PHOØNG GIAÙO DUÏC BÌNH TAÂN

PHOØNG GIAÙO DUÏC BÌNH TAÂN GIỚI THIỆU CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Bình Trị Đông, ngày 10 tháng 11 năm 2017 TM Tổ chuyên môn NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG Bình Trị Đông, ngày tháng năm 2017 MỤC LỤC Trang 1 LUAN VAN C[.]

GIỚI THIỆU CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

Bình Trị Đông, ngày 10 tháng 11 năm 2017 TM Tổ chuyên môn NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG

Bình Trị Đông, ngày tháng năm 2017

MỤC LỤC

II ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 6

3 TÌM NGHIỆM CÒN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CHƯA BIẾT CỦA PHƯƠNG TRÌNH 8

5 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X1 VÀ X2 11

6 TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ 12

7 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM 14

8 TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC

9 XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 20

10 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 21

11 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 22

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:

Ngày nay để theo kịp với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thì việc nâng caokiến thức toán học cho mọi người nói chung và học sinh nói riêng là vô cùng cần thiết Trongchương trình Toán 9, ở chương IV, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn,công thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt là định lí Vi-ét và ứng dụng của nó trongviệc giải toán Ta cũng thấy, để giải được các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét, học sinhcần tích hợp nhiều kiến thức về đại số Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy các em vận dụng hệthức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giảinhiều loại bài toán Bên cạnh đó, nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất

ít, lượng bài tập chưa đa dạng

Với mong muốn hệ thống những kiến thức trọng tâm về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét đểgiải các bài toán ôn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 đạt điểm số cao nhất, giúp học sinhtháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập, đồng thời làm tăng năng lựchọc toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng bộ môntoán Vì vậy, tôi chọn đề tài ”Ứng dụng định lí Vi-ét giải toán cấp THCS” làm sáng kiến kinhnghiệm của mình

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có sự định hướng để giải các bài toántìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linhhoạt cho các trường hợp và thấy được ứng dụng rộng rãi của định lí Vi-ét Mỗi bài toán có thể

có nhiều cách giải khác nhau, việc khai thác nội dung bài toán, tìm ra phương pháp giải có tácdụng tích cực trong phát triển tư duy lô gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc Toán THCS

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Với đề tài này, theo tôi để đề tài có tính chất khả thi thì nhiệm vụ cơ bản nhất là khai thác

kiến thức cơ bản của sách giáo khoa, làm được hết tất cả các bài tập trong sách giáo khoa mộtcách thành thạo, hiểu rõ các yêu cầu và biết phân dạng loại bài tập rồi từ đó khai thác các bài tập

ở các tài liệu tham khảo

Lí thuyết: Dạng phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm (thu gọn) của phươngtrình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi - ét và ứng dụng, cách xác định dấu các nghiệm …

IV PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường THCS đang công tác

- Đề tài nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức Vi-ét theo đúng nội dung ôn thi vàolớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơ bản và nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập của họcsinh muốn đạt điểm cao khi thi vào các trường THPT công lập và THPT chuyên

- Đề tài dành cho giáo viên tham khảo, áp dụng trong giảng dạy bộ môn Toán và giúp họcsinh hệ thống hóa các dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán liên quan đến hệthức Vi-ét Đề tài có thể áp dụng trong các trường THCS và phạm vi toàn ngành

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu có liên quan

- Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra

- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh

- Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu đó là phương pháp thực nghiệm

VI CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh

2 Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu hướng dẫn cần thiết

3 Xây dựng phương pháp khi soạn giáo án chính khoá và tự chọn

4 Áp dụng vào các tiết dạy lý thuyết cũng như các tiết luyện tập, các tiết dạy tự chọn, dạybồi dưỡng học sinh khá, giỏi

5 Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinhnghiệm

VII NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau:

- Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Vi-ét theo mức độ từ dễ đến khó

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài

- Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Vi-ét

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.

- Minh họa bài tập trong các kỳ thi học kỳ quận Bình Tân và tuyển sinh lớp 10 TP.HCM

* Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

* Đối với học sinh khá, giỏi:

- Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét có lồng ghép bài tậpnâng cao

- Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài

B NỘI DUNG

I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT

Trước hết trong quá trình dạy học giáo viên cần làm sao để học sinh nắm vững định lí Vi-ét và một số trường hợp đặc biệt Bởi vì đó là cơ sở, là tiền đề, cũng là chìa khóa để giảiquyết các bài tập:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)

b x

 Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

(điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  0)

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải một số dạngtoán

II ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

1 NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm của phương trình (pt) sau:

Giải Do = 1> 0 pt có 2 nghiệm phân biệt

2 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S2 4P  0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng a + b = 5 và tích ab = 6 Giải

