Ôn tập chương II Bài 1 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số mũ thực Lời giải Tính chất của lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số[.]
Trang 1Ôn tập chương II Bài 1 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy nêu các tính chất của lũy thừa với số
mũ thực
Lời giải:
Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:
Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý Khi đó ta có:
+) a a a;
+) a a
a
;
+) .
a a ;
+) ab a b ;
+) a a
+) Nếu a > 1 thì a a
+) Nếu 0 < a < a thì a a
Bài 2 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy nêu các tính chất của hàm số lũy thừa Lời giải:
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa y = x α trên khoảng (0; + ∞)
α > 0 α < 0 Đạo hàm y' = α.xα - 1 > 0 y' = α.xα - 1 < 0
Chiều biến thiên Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến
Trang 2Tiệm cận Không có Trục Ox là tiệm cận ngang
Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)
Bài 3 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Hãy nêu các tính chất của hàm số mũ và
hàm số lôgarit
Lời giải:
a) Hàm số mũ: y = ax
- Tập xác định: D =
- Chiều biến thiên:
+ y' = ax.lna
a > 1 y' > 0 Hàm số đồng biến trên
0 < a < 1 y' < 0 Hàm số nghịch biến trên
+ Tiệm cận:
xlim y 0
Suy ra y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- Đồ thị:
+ Đồ thị đi qua (0; 1) và (1; a)
+ Đồ thị nằm phía trên trục hoành
b) Hàm số logarit: y = logax
- Tập xác định: D = (0; +∞)
- Chiều biến thiên:
Trang 3+ Đạo hàm: y 1
x ln a
a > 1 y’ > 0 Hàm số đồng biến trên D
0 < a < 1 y’ < 0 Hàm số nghịch biến trên D
+ Tiệm cận:
xlim y0
Suy ra x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 0) và (a; 1)
+ Đồ thị nằm bên phải trục tung
Bài 4 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y x1
3 3
;
b) y log x 1
2x 3
;
c) ylog x2 x 12;
d) y 25x 5x
Lời giải:
a) Hàm số y x1
3 3
xác định khi 3x – 3 ≠ 0
3x ≠ 3 x ≠ 1
Vậy tập xác định của hàm số là D = \ 1
b) Hàm số y log x 1
2x 3
xác định khi
x 1
0 2x 3
x 1 2x 3 0
Trang 4x 1
3
x
2
Vậy hàm số có tập xác định là D = 3
;1 ;
2
c) Hàm số ylog x2 x 12 xác định khi x2 x 120
(x + 3)(x – 4) > 0
x 4
Vậy hàm số có tập xác định là D = ; 3 4;
d) Hàm số y 25x 5x xác định khi 25x 5x 0
2 x x
5 5 1 0
x
5 1 0
(do 5x > 0 với mọi x)
x
5 1
5 5
Vậy hàm số có tập xác định là S = 0;
Bài 5 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Biết 4x 4x 23 Hãy tính 2x 2x
Lời giải:
Ta có:
(2x + 2-x)2
= 22x + 2.2x.2-x + 2-2x
= 4x + 2 + 4-x
Trang 5= (4x + 4-x) + 2 = 23 + 2
= 25
Mà 2x + 2-x > 0
Do đó: 2x + 2-x = 5
Bài 6 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Cho log ba 3, log ca 2 Hãy tính log x a với:
a) xa b3 2 c;
b)
4 3
3
a b
x
c
Lời giải:
a) Với xa b3 2 c thì
a
log x 3 2
a
log a b c
log a log b log c
