GV Khúc Quế Thanh Các em chú ý các dạng bài tập sau Dạng 1 Nhận dạng pt bậc nhất 2 ẩn, xác định hệ số a,b,c tìm nghiệm tổng quát Ví dụ Bài 1 Cho phương trình sau 2 1x y− = Tìm các hệ số a,b,c Viết côn[.]
Trang 1Các em chú ý các dạng bài tập sau:
Dạng 1: Nhận dạng pt bậc nhất 2 ẩn, xác định hệ số a,b,c tìm nghiệm tổng quát
Ví dụ: Bài 1:Cho phương trình sau2x− =y 1
Tìm các hệ số a,b,c
Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Bài 2:Cho phương trình sau3x− =y 2
Tìm các hệ số a,b,c
Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trên và biểu diễn tập nghiệm của phương trình
Dạng 2:Kiểm tra được một cặp số là nghiệm của hệ PT
Ví dụ:Bài 1: Kiểm tra các cặp số (2;3) và (3;2) có là nghiệm của hệ phương trình sau
x y
x y
− =
Dạng 3: tìm được tham số của hệ PT khi biết nghiệm của hệ ( trong đề cương)
Dạng 4: Giải hệ PT bằng PP cộng đại số, PP thế
Ví dụ:Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x y
x y
+ =
− =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x y
x y
+ =
Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:
x y
x y
− + =
Bài 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:
x y
x y
− + =
Dạng 5:Tìm được tham số m để hệ PT bậc nhất hai ẩn có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm;
Ví dụ: Bài 1: Cho hệ phương trình sau
Trang 21
nx y
x y
− =
+ =
Tìm n để hệ có nghiệm duy nhất, hệ phương trình vô nghiệm
Bài 2: Cho hệ phương trình sau
5
1
x my
x y
+ =
Tìm n để hệ có nghiệm duy nhất, hệ phương trình vô nghiệm
Dạng 6:giải HPT pp đặt ẩn phụ
Bài 1:Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1 1 5
8
1 1 3
8
x y
x y
+ =
− =
Dạng 7: Toán đố: Giải bài toán bằng cách lập hệ pt ( dạng tìm số, dạng toán nâng xuất) Biết đặt ẩn và điều kiện của ẩn
(trong đề cương )
Chú ý giải lại các bài tập đề cương ôn tập chương 3 PGD ( rồi tham khảo lại bài giải của cô đã giải nhé)
Phòng GD và ĐT Thị xã Tân Uyên
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 9
Phần 1: Các bài toán liên quan đến hệ phương trình
Bài 1: Tìm hệ số a,b,c Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình
sau:
a) 2x–y = 3 (1)
Các hệ số: a=2; b=-1; c= 3
2x-y=3 y=2x-3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( R; 2x-3)
Bảng giá trị
2
Ta có (0;-3); (3
2; 0)
Tự vẽ đồ thị hàm số
Trang 3b) 2x+3y = 5
Các hệ số: a=2; b=3; c= 5
2x+3y = 5 y=5 2
3−3x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( R; 5 2
3−3x) Bảng giá trị
2 y=5 2
3
0
Ta có (0;5
3); (
5
2; 0)
Tự vẽ đồ thị hàm số
c) –4x+0y = –12
Các hệ số: a=-4; b=0; c= -12
–4x+0y = –12 x=3
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là ( 3; R )
Bảng giá trị
Tự vẽ đồ thị hàm số
Bài 2: Không giải hệ phương trình, hãy đoán nhận số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a
(I)
3x y 3
2x y 7
+ =
' '
a b Tacó
a b hay 3 1
2 1
− Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất
b (II) 6x 2y 4
− + = −
' ' '
a b c
Tacó
a =b =c hay 6 2 4
−
= =
Vậy hệ (II) vô số nghiệm
Bài 3: Xét cặp số (1; 1)
Thay x=1 ; y =1 vào phương trình 5x-3y =2 ta được :
5.1-3.1=2 hay 2=2 ( đúng)
Vậy cặp số (1;1) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2
Xét cặp số (2; 3)
Thay x=2 ; y =3 vào phương trình 5x-3y =2 ta được :
5.2-3.3=2 hay1=2 ( sai)
Vậy cặp số (2;3) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2
Xét cặp số (4; 6)
Thay x=4 ; y =6 vào phương trình 5x-3y =2 ta được :
5.4-3.6=2 hay 2=2 ( đúng)
