 3, tiêu chuẩn Jury sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều
17
18
Trang 10Đối với hệ bậc 2 ta có dạng phương trình đặc tính có dạng như sau:
F z a z a z a
Không có gốc nào nằm trên hoặc bên ngoài vòng tròn đơn vị nếu
1 0
F F 1 0 a0 a2
20
Chương 2 Ổn định của các hệ thống điều khiển số
2.2 Tiêu chuẩn Jury Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau
Ở đây
19
