Microsoft Word - 00-a.loinoidau TV (moi-thang1.2016).docx

Microsoft Word 00 a loinoidau TV (moi thang1 2016) docx 6 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng KHÔI PHỤC TÍN HIỆU, HÌNH ẢNH THEO PHƯƠNG PHÁP “LẤY MẪU NÉN” SIGNAL AND IMAGE RECONSTRUCTION US[.]

6 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng

KHÔI PHỤC TÍN HIỆU, HÌNH ẢNH THEO PHƯƠNG PHÁP “LẤY MẪU NÉN”

SIGNAL AND IMAGE RECONSTRUCTION USING COMPRESSIVE SENSING

Nguyễn Văn Điền 1 , Hồ Phước Tiến 2 , Nguyễn Tấn Hưng 2

1 Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh; nguyenvandien@iuh.edu.vn

2 Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng; {hptien, hung.nguyen}@dut.edu.vn

Tóm tắt - “Lấy mẫu nén” (Compressed Sensing) là một vấn đề rất

được quan tâm trong thời gian vừa qua, khi nó cho phép khôi phục

lại được chính xác tín hiệu gốc với một số lượng nhỏ các mẫu đo

đạc Phương pháp này mở ra nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực

khác nhau như chụp ảnh y khoa, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh Bài

báo này sẽ phân tích bài toán khôi phục tín hiệu và hình ảnh bằng

phương pháp “lấy mẫu nén” và cách giải bài toán này Trong đó,

bài báo sẽ tập trung vào phương pháp GPSR (Gradient Projection

for Sparse Reconstruction) Kết quả thí nghiệm trong bài báo cho

thấy giải thuật GPSR có thể khôi phục tín hiệu thưa với độ chính

xác cao và thời gian thực hiện rất nhanh Đồng thời, bằng việc kết

hợp giữa GPSR và các kiểu định dạng khác nhau cho ma trận lấy

mẫu, ta có thể khôi phục được hình ảnh mà không bị các hiệu ứng

khối, hiệu ứng nhòe ở các đường viền và có độ chính xác cao

Abstract - Compressed Sensing (CS) has been of great interest

since it allows exact reconstruction of a sparse signal from a small number of measurements This method leads to many important applications in different domains such as medical imaging (for example Computerized Tomography), signal and image processing The paper will analyse the problem of compressed sensing signal reconstruction and its solution We will focus particularly on the Gradient Projection for Sparse Reconstruction (GPSR) method, which reveals many advantages such as high precision and efficient implementation Experimental results suggest that GPSR method offers a fast signal reconstruction with high precision In addition, by combining GPSR and different types

of sampling matrix, we can reconstruct images without block artifacts, false contouring and high PSNR

Từ khóa - tín hiệu thưa; khôi phục ảnh, tín hiệu; “lấy mẫu nén”; ma

trận cấu trúc; GPSR

Key words - Sparse signal; image reconstruction; signal;

compressive sensing; structurally random matrices; GPSR (Gradient projection for sparse reconstruction)

1 Giới thiệu

Khôi phục tín hiệu là một bài toán quan trọng trong các

ngành kĩ thuật và đã được quan tâm từ rất sớm Định lý lấy

mẫu nổi tiếng Shannon (hay Nyquist), kể từ khi ra đời đã

đóng vai trò trụ cột trong lĩnh vực này, phát biểu rằng “để

khôi phục nguyên vẹn tín hiệu gốc thì tần số lấy mẫu phải

lớn hoặc bằng hai lần tần số lớn nhất của tín hiệu” [1] Hệ

quả là, trong phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT - Discrete

Fourier Transform), ta cần N tần số để khôi phục lại nguyên

vẹn tín hiệu ban đầu chứa N mẫu trong miền thời gian

Bên cạnh đó, việc khôi phục tín hiệu từ một số lượng

rất nhỏ các mẫu đo đạc đã thu hút nhiều nghiên cứu trong

thời gian qua, từ lĩnh vực toán ứng dụng đến xử lý tín

hiệu, xử lý ảnh Cụ thể, xét một phép biến đổi tuyến tính

như sau:

với A là ma trận lấy mẫu kích thước MxN, vector x là tín

hiệu gốc có kích thước N, và y là vector đo đạc được có

kích thước là M (vector y được truyền thông qua vệ tinh và

các kênh truyền như Hình 1) Thông thường, M nhỏ hơn N

rất nhiều, làm thế nào để khôi phục lại x khi biết y và A?

Ta biết rằng, trong trường hợp này, ta có M phương trình

để tìm N nghiệm, nhưng M nhỏ hơn N nên sẽ không có

nghiệm duy nhất Ta có thể minh họa trường hợp trên bằng

phép biến đổi DFT với y chỉ lấy M tần số trong số N tần số

từ phép biến đổi DFT đầy đủ Câu hỏi đặt ra là liệu có thể

khôi phục lại được tín hiệu x chỉ từ M tần số của tín hiệu y

đo được?

Điều thú vị là E Candes và T Tao [2] đã cho thấy câu

trả lời cho câu hỏi trên là khẳng định trong trường hợp x là

tín hiệu thưa (sparse), tức là x có độ dài N chỉ chứa k phần

tử khác không Hệ số “thưa” được định nghĩa là tỷ số giữa

k và N Cũng để ý rằng “thưa” là một tính chất rất hay gặp

trong các tín hiệu tự nhiên Ví dụ, ảnh mà chúng ta chụp hằng ngày có phần rất lớn năng lượng tập trung ở các tần

số nhỏ Từ các nghiên cứu của Romberg, Candes và Tao [2], [3], [4], “lấy mẫu nén” (Compressed Sensing), tức lấy mẫu hay đo đạc với một số lượng mẫu rất ít, đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu, khi nó cho phép

mở ra rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như ảnh y khoa (ví dụ ảnh CT), máy ảnh, radar

Hình 1 Phương pháp “lấy mẫu nén” (CS)

Trong bài báo này, chúng tôi sẽ mô tả một cách tổng quát bài toán “lấy mẫu nén” và cách giải, sau đó sẽ áp dụng cho việc khôi phục các tín hiệu một chiều và hai chiều, cụ thể là ảnh Đặc biệt, bài báo sẽ tập trung vào phương pháp GPSR-BB (Gradient Projection for Sparse Reconstruction của Barzilai-Borwein) [5] và chứng minh sự hiệu quả của phương pháp này thông qua các tiêu chí về PSNR và thời gian thực hiện Chúng tôi tin rằng bài báo sẽ giới thiệu những vấn đề cơ bản và góp phần thúc đẩy những nghiên cứu trong lĩnh vực “lấy mẫu nén” đang được quan tâm rộng rãi hiện nay

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển 1 7

2 Khôi phục tín hiệu từ “lấy mẫu nén”

2.1 Mô tả

Cho tín hiệu thưa có chiều dài N, trong đó bao gồm k

phần tử khác không và N-k phần tử còn lại, được xem như

là bằng không Thông qua phép chiếu với ma trận lấy mẫu

ta có vector đo đạc :

Trong đó là hàm nhiễu Gauss có trung bình bằng

không và phương sai

Để khôi phục tín hiệu ̅ như Hình 1, vấn đề được đưa

ra là giải quyết bài toán tối ưu hóa cực tiểu:

̅ = min‖ ‖ với ‖ − ‖ ≤ (3)

hoặc

̅ = min‖ − ‖ với ‖ ‖ ≤ (4)

Theo [5], [6] cho vector đo đạc y kết hợp nhiễu kênh

truyền, bài toán tối ưu (3) trở thành:

̅ = min ‖ − ‖ + ‖ ‖ (5)

với ∈ , ∈ , A là ma trận MxN, τ là hệ số không

âm, ‖ ‖ = (∑ | | ) / là chuẩn (norm) bậc 2 của

vector và ‖ ‖ = ∑ | | là chuẩn bậc 1 của vector

2.2 Lời giải

Trong bài báo này, việc giải quyết bài toán (5) được

thực hiện dựa theo phương pháp khôi phục tín hiệu thưa

bằng phép chiếu gradient (GPSR-Gradient Projection for

Sparse Reconstruction)[5] Tín hiệu được chia thành

thành phần dương và thành phần âm Ta sử dụng phép

thay thế:

= − với = max { , 0}; = max {− , 0}

‖ ‖ = | | = 1 + 1

Với 1 = [1,1, … ,1] là vector đơn vị có độ dài N Bài

toán (5) được chuyển thành:

min

,

1

2‖ − ( − )‖ + 1 + 1

với , ≥ 0 (6)

Bài toán tối thiểu hóa ở (6) được viết lại dưới dạng

BCQP (Bound Constrained Quadratic Problem) [8] như

sau:

Theo Barzilai-Borwein [5] và [6], từ đó thuật toán có

tên GPSR-BB, ta tính giá trị ( )= − ∇ ( ) ở mỗi

bước lặp thứ k với là hàm Hessian của ( ( )) Barzilai

và Borwein đưa ra việc lựa chọn giá trị hàm Hessian được

xác định bởi = ( ) với là ma trận đơn vị và ( )

được xác định theo phép tính gần đúng ∇ ( ) −

∇ ( ( )) ≈ ( )[ ( )− ( )] Dựa trên thông số ( )

chúng ta xác định bước lặp tiếp theo ( )= ( )−

( ) ∇ ( ) Các bước lặp này vẫn tiếp tục kể cả khi giá trị ( ) tăng lên

Thuật toán GPSR-BB được tóm tắt lại như sau:

1 Giá trị ban đầu: Chọn ( ) và các thông số , , ( )∈ [ , ] Thiết lập chỉ số vòng lặp

= 0

2 Tính toán:

3 Thực hiện: Tìm thông số ( )để giá trị hàm ( ( )+ ( ) ( )) đạt giá trị nhỏ nhất trong khoảng

( )∈ [0,1] sau đó tính toán ( )= ( )+ ( ) ( )

4 Cập nhật lại giá trị α: Tính đại lượng

( )= ( ( )) ( )

Nếu ( )= 0 ta thiết lập ( ) = Còn lại tính giá trị α bằng phép tính điểm giữa:

( ) ( ) ,

5 Kết thúc nếu ( ) thỏa mãn yêu cầu Nếu chưa đạt, đặt lại bước lặp ← + 1 và thực hiện lại vòng lặp tại bước 2

Điều kiện kết thúc

Kiểm tra điều kiện kết thúc luôn là một tiêu chí quan trọng để đánh giá chất lượng của thuật toán Chúng ta mong muốn kết quả khôi phục tín hiệu phải xấp xỉ gần đúng với tín hiệu được truyền đi và đồng thời chúng ta cũng muốn tránh thời gian quá dài để thực hiện các vòng lặp Một tiêu chuẩn cơ bản được dùng cho bài toán tối ưu BCQP là:

‖ − ( − ∇ ( )) ‖ ≤ (10)

với tolP là một hằng số dương nhỏ và là hằng số dương

Ngoài ra, còn nhiều tiêu chuẩn khác để kết thúc vòng lặp

mà độc giả có thể tìm thấy ở [5]

Giảm độ lệch hệ số khác không (Debiasing)

Ngoài việc thực hiện thuật toán tối ưu hóa để thu được kết quả xấp xỉ gần đúng, ta còn thêm bước giảm độ lệch của các hệ số khác không Kết quả = [ , ] được chuyển về dạng = − Các hệ số gần bằng không được thiết lập bằng không, sau đó tối ưu hóa x theo:

‖ − ‖ ≤ ‖ − ‖ (11) Với là hằng số dương nhỏ

2.3 Ma trận lấy mẫu

Ma trận lấy mẫu dùng để thu được vector đo đạc theo công thức (1) cần thỏa mãn các đặc điểm:

+ Tính tối ưu: việc lấy mẫu phải tối ưu hoặc gần tối ưu,

số lượng các phép đo để có kết quả chính xác đạt mức tiệm cận nhỏ nhất

+ Tính phổ biến: việc lấy mẫu phải tốt và đều áp dụng được cho tất cả các loại wavelet tạo tín hiệu thưa

+ Độ phức tạp thấp và tính toán nhanh: áp dụng được cho các chuỗi tín hiệu có độ dài lớn

+ Phù hợp với thiết kế phần cứng: các giá trị của ma

8 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng trận lấy mẫu phải là {−1,0,1}

Thay vì sử dụng ma trận lấy mẫu ngẫu nhiên A kích thước

MxN, ma trận lấy mẫu được sử dụng ở bài báo này là ma trận

ngẫu nhiên dạng cấu trúc (SRM – Structurally Random

Matrix) Nó được định dạng theo [7] bằng công thức

+ ∈ × là ma trận hoán vị ngẫu nhiên hoặc ma trận

chéo ngẫu nhiên với các giá trị trên đường chéo tuân

theo phân bố Bernoulli với { = ±1} =

+ ∈ × là ma trận trực giao được chọn dựa theo

các dạng ma trận biến đổi nhanh như ma trận biến đổi

nhanh Fourier (FFT), ma trận rời rạc cosine (DCT), ma trận

Wash-Hadamard (WHT) Ma trận dùng để mã hóa chuỗi

tín hiệu thành vector đo đạc

+ ∈ × là ma trận lấy mẫu phụ Nó lựa chọn ngẫu

nhiên các cột trong ma trận để tạo nên ma trận có

kích thước MxN

Từ đó, vector đo đạc y được thực hiện thông qua ma

trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc như sau:

+ Bước 1: Ngẫu nhiên hóa tín hiệu truyền đi tức nhân

tín hiệu này với ma trận R

+ Bước 2: Áp dụng ma trận biến đổi F cho tín hiện ngẫu

nhiên từ bước 1

+ Bước 3: Chọn ngẫu nhiên M phép đo từ N hệ số biến

đổi để có được vector đo đạc

Tính rời rạc của ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc và

ma trận biến đổi tín hiệu thưa, tính nhanh và độ hiệu quả

được chứng minh bởi Do [7]

3 Kết quả thực nghiệm

3.1 Khôi phục tín hiệu

3.1.1 Khôi phục tín hiệu thưa theo GPSR-BB

Với thí nghiệm đầu tiên, ta khảo sát tín hiệu thưa ban

đầu (hình trên cùng của Hình 2) có độ dài N=4096 và

k=0.05*N=205<<N được tạo ngẫu nhiên với các giá trị

±1 Số lượng các phép đo M=0.25*N= 1024 Ma trận lấy

mẫu được tạo ngẫu nhiên có độ lớn 1024x4096 (MxN)

Vector nhiễu được tạo theo phân bố chuẩn Gauss với

phương sai = 0.01 Thông số τ được chọn là

= 0.1‖ ‖ (chọn = 0.08 cho các thí nghiệm dưới)

Tín hiệu khôi phục được thực hiện theo hai bước: Bước

1 định vị tất cả các vị trí của mà biên độ có giá trị khác

không nhưng không quan tâm đến độ lớn của nó như hình

giữa của Hình 2, ta nhận thấy tín hiệu khôi phục bị sai;

bước 2 sử dụng thêm bước giảm độ lệch với thông số

tolD=0.0001 để được tín hiệu khôi phục (hình dưới cùng

của Hình 2) với sai số MSE nhỏ (7.10 ) và rất nhanh

(1.4s) Thông số tolD nằm trong khoảng từ 10 đến 10

Việc tăng thông số tolD trong bước giảm độ lệch hệ số khác

không sẽ làm MSE tăng lên và khi tolD giảm, MSE cũng

giảm nhưng thời gian khôi phục lâu hơn Các thí nghiệm

dưới đây đều chọn tolD là 10

Hình 2 Khôi phục tín hiệu thưa k=205, độ dài N=4096 và

số phép đo M=1024 theo GPSR-BB

3.1.2 So sánh với các phương pháp khác

Hình 3 Khôi phục tín hiệu thưa với k=205, N=4096; M=1229

Từ trên xuống: tín hiệu gốc, kết quả từ GPSR-BB,

FASTBCS và IRWLS

Sau đây, ta sẽ ta thực hiện so sánh giữa GPSR-BB và một số thuật toán khác như FASTBCS (Fast Bayesian Compressive Sensing) [8] và IRWLS (Iteratively ReWeighted Least Squares minimization) [9] Ta sử dụng tín hiệu ban đầu với độ dài N=4096 và k=205 (0.05*N),

