Untitled Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP UEH CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT Toán cao cấp (Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh) Studocu is n.
Trang 1ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP UEH CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Toán cao cấp (Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh)
ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP UEH CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Toán cao cấp (Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh)
Trang 2[B ẢN CẬP NHẬT 14/12/2016]
L ỜI NÓI ĐẦU
.Chào các b ạn K42,
.T ự giới thiệu, mình là Đoan An – K41
.Facebook c ủa mình dạo này nhận được khá nhiều câu hỏi về môn Toán cao cấp và file giải Đại
s ố tuyến tính cũng như Giải tích mà mình đã soạn năm trước Mình biết là các bạn đang sắp sống
ch ết với môn này trong kỳ thi cuối kỳ, nên đã giúp thì cố giúp cho trót, như năm trước vậy Đây là file bài giải các đề Toán cao cấp các năm trước do mình soạn ra, nhằm giúp các bạn hỏng
ki ến thức có chỗ để bám víu mà sống sót qua học kỳ này
.Còn nhi ều câu mình chưa thể giải quyết trọn vẹn nên chưa thế ghi vào Nếu bạn nào mong muốn đóng góp và giúp đỡ thì xin liên hệ với mình bằng cách:
-G ửi tin nhắn qua facebook mình: Triệu Đoan An
-G ửi mail cho mình: keh_hikari_f@yahoo.com.vn
Mình xin lưu ý:
- Đây chỉ là tư liệu tham khảo, không được làm trụ chính cho các cuộc tranh luận
- Đây là tư liệu phi lợi nhuận, không mang tính thương mại Xin đừng dùng vào mục đích thương mại Mình không quản lý được mọi người, và cũng không có yêu cầu bản quyền gì nên
m ọi thứ tùy vào lòng hảo tâm của mọi người thôi!
-N ếu thấy có ích, hãy chia sẻ với mọi người
.File s ẽ còn được update tiếp trong thời gian tới
.Chúc các b ạn ôn thi vui vẻ!
Trang 3Câu 2: Tìm m để hàm số 𝐟(𝐱) = 𝐞𝐦𝐱𝟏−𝟏−𝟏𝐱 có gi ới hạn hữu hạn khi x tiến đến vô cùng
- Điều kiện xác định của hàm số emx− 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 0
-Xét tr ường hợp mx → −∞, tức khi { m > 0 x → −∞ và { m < 0 x → +∞ , ta có:
lim
x→∞emx= 0 ⇒ limx→∞f(x) = −1 -Xét tr ường hợp mx → +∞, tức khi { m > 0 x → +∞ và { m < 0 x → −∞ , ta có:
lim
x→∞f(x) = limx→∞x − e xemxmx− x = lim + 1 x→∞emx+ mxe −memxmx− 1 = limx→∞memx+ me −mmx2emx+ m2xemx= limx→∞2 + mx −m
= 0 -V ậy ∀m ≠ 0 thì limx→∞f(x) là hữu hạn
Trang 4Ph ần 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Câu 1: Cho 𝐀 = (𝟏 𝟐𝟐 𝟏) và 𝐁 = 𝐀𝟓+ 𝐦𝐀𝟔 Tìm điều kiện của m để B không khả đảo
B không khả đảo ⇔ |B| = 0 ⇔ |A5+ mA6| = 0 ⇔ |A5(I + mA)| = 0 ⇔ |A|5 |I + mA| = 0
⇔ [|A| = 0 (không thỏa)|I + mA| = 0 ⇔ |I + mA| = 0 ⇔ |(1 00 1) + (2m m )| = 0 ⇔ |m 2m 1 + m2m 1 + m| = 02m
⇔ (1 + m)2− 4m2= 0 ⇔ −3m2+ 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = −13
Câu 2: Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp 3 có 𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝟓, 𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝟏𝟎, 𝐝𝐞𝐭𝐂 = 𝟓𝟎 và 𝐌 = 𝟓𝐀𝐁𝟐𝐂−𝟏 Tính định
thức của ma trận M?
|M3x3| = |5AB2C−1| = 53 |A| |B2| |C−1| = 53 |A| |B|2 |C|−1= 53 5.102 50−1= 1250
Câu 3: Tìm m để không gian nghiệm của hệ phương trình sau có số chiều lớn nhất:
{ 𝟐𝐱𝟏𝐱+ 𝟑𝐱𝟏+ 𝐱𝟐𝟐+ 𝟒𝐱+ 𝐱𝟑𝟑+ 𝐱+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓= 𝟎𝟓= 𝟎(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟏+ 𝟓𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟐(𝐦 − 𝟏)𝐱𝟒= 𝟎
-Ta có: 𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 − 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) với n = 5 là số ẩn của hệ phương trình và A = ( 12
m − 1
135
146
157
162(m − 1))
Như vậy: dimV → max ⇔ rank(A) → min
-Rõ ràng hai dòng đầu của A đã độc lập với nhau Muốn rank(A) nhỏ nhất thì ta phải tìm m sao cho dòng 3 được
tạo ra bởi hai dòng đầu Nhìn các hệ số của các ẩn x2, x3, x4, ta dễ dàng nhận thấy: d3= 2d1+ d2, suy ra:
1.2 + 2 = m − 1 ⇒ m = 5
Thật vậy, khi m = 5 thì d3= 2d1+ d2, tức dòng 3 phụ thuộc tuyến tính vào 2 dòng trên, làm cho hạng của ma
trận A bằng 2, đạt cực tiểu
-Vậy dimV → max ⇔ m = 5
Công thức 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒏 − 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨) có vẻ lạ đối với nhiều bạn, vì ta thường học 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒓𝒂𝒏𝒌(𝑨) và 𝒅𝒊𝒎𝑾 = 𝒏
Thật ra, điều lạ đó xảy ra do ta viết công thức mà không hiểu A và n ở đây là gì
Mình có 3 bài toán như sau:
Bài toán 1: Cho không gian con W = {(x, y,32x +14y) | x, y ∈ ℝ} Tìm số chiều của W?
𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 = 𝟐, 𝐯ớ𝐢 𝐧 𝐥à 𝐬ố 𝐛𝐢ế𝐧 𝐭𝐫𝐨𝐧𝐠 𝐯é𝐜𝐭ơ 𝐧𝐠𝐡𝐢ệ𝐦 Bài toán 2: Cho W là không gian sinh bởi hệ {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1)} Tìm số chiều của W?
𝐝𝐢𝐦𝐖 = 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) = 𝟑, 𝐯ớ𝐢 𝐀 𝐥à 𝐦𝐚 𝐭𝐫ậ𝐧 𝐠ồ𝐦 𝐜á𝐜 𝐯é𝐜𝐭ơ 𝐬𝐢𝐧𝐡
Trang 5Bài toán 3: W là không gian nghiệm của hệ phương trình { x + y + z = 0x + 2y + 4z = 0 Tìm số chiều của W?
Muốn tìm số chiều của W, ta phải tìm nghiệm của hệ phương trình đã cho Đó là:
(x, −3x2 ,x2)Khi đó, ta viết:
Với n là số ẩn trong hệ phương trình và A là ma trận đặc trưng cho hệ phương trình
Khi dùng công thức, hãy chú ý đề bài và hiểu rõ ý nghĩa của n và rank(A) nhé, để tránh bị nhầm lẫn
Câu 4: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa 𝐀 = 𝐏𝐁𝐏−𝟏, với P là ma trận vuông cấp n khả nghịch Phát biểu nào sau đây là sai?
A khả nghịch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ |PBP−1| = |P| |B| |P−1| ≠ 0 ⇔ |P| |B| |P|−1 ≠ 0 ⇔ |B| ≠ 0 ⇔ B khả nghịch -Xét câu C, ta lập luận:
det(A−1) = |A|−1= |PBP−1|−1= (|P| |B| |P|−1)−1= |B|−1= det(B−1) -Chú ý câu B va D:
B5= (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) = P−1APP−1APP−1APP−1APP−1AP
= P−1A(PP−1)A(PP−1)A(PP−1)A(PP−1)AP = P−1A5P Tóm lại: 𝑩 = 𝑷−𝟏𝑨𝑷 ⇒ 𝑩𝒏= 𝑷−𝟏𝑨𝒏𝑷
Trang 6Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:
A Các câu kia đều sai B Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧
C Hệ vô nghiệm D 𝐑(𝐀) ≥ 𝐑(𝐀̅)
Xét câu B: (1) có thể vô nghiệm
Xét câu C: (1) cũng có thể có vô số nghiệm, khả năng này cao khi số phương trình > số ẩn
Xét câu D: Điều này là không thể, vì khi thêm 1 cột vào thì hạng của ma trận không thể giảm được, tức R(A̅) ≥R(A)
Câu 6: Cho A, B là 2 không gian con của ℝ𝐧 Tìm trong những tập hợp sau, tất cả những tập hợp không là không gian con của ℝ𝐧
𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ; 𝐃 = 𝐀\𝐁 ; 𝐄 = 𝐀\{𝐱} 𝐯ớ𝐢 𝐱 ∈ 𝐀 ; 𝐅 = 𝐀 ∪ {𝛉} ; 𝐆 = 𝐁 ∩ {𝛉} ; 𝐇 = 𝐁\𝐀
-Chúng ta cứ hiểu đơn giản rằng không gian ℝn chính là không gian n chiều, có tính đối xứng và phải chứa vector không (gốc tọa độ) Quen thuộc nhất chính là:
-Không gian 1 chiều ℝ1: đường thẳng đi qua gốc tọa độ
-Không gian 2 chiều ℝ2: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
-Không gian 3 chiều ℝ3: hình khối, không gian chúng ta đang tồn tại, không kể thời gian
+Nếu số chiều của A lớn hơn B (hoặc ngược lại) thì giao của chúng sẽ cho ra chính A hoặc không gian con
với số chiều bằng hiệu số chiều Ví dụ: 1 mặt phẳng chứa 1 đường thẳng thì giao cho ra chính đường thẳng Còn
nếu mặt phẳng bị đường thẳng cắt thì chắc chắn phải cắt tại gốc tọa độ, tức không gian cho ra cuối cùng chỉ còn vector không, cũng là một không gian con của ℝ𝑛
+Tóm lại, C chính là không gian con cũa ℝ𝑛
-Xét 𝐃 = 𝐀\𝐁
Vì A, B là 2 không gian con của Rn nên chắc chắc chúng chứa vector không Loại B ra khỏi A cũng chính là
loại vector không ra khỏi A, nên kết quả cho ra không phải không gian con của ℝn nữa
Trang 7Câu 7: Giả sử hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (có n phương trình và n ẩn số) là hệ vô nghiệm Phát biểu nào sau đây là sai?
A) Hệ vector cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính
B) Ma trận A là ma trận suy biến
C) Vector cột B nằm trong không gian con sinh bởi hệ vector cột của A
D) Hệ vector dòng của ma trận A không phải cơ sở của ℝ𝒏
-Hệ phương trình có n phương trình n ẩn vô nghiệm (Hệ Cramer)
⇔ |A| = 0
⇔ Hệ vector cột và hệ vector dòng của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay ma trận A suy biến
⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝn (vì cơ sở là hệ những vector độc lập tuyến tính)
-Mặt khác, ta có: r(A̅) ≤ n ⇒ r(A̅T) ≤ n < n + 1
(Chú ý rằng A̅T có n+1 dòng và dòng của A̅T là cột của A̅)
Vậy nên hệ vector dòng của A̅T là hệ phụ thuộc tuyến tính, suy ra hệ vector cột của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay có thể nói rằng vector cột B được sinh ra bởi hệ vector cột của A
Câu 8: Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp 2 thỏa 𝐀𝐁 = 𝛉, 𝐀 ≠ 𝛉, 𝐁 ≠ 𝛉 Phát biểu nào sai?
(BA)2= BA BA = B (AB) A = B θ A = θ
Câu 9: Cho ma trận 𝐀 = (𝐚𝐢𝐣)𝟒𝐱𝟒 và ma trận 𝐁 = (𝐛𝐢𝐣)𝟒𝐱𝟒 với 𝐛𝐢𝐣= 𝐚𝐣𝐢∀𝐢, 𝐣 = 𝟏; 𝟒̅̅̅̅̅ Ký hiệu 𝐀𝐓 là ma trận chuyển vị
của ma trận A Phát biểu nào sau đây là sai?
C) 𝐀𝐓= 𝐁
Chính đề bài đã nói lên điều này, theo đúng định nghĩa của ma trận chuyển vị
B) Nếu B suy biến thì A suy biến
B suy biến ⇒ |B| = 0 ⇒ |AT| = 0 ⇒ |A| = 0 ⇒ A suy biến
Trang 8A) Nếu A có 3 dòng bằng 0 thì 𝐀𝐁 = 𝛉
D Nếu 𝐀 𝐁 = 𝛉 thì 𝐀 = 𝐁 = 𝛉
-Xét phần tử (AB)ij của ma trận tích AB, ta có:
(AB)ij= Dòng i của A Cột j của B = ai1b1i+ ai2b2i+ ai3b3i+ ai4b4i
Mà B = AT nên ai1= b1i, ai2= b2i, ai3= b3i, ai4= b4i, suy ra:
(AB)ij= ai12 + ai22 + a2i3+ ai42 ≥ 0 Điều này chứng tỏ trong ma trận tích của một ma trận và ma trận chuyển vị của chính nó, các phần tử luôn không
âm
-Xét câu A, chỉ cần có một phần tử khác 0 ở hàng còn lại thì sẽ có một phần tử trong ma trận tích khác 0
-Xét câu D, muốn ma trận tích bằng 0 thì buộc toàn bộ các phần từ của ma trận A phải bằng 0
“Hai ma trận gọi là bằng nhau khi chúng có cùng kích cỡ và các phần tử tương ứng bằng nhau”
Câu 11: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟓𝟐𝐀𝐓) (𝟕𝟑𝐁) Tìm 𝐂−𝟏?
-Chắc chắn là thay vector nào vô hệ cũng đúng hết, chú ý đến vector V2 và nhớ rằng: “Hệ nghiệm cơ bản chỉ gồm
những vector độc lập tuyến tính”, tức không có vector nào được tạo ra từ các vector khác
-Nhẩm là thấy ngay vector V2ở câu B được tạo ra hai vector V1 và V3
-Vậy hệ vector ở câu B không phải là hệ nghiệm cơ bản
Trang 9Câu 13: Cho hệ phương trình tuyến tính {𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏
𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟐 Phát biểu nào sau đây sai?
A Tồn tại m để hệ số vô số nghiệm
B Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất
C Tồn tại m để hệ vô nghiệm
Sai tính chất |6A| = 6n|A|
B Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 vector dòng của A là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại
Điều này đúng với tính chất
D |−𝐀| = |𝐀|
|−A| = |(−1) A| = (−1)n|A| = [|A| ⇔ n chẵn−|A| ⇔ n lẻ
Trang 10Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:
𝐀 = (𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐) Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑− 𝐀) = [𝐛𝐢𝐣]𝟑×𝟑 Gọi 𝐌𝐢𝐣là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣
−0,3 −0,1 0,8 ) = (
9 −2 −3
−2 7 −2
−3 −1 8 ) Tính tất cả các Bij:
B11= (−1)1+1 | 7−1 −28 | = 54 B12= (−1)1+2 |−2 −2−3 8 | = 22 B13= (−1)1+3 |−2 7−3 −1| = 23
B21= (−1)2+1 |−2 −3−1 8 | = 19 B22= (−1)2+2 | 9−3 −38 | = 63 B23= (−1)2+3 | 9−3 −1| = 15−2
B31= (−1)3+1 |−2 −37 −2| = 25 B32= (−1)3+2 | 9−2 −2| = 24−3 B33= (−1)3+3 |−9 −2−2 7 | = 59-Tính B−1
b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟐𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝟎, 𝟏𝟏𝟎)
Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:
X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1được tính như sau:
110) = (
500600
400)
Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 500,600,400
Trang 11Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) và hệ thuần nhất tương ứng 𝐀𝐗 = 𝛉 có dạng:
{𝟑𝐱𝐱𝟏𝟏+ 𝐱+ 𝟒𝐱𝟐𝟐+ 𝟐𝐱+ 𝟒𝐱𝟑𝟑+ 𝟑𝐱+ 𝟓𝐱𝟒𝟒+ 𝟒𝐱+ 𝟐𝐱𝟓𝟓= 𝟎= 𝟎𝟓𝐱𝟏+ 𝟕𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓 = 𝟎a) Tìm nghiệm tổng quát và tìm 1 nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất trên
Đưa hệ phương trình đã cho vào ma trận, ta có:
357
42
4
−20
7
−40
010
4
−20
7
−40
4
−20
7
−40
00
1 | 00
0) Đặt x3= a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát của hệ (1):
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−4a − 7b, 2a + 4b, a, b, 0) với a, b ∈ ℝ Cho a = b = 1, ta được 1 nghiệm cơ bản của hệ trên:
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−11; 6; 1; 1; 0)
b) Giả sử 𝐗 =
[
𝟓𝟒𝟑𝟐𝟏]
là 1 nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏)
Tìm B và tìm nghiệm tổng quát của hệ (1)
Tìm ma trận B:
B = AX = (13
5
147
246
357
42
6 )(
12345)
= (4153
95) Thay B ngược vào phương trình AX = B, ta đưa hệ vào ma trận:
42
4
−20
7
−40
010
4
−20
7
−40
4
−20
7
−40
00
1 | −2041
5 ) Đặt x3= a, x4 = b, với a, b ∈ ℝ, ta có nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho:
(x1, x2, x3, x4, x5) = (41 − 4a − 7b, −20 + 2a + 4b, a, b, 5) với a, b ∈ ℝ
Trang 12Vậy nên: A không khả đảo ⇔ |A| = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = 6
Câu 2: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟐𝟓𝐀𝐓) (𝟕𝟑𝐁) Tìm 𝐂−𝟏?
C−1= (1415 ATB)−1=1514 B−1(AT)−1=1415 B−1(A−1)T
Câu 3: Giả sử hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (có n phương trình và n ẩn số) là hệ vô nghiệm Phát biểu nào sau đây là sai?
A) Ma trận A là ma trận suy biến
B) Hệ vector cột B nằm trong không gian con sinh bởi hệ vector cột của A
C) Hệ vector cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính
D Hệ vertor dòng của ma trận A không phải là cơ sở của ℝ𝐧
-Hệ phương trình có n phương trình n ẩn vô nghiệm (Hệ Cramer)
⇔ |A| = 0
⇔ Hệ vector cột và hệ vector dòng của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay ma trận A suy biến
⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝn (vì cơ sở là hệ những vector độc lập tuyến tính)
-Mặt khác, ta có: r(A̅) ≤ n ⇒ r(A̅T) ≤ n < n + 1
(Chú ý rằng A̅T có n+1 dòng và dòng của A̅T là cột của A̅)
Vậy nên hệ vector dòng của A̅T là hệ phụ thuộc tuyến tính, suy ra hệ vector cột của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay có thể nói rằng vector cột B được sinh ra bởi hệ vector cột của A
Câu 4: Cho hệ phương trình tuyến tính {𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟐𝐱 + 𝐲 − 𝐳 = 𝟏
𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟐 Phát biểu nào sau đây sai?
A) Tồn tại m để hệ số vô số nghiệm B) Tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất
C) Tồn tại m để hệ vô nghiệm D) Tồn tại m để hệ có nghiệm
-Trước tiên, ta kiểm tra xem điều kiện để r(A) < 3 có tồn tại không, tức kiểm tra có tồn tại giá trị nào của m để
|A| = 0
Trang 13-Ta có: 𝐝𝐢𝐦𝐕 = 𝐧 − 𝐫𝐚𝐧𝐤(𝐀) với n = 5 là số ẩn của hệ phương trình và A = ( 12
m − 1
135
146
157
162(m − 1)) Như vậy: dimV → max ⇔ rank(A) → min
-Rõ ràng hai dòng đầu của A đã độc lập với nhau Muốn rank(A) nhỏ nhất thì ta phải tìm m sao cho dòng 3 được
tạo ra bởi hai dòng đầu Nhìn các hệ số của các ẩn x2, x3, x4, ta dễ dàng nhận thấy: d3= 2d1+ d2, suy ra:
1.2 + 2 = m − 1 ⇒ m = 5
Thật vậy, khi m = 5 thì d3= 2d1+ d2, tức dòng 3 phụ thuộc tuyến tính vào 2 dòng trên, làm cho hạng của ma
trận A bằng 2, đạt cực tiểu
-Vậy dimV → max ⇔ m = 5
Câu 6: Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp 3 có 𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝟓, 𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝟏𝟎, 𝐝𝐞𝐭𝐂 = 𝟓𝟎 và 𝐌 = 𝟓𝐀𝐁𝟐𝐂−𝟏 Tính định
thức của ma trận M
|M3x3| = |5AB2C−1| = 53 |A| |B2| |C−1| = 53 |A| |B|2 |C|−1= 53 5.102 50−1= 1250
Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính 𝐀𝐗 = 𝐁 (𝟏) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:
A) 𝐑(𝐀) ≥ 𝐑(𝐀̅)
B) Hệ vô nghiệm
C) Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧
D) Các câu kia đều sai
Xét câu A: Điều này là không thể, vì khi thêm 1 cột vào thì hạng của ma trận không thể giảm được, tức R(A̅) ≥R(A)
Xét câu B: (1) có thể vô nghiệm
Xét câu C: (1) cũng có thể có vô số nghiệm, khả năng này cao khi số phương trình > số ẩn, khi đó tập nghiệm của (1) hiển nhiên là không gian con của ℝ𝑛
Trang 14Câu 8: Cho hệ phương trình tuyến tính {𝐱𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝟐𝐱𝟑+ 𝟑𝐱𝟒= 𝟎
-2 phương trình 4 ẩn độc lập tuyến tính, ta hoàn toàn có thể viết 2 ẩn này theo 2 ẩn còn lại
Đặt k = −x1− x2, ta có giải hệ 2 phương trình 2 ẩn theo k:
{2x3x3+ 3x4 = k
3+ 5x4 = k ⇒ {2xx33+ 2x+ 3x44= 0 ⇒ {= k x3x4= −2x= −k ⇒ {4 xx43= −k= 2k-Vậy nghiệm tổng quát của hệ này là:
(x1, x2, −2x1− 2x2, x1+ x2)
Và cả 4 đáp án đều đúng (thay vào cũng thấy điều đó)
Câu 9: Cho A là ma trận vuông các n với 𝐧 ≥ 𝟐
A) |𝟔𝐀| = 𝟔|𝐀|
Sai tính chất |6A| = 6n|A|
B) Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 vector cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vector cột còn lại
Điều này đúng với tính chất
D) |−𝐀| = |𝐀|
|−A| = |(−1) A| = (−1)n|A| = [|A| ⇔ n chẵn−|A| ⇔ n lẻ
Câu 10: Cho A, B là 2 không gian con của ℝ𝐧 Tìm trong những tập hợp sau, tất cả những tập hợp không là không gian con của ℝ𝐧
𝐂 = 𝐀 ∩ 𝐁 ; 𝐃 = 𝐀\𝐁 ; 𝐄 = 𝐀\{𝐱} 𝐯ớ𝐢 𝐱 ∈ 𝐀 ; 𝐅 = 𝐀 ∪ {𝛉} ; 𝐆 = 𝐁 ∩ {𝛉} ; 𝐇 = 𝐁\𝐀
-Chúng ta cứ hiểu đơn giản rằng không gian ℝn chính là không gian n chiều, có tính đối xứng và phải chứa vector không (gốc tọa độ) Quen thuộc nhất chính là:
-Không gian 1 chiều ℝ1: đường thẳng đi qua gốc tọa độ
-Không gian 2 chiều ℝ2: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
-Không gian 3 chiều ℝ3: hình khối, không gian chúng ta đang tồn tại, không kể thời gian
Trang 15+Nếu số chiều của A lớn hơn B (hoặc ngược lại) thì giao của chúng sẽ cho ra chính A hoặc không gian con
với số chiều bằng hiệu số chiều Ví dụ: 1 mặt phẳng chứa 1 đường thẳng thì giao cho ra chính đường thẳng Còn
nếu mặt phẳng bị đường thẳng cắt thì chắc chắn phải cắt tại gốc tọa độ, tức không gian cho ra cuối cùng chỉ còn vector không, cũng là một không gian con của ℝ𝑛
+Tóm lại, C chính là không gian con cũa ℝ𝑛
-Xét 𝐃 = 𝐀\𝐁
Vì A, B là 2 không gian con của Rn nên chắc chắc chúng chứa vector không Loại B ra khỏi A cũng chính là
loại vector không ra khỏi A, nên kết quả cho ra không phải không gian con của ℝn nữa
Tương tự như A\B, trong H không có vector không nên H không phải không gian con của ℝn
Câu 11: Cho A, B là 2 ma trận vuông cấp 2 thỏa 𝐀𝐁 = 𝛉, 𝐀 ≠ 𝛉, 𝐁 ≠ 𝛉 Phát biểu nào sai?
A) 𝐀𝟑𝐁𝟑= 𝛉
A3B3= AAABBB = AA(AB)BB = AA θ BB = θ B) (𝐁𝐀)𝟐 = 𝛉
(BA)2= BA BA = B (AB) A = B θ A = θ
C) A và B là hai ma trận suy biến
Giả sử A không suy biến thì A−1 tồn tại Nhân vào hai vế của gia thiết, ta có:
AB = θ ⇒ A−1 AB = A−1 θ ⇒ B = 0 (vô lý)
Vậy A phải suy biến, chứng minh tương tự được B suy biến
D) 𝐁𝐀 = 𝛉
Phép nhân ma trận không có tính giao hoán và điều kiện đề bài cũng không đủ để kết luận BA = θ
Câu 12: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa 𝐀 = 𝐏𝐁𝐏−𝟏, với P là ma trận vuông cấp n khả nghịch Phát biểu nào sau đây là sai?
Trang 16-Xét câu A, ta lập luận:
A khả nghịch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ |PBP−1| = |P| |B| |P−1| ≠ 0 ⇔ |P| |B| |P|−1 ≠ 0 ⇔ |B| ≠ 0 ⇔ B khả nghịch -Xét câu C, ta lập luận:
det(A−1) = |A|−1= |PBP−1|−1= (|P| |B| |P|−1)−1= |B|−1= det(B−1) -Xét câu B và D, ta tìm:
B3= (P−1AP) (P−1AP) (P−1AP) = P−1APP−1APP−1AP
= P−1A(PP−1)A(PP−1)AP = P−1A3P Tóm lại: B = P−1AP ⇒ Bn= P−1AnP
Câu 13: Cho ma trận 𝐀 = (𝐚𝐢𝐣)𝟒𝐱𝟒 và ma trận 𝐁 = (𝐛𝐢𝐣)𝟒𝐱𝟒 với 𝐛𝐢𝐣= 𝐚𝐣𝐢∀𝐢, 𝐣 = 𝟏; 𝟒̅̅̅̅̅ Ký hiệu 𝐀𝐓 là ma trận chuyển vị
của ma trận A Phát biểu nào sau đây là sai?
C) 𝐀𝐓= 𝐁
Chính đề bài đã nói lên điều này, theo đúng định nghĩa của ma trận chuyển vị
B) Nếu B suy biến thì A suy biến
B suy biến ⇒ |B| = 0 ⇒ |AT| = 0 ⇒ |A| = 0 ⇒ A suy biến A) Nếu A có 3 dòng bằng 0 thì 𝐀𝐁 = 𝛉
D Nếu 𝐀 𝐁 = 𝛉 thì 𝐀 = 𝐁 = 𝛉
-Xét phần tử (AB)ij của ma trận tích AB, ta có:
(AB)ij= Dòng i của A Cột j của B = ai1b1i+ ai2b2i+ ai3b3i+ ai4b4i
Mà B = AT nên ai1= b1i, ai2= b2i, ai3= b3i, ai4= b4i, suy ra:
(AB)ij= ai12 + ai22 + a2i3+ ai42 ≥ 0 Điều này chứng tỏ trong ma trận tích của một ma trận và ma trận chuyển vị của chính nó, các phần tử luôn không
âm
-Xét câu A, chỉ cần có một phần tử khác 0 ở hàng còn lại thì sẽ có một phần tử trong ma trận tích khác 0
-Xét câu D, muốn ma trận tích bằng 0 thì buộc toàn bộ các phần từ của ma trận A phải bằng 0
Câu 14: Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào 𝐀 = (𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑𝟎, 𝟓 𝟎, 𝟒) Gọi 𝐱𝟏, 𝐱𝟐 lần lượt là giá trị
sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, 𝐝𝟏, 𝐝𝟐 lần lượt là yêu cầu của ngành mở đối với ngành 1, 2 Cho (𝐱𝟏, 𝐱𝟐) =(𝟐𝟎𝟎; 𝟑𝟎𝟎) Hãy tìm (𝐝𝟏, 𝐝𝟐)?
(dd1
2) = D = (I − A)X = [(1 00 1) − (0,2 0,30,5 0,4)] (200300) = (−0,5 0,6 ) (0,8 −0,3 200300) = (7080)
Trang 17Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:
𝐀 = (𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑) Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑− 𝐀) = [𝐛𝐢𝐣]𝟑×𝟑 Gọi 𝐌𝐢𝐣là định thức con bù của 𝐛𝐢𝐣
B11= (−1)1+1 | 7−2 −27 | = 45 B12= (−1)1+2 |−1 −2−1 7 | = 9 B13= (−1)1+3 |−1 7−1 −2| = 9
B21= (−1)2+1 |−2 −1−2 7 | = 16 B22= (−1)2+2 | 7−1 −17 | = 48 B23= (−1)2+3 | 7−1 −2| = 16−2
B31= (−1)3+1 |−2 −17 −2| = 11 B32= (−1)3+2 | 7−1 −2| = 15−1 B33= (−1)3+3 | 7−1 −27 | = 47-Tính B−1
b) Tìm giá trị sản lượng của ba ngành biết yêu cầu của ngành mở đối với ba ngành là 𝐃 = (𝟏𝟕𝟎, 𝟕𝟎, 𝟐𝟓𝟎)
Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:
X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1được tính như sau:
250) = (
400300
500)
Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 400,300,500
Trang 18Câu 16: Biện luận theo m hạng của ma trận sau:
𝑨 =(
𝒎𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟑𝒎𝟑𝟑𝟑
𝟑𝟑𝒎𝟑𝟑
𝟑𝟑𝟑𝒎𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑𝒎)
33m33
333m3
3333m
|| = ||
m333
m + 3
3m33
m + 3
33m3
m + 3
333m
m + 3
3333
m + 3
|| = (m + 3) ||
m3331
3m331
33m31
333m1
33331
||
= (m + 3) ||
m − 30001
0
m − 3001
00
m − 301
000
m − 31
00001
|| = (m + 3)(m − 3)4
Xét khi m ≠ ±3, ta có: |A| ≠ 0 ⇒ r(A) = 5
Xét khi m = 3, dễ dàng thấy r(A) = 1
Xét khi m = −3, ta tìm được r(A) = 4
Vậy Khi m ≠ ±3 thì r(A) = 5
Khi m = −3 thì r(A) = 4
Khi m = 3 thì r(A) = 1
Trang 19K40 – MÃ ĐỀ 624
Câu 1: Giả sử hệ phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất Chọn phát biểu đúng?
A) Hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính
B) Hệ véctơ cột của A phụ thuộc tuyến tính
C) Hệ véctơ dòng của A phụ thuộc tuyến tính
D) Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính
Phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất
⇔ r(A) = n
⇔ r(AT) = n
⇔ Hệ véctơ dòng của AT độc lập tuyến tính
⇔ Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính
(Vì dòng của A là cột của ATvà ngược lại Nếu Am×n thì ATn×m)
Có ý kiến: Tại sao từ "𝑟(𝐴) = 𝑛" ta không suy thẳng ra “hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính”? Mình xin giải thích ngắn gọn thế này:
Trong tính chất “Nếu 𝑟(𝐴) = 𝑛 thì hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính” thì ý nghĩa của n chính là số dòng của
A Còn trong bài toán trên, n là số ẩn (tức số cột), còn m mới là số phương trình (tức số dòng) Vì vậy mình buộc
phải dùng đến ma trận chuyển vị để n biến thành số phương trình của ma trận chuyển vị
Vì vậy, khi sử dụng các tính chất, chún ta cần chú ý đến ý nghĩa của các chữ cái đại diện!
Câu 2: Cho u, v, w là các véctơ khác 0 trong ℝ𝟑 Tập hợp nào sau đây là không gian con của ℝ𝟑
A) 𝐖𝟏 = {𝐮 + 𝐱𝐯 | 𝐱 ∈ ℝ}
Nếu u và v không cùng phương thì không thể tồn tại số thực x để 𝑢 + 𝑥𝑣 = 𝜃, tức có thể trong không gian
W1 không có vector không
Vì vậy, không thể khẳng định W1 là không gian con của ℝ3
B) 𝐖𝟐= {𝐰 + 𝐱𝐮 + 𝐲𝐯 | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}
Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn, vì luôn tìm được 2 số thực x, y để w + xu + yv = θ
Điều kiện 2: Giả sử A = w + xu + yv ∈ W2 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W2 hay không?
Ta có: αA = αw + αxu + αyv
Đặt αx = X ∈ ℝ và αy = Y ∈ ℝ thì αA = αw + Xu + Yv ∉ W2 vì αw ≠ w Điều kiện 2 không thỏa mãn nên W2 không phải không gian con của ℝ3
C) 𝐖𝟑 = {𝐱𝐮 + 𝐲(𝐯 + 𝐰) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}
Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn
Điều kiện 2: Giả sử A = xu + y(v + w) ∈ W3 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W3 hay không?
Trang 20Ta có: αA = αxu + αy(v + w)
Đặt αx = X ∈ ℝ và αy = Y ∈ ℝ thì αA = Xu + Y(v + w) ∈ W3
Vậy W3 là không gian con của ℝ3
D) 𝐖𝟒= {𝐧𝐮 | 𝐧 ∈ ℕ}
Điều kiện 1 hiển nhiên thỏa mãn khi n=0
Điều kiện 2: Giả sử A = nu ∈ W4 Ta cần kiểm tra xem αA có thuộc W3 hay không?
Ta có: αA = αnu
Đặt αn = N ∈ ℝ thì αA = Nu ∉ W4 vì N ∈ ℝ (chứ không phải N ∈ ℕ như điều kiện)
Vậy W3 là không phải là không gian con của ℝ3
Có thể nói rằng, 2 điều kiện tối thiểu cần phải xét đến đối với không gian con, đó là:
-Tồn tại vector không
Câu 5: Cho hệ phương trình { −𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟏𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝟐
−𝟑𝐱 + 𝟖𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝐦 + 𝟓 Phát biểu nào sau đây là đúng?
A) Với mọi m, hệ luôn có nghiệm B) Với mọi m, hệ có nghiệm duy nhất
C) Với mọi m, hệ có vô số nghiệm D) Tồn tại m để hệ có đúng hai nghiệm
-Trước tiên, ta kiểm tra xem điều kiện để r(A) < 3 có tồn tại không, tức kiểm tra có tồn tại giá trị nào của m để
Trang 21-Thay m = −1 vào ma trận vuông cấp 3 còn lại và kiểm tra xem r(A̅) < 3 có xảy ra hay không?
-Như vậy, r(A) < 3 và r(A̅) < 3
Đồng thời thấy rằng hai dòng đầu của hệ độc lập tuyến tính nên ta kết luận:
r(A) = r(A̅) = 2 < 3 ⇔ m = −1, tức tồn tại m để hệ có vô số nghiệm
-Với các trường hợp m ≠ −5 thì |A| ≠ 0, chứng tỏ chỉ có thể là r(A) = r(A̅) = 3, tức hệ có nghiệm duy nhất -Tóm lại, hệ này luôn có nghiệm
Câu 7: Cho hệ phương trình {
𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 + 𝟑𝐭 = 𝟒𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟔
−3
1340
46
−28
301
1133
4
−2
−620
3
−6
−27
Như câu A, ta đã biết B khả đảo, chứng tỏ B không suy biến
Chứng minh tương tự, ta được A cũng không suy biến
D) 𝐝𝐞𝐭𝐀 + 𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝟎
Dùng kết quả từ câu B) và C), chứng minh được |𝐴| = |𝐵| ≠ 0 ⇒ |𝐴| + |𝐵| ≠ 0
Trang 22Thật ra ngay từ đầu, ta đã nhận ra tính đối xứng trong đề bài và dễ dàng chứng minh được: 𝐴 = 𝐵
Khi đó, thay vào đề bài thì: 𝐴3= 𝐵3= 𝐼 ⇒ 𝐴 = 𝐵 = 𝐼
Từ đó thay vào các câu A, B, C, D ta dễ dàng thấy D là phát biểu sai
Câu 10: Cho ma trận 𝐀 = (−𝟏 −𝟏𝟐 𝐦 −𝟒)𝟐 Biết 𝐀𝐀𝐓 khả đảo Hãy tìm hạng của 𝐀𝐓
Vì m ≠ 2 nên d1 và d2độc lập tuyến tính, suy ra r(AT) = 2
Câu 11: Trong ℝ𝟑 cho hệ véctơ 𝐁 = {𝐮𝟏 = (−𝟏, 𝟐, 𝟑), 𝐮𝟐= (𝟐, 𝟓, 𝟏), 𝐮𝟑= (𝟏, 𝟗, 𝟕), 𝐮𝟒 = (𝟓, 𝟖, −𝟏)} Phát biểu nào sau đây là sai?
Theo câu A, trong hệ {u1, u2, u3, u4} có ít nhất 3 véctơ độc lập tuyến tính, nên số chiều tối thiểu của không gian con sinh bởi hệ trên là 3
D) {𝐮𝟏, 𝐮𝟐, 𝐮𝟑} là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B
Theo câu B, u4có được từ u1, u2 nên u4xem như bị loại Hệ B còn lại ba véctơ độc lập tuyến tính
Vậy {u1, u2, u3} là hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của B
Câu 12: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch Đặt 𝐂 = (𝟐𝟑𝐀𝐓) (𝟒𝟓𝐁−𝟏) Khi đó 𝐂−𝟏=?
C =15 A8 TB−1⇒ C−1=158 (ATB−1)−1=158 (B−1)−1 (AT)−1=158 B.(A−1)T
Câu 13: Đặt 𝐏(𝐱) = |
𝟏 𝐱 𝐱𝟐
−𝟏 𝟐 𝟑𝟐
𝟑 𝟏𝟒 −𝟐−𝟏
𝐱𝟑
𝟓𝟏𝟑
| Tìm bậc của đa thức 𝐏(𝐱)?
Trang 23Khai triển đa thức P(x) theo dòng 1, ta có:
Nhận thấy hai phương trình đầu của hệ này độc lập tuyến tính nên:
rank(A) ≥ 2
Ta lại có:
dimW = n − rank(A) ≤ 4 − 2 = 2
Vậy dimW ≤ 2 với mọi m
B) Với mọi m thì W luôn có cơ sở
Hệ phương trình trên luôn tồn tại nghiệm nên không gian W luôn tồn tại Vậy nên W luôn có cơ sở
C) Tồn tại m sao cho 𝐖 ≡ ℝ𝟒
Rõ ràng ở câu A ta đã chứng minh được dimW ≤ 2 với mọi m Nên không thể xảy ra W ≡ ℝ4
D) Mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính
Số chiều của W tối đa bằng 2 nên W được xây dựng chỉ từ tối đa 2 véctơ độc lập tuyến tính
Vậy nên mọi hệ gồm 3 phần tử của W đều phụ thuộc tuyến tính
Trang 24Câu 15: Trong mô hình Input-output mở, cho ma trận hệ số đầu vào:
𝑨 = (𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏
𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟐) a) Tìm tổng giá trị lượng nguyên liệu mà ba ngành cung cấp cho ngành 1 để ngành 1 làm ra lượng sản phẩm trị giá
100 (đvt)
Tổng giá trị lượng nguyên liệu cung cấp cho ngành 1:
𝑦1= (𝑎11+ 𝑎21+ 𝑎31) 𝑥1 = (0,1 + 0,2 + 0,3) 100 = 60 b) Tìm giá trị sản lượng 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành là 𝑫 = (𝟏𝟏, 𝟑𝟖, 𝟏𝟕)
17) = (
3060
40)
Câu 16: Trong không gian ℝ𝟒, gọi W là không gian sinh bởi các véctơ:
𝐮𝟏= (𝟏, 𝟐, −𝟏, 𝟏) ; 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝟑, 𝟏, 𝟑) ; 𝐮𝟑= (𝟑, 𝟕, −𝟔, 𝟐) ; 𝐮𝟒= (𝟒, 𝟕, −𝟏, 𝟓) a) Tìm số chiều và một cơ sở của W
Ta có: dimW = rank (
1234
2377
−11
−6
−1
1325) = rank (
1000
2
−11
−1
−1
−1
−33
11
−11)
= rank (
1000
2
−100
−1
−1
−44
1100) = rank (
1000
2
−100
−1
−1
−40
1100) = 3
−11
−6
13
2) = rank (
100
2
−10
−1
−1
−4
11
−α1+ α2− 6α3= 2
α1+ 3α2+ 2α3= 2
⇔ (α1, α2, α3) = (−1,1,0) ≠ (0,0,0)
Vậy v = (1,1,2,2) có thuộc W
Trang 25K39 – MÃ ĐỀ 12
Câu 1: Cho A, B là hai ma trận vuông cấp 5 Giả sử dòng 2 của A bằng 0 và cột 3 của B bằng 0 Đặt C=AB, khi đó:
A) Dòng 2 và cột 2 của C bằng 0 B) Dòng 3 và cột 3 của C bằng 0
C) Dòng 2 và cột 3 của C bằng 0 D) Dòng 3 và cột 2 của C bằng 0
Dòng 2 của A làm cho toàn bộ dòng 2 của C bằng 0 Cột 3 của B làm cho toàn bộ cột 3 của C bằng 0
Câu 2: Gọi V là không gian nghiệm của hệ
{ 𝟐𝐱𝟏𝐱+ 𝟑𝐱𝟏+ 𝐱𝟐𝟐+ 𝟒𝐱+ 𝐱𝟑𝟑+ 𝐱+ 𝟓𝐱𝟒+ 𝐱𝟒+ 𝟔𝐱𝟓= 𝟎𝟓= 𝟎(𝐦 + 𝟏)𝐱𝟏+ 𝟓𝐱𝟐+ 𝟔𝐱𝟑+ 𝟕𝐱𝟒+ 𝟐(𝐦 + 𝟏)𝐱𝟓= 𝟎Tìm m để dimV lớn nhất?
dimV = n − rank(A)
⇒ dimV → max ⇔ rank(A) → min
Rõ ràng hai phương trình đầu đã độc lập tuyến tính nên để hạng của A nhỏ nhất thì phương trình thứ 3 phải là tổ
hợp từ hai phương trình trên
Dễ dàng nhận ra, 2d1+ d2 = 4x1+ 5x2+ 6x3+ 7x4+ 8x5= 0 là một phương trình tương tự d3
Đồng nhất nó với d3, ta được m=3
Vậy dimV → max ⇔ m = 3
Câu 3: Cho 2 hệ phương trình AX=0 (1) và AX=B (2) với 𝐀𝐦×𝐧 Phát biểu nào sai?
A) Nếu m=n và (1) có nghiệm duy nhất thì (2) có nghiệm duy nhất
Khi m = n và (1) có nghiệm duy nhất thì r(A) = n
Mà r(A̅) ≥ r(A) ⇒ r(A̅) = n
Vậy r(A) = r(A̅) = n, tức (2) có nghiệm duy nhất
B) Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm
Xét vế trái: (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = n
Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A̅)
Vì r(A̅) = n; m̅̅̅̅̅̅ nên ta không có đủ cơ sở để từ vế trái suy ra vế phải, tức (1) có nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm
C) Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm
Xét vế trái: (1) có vô số nghiệm ⇒ r(A) < n
Xét vế phải: (2) có nghiệm ⇔ r(A) = r(A̅)
Ta chưa chắc được (2) có nghiệm hay không vì không biết chắc hạng của A̅
D) Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm
(2) có vô số nghiệm⇔ r(A) < r(A̅) ≤ n ⇒ r(A) < n ⇒ (1) có vô số nghiệm
Trang 26
Câu 4: Hệ véctơ nào sau đây không phải là không gian con của ℝ𝟑?
A) 𝐕 = {(𝐱 − 𝐲, 𝐲, 𝟎) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}
Trong V có véctơ không, khi x=y=z=0
Xét A = (x − y, y, 0) ∈ V ⇒ αA = (αx − αy, αy, 0) = (X − Y, Y, 0) ∈ V
Vậy V là không gian con của ℝ3
B) 𝐕 = {(𝐱 − 𝐲 + 𝐳, 𝐳 − 𝐲, 𝐱) | 𝐱, 𝐲, 𝐳 ∈ ℝ}
Trong V có véctơ không, khi x=y=0
Xét A = (x − y + z, z − y, x) ∈ V ⇒ αA = (αx − αy + αz, αz − αy, αx) = (X − Y + Z, Z − Y, X) ∈ V
Vậy V là không gian con của ℝ3
C) V gồm tất cả các véctơ được sinh ra bởi hệ {(𝟏, 𝟐, 𝟏), (−𝟐, 𝟎, 𝟏), (𝟏, 𝟐, −𝟑), (𝟑, −𝟐, 𝟏)}
Hệ véctơ thuộc ℝ3 bất kỳ đều có thể sinh ra không gian con của ℝ3
D) 𝐕 = {(𝐱, 𝐲, 𝐱𝐲) | 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ}
Trong V có véctơ không, khi x=y=0
Xét A = (x, y, xy) ∈ V ⇒ αA = (αx, αy, αxy) = (X, Y,XYα) ∉ V
Vậy V không là không gian con của ℝ3
Câu 5: Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch
Đặt 𝐂 = (𝟑𝟓𝐀𝐓) (𝟕𝟒𝐁) Khi đó 𝐂−𝟏=?
C =2120 ATB ⇒ C−1=2021 (ATB)−1=2021 B−1 (AT)−1=2021 B−1 (A−1)T
Câu 7: Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính {𝐱𝐱𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝟐𝐱𝟑+ 𝟑𝐱𝟒= 𝟎
𝟏+ 𝐱𝟐+ 𝟑𝐱𝟑+ 𝟓𝐱𝟒= 𝟎 A) 𝐕𝟏= (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏)
B) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐 = (−𝟐, −𝟐, 𝟎, 𝟎), 𝐕𝟑 = (𝟎, 𝟏, −𝟐, 𝟏)
C) 𝐕𝟏= (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐 = (𝟏, 𝟏, 𝟏, 𝟎)
D) 𝐕𝟏 = (𝟏, 𝟎, −𝟐, 𝟏), 𝐕𝟐= (𝟎, 𝟏, −𝟐, 𝟏)
Hệ trên gồm 2 phương trình độc lập tuyến tính 4 ẩn Như vậy số véctơ trong hệ nghiệm cơ bản sẽ là 4-2=2 (véctơ)
thỏa mãn hệ phương trình Chỉ có đáp án D là phụ hợp điều kiện
Câu 8: Hệ { 𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 = −𝟔𝟓𝐱 + 𝟖𝐲 = 𝟏
𝐚𝟐𝐱 + 𝟑𝐚𝐲 = −𝟗có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi a=?
Giải hai phương trình đầu ta được nghiệm: (x, y) = (−3,2)
Để hệ phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì phương trình cuối phải thỏa (x, y) = (−3,2)
Thay (x, y) = (−3,2) vào, ta tìm được điều kiện của a:
−3a2+ 6a + 9 = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3
Trang 27Câu 9: Cho các ma trận: 𝐀 = (𝟏 𝟐𝟑 𝟗) ; 𝐃𝟏= (𝟓𝟔) ; 𝐃𝟐= (𝟓𝟗)
Gọi 𝐗𝟏, 𝐗𝟐 lần lượt là nghiệm của hệ A𝐗 = 𝐁𝟏 và A𝐗 = 𝐁𝟐 Khi đó 𝐗𝟐− 𝐗𝟏 là:
X1= A−1D1 ; X2= A−1D2
⇒ X2− X1= A−1(D2− D1) = ( 9 −2−3 1 ) (03) = (−63 ) → (−21 )
Câu 10: Trong mô hình Input-Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào 𝐀 = [𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟒] Gọi 𝐱𝟏, 𝐱𝟐 lần lượt là giá trị
sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, 𝐝𝟏, 𝐝𝟐 lần lượt là yêu cầu của ngành mở đối với ngành 1, 2 Khi đó, nếu (𝐱𝟏, 𝐱𝟐) =(𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟎𝟎) thì (𝐝𝟏, 𝐝𝟐) sẽ là:
Cũng công thức trên: |−A| = |(−1)A| = (−1)n|A| = [ |A| khi n = 2k, k ∈ ℕ−|A| khi n = 2k + 1, k ∈ ℕ∗ ∗
C) Nếu |𝐀| = 𝟎 thì có 1 véctơ cột của A là tổ hợp tuyến tính của các véctơ cột còn lại
Điều này đúng, rút ra từ điều vi Trong sách giáo trình, trang 41
Nếu có 1 véctơ cột là tổ hợp tuyến tính của các véctơ khác thì ta hoàn toàn có thể biến nó thành véctơ y
hệt như các véctơ tạo ra nó Khi đó, định thức có hai cột giống nhau nên có giá trị bằng 0
D) Các câu kia đều sai
Câu C đúng cơ mà =]]
Câu 12: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B (1) với 𝐀𝐦×𝐧 (𝐦 > 𝐧), 𝐀̅ = (𝐀|𝐁) Ta có:
A) Tập nghiệm của (1) là không gian con của ℝ𝐧
Khi số phương trình > số ẩn, hệ phương trình có thể vô nghiệm
Khi đó, tập nghiệm của (1) là tập rỗng, không phải không gian con của ℝn
Trang 28|A| không khả đảo ⇔ |𝐴| = 0 ⇔ |m − 11 11 m − 11
Dù có hay không có dấu trừ thì kết quả vẫn vậy, như sẽ dẫn đến việc ta quên mất quy tắc: “Khi đổi chỗ hai hàng
hoặc hai cột của định thức thì định thức đổi dấu” – có thể sẽ gây nên nhiều sai lẫm trong các bài toán
Câu 14: Trong không gian ℝ𝟑, xét các tập hợp:
𝐖𝟏= {(𝐱, 𝐲, 𝟏) | 𝐱 = 𝟐𝐲} ; 𝐖𝟐= {(𝐱, 𝐲, 𝐳) | 𝐳 = 𝟐𝐱 − 𝐲} ; 𝐖𝟑= {(𝐱, 𝐲, 𝐳) | 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎}
Chọn mệnh đề đúng:
A) 𝐖𝟏 và 𝐖𝟐 là không gian con của ℝ𝟑 B) 𝐖𝟏 và 𝐖𝟑 là không gian con của ℝ𝟑
C) 𝐖𝟐 và 𝐖𝟑 là không gian con của ℝ𝟑 D) Cả ba mệnh đề trên đều sai
W1 không chứa véctơ không nên W1 không phải không gian con của ℝ3 Còn lại W2 và W3đều là không gian con
của ℝ3
Trang 29Câu 15: Trong mô hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào là:
𝐀 = (𝟎, 𝟒 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏 𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟑) a) Đặt 𝐁 = 𝟏𝟎(𝐈𝟑− 𝐀) Tính 𝐁−𝟏
B11= (−1)1+1 | 7−2 −27 | = 45 B12= (−1)1+2 |−1 −2−2 7 | = 11 B13= (−1)1+3 |−1 7−2 −2| = 16
B21= (−1)2+1 |−2 −1−2 7 | = 16 B22= (−1)2+2 | 6−2 −17 | = 40 B23= (−1)2+3 | 6−2 −2| = 16−2
B31= (−1)3+1 |−2 −17 −2| = 11 B32= (−1)3+2 | 6−1 −2| = 13−1 B33= (−1)3+3 | 6−1 −27 | = 40-Tính B−1
Ta có công thức tính sản lượng của ba ngành:
X = (I − A)−1 D Trong đó, (I − A)−1được tính như sau:
45) = (
200100
150)
Vậy sản lượng của 3 ngành lần lượt là: 200,100,150
Trang 30Câu 16: Biện luận hạng của ma trận sau theo tham số m
𝐀 = [
𝐦 − 𝟏
𝟑 𝐦 − 𝟏𝟑 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑
Trang 31−1
110
−1
1110] ; AT= [
0111
−1011
−1
−101
−1
−1
−10
] ; B = [−10 10 11
−1 −1 0]
Dễ dàng tính được: |A| ≠ 0 ⇒ A không suy biến và |B| = 0 ⇒ B suy biến
Câu 2: Với giá trị nào của m thì véctơ x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w
Biết rằng 𝐱 = (𝟕, −𝟐, 𝐦); 𝐮 = (𝟐, 𝟑, 𝟓); 𝐯 = (𝟑, 𝟕, 𝟖); 𝐰 = (𝟏, −𝟔, 𝟏)
x là tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w
⇔ (7, −2, m) = α(2,3,5) + β(3,7,8) + γ(1, −6,1) có nghiệm (α, β, γ) ≠ (0,0,0)
Giải phương trình, hoặc tinh ý nhận ra x = u + v + 2w, ta dễ dàng tìm được m=15
Câu 3: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B (I) gồm 4 phương trình và 3 ẩn số Biết rằng hệ (I) có nghiệm duy
nhất Ký hiệu r(A) là hạng của ma trận A và ký hiệu 𝐀̅ là ma trận hệ số mở rộng của hệ (I) Khi đó:
A) 𝐀̅ không suy biến
A̅ là ma trận cấp 4x4 nên max[r(A̅ )] = 4
Nhưng vì (I) có nghiệm duy nhất nên r(A) = r(A̅ ) = 3 < 4
Điều đó chứng tỏ A̅ suy biến
B) 𝐫(𝐀) = 𝟒
Theo cách giải thích ở câu A thì r(A) = 3
Thật vậy, hệ phương trình có 4 phương trình 3 ẩn, tức ma trận A là ma trận cấp 4x3 nên max[r(A)] = 3 C) Hệ véctơ cột của ma trận A là hệ độc lập tuyến tính
Hệ véctơ cột không có ý nghĩa đối với ma trận
D) Hệ véctơ dòng của ma trận A là hệ độc lập tuyến tính
Ta có: { r(A) = 3max[r(A)] = 3 ⇒ A là hệ độc lập tuyến tính
Trang 32Câu 4: Tập hợp nào sau đây là không gian con của ℝ𝟑?
Câu 5: Cho hệ phương trình tuyến tính {𝟐𝐱 + 𝟔𝐲 − 𝟏𝟏𝐳 = 𝐛𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝟑𝐳 = 𝐚
𝐱 − 𝟐𝐲 + 𝟕𝐳 = 𝐜 với 𝐚, 𝐛, 𝐜 ∈ ℝ Điều kiện của a, b, c để hệ phương trình
đã cho có nghiệm là:
-Ta tính được:
|A| = |12 26 −11−3
1 −2 7 | = 0 ⇒ r(A) < 3 ⇒ Hệ không thể có duy nhất nghiệm
-Mà theo đề bài, hệ có nghiệm Vậy bắt buộc, hệ phải có vô số nghiệm, tức:
r(A̅) = r(A) = 2 -Ta có:
A̅ = (12 26 −11−3
1 −2 7 |
ab
b − 2a = −2(c − a) ⇔ 5a = 2b + c
Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất {𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 + 𝟓𝐳 = 𝟎𝐱 + 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟎
𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 + 𝐦𝐳 = 𝟎 (𝐈) với 𝐦 ∈ ℝ Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của hệ (I) có cơ sở khác rỗng?
Không gian nghiệm của hệ (I) có cơ sở khác rỗng
⇔ Không gian nghiệm của hệ (I) khác rỗng ⇔ (I) có vô số nghiệm
⇔ |2 3 51 1 2
3 2 𝑚| = 0 ⇔ (𝑚 − 5) = 0 ⇔ 𝑚 = 5
Câu 7: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n không suy biến Ký hiệu 𝐫(𝐀𝐁), (𝐁𝐀), 𝐫(𝐀−𝟏𝐁), 𝐫(𝐁−𝟏𝐀) lần lượt là
hạng của ma trận 𝐀𝐁, 𝐁𝐀, 𝐀−𝟏𝐁, 𝐁−𝟏𝐀 Phát biểu nào sau đây là sai?
A) 𝐝𝐞𝐭𝐀𝐁 = 𝐝𝐞𝐭𝐁𝐀
Ta có: |AB| = |A| |B| = |B| |A| = |BA| ⇒ detAB = detBA
Trang 33Ta có: {|A
−1B| =|B||A|
|B−1A| =|A||B|⇒ det(A
−1B) ≠ det(B−1A)
Câu 8: Với giá trị nào của a, b, c thì hệ véctơ 𝐔 = {𝐮𝟏 = (𝟐, 𝐚 + 𝐛, 𝐜); 𝐮𝟐 = (𝟐, 𝐛 + 𝐜, 𝐚); 𝐮𝟑 = (𝟐, 𝐜 + 𝐚, 𝐛)} là cơ sở
của không gian ℝ𝟑
U là cơ sở của ℝ3 ⇔ u1, u2, u3 độc lập tuyến tính ⇔ |uu12
Vậy không tồn tại a, b, c thỏa mãn yêu cầu đề bài
Câu 9: Gọi V là một không gian con của không gian ℝ𝟑 Giả sử V có một cơ sở là 𝐌 = {𝐮𝟏= (𝟏, 𝟎, −𝟐), 𝐮𝟐= (𝟐, 𝟏, 𝟎)} Điều kiện để véctơ 𝐮 = (𝐱, 𝐲, 𝐳) ∈ 𝐕 là:
u = (x, y, z) ∈ V ⇔ u = αu1+ βu2 có nghiệm (α, β) ≠ (0,0)
⇒ {x = α + 2βy = β
z = −2α ⇔ {
x = α + 2β
−2y = −2β1
Trang 34Chú ý rằng các véctơ u1, u2, u3chưa được giao rõ nhiệm vụ trong ℝ3 (là trục nào trong ℝ3)
Nên hai khả năng sau đều có thể xảy ra:
u = 1u1+ 2u2+ (−1)u3 hoặc u = 1u2+ 2u3+ (−1)u1
Vậy, ta không xác định được u
Tuy nhiên, nếu mặc định rằng 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 là các vector đơn vị của các trục tương ứng thì:
𝑢 = 1𝑢1+ 2𝑢2− 1𝑢3 = (0, −1,5)
Câu 12: Cho các ma trận 𝐀 = (−𝟏𝟏
𝟎 ) , 𝐁 = (
𝟐𝟏
𝟏) , 𝐌𝐁 = (
𝟑𝟒
𝟔) Hãy tìm ma trận MC?
Nếu tinh ý, ta sẽ nhận ra:
A) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S chứa nhiều hơn n véctơ
Theo đề bài, S chứa một hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính, nên rõ ràng S là không gian n chiều hay S ≡ ℝn Như
vậy hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S chỉ có thể chứa tối đa n véctơ
B) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính của S gồm đúng n véctơ
Tùy theo cách chọn véctơ, nếu chỉ chọn n-1 véctơ độc lập tuyến tính trong n véctơ độc lập tuyến tính thì hệ vừa
chọn cũng chỉ có n-1 véctơ
C) r(S)>n
r(S) = dimS = n D) Mọi hệ véctơ con độc lập tuyến tính cực đại của S gồm đúng n véctơ
Phần phân tích ở câu A đã khẳng định câu D là đúng
Trang 35Câu 14: Giả sử hệ phương trình tuyến tính AX=B (có n phương trình và n ẩn số) là hệ vô nghiệm Phát biểu nào sau đây là sai?
A) Hệ véctơ dòng của ma trận A không phải cơ sở của ℝ𝐧
B) Hệ véctơ cột của ma trận A là hệ phụ thuộc tuyến tính
C) Ma trận A là ma trận suy biến
D) Véctơ cột B nằm trong không gian con sinh bởi véctơ cột của A
-AX=B là hệ vô nghiệm
⇒ r(A) < n
⇒ |A| = 0
⇒ Hệ vector dòng và hệ vector cột của ma trận A phụ thuộc tuyến tính
⇒ Hệ vector dòng của A không phải cơ sở của ℝ𝑛
-Mặt khác, ta có: r(A̅) ≤ n ⇒ r(A̅T) ≤ n < n + 1
(Chú ý rằng A̅T có n+1 dòng và dòng của A̅T là cột của A̅)
Vậy nên hệ vector dòng của A̅T là hệ phụ thuộc tuyến tính, suy ra hệ vector cột của A là hệ phụ thuộc tuyến tính, hay có thể nói rằng vector cột B được sinh ra bởi hệ vector cột của A
Trang 36K37 – MÃ ĐỀ 483
Câu 1: Giả sử A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn 𝐁 𝐀 = 𝟎 𝐯à 𝐀 ≠ 𝟎, 𝐁 ≠ 𝟎 (0 là ma trận không) Khi đó: A) 𝐁𝟐𝐀𝟐= 𝟎
B2A2= BB AA = B 0 A = 0 B) (𝐀𝐁)𝟐 = 𝟎
(AB)2= AB AB = A 0 B = 0 C) A và B đều suy biến
Giả sử A không suy biến thì |A| ≠ 0, suy ra tồn tại A−1
Nhân cả hai vế của B A = 0 cho A−1, ta được:
B A A−1= 0 A−1⇒ B = 0 (trái giả thiết)
Và chứng minh tương tự, cuối cùng suy ra A, B đều suy biến
D) Tất cả đều đúng
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính AX=B với 𝐀𝐦×𝐧 Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:
A) 𝐦 = 𝐧
B) 𝐧 ≥ 𝐦
C) Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính
D) Hệ véctơ dòng của A độc lập tuyến tính
Phương trình tuyến tính AX=B có nghiệm duy nhất
⇔ r(A) = n ⇔ r(AT) = n
⇔ Hệ véctơ dòng của AT độc lập tuyến tính
⇔ Hệ véctơ cột của A độc lập tuyến tính
Câu 3: Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3, biết 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐭 ∈ 𝐕 và {𝐱, 𝐲} độc lập tuyến tính Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
Nếu vậy thì dimV = 2 (trái với đề bài)
D) {𝐱, 𝐲, 𝐱 − 𝟐𝐲} sinh ra không gian ba chiều
Chỉ có hai ẩn x và y nên hệ này chỉ sinh được không gian hai chiều
Trang 37Dấu “=” xảy ra khi x = y =27xy⇒ x = y = 3
Vậy min f = 9 khi x = y = 3
Không khuyến khích dùng phương pháp Lagrange cho bài toán này
Câu 2: Cho hàm số 𝐟(𝐱) = 𝟐|𝐱 − 𝟑| + (𝐱 − 𝟑)𝟐 Tính 𝐟′(𝟐)
Khi x → 2 thì x − 3 < 0 nên ta bỏ trị tuyệt đối của hàm số:
f(x) = 2(3 − x) + (x − 3)2⇒ f′(x) = −2 + 2(x − 3) ⇒ f′(2) = −4 Câu 3: Cho 𝐟(𝐱) = 𝐱𝟗𝐬𝐢𝐧𝐱 Tính 𝐟(𝟐𝟎)(𝟎)
-Phương trình f′(x) = 0 cho ta duy nhất một nghiệm x0= log2ln23 ⇒ f(x0) = ⋯ < 0
-Nhận thấy limx→−∞f(x) = +∞ và limx→−∞f(x) = +∞ nên ta có thể dùng bảng biến thiên để mô tả hình dạng đồ thị của f(x): Xuất phát từ trên cao, lao xuống đến cực tiểu f(x0) < 0 rồi lại quay ngược trở lên cao, giống như parabol Như vậy, hàm số 2x− 3x − 6 cắt trục hoành tại 2 điểm
Vậy phương trình 2x− 3x − 6 = 0 có đúng 2 nghiệm trên ℝ