Trang 4Vậy cặp số (4;6) là nghiệm của phương trình 5x-3y =2
Bài 4: Giải các hệ phương trình
a)
=
−
=
+
2 4
3
18 4
7
y
x
y
x
10 20
x
x y
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;1)
b)
=
+
=
−
2 3
2
5 3
7
y
x
y
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;3)
c) 3x y 3
2x y 7
+ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;-3)
d) x 5y 5
− =
=
=
=
=
+
+
x
=
x
y
5
+
x
6 2 2 3
3
2
=2.1−1 2 1− =2 2= = − 12
y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1;-2)
Trang 5g) (I) x y x y
x y x y
3
1
;
(I)=> + =
− =
a b
a b
=
a
b
10
7
= = = − =
a
x y
x y b
x y
10
7 7
Bài 5 Cho f(x) = x2 + bx + c Tìm b và c biết f(1) = 2 ; f(- 3) = 0
Ta có f(1) =2 hay 12+b.1+ c=2
b+c=1 (1)
f(- 3) = 0 hay (-3)2+b.(-3)+c=0
-3b+c=-9 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
=
b
b
c
c b
5
2
Bài 6: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y=ax+b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(2; 1), B(1; 2)
Vì A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.2+b=1 2a+b=1(1)
Vì B(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=2 a+b=2(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
+ = = = − = = −
b b
b) A(1; 3), B(3; 2)
Vì A(1; 3), thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=3a+b=3(1)
Vì B(3; 2)thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.3+b=2 3 a+b=2(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
=
+ = = = − =
a
b
b
b
1
2
c) A(1; –3), B(2; 3)
Vì A(1; -3), thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.1+b=-3a+b=-3(1)
Vì B(2; 3)thuộc đồ thị hàm số y=ax+b nên ta có phương trình nên a.2+b=3 2 a+b=3(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Trang 6 + = − = =
a
b
b b
Bài 7: Cho hệ phương trình:
a) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (2 ; -1)
Thay x=2 và y =-1 vào hệ phương trình ta được
+ = = =
2 1 4
2
1 1 1
=
n 3
2
b) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm?
hệ phương trình có duy nhất nghiệm khi a b = n − = −
n
a b
1
1
c) Với giá trị nào của n thì Hệ phương trình vô nghiệm ?
Hệ phương trình vô nghiệm = = =− = = − = = −
n n
1 4
Bài 8: Hai hệ phương trình sau tương đương không?
x y 1 (I)
2x 2y 2
+ =
và (II)
x y 1
− =
− + = −
Ta có:Xét hệ (I)
hay
a '= b '=c ' 2= =2 2
Hệ ( I) có vô số nghiệm
Xét hệ (II)
hay
a ' b ' c ' 2 2 2
−
Hệ ( II) có vô số nghiệm
Hai hệ phương trình trên tương đương
Bài 9: Cho hệ phương trình 3 4
1
x my
x y
+ =
a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm
b) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm x < 0, y > 0
a) Hệ phương trình
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi hay
= +
=
− 1
4
y x y nx
Trang 7Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi hay
⇔ không tồn tại m thỏa mãn
Với m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 hệ phương trình có nghiệm:
Vì nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x < 0; y > 0 nên ta có:
Vậy với điều kiện 3 < m < 4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x < 0; y > 0
Phần 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Toán có nội dung số học Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số sao cho tổng của hai chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị
Giải:
Gọi x là chữ số hàng chục ( 0 x9,xN)
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( 0 y 9,yN)
Vì tổng của hai chữ số của nó bằng 11 nên ta có phương trình:x+ =y 11
Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị Ta có phương trình :
Trang 810y +x=10x+y+27
-9x+9y =27 -x+y = 3
Từ (1) và (2)
ta có hệ phương trình:
(TMÐK)
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 47
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn hai lần chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị
Nếu viết số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 18 đơn vị
Giải:
Gọi x là chữ số hàng chục ( 0 x9,xN)
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( 0 y 9,yN)
Vì chữ số hàng chục nhỏ hơn hai lần chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị nên ta có phương trình:2y− =x 1
Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x
số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 18 đơn vị Ta có phương trình : + − + =
=x y x− y=y x= − =x y
Từ (1) và (2)
ta có hệ phương trình
(TMÐK)
=
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 53
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 đơn vị, nếu
đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới bằng 17
5 số ban đầu
Giải:
Gọi x là chữ số hàng chục ( 0 x9,xN)
Gọi y là chữ số hàng đơn vị ( 0 y 9,yN)
chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có phương trình:y− =x 4
Số tự nhiên ban đầu là : 10x+y
Số tự nhiên mới sau khi đổi chỗ là : 10y +x
số mới bằng 17
5 số ban đầu Ta có phương trình : + = +
17
5
Trang 9Từ (1) và (2)
ta có hệ phương trình
(TMÐK)
Vậy số tự nhiên cần tìm ban đầu là 15
Dạng 2: Toán năng suất công việc
Bài 1 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II
chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3
4 bể Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình đầy bể
Giải Đổi 4 giờ 48 phút =24
5 giờ
Gọi x(giờ) là thời gian vòi I chảy riêng một mình thì đầy bể ( x>24
5 )
Gọi y(giờ) là thời gian vòi II chảy riêng một mình thì đầy bể ( y>24
5 ) Trong 1 giờ vòi I chảy được
x
1
bể
Trong 1 giờ vòi II chảy được
y
1
bể
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1 = 5
24 24 5
bể
Ta có phương trình + =
x y
24 (1)
Vì vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3
4 bể , ta có phương trình + =
x y
4 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 5
x y 24
4 3 3
x y 4
+ =
+ =
Đặt a 1; b 1
Trang 105 1 5
a b
24 (I)
x 8
(TMÐK)
y 12
=
= = = =
Vậy vòi I chảy riêng một mình thì sau 8 giờ đầy bể vòi II chảy riêng một mình thì sau 12 giờ đầy bể
Bài 2 Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ Sau 2 giờ làm chung thì tổ II
được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó
Giải Gọi x(giờ) là thời gian tổ I làm riêng một mình thì xong công việc ( x>6 )
Gọi y(giờ) là thời gian tổ II làm riêng một mình thì xong công việc( y>6)
Trong 1 giờ tổ I làm được
x
1 công việc
Trong 1 giờ tổ II làm được
y
1 công việc
Trong 1 giờ cả hai tổ làm được 1
6công việc
Ta có phương trình + =
x y
6 (1)
Vì tổ I làm trong 12 giờ, tổ II làm trong 2 giờ thì xong công việc , ta có phương trình + =
x y
12 2
1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 1
x y 6
12 2
1
x y
+ =
+ =
Đặt a 1; b 1
Trang 111
10
x 15
x 15
(TMÐK)
y 10
=
=
= = = =
Vậy tổ I làm riêng một mình thì sau 15 giờ xong công việc
tổ II làm riêng một mình thì sau 10 giờ xong công việc Bài 3 Hai đội công nhân cùng tham gia lao động thì hoàn thành công việc sau 4 ngày Nếu đội thứ nhất
làm một mình trong 9 ngày, rồi đội thứ hai đến cùng làm thêm 1 ngày nữa mới xong Hỏi mỗi đội làm một mình xong trong bao lâu?
Giải Gọi x(ngày) là thời gian đội thứ nhất làm riêng một mình thì xong công việc ( x>4) Gọi y(ngày) là thời gian đội thứ hai làm riêng một mình thì xong công việc( y>4)
Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được
x
1 công việc
Trong 1 ngày đội thứ hai làm được
y
1 công việc
Trong 1 ngày cả hai đội làm được 1
4công việc
Ta có phương trình + =
x y
4 (1)
Vì đội thứ nhất làm trong 10 ngày, đội thứ hai làm trong 1 giờ thì xong công việc , ta có phương trình
+ =
x y
10 1
1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình(I)
1 1 1
x y 4
10 1
1
x y
+ =
+ =
Đặt a 1; b 1
1 3
1 1
6 4
x 12
x 12
(TMÐK)
=
= = = =
Vậy đội thứ nhất làm riêng một mình thì sau 12 ngày xong công việc Đội thứ hai làm riêng một mình thì sau 6 ngày xong công việc
Trang 12Dạng 3: Toán chuyển động
Bài 1 Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời gian đi
được sẽ giảm 1 giờ Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô
GIẢI
Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô (x>10) Gọi y (h) là thời gian dự định của ô tô (y>1) Quãng đường từ A đến b là x.y (km) Nếu vận tốc tăng 20 km/h ta có vận tốc mới là: x+20 (km/h) Nếu Thời gian giảm đi 1 h nên thời gian mới là : y-1 (h) Khi đó quãng đường là : (x+20).(y-1) (km)
Ta có phương trình: (x+20).(y-1) =x.y
-x+20y =20 (1) Nếu vận tốc giảm 10 km/h ta có vận tốc mới là: x-10 (km/h) Nếu Thời gian tăng thêm 1 h nên thời gian mới là : y+1 (h)
Khi đó quãng đường là : (x-10).(y+1) (km)
Ta có phương trình: (x-10).(y+1) =x.y
x-10y=10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(TMÐK)
Vậy vận tốc ddự định của ô tô là 40 km/h ; Thời gian dự định đi từ A đến B là 3h
Bài 2 Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng từ A đến B và một canô đi
ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô không đổi)
GIẢI
Gọi x (km/h) là vận tốc thật của ca nô xuôi dòng (x>0) Gọi y (km/h) là vận tốc thật của ca nô khi ngược dòng (y>3) Vận tốc của canô khi xuôi dòng là : x+3 (km/h) Vận tốc của canô khi ngược dòng là : y-3 (km/h)
Đổi 1 giờ 40 phút =5h
3 Quãng đường của canô xuôi dòng khi đi được 1 giờ 40 phút là :5( )
x 3 (km)
3 + Quãng đường của canô ngược dòng khi đi được 1 giờ 40 phút là :5( )
y 3 (km)
3 −
Vì A và B cách nhau 85 km nên ta có phương trình:
x 3 y 3 85
3 + +3 − =
5x+5y =225 (1)
Vì vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng 9 km/h nên ta có phương trình:
x-y=9 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Trang 135x 5y 255 5x 5y 225 10x 300 x 30 x 30
(TMÐK)
Vậy vận tốc thất của canô xuôi dòng là 30 km/h, vận tốc thất của canô ngược dòng là 21 km/h
Bài 3: Một ô tô đi trên quãng đường AB với vận tốc 50 km/h rồi tiếp tục đi từ B đến C với vận tốc 45 km/h
Biết rằng quãng đường từ A đến C là 165 km ( B nằm giữa A và C), Thời gian từ A đến B ít hơn thời gian từ
B đế C là 30 phút Tính thời gian ô tô đi trên hai quãng đường AB và BC
Giải
Gọi x( h) là thời gian đi của ôtô trên quãng đường AB (x>0)
Gọi y( h) là thời gian đi của ôtô trên quãng đường BC (y>1
2) Quãng đường ô tô đi từ A đến B là : 50x (km)
Quãng đường ô tô đi từ B đến C là : 45y (km)
Vì quãng đường từ A đến C là 165 km nên ta có phương trình: 50x+45y =165 (1)
Vì thời gian từ A đến B ít hơn thời gian từ B đế C là 30 phút nên ta có phương trình:
2= − + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
3 50x 45y 165 50x 45y 165 95y 190 x
(TMÐK) 2
2x 2y 1 50x 50y 25 2x 2y 1
y 2
Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 3
2(h) hay 90 phút thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là 2 (h)
Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba
lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu
GIẢI
Gọi x ( m) là chiều dài ban đầu khu vườn hình chữ nhật (x>0) Gọi y (m) là chiều rộng ban đầu khu vườn hình chữ nhật (y>0)
Vì chu vi khu vườn hình chữ nhật bằng 48m nên ta có phương trình:
(x+y).2 =48 x+y=24 (1)
Vì tăng chiều rộng lên bốn lần nên chiều rộng mới là: 4y (m)
Vì tăng chiều rộng lên ba lần nên chiều dài mới là: 3x (m) Khi đó chu vi khu vườn là 162 nên ta có phương trình:
(3x+4y).2=162 3x+4y=81 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
(TMÐK)
Vậy diện tích của khu vườn ban đầu là: 15.9= 135 m2
Bài 2 Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2 Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng Biết rằng nếu