số phép đo được chọn là M=1229 Kết quả nhận được theo Hình 3 cho thấy các thuật toán đều khôi phục chính xác chuỗi dữ liệu với sai số MSE rất nhỏ (10 ) Thuật toán FASTBCS và IRWLS tính tất cả các vị trí và giá trị các hệ

số của tín hiệu khôi phục ̅ cho đến khi thỏa mãn điều kiện kết thúc nên độ sai số là rất nhỏ; chính vì thế có sự khác biệt lớn ở thời gian khôi phục Trong khi GPSR-BB rất nhanh và FASTBCS chấp nhận được thì IRWLS phải rất lâu mới xây dựng chính xác lại chuỗi tín hiệu

3.1.3 Ảnh hưởng của số lượng phép đo M

Ta so sánh GPSR-BB và FASTBCS theo các tiêu chí MSE và thời gian thực hiện khi số lượng phép đo M tăng dần, trong việc khôi phục tín hiệu thưa ban đầu có k=205

và chiều dài N=4096 Khi chúng ta tăng số lượng các phép

đo M từ 0.5*N đến N thì sai số MSE giảm dần đạt đến giá trị 10 như Hình 4 Tuy nhiên, thời gian thực hiện tăng nhanh đối với thuật toán FASTBCS khi M lớn Kết hợp Hình 4 và 5 ta thấy GPSR-BB có sai số MSE nằm trong phạm vi cho phép, nhưng thường lớn hơn MSE của FASTBCS Tuy nhiên, thời gian thực hiện của GPSR-BB không thay đổi hoặc tăng ít khi M tăng

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(108).2016, Quyển 1 9

Hình 4 Khôi phục tín hiệu thưa với k=205, độ dài N=4096

và số phép đo M tăng dần theo tiêu chí MSE

Hình 5 Khôi phục tín hiệu thưa với k=205, độ dài N=4096 và

số phép đo M tăng dần theo tiêu chí thời gian

Ta sẽ tiếp tục khảo sát GPSR-BB cho tín hiệu có kích

thước rất lớn như ảnh ở phần sau

3.2 Khôi phục ảnh

3.2.1 Khôi phục ảnh kết hợp thuật toán GPSR và các dạng

ma trận cấu trúc

Từ hình ảnh gốc Lena kích thước 256x256, ta chuyển

thành dạng vector kích thước 65536x1 Sử dụng ma trận

chuyển đổi DWT (DicreteWavelet Transform) ta có tín

hiệu thưa = Sau đó, sử dụng ma trận ngẫu nhiên

dạng cấu trúc (MxN) để lấy mẫu với số phép đo

M=0.6*N (N=65536) ta có được vector đo đạc =

Việc lựa chọn ma trận lấy mẫu được mô tả như Hình 6 với

∈ × (ma trận hoán vị ngẫu nhiên), ∈ × (ma

trận lấy mẫu phụ) như phần lý thuyết 2.3 và ma trận trực

giao ∈ × có nhiều kiểu định dạng khác nhau như ma

trận Fast Fourier Transform (FFT), ma trận Discrete

Cosine Transform theo khối (BDCT), ma trận

Walsh-Hadamard Transform theo khối (BWHT) Nhiễu kênh

truyền tuân theo phân bố chuẩn Gauss với phương

sai = 0,01

Hình 6 Ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc với ma trận F theo

công thức (14) có cấu trúc khối

Hình 7 Khôi phục ảnh Lena sử dụng thuật toán GPSR-BB và

ma trận lấy mẫu khác nhau

Dựa vào thuật toán GPSR-BB kết hợp với bước giảm độ lệch (debiasing), ta thu được vector thưa ̅(Nx1) Sau đó sử dụng ma trận chuyển đổi ngược IDWT ta thu được vector hình ảnh và hình ảnh Lena như Hình 7 Ta thấy ảnh khá mượt, nhanh với tỷ lệ PSNR tương tự như nhau

3.2.2 Khôi phục ảnh với số phép đo M tăng dần theo tiêu chí PSNR và thời gian thực hiện

Hình 8 PSNR khi khôi phục ảnh sử dụng các ma trận lấy mẫu

khác nhau với M tăng dần

Hình 9 Thời gian khôi phục tín hiệu khi sử dụng các ma trận

lấy mẫu khác nhau với M tăng dần

10 Nguyễn Văn Điền, Hồ Phước Tiến, Nguyễn Tấn Hưng Khôi phục ảnh sử dụng các định dạng ma trận cấu trúc

khác nhau FFT, BDCTvới khối có kích thước 256x256,

BWHT với khối có kích thước 32x32 và BWHT với khối

có kích thước 256x256 theo cùng thuật toán khôi phục tín

hiệu GPSR-BB có chiều dài N=256x256 và có số phép đo

tăng dần từ M = 55%*N đến M = 100%*N Kết quả được

thể hiện trong các Hình 8 và 9

4 Bàn luận

4.1 Nhận xét về khôi phục tín hiệu

4.1.1 Phương pháp GPSR-BB

Như chúng ta đã biết, khi chuỗi tín hiệu có kích thước

càng lớn thì việc tính toán ma trận nghịch đảo hoặc các biện

pháp tương đương thường dẫn đến thời gian rất lâu Và

chuỗi tín hiệu thưa thường dài, nhưng số lượng hệ số khác

không rất ít nên thuật toán GPSR-BB lựa chọn giải pháp

thông minh hơn Thay vì phải tìm hết tất cả giá trị và vị

trí của từng hệ số trong chuỗi, GPSR-BB chỉ đi tìm vị trí

mà xuất hiện các hệ số khác không, mà không tính toán

những giá trị này Kế tiếp, nó áp dụng bước giảm độ lệch

hệ số khác không chỉ cho những vị trí vừa tìm được để

tìm chính xác giá trị biên độ của nó theo tiêu chí MSE

Như Hình 2, ta thấy bước một chỉ tốn 1.15s để tìm vị trí và

0.32s để tìm giá trị biên độ Ta nhận thấy thuật toán

GPSR-BB rất thích hợp để khôi phục tín hiệu thưa theo tiêu chí

MSE và thời gian

4.1.2 Vai trò của số lượng phép đo

Khác biệt theo tiêu chí về thời gian được thấy rõ ràng

qua thí nghiệm được mô tả trong Hình 3 Tín hiệu thưa ban

đầu cần được khôi phục có kích thước N=4096, k=205 và

M=1229 phép đo: các thuật toán đều khôi phục tín hiệu rất

tốt, có độ sai số MSE rất nhỏ; tuy nhiên IRWLS cần sử

dụng thời gian rất lâu t=50s, vì thế nó không thích hợp cho

những tín hiệu kích thước lớn Trong những thí nghiệm tiếp

theo, ta chỉ so sánh thuật toán GPSR-BB và FASTBCS

theo tiêu chí MSE và thời gian

Một trong những cách làm tăng độ chính xác của tín

hiệu khôi phục là thường tăng số lượng phép đo M Theo

kết quả Hình 4, ta thấy với cùng một tín hiệu có kích thước

lớn N=4096 và k=205, khi tăng M thì giá trị sai số MSE

giảm mạnh Tuy nhiên, điều này cũng dẫn đến độ phức tạp

tính toán tăng theo Vì thế, thời gian cho thuật toán

FASTBCS cũng tăng mạnh Trong khi với việc lựa chọn vị

trí và chỉ tính toán các giá trị này, thời gian của GPSR-BB

chỉ tăng ít hoặc gần như không đổi như theo Hình 5 Vì

vậy, đối với những tín hiệu thưa có kích thước rất lớn như

hình ảnh, ta áp dụng GPSR-BB để khôi phục như phần 3.2

4.2 Nhận xét về khôi phục ảnh

4.2.1 Phương pháp GPSR-BB kết hợp với ma trận cấu trúc

Thông thường để khôi phục ảnh, tín hiệu có kích thước

rất lớn, ảnh được chia thành những khối nhỏ và được khôi

phục lại Vì thế, việc xây dựng lại ảnh khá lâu; đồng thời,

do tạo ra nhiều khối nhỏ nên, sau khi kết hợp lại, ảnh dễ bị

hiệu ứng khối và các đường viền thường bị nhòe

Với việc sử dụng thuật toán GPSR-BB cho phép khôi phục tín hiệu có kích thước rất lớn kết hợp với ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc, ảnh được khôi phục rất tốt và khá nhanh như Hình 7; không có các hiệu ứng khối và hiệu ứng nhòe ở các đường viền, đồng thời khả năng lọc nhiễu rất tốt Tỷ lệ PSNR khá cao

4.2.2 Ảnh hưởng của định dạng ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc

Thay thế ma trận trong định dạng ma trận ngẫu nhiên cấu trúc bằng nhiều kiểu khác nhau như FFT, BDCT 256x256, BWHT32x32 và BWHT 256x256, ta thu được kết quả khá tương tự nhau về PSNR và thời gian, theo Hình

8 và 9, đối với FFT, BWHT32x32 và BWHT 256x256 Khi tăng số lượng phép đo, tức tăng mẫu thử, thì kết quả thu được chính xác hơn, giá trị PSNR tăng lên nhưng thời gian vẫn giữ ở mức cho phép Các định dạng ma trận FFT, BWHT 32x32, BWHT 256x256 có các kết quả tương tự nhau Trong khi ma trận khối DCT có PSNR thấp hơn và thời gian thực hiện lâu hơn

5 Kết luận

Với phương pháp “lấy mẫu nén”, khi số phép đo M nhỏ hơn chiều dài của chuỗi dữ liệu thì tín hiệu thưa vẫn được khôi phục lại chính xác Điều này dẫn đến việc truyền và khôi phục các thông tin, hình ảnh được nhanh hơn Đồng thời với các ưu điểm của GPSR-BB và ma trận ngẫu nhiên dạng cấu trúc, qua các thí nghiệm về khôi phục ảnh, ta nhận thấy có thể khôi phục tín hiệu có kích thước rất lớn nhưng nhanh và hiệu quả, đạt độ chính xác cao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C E Shannon, “A mathematical theory for communication.” SIGMOBILE Mob Comput Commu Rev, 53-55, Tháng 1, 2001 [2] E J Candes, “Compressive sampling,” Proceedings of the International Congress Mathematicians, Madrid, Tây Ban Nha, 2006 [3] E Candes, J Romberg, T Tao, “Robust unvertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information”, IEEE Transactions on Information Theory,52(2), pp 489-509, năm 2006

[4] E Candes, J Romberg, T Tao, “Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements,” Communications on Pure and Applied Mathematics, 59(8), pp.1207-1223, 2006 [5] M Figueiredo, R Novak, S.J Wright, “Gradient Projection for Sparse Reconstruction: Application to compressed sensing and other inverse problems,” IEEE Journal of selected Topics in Signal Processing, năm 2007

[6] J Barzilai and J Borwein “Two-point step size gradient method” IMA J Numerical Analysis 8, 141–148, 1988

[7] Thong T Do Lu Gan, Nam H Nguyen, Tran D Tran, “Fast and efficient compressive sensing using structurally random matrices,” IEEE Transactions on signal processing Vol 60, Tháng 1, 2012 [8] S D Babacan, R Molina, A K Katsaggelos, “Fast Bayesian compressive sensing using Laplace priors,” IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, pp

2873-2876, năm 2009

[9] I Daubechies, R Devore, M.Fornasier, C S Güntürk, “Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery,” Communications on Pure and Applied Mathematics, 63(1), Tháng

10, 2009

(BBT nhận bài: 13/8/2016, phản biện xong: 23/10/2016)