1 3log a 2log b log c
2
= 3 + 2 3 + 1
2
2
= 3 + 6 – 1 = 8
Vậy log xa 8
b) Với
4 3 3
a b
x
c
thì:
4 3
a b log x log
c
log a b log c
log a log b 3log c
Trang 61 3
4log a log b 3log c
1
4 log b 3log c
3
1
4 3 3 2
3
= 4 + 1 + 6 = 11
Vậy log x 11.a
Bài 7 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình:
a) 3x 4 3.5x 3 5x 4 3x 3 ;
b) 25x 6.5x 5 0;
c) 4.9x 12x 3.16x 0;
d) log7x 1 log x 7 log x7 ;
3
3
log xlog xlog x6;
g) logx 8 log x
x 1
Lời giải:
a) 3x 4 3.5x 3 5x 4 3x 3
3 3 3 5 5 3.5
2.3 2.5
3 5
x 3
x 3
x 3
3
1 do 5 0
5
Trang 7x + 3 = 0
x 3
Vậy phương trình có nghiệm là x = - 3
b) 25x 6.5x 5 0
2 x x
5 6.5 5 0
x 2 x
5 6.5 5 0
(*)
Đặt t = 5x (t > 0)
Khi đó: (*) 2
t 6t 5 0
t 5 tm
t 1 tm
Với t = 5 thì 5x = 5 = 51 nên x = 1
Với t = 1 thì 5x = 1 = 50 nên x = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0; 1} c) 4.9x 12x 3.16x 0
9 12 16
16 16 16
(do 16x > 0)
16 16
x
2
Trang 8Đặt 3 x
t t 0 4
Khi đó: (*) 4t2 + t – 3 = 0
3
t tm
4
t 1 ktm
Với t 3
4
thì
x = 1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 d) log7x 1 log x 7 log x7 (1)
ĐKXĐ: x 1 0 x 1
x 0
Khi đó: (1) log7x 1 log x 7 log x7 0
log x log x 1 1 0
7
7
log x 0
log x 1 1 0
0
7
x 7
log x 1 1
1
x 1
x 1 7
x 1 ktm
x 8 tm
Vậy nghiệm của phương trình là x = 8
3
log xlog xlog x6 (2)
Trang 9ĐKXĐ: x > 0
2
3
log x log x log x 6
log x 2log x log x 6
3
2log x 6
3
log x 3
x = 33
x = 27 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 27
g) logx 8 log x
x 1
ĐKXĐ:
x 0
x 8
0
x 1
x 0
x 8 x 1 0
x 0
x 1
x 8
x 1
Khi đó: (3) x 8 x
x 1
x + 8 = (x – 1)x (do x > 1)
x + 8 = x2 – x
x2 – 2x – 8 = 0
x 4 tm
x 2 ktm
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
Bài 8 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các bất phương trình:
a) 22x 1 22x 2 22x 3 448;
0,4 2,5 1,5;
Trang 10c) 2
2
log log x 1 1
d) log20,2x5log0,2x 6
Lời giải:
a) 22x 1 22x 2 22x 3 448
2x 3 2 2x 3 2x 3
2 .2 2 .22 448
4 2 1 2 448
2x 3
7.2 448
2x 3
2 64
2 2
2x 3 6 (do 2 > 1)
9
x
2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = 9;
2
0,4 2,5 1,5
1,5
2 5 5
1,5
5 2 2
Đặt
x
2
5
, suy ra
x
2 t
Khi đó bất phương trình trở thành: t 5 1 1,5
2 t
2
2t 5 3t 0
Trang 11
t 1 ktm
5
t tm
2
Với t 5
2
thì
x
5
5
x log
2
(do 0 2 1
5
)
x 1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm (-∞; -1)
c) 2
2
log log x 1 1
ĐKXĐ:
2
2 1 2
x 1 0
log x 1 0
2
x 1
x 1
1
x 1
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 2; 1 1; 2
Khi đó: 2
2
log log x 1 1
1
2
0 log x 1 3
2
x 1
1
do 0 1
2
2
1
x 1 1
8
9 2
x 2
8
Trang 122
9
x
8
x 2
3 2
x
4
3 2
x
4
2 x 2
3 2 3 2
Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
S = 2; 3 2 3 2; 2
d) log20,2x5log0,2x 6
ĐKXĐ: x > 0
2
log x5log x 6
log x 5log x 6 0
Đặt log0,2xt, khi đó bất phương trình trở thành: t2 – 5t + 6 < 0
2 t 3
0,2
2 log x 3
0,2 x 0,2
(do 0 < 0,2 < 1)
x
125 25
Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = 1 ; 1
125 25
Trang 13Bài tập trắc nghiệm
Bài 1 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Tìm tập xác định của hàm số y logx 2
1 x
là:
(A) (–∞; 1) (2; +∞);
(B) (1; 2);
(C) \{1};
(D) \ {1; 2}
Lời giải:
Hàm số y logx 2
1 x
xác định khi
x 2
0
1 x
x 2 1 x 0
x 2 x 1 0
1 < x < 2
Vậy tập xác định của hàm số là D = (1; 2)
Chọn đáp án B
Bài 2 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định
sau:
(A) ln x > 0 x > 1;
(B) log x2 0 0 x 1;
(C) 1 1
log alog b a b 0;
(D) 1 1
log alog b a b 0
Lời giải:
+) ln x > 0 = ln 1 x > 1 (do e > 1) nên A đúng
Trang 14+) log x2 0 log 12 0 x 1 (do 2 > 1) nên B đúng
+) 1 1
log alog b 0 a b (do 0 1 1
3
) nên C sai
+) 1 1
log alog b a b 0 nên D đúng
Chọn đáp án C
Bài 3 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số f(x) = ln(4x - x2) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) f'(2) = 1;
(B) f'(2) = 0;
(C) f'(5) = 1,2;
(D) f'(-1)= -1,2
Lời giải:
Điều kiện xác định: 4x – x2 > 0 x(4 – x) > 0 0 < x < 4
Ta có: 2
4x x 4 2x
f x
4x x 4x x
Do đó f'(2) = 4 2.22
4.2 2
= 0;
f’(5) và f’(-1) không tồn tại
Chọn đáp án B
Bài 4 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Cho hàm số g(x) = 2
1 2
log x 5x7 Nghiệm của bất phương trình g(x) > 0 là:
(A) x > 3;
Trang 15(B) x < 2 hoặc x > 3;
(C) 2 < x < 3;
(D) x < 2
Lời giải:
ĐKXĐ: 2
x 5x 7 0 đúng với mọi x
Khi đó: g(x) > 0
1
2
log x 5x 7 0
0
x 5x 7
2
2
x 5x 7 1
x2 – 5x + 6 < 0
2 < x < 3
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 < x < 3
Chọn đáp án C
Bài 5 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Trong các hàm số:
f x ln
sin x
, 1 sin x
g x ln
cos x
h x ln
cos x
hàm số nào có đạo hàm là 1
cos x ? (A) f(x);
(B) g(x);
(C) h(x);
(D) g(x) và h(x);
Lời giải:
Trang 16Ta có: 1 1 1
1 sin x sin x
sin x
2
sin x
.sin x
sin x
sin x
cos x
Lại có: 1 sin x
g x ln
cos x
1 sin x cos x
cos x 1 sin x
2
1 sin x cos x cos x 1 sin x
1 sin x
2
cos x.cos x sin x 1 sin x
cos x
2
cos x sin x sin x
cos x
2
1 sin x
cos x
Khi đó: 1 sin x2 cos x 1
cos x 1 sin x cos x
Mặt khác: 1
h x ln
cos x
1 1
1 cos x
cos x
2
cos x
.cos x cos x
cos x
cos x
Chọn đáp án B
Bài 6 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Số nghiệm của phương trình 22x2 7x 5 1 (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3
Trang 17Lời giải:
Ta có: 22x2 7x 5 1
2
2 2
2
2x 7x 5 0
5
x
2
x 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Chọn đáp án C
Bài 7 trang 91 Toán lớp 12 Giải tích: Nghiệm của phương trình 10log 9 8x5 là:
(A) 0; (B) 1
2; (C)
5
8; (D)
7
4
Lời giải:
Ta có: 10log 9 8x5
10
log 9
10 8x 5
9 = 8x + 5
8x = 4
x = 1
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1
2
Chọn đáp án B