Vì a + b = 5 và ab = 6 nên a, b là nghiệm của phương trình : Giải phương trình trên ta được và

1 a + b = 9 và a2 + b2 = 41

2 a b = 5 và ab = 36Hướng dẫn:

1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của a

v à b

T ừ

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 42) ab = 36 , cần tìm tổng : a + b

Giải

Phương trình (*) có nghiệm x =

Bài tập áp dụng

a) Phương trình x2 2px 5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.

b) Cho phương trình : x27x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm

của phương trình

Hướng dẫn:

a) Thay và phương trình ban đầu ta được :

T ừ suy ra

b) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có

, ta giải hệ sau:

Suy ra

4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứatổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị của biểu thức

4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( ) và

c) = (S2-2P)2 – 2P2

4.2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x28x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

Tính giá trị của biểu thức :

5 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X 1 VÀ X 2

Ví dụ 1 : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Giải Theo hệ thức Vi-ét ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1)

Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừabậc bốn của các nghiệm phương trình (1)

Giải

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức vi-ét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:

y1 + y2 =

y1 y2 =

Ta có: = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2 = 729 - 2 = 727

= (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Ta có :

(1)

(2)Đồng nhất các vế của (1) và (2) ta có:

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đóđồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2- Quận Bình Tân - NH: 2014-2015)

Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình Tìm hệ thức độc lập liên hệ giữa x1 và x2không phụ thuộc vào m

Giải

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-Ét:

Ta có:

b) Ta có:

Bài tập áp dụng

Cho phương trình : x2m2x2m 1 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên

hệ giữa x x1; 2 sao cho x x1; 2 độc lập đối với m.

Hướng dẫn: Dễ thấy

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2Theo hệ thức Vi- ét ta có

Từ (1) và (2) ta có:

7 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, n là hằng số) (*)

Ta có: (v ì )

(v ì )

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0Tìm m để x12  x22 có giá trị nhỏ nhất

Giải

 = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m

Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

Dấu “=” xảy ra khi m =

43

Vậy giá trị nhỏ nhất của (x12 + x22) =

4

11

khi m =

43

Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2013-2014) Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)

a)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b)Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải

a)Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét:

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

a) nên pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Do đó, theo Vi-ét, với mọi m, ta có: S = ; P =

Khi m = 1 ta có nhỏ nhất

lớn nhất khi m = 1 nhỏ nhất khi m = 1Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho nghiệm

x1; x2 của phương trình thoả : 10x1x2 +x1+x2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

8 TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0

và   0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số)

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phương trình có 2

nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

Giải Ta phải có:

(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m <

(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3(3) 

* Trường hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)

* Trường hợp: 5 - x.x = 0  x x = 5

Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0

Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2012-2013)

Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m

c) Gọi là hai nghiệm của phương trình Tìm các giá trị m nguyên để đạtgiá trị nguyên

Giải

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét:

Ta có:

c) Ta có: =

Để A đạt giá trị nguyên thì: m – 2 Ư(1) = {-1; 1}

Suy ra: m = 1; m = 3Vậy khi m = 1 hay m = 3 thì đạt giá trị nguyên

Ví dụ 3: (Đề kiểm tra HK2 - NH: 2016-2017)

Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)

b) Tìm m để x13.x2 – x1.x23 = 0 (với x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên).

Giải a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có:

Vì nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-ét:

- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả )

Bài tập áp dụng

(TUYỂN SINH 10 - NH:2015-2016)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Định m để 2 nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn:

(1+ x1)(2 - x2) + (1+ x2)(2 - x1) = x12 + x22 + 2

9 XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2bx c 0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2

nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình:

có 2 nghiệm trái dấu

Giải Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Ví dụ 2: (Tuyển sinh 10 NH: 2014-2015)

Cho phương trình (1) (x là ẩn số)

Giải Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

Bài 1: Cho phương trình

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho phương trình: , (m là tham số) (1)a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm và

b) Tính tổng và tích hai nghiệm và của phương trình (1) theo m

Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm , thỏa

Bài 3: Cho phương trình: (với là tham số)a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Tính tổng và tích của hai nghiệmtheo m

b) Tìm m sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 1

10 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.

Ví dụ : Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình

p b a

q-cb

Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi c, d là hai nghiệmcủa phương trình: y2 + qy + 1 = 0

Phương trình vô nghiệm:

Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0Suy ra: x1 = 1; x2 = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

7 yx y x

7 P S

Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:

u2 - 4u + 3 = 0  u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:

v2 – 3v + 4 = 0Phương trình này vô nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là:

Cho phương trình: (m - 3)x 2 - 2mx + m +2 = 0(1); m là tham số.

1 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

2 Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

3 Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

4 Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm kép

5 Tìm giá trị của m để phương trình (1) vô nghiệm

6 Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2

7 Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu