Microsoft word XSTK THU

Xác suất thống kê TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA SƯ PHẠM BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Bình Dương, 2021. Tài liệu bao gồm khái niệm . Câu hỏi và lời giải chi tiết phục vụ cho việc ôn thi môn xác suất thống kê bật đại học .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

KHOA SƯ PHẠM

BÀI GIẢNG

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bình Dương, 05/2021

Ví dụ 2: Từ tập S={0,1,2,3,4,5,6} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số?

Giải: Gọi số có 3 chữ số lập từ S là abc

Giải: Có 2343=72 cách

 Công thức nhân:

Chia công việc ra nhiều giai đoạn

Giai đoạn 1 có thể thực hiện bằng n1 cách

Giai đoạn 2 có thể thực hiện bằng n2 cách

………

Giai đoạn k có thể thực hiện bằng nk cách

Vậy công việc sẽ được thực hiện bằng n n1  2 nk cách

II Công thức cộng

Ví dụ 1 Có bao nhiêu cách đi từ A đến C?

Giải: Đi từ A  C có hai trường hợp (có thể xảy ra TH này hoặc TH kia)

Trường hợp 1: A   B C có 6 cách

Trường hợp 2: A   D C có 2 cách

Vậy đi từ A  Ccó 6 + 2 = 8 cách

Ví dụ 2: Một người có 2 đôi giày thể thao, 1 đôi giày tây, 3 cái quần tây, 4 cái áo sơ mi và 3 cái cavat Mỗi ngày đi làm người này luôn đi giày, mặc quần tây, áo sơ mi Người này chỉ thắt cavat vào những hôm đi giày tây Hỏi có bao nhiêu cách người này phối đồ khác nhau?

Giải:

TH1: Đi giày tây: Có 1343 = 36 cách

TH2: Đi giày thể thao: Có 234 = 24 cách

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn ngồi vào một bàn gồm 4 ghế?

Giải: Mỗi cách xếp 4 bạn ngồi vào một bàn gồm 4 ghế là một hoán vị của 4

n A

n k





Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 người vào một bàn gồm 6 ghế?

Giải: Mỗi cách xếp 4 người vào một bàn gồm 6 ghế là một chỉnh hợp chập 4 của 6

n C

k n k





Ví dụ: Một lớp gồm 40 sinh viên, trong đó có 18 nam

a Có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên?

b Có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên, trong đó có 2 nam và 1 nữ?

c Có bao nhiêu cách chọn ra 3 sinh viên, trong đó có ít nhất 1 nam?

a Có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi từ hộp?

b Có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi trắng từ hộp?

c Có bao nhiêu cách chọn ra 4 viên bi, trong đó có 2 trắng và 2 đỏ?

BÀI 0.3: Một hộp gồm 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm.Lấy từ hộp ra

3 sản phẩm Có 3 cách lấy:

Cách 1: Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm

Cách 2: Lấy lần lượt (không hoàn lại) 3 sản phẩm

Cách 3: Lấy (lần lượt) có hoàn lại 3 sản phẩm (chọn lặp)

Hãy xét theo 3 cách lấy:

a Có bao nhiêu cách lấy được cả 3 sản phẩm tốt?

b Có bao nhiêu cách lấy được đúng 2 sản phẩm tốt?

c Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 sản phẩm tốt?

d Có bao nhiêu cách lấy được số sản phẩm tốt nhiều hơn số phế phẩm?

BÀI 0.4: Có 2 hộp Hộp I đựng 10 bi (8 xanh, 2 đỏ) Hộp II đựng 20 bi (15 xanh, 5 đỏ)

a Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi?

b Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 1 bi đỏ được lấy ra?

c Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 2 bi đỏ được lấy ra?

d Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho có đúng 3 bi đỏ được lấy ra?

e Có bao nhiêu cách lấy từ mỗi hộp ra 2 bi sao cho các bi lấy ra cùng màu?

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT

§1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

I Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất – thống kê

- Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết xác suất thống kê là các hiện tượng ngẫu nhiên

- Mục đích: tìm ra các qui luật của các hiện tượng ngẫu nhiên

- Lý thuyết xác suất: tìm ra các mô hình xác suất cho các hiện tượng ngẫu nhiên

- Lý thuyết thống kê: dựa vào dữ liệu thống kê (lấy từ thực tế) để chính xác hóa mô hình xác suất, đưa ra các quyết định hoặc dự báo

II Phép thử, biến cố

+ Phép thử là việc thực hiện một hành động hay một thí nghiệm nào đó mà ta không biết trước được kết quả xảy ra, nhưng có thể biết trước tổng số các trường hợp có thể xảy ra

Kí hiệu phép thử: T

+ Biến cố là kết quả có thể có của phép thử Kí hiệu: A, B, C, …

+ Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử Kí hiệu: 

+ Biến cố không thể (biến cố bất khả): là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử Kí hiệu: 

+ Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không khi thực hiện phép thử

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc là một phép thử

Gọi A1 là biến có xuất hiện mặt 1 chấm,

Gọi A2 là biến có xuất hiện mặt 2 chấm,

………

Gọi A6 là biến có xuất hiện mặt 6 chấm

=>Khi đó, A1,…, A6 là các biến cố ngẫu nhiên

Gọi B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm từ 1 đến 6 => B   (B là biến cố chắc chắn) Gọi C là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm => C   (C là biến cố không thể)

Ví dụ 2: Một gia đình có bán đàn gà con gồm 10 con (3 trống, 7 mái) Một người mua ngẫu nhiên 4 con trong đàn

Gọi A là biến cố người này mua được cả 4 con trống => A  (A là biến cố không thể) Gọi B là biến cố người này mua được ít nhất 1 con mái => B   (B là biến cố chắc chắn) Gọi C là biến cố người này mua được số con trống bằng số con mái => C là biến cố ngẫu nhiên

+ Biến cố tổng: C=A+B (hoặc C   A B)

Biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra hoặc cả A và B cùng xảy ra (ít nhất một biến cố xảy ra)

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là biến cố (bc) xuất hiện mặt i chấm Gọi A là bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn; B là bc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3

 A=A2 +A4 +A6  B= A3 +A6

Ví dụ 2: Những SV có học lực giỏi và những SV đạt giải trong kỳ thi Olympic sẽ được nhà trường khen thưởng Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường Gọi A là bc chọn được SV đạt học lực giỏi; B là bc chọn được SV đạt giải trong kỳ thi Olympic C là bc chọn được SV được khen thưởng  C=A+B

+ Biến cố tích: C=A.B (hoặc C   A B)

Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra trong phép thử

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc Gọi Ai là biến cố (Bc) xuất hiện mặt i chấm

Gọi A là Bc xuất hiện mặt có số chấm chẵn;

B là Bc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3;

C là Bc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 5;

Suy ra: AB = A6 ; BC = A3 ; ABC=

Ví dụ 2: Hai người cùng bắn vào một con thú Gọi A là bc người 1 bắn trượt, B là bc người 2 bắn trượt;

C là bc con thú không bị bắn trúng  C=A.B

 A, C xung khắc nhưng không đối lập nhau

+ Các biến cố đồng khả năng: là các bc có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép thử

Ví dụ: - Tung một con xúc xắc Các bc sơ cấp Ai là đồng khả năng

- Tung một đồng xu Bc xuất hiện mặt sấp và bc xuất hiện mặt ngửa là đồng khả năng

- Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp gồm 5 bi đỏ, 8 bi trắng và 5 bi xanh Khi đó bc lấy được bi

đỏ và bc lấy được bi xanh là đồng khả năng; bc lấy được bi đỏ và bc lấy được bi trắng không đồng khả năng

+ Hệ đầy đủ: các biến cố A A1, 2, ,An được gọi là một hệ đầy đủ nếu

Khi thực hiện phép thử thì một trong chúng xảy ra: A1  A2   An  

Chúng xung khắc với nhau từng đôi một: A Ai. j   ; i j ,  1, n

Nhận xét: Hai biến cố A và A tạo thành hệ đầy đủ

Ví dụ 1: Một hộp đựng 3 loại bi trắng, xanh, vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 viên Gọi T là

bc lấy được viên bi trắng, X là bc lấy được viên bi xanh, V là bc lấy được viên bi vàng Hệ biến cố T,X,V là hệ đầy đủ

Ví dụ 2: Một sản phẩm bán ra thị trường do 3 nhà máy X, Y, Z sản xuất Mua ngẫu nhiên một sản phẩm Xác định một hệ biến cố đầy đủ cho sản phẩm này

 Gọi A là bc mua được sản phẩm do nhà máy X sản xuất; B là bc mua được sản phẩm do nhà máy Y sản xuất; C là bc mua được sản phẩm do nhà máy Z sản xuất

 Hệ biến cố A, B, C là hệ đầy đủ

+ Không gian các biến cố sơ cấp: các biến cố A A1, 2, ,An được gọi là không gian các biến

cố sơ cấp nếu chúng là một hệ đầy đủ không thể tách nhỏ hơn

III Các tính chất của các phép toán biến cố

1 Giao hoán: A+B=B+A; AB=BA

2 Kết hợp: A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C

A(BC)=(AB)C=ABC

3 Phân phối: A(B+C)=AB+AC

4 Lũy đẳng: A+A=A, A.A=A

5 A     ; A   A A ;    A A ;   

6 Nếu B A  thì A B  hay A A 

7 Luật đối ngẫu De Morgan: A B  A B ; A B  A B

Ví dụ Hai người cùng bắn, mỗi người bắn một viên vào bia

Gọi A1 là bc người thứ nhất bắn trúng bia; A2 là bc người thứ hai bắn trúng bia

Khi đó ta có thể biểu diễn các bc sau theo A1, A2

§1.2 XÁC SUẤT

I Định nghĩa xác suất theo tiên đề

Xác suất của biến cố A chính là khả năng để xảy ra biến cố A

II Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Cho phép thử có  hữu hạn và các biến cố sơ cấp (bcsc) đồng khả năng, A là bc bất kỳ Khi đó:

( ) ( )

Giải: Khi tung con xúc xắc, có tất cả 6 bcsc đồng khả năng có thể xảy ra => n ( ) 6  

Gọi Ai là bc xuất hiện mặt i chấm

b Gọi B là bc được ít nhất 1 sản phẩm tốt => B là bc được cả 4 phế phẩm

4 4 4 20

 Công thức XS lựa chọn: Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại

A Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sp Khi đó, XS để trong n sản phẩm chọn ra có k sản phẩm loại A là:

.( ) A A

a Đúng 1 cây mực đỏ b Ít nhất 3 cây mực xanh

c Ít nhất 1 cây mực đỏ d Nhiều nhất 2 cây mực đỏ

HD: Gọi A, B, C, D lần lượt là các bc cần tìm xác suất

III Định nghĩa XS theo thống kê: Giả sử khi tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau, bc A xảy ra mA lần

Tỷ số mA

n được gọi là tần suất xuất hiện của bc A

Khi số phép thử n lớn, tần suất của A dao động quanh một giá trị không đổi p (0   p 1) Giá trị đó gọi là xác suất của bc A,

Ví dụ: Khi tung một đồng xu đồng chất nhiều lần, người ta thấy rằng XS xuất hiện mặt sấp =

XS xuất hiện mặt ngửa = ½

Người thí nghiệm Số lần thí nghiệm (n) Số lần xuất hiện mặt

f n



Đặt A là biến cố viên bi nằm trong hình tròn nội tiếp hình vuông

Ta có hình biểu diễn cho biến cố A là hình tròn nội tiếp, cho  là hình vuông

Vậy

2 2

Giải:

Gọi F là biến cố chọn được bạn giỏi ít nhất một môn trong hai môn văn và toán,

A là biến cố chọn được bạn giỏi văn,

B là biến cố chọn được bạn giỏi toán

Ví dụ 2 Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm xác suất để một học sinh bốc 2 đề, được ít nhất 1 đề khó

( ) C

P B

C

 Vậy

2 30

49 ( ) ( ) ( )

49 ( ) 1 ( ) 1

II Xác suất có điều kiện Công thức nhân xác suất

a Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B

Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện

Kí hiệu: P(A/B)

Xác suất P(A/B) được tính theo công thức

( ) ( / )

Khi đó: P(A/B)=0; P(A/C)=2/4=0,5; P(A/D)=2/3; P(B/D)=1/3

Ví dụ 2: Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ACB và 4 thẻ ATM của Vietcombank Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại) Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của ACB

Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ATM Vietcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ATM của ACB“ Ta cần tìm P(A/B)

Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ

+ Từ công thức xác suất có điều kiện ta suy ra với hai biến cố A và B ta có

Gọi A={bi lấy lần thứ nhất là bi đỏ}

B={bi lấy lần thứ hai là bi đỏ}

2 1 1 ( ) ( ) ( / )

Gọi A={bi lấy lần thứ nhất là bi đỏ}

B={bi lấy lần thứ hai là bi đỏ}

a Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 2

b Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 3

Giải:

Gọi A là biến cố “nắp khoen đầu trúng thưởng” B là biến cố “nắp khoen thứ hai trúng

thưởng” C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng p(A) = 2/20

Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng Do đó: p(B/A) = 1/19

Từ đó ta có: P(C) = P(A) P(B/A) = (2/20).(1/19) = 1/190 ≈ 0.0053

Ví dụ 7: Áo Việt Tiến trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất, và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai Tìm xác suất để 1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến cố ” qua được lần kiểm tra đầu tiên”, B là biên cố “qua được lần kiểm tra thứ 2”,

C là biến cố “đủ tiêu chuẩn xuất khẩu”

Gọi A={bi lấy lần thứ nhất là bi đỏ}

B={bi lấy lần thứ hai là bi đỏ}

Ta có A và B độc lập (vì lấy có hoàn lại)

Gọi A={bi lấy lần thứ nhất là bi đỏ}; B={bi lấy lần thứ hai là bi đỏ};

C={bi lấy lần thứ ba là bi đỏ} => A, B và C độc lập toàn phần

III Công thức xác suất toàn phần (CT xác suất đầy đủ) Công thức Bayes

Cho biến cố A và hệ đầy đủ A A1, , ,2 An (Khi thực hiện phép thử, chắc chắn có duy nhất 1 biến cố Ai xảy ra) Khi đó ta có:

Công thức xác suất toàn phần

n n

b Giả sử đã lấy được cả 3 sp tốt Tính xs đã chọn được hộp II

Giải: Gọi A1, A2 lần lượt là bc chọn được hộp I, II => A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc

2

1 2

P A P A A

P A A

P A

Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 10 sản phẩm Trong đó, hộp I chứa 6 sp tốt; hộp II chứa 8

sp tốt Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên 3 sp

a Tính xs được cả 3 sản phẩm tốt

b Giả sử đã lấy được cả 3 sp tốt Tính xs đã được phế phẩm từ lô I

Giải: Gọi A1, A2 lần lượt là bc lấy được sp tốt, phế phẩm từ hộp I=> A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc P(A1)=3/5; P(A2)= 2/5

a Gọi A là bc được cả 3 sản phẩm tốt (Lô II bây giờ có 11 sp)

2

2 ( ) ( / ) 5 4 ( / )

P A  P A P A A  P A P A A  P A P A A

Ví dụ 4: Cho 3 hộp linh kiện máy tính mà khả năng lựa chọn của mỗi hộp là như nhau Hộp I

có 30 linh kiện, trong đó có 20 tốt và 10 xấu Hộp II có 30 linh kiện đều tốt Hộp III có 30 linh kiện, trong đó có 15 tốt và 15 xấu Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một linh kiện

a Tính XS để linh kiện lấy ra là tốt

b Giả sử linh kiện lấy ra là tốt Tìm XS để linh kiện đó là của hộp III

Đ/s: a 13/18 b 0.23

IV Công thức Bernoulli: Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau Giả

sử ở mỗi phép thử, bc A hoặc xảy ra với XS p không đổi, hoặc không xảy ra với XS q=1-p Khi đó, với mỗi 0 k n   , ta có công thức Bernoulli tính XS để trong n phép thử, bc A xảy

 Dạng bài toán 2: Một lô hàng chứa N sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm loại tốt là p (nghĩa

là lô hàng chứa N.p sản phẩm tốt và N-Np sản phẩm xấu) Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng

ra n sản phẩm Tính XS để trong n sản phẩm lấy ra có k sản phẩm tốt => Áp dụng CT xác suất lựa chọn

Ví dụ: Có hai lô hàng Lô I chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm tốt là 80% Lô II chứa

30 sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm tốt là 70% Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm Tính XS

để trong 4 sản phẩm thu được có:

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

BÀI 1.1: Trong hộp có 10 viên bi, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên 4 bi Tính

XS để được:

a 2 hoặc 3 viên bi đỏ b Ít nhất 1 bi đỏ

c Không quá 1 bi đỏ d Số bi đỏ nhiều hơn bi trắng

BÀI 1.2: Có hai hộp I và II, mỗi hộp chứa 10 sản phẩm Trong đó, hộp I chứa 8 sản phẩm tốt

và 2 phế phẩm Hộp II chứa 7 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm Từ hộp I lấy ra 1 sản phẩm và từ hộp II lấy ra 2 sản phẩm Tính xác suất để được:

a Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 2

b Tính xác suất để người này dừng lại ở lần lấy thứ 3

BÀI 1.4: Một công nhân đứng 3 máy XS để trong 1 ca làm việc máy I hỏng là 0,2; máy II hỏng là 0,1 và máy III hỏng là 0,15 Tìm XS để trong ca làm việc:

a Cả 3 máy không hỏng b Có đúng 1 máy hỏng

c Có đúng 2 máy không hỏng d Ít nhất 1 máy không hỏng

BÀI 1.5: Một hộp đựng 2 bi đỏ, 3 bi trắng và 5 bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi từ hộp (không hoàn lại) cho đến khi được bi đỏ thì dừng Tính xác suất:

a Được 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi xanh

b Không có bi xanh nào được rút ra

BÀI 1.6: Có 2 hộp giống hệt nhau, mỗi hộp chứa 10 bi Trong đó, hộp I gồm 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm 7 bi đỏ và 3 bi trắng Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 4

bi Tính xác suất lấy được:

a 2 bi đỏ và 2 bi trắng b 1 bi đỏ và 3 bi trắng

c Giả sử đã được 2 bi đỏ và 2 bi trắng Hỏi khả năng chọn được hộp nào cao hơn?

BÀI 1.7: Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh một loại sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm loại tốt trong 3 cửa hàng lần lượt là 80%, 85% và 75%

a Một khách chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm Tính xác suất để khách mua được sản phẩm tốt

b Một khách chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm thì được phế phẩm Tính xác suất khách đã chọn cửa hàng III

BÀI 1.8: Có 2 hộp đựng cùng một loại thuốc Hộp I gồm 8 lọ thuốc (có 3 lọ kém phẩm chất) Hộp II gồm 5 lọ thuốc (có 2 lọ kém phẩm chất) Từ hộp I lấy ngẫu nhiên 1 lọ bỏ sang hộp II, sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên 2 lọ Tính xác suất để:

a Lấy được 2 lọ thuốc tốt từ hộp II

b Giả sử đã lấy được 1 lọ tốt và 1 lọ kém phẩm chất từ hộp II Tính xác suất đã lấy được lọ thuốc tốt ở hộp I

BÀI 1.9: Có 2 hộp đựng bi, mỗi hộp chứa 10 bi Trong đó, hộp I gồm 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm 7 bi đỏ và 3 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I 2 bi bỏ sang hộp II, sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 4 bi Tính xác suất để lấy được:

a 2 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II

b 1 bi đỏ và 3 bi trắng từ hộp II

c 1 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp I, biết đã lấy được 2 bi đỏ và 2 bi trắng từ hộp II

BÀI 1.10: Có 3 sinh viên làm bài thi một cách độc lập Xác suất làmđược bài của sinh viên I là 0,8; của sinh viên II là 0,7; và của sinh viên III là 0,5 Biết có ít nhất một sinh viên làm được bài, tính xác suất sinh viên III làm được bài

BÀI 1.11: Có 10 hộp đựng các sản phẩm cùng loại, mỗi hộp chứa 20 sản phẩm Trong đó, có

1 hộp loại I (mỗi hộp đựng 18 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm); 3 hộp loại II (mỗi hộp đựng 14 sản phẩm tốt và 6 phế phẩm); và 6 hộp loại III (mỗi hộp đựng 12 sản phẩm tốt và 8 phế phẩm)

a Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tính xác suất lấy được

a Tính xác suất để trong một ngày làm việc xưởng có máy hỏng

b Biết trong một ngày làm việc xưởng có máy hỏng, tính xác suất máy I bị hỏng

BÀI 1.13: Trong một đợt thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn Một sinh viên ước lượng rằng: Xác suất thi đạt môn thứ nhất là 0,8 Nếu đạt môn thứ nhất, thì xác suất thi đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất, thì xác suất thi đạt môn thứ hai là 0,3

a Tính xác suất sinh viên này thi đạt cả hai môn

b Biết rằng sinh viên này thi đạt một môn, tính xác suất sinh viên này thi đạt môn thứ hai

BÀI 1.14: Có hai chuồng thỏ Chuồng I có 10 con thỏ trắng và 6 con thỏ xám Chuồng II có 7 con thỏ trắng và 9 con thỏ xám Có hai con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II Sau đó, có hai con thỏ chạy ra từ chuồng II

a Tính xác suất để hai con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II là hai con thỏ trắng và hai con chạy ra từ chuồng II là hai con thỏ xám

b Tính xác suất để hai con chạy ra từ chuồng II là hai con thỏ xám

c Biết rằng hai con chạy ra từ chuồng II là hai con thỏ xám, tính xác suất đã có một con trắng và một con xám chạy từ chuồng I sang chuồng II

BÀI 1.15: Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80% bệnh nhân bị phỏng do nóng và 20% phỏng

do hóa chất Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng Loại phỏng do hóa chất có 60% bị biến chứng

a Tính xác suất khi bác sĩ mở hồ sơ của bệnh nhân gặp bệnh án của bệnh nhân phỏng do nóng và bị biến chứng

b Tính xác suất khi bác sĩ mở hồ sơ của bệnh nhân gặp bệnh án của bệnh nhân phỏng do hóa chất và bị biến chứng

c Biết khi bác sĩ mở hồ sơ của bệnh nhân gặp bệnh án của bệnh nhân phỏng bị biến chứng Tính xác suất bệnh nhân này bị phỏng do hóa chất

BÀI 1.16: Có 10 hộp đựng sản phẩm cùng loại, mỗi hộp chứa rất nhiều sản phẩm Trong đó,

có 6 hộp của nhà máy M sản xuất, 3 hộp của nhà máy N sản xuất và 1 hộp của nhà máy P sản xuất Tỷ lệ sản phẩm tốt của các nhà máy M, N, P lầ lượt là 60%, 80% và 95%

a Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất lấy được sản phẩm tốt

b Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm Tính xác suất lấy được

ít nhất 4 sản phẩm tốt

BÀI 1.17: Một nhà máy gồm 3 phân xưởng I, II, III Trong đó, phân xưởng I sản xuất ra 35%

số lượng sản phẩm, phân xưởng II sản xuất ra 40% số lượng sản phẩm, phân xưởng III sản xuất ra 25% số lượng sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm tốt của các phân xưởng I, II, III lần lượt là 70%, 65% và 80%

a Tính tỷ lệ sản phẩm tốt nói chung do nhà máy sản xuất

b Mua ngẫu nhiên 10 sản phẩm (trong số rất nhiều sản phẩm) do nhà máy sản suất Tính xác suất để mua được ít nhất 9 sản phẩm tốt

BÀI 1.18: Có hai lô hàng đựng các sản phẩm cùng loại, mỗi lô chứa 70% sản phẩm tốt, trong

đó lô I chứa 30 sản phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm

a Lấy ngẫu nhiên từ lô II 1 sản phẩm bỏ sang lô I, sau đó từ lô I lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tính xác suất được cả 3 sản phẩm tốt

b Lấy ngẫu nhiên từ lô II 2 sản phẩm bỏ sang lô I, sau đó từ lô I lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tính xác suất được cả 3 sản phẩm tốt

c Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt

BÀI 1.19: Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 30% Một lô hàng chứa 20 sản phẩm (12 tốt, 8 phế phẩm)

a Cho máy sản xuất 1 sản phẩm, rồi bỏ sản phẩm này vào lô hàng Từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm Tính xác suất được ít nhất 1 sản phẩm tốt

b Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 1 sản phẩm Tính xác suất được ít nhất 2 sản phẩm tốt

c Cho máy sản xuất 2 sản phẩm và từ lô hàng lấy ra 2 sản phẩm Giả sử trong 4 sản phẩm thu được có 2 sản phẩm tốt Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt đó đều do máy sản xuất

BÀI 1.20: Có hai lô hàng I và II Lô I chứa 10 sản phẩm (có 8 sản phẩm tốt) Lô II chứa 20 sản phẩm (có 12 sản phẩm tốt) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm Sau đó, trong 4 sản phẩm thu được lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất để được 2 sản phẩm tốt sau cùng

CHƯƠNG 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

§2.1: KHÁI NIỆM, PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

II Phân loại ĐLNN

+ ĐLNN rời rạc: là đại lượng nhận giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị

Ví dụ: X, Y, Z trong ví dụ 1 phía trên là các ĐLNN rời rạc

+ ĐLNN liên tục: là đại lượng nhận vô hạn không đếm được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một khoảng (a, b) nào đó

Ví dụ: X1, X2 trong ví dụ 1 phía trên là các ĐLNN liên tục

III Biểu diễn đại lượng ngẫu nhiên:

+ ĐLNN rời rạc: Dùng bảng phân phối xác suất (ppxs) hoặc hàm ppxs

+ ĐLNN liên tục: Dùng hàm mật độ xác suất hoặc hàm phân phối xác suất

Ví dụ 1: Tung một đồng xu 2 lần Lập bảng ppxs cho số lần được mặt sấp

Giải: Gọi X là số lần được mặt sấp => X = {0,1,2}

Giải:

X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 1, 2, hoặc 3

Ta có

1 ( 1) ( ) ;

Vậy X={0,1,2,3}

3 6 3 10

20 ( 3) (3T)

60 ( 2) (2T1D)

36 ( 1) (1T2D)

4 ( 0) (0 3D)

2 Hàm phân phối xác suất

3 / 4 1 2

xx

F x

xx

Khi đó, X + Y và X.Y là các biến ngẫu nhiên có bảng ppxs sau:

§2.2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

Kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất của ĐLNN X (giá trị trung tâm của ĐLNN X)

II Phương sai

a Dựa vào định nghĩa

+ Với X rời rạc có bảng phân phối xác suất ta có 2 2

1

n

i i i

+X  E X ( ): Khoảng cách từ giá trị X đến tâm

+[ X  E X ( )]2: Bình phương khoảng cách trên

+E[ X  E X ( )]2: Trung bình của bình phương khoảng cách trên

III Độ lệch chuẩn của ĐLNN X là X  D X ( )

IV Một số đặc trưng khác (cho ĐLNN rời rạc)

1 Mode (giá trị tin chắc nhất)

Định nghĩa: mode là giá trị của ĐLNN X ứng với xác suất lớn nhất

* Chú ý: ĐLNN X có nhiều mode Kí hiệu ModX

§2.3 VECTOR NGẪU NHIÊN

X X X hay phân phối của vectơ ngẫu nhiên X ( ,X X1 2, ,Xn)

Để đơn giản trong việc khảo sát, ta chỉ xét vectơ 2 chiều V  ( , ) X Y với X Y , có hàm phân phối đồng thời

II Phân phối xác suất đồng thời của (X, Y)

Xác suất X nhận giá trị xi, Y nhận giá trị yjlà pij  P X (  x Yi,  yj)

Bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y) có dạng:

III Phân phối lề (phân phối biên duyên)

Từ phân phối đồng thời của X,Y ta có thể tìm ra phân phối riêng phần của X,Y

* Phân phối lề của X

Ví dụ 4: Một hộp có 10 viên bi gồm 3 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra

2 bi Gọi X, Y lần lượt là số bi đỏ, bi trắng trong 2 bi lấy ra Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y); bảng ppxs lề của X, Y

3 3 4

Ví dụ 5: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi Hộp I có: 1 bi mang số 1, 2 bi mang số 2, 3 bi mang

số 3 Hộp II có: 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số 3 Rút từ mỗi hộp ra 1 bi Gọi X

là số ghi trên bi rút ra từ hộp I, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp II

a Hãy lập bảng ppxs đồng thời của (X, Y)

§2.4 CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Trong phần trước, ta đã biết xác suất biến cố A xảy ra : P A( ) [ ] [ ] A  trong một phép thử, nhưng khi gặp bài toán tính xác suất biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử thì không có công thức tổng quát để tính mà phải dựa vào các luật phân phối xác suất có biến cố A xảy ra thì khi đó sẽ có cách tính cụ thể xác suất biến cố A xuất hiện k lần

I Luật phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution)

a Tính kỳ vọng, phương sai của số sản phẩm quá hạn sử dụng người đó mua phải

b Tính xác suất người này mua được ít nhất 9 sản phẩm còn hạn sử dụng

3 Xấp xỉ: Khi N rất lớn so với n (n<<N) việc tính toán liên quan đến tổ hợp n, n k

C C 

 rất khó khăn nên ta sẽ triệt tiêu N bằng cách đặt M

p N

 => xấp xỉ phân phối siêu bội về phân phối nhị thức

Ví dụ: Trong một lô hàng có 10.000 lọ thuốc trong đó có 200 lọ thuốc hỏng Lấy ngẫu nhiên

30 lọ thuốc để kiểm tra Tính XS để lấy được 28 lọ thuốc tốt?

HD:

Gọi X là số lọ thuốc tốt trong 30 lọ lấy ra =>X ~ H (10000;9800;30)

Vì n=30 rất nhỏ so với N=10.000 nên có thể xấp xỉ X về pp nhị thức X ~ (30; 0,98) B

P(X=28)=?????==> Xem pp nhị thức phía dưới!

Vì N khá lớn so với n nên việc lấy ra n phần tử không hoàn lại thì cũng được xem như là lấy n phần tử có hoàn lại, nghĩa là ta được n phép thử độc lập (độc lập nghĩa là kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết quả của phép thử kia) Đây chính là mô hình của phân phối nhị thức

II Luật phân phối nhị thức:

1 Định nghĩa

Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau Giả sử trong mỗi phép thử,

bc A hoặc xảy ra với XS p không đổi, hoặc không xảy ra với XS q=1-p Gọi X là ĐLNN chỉ

số lần A xuất hiện trong n phép thử => X nhận n+1 giá trị k=0,1, ,n với XS được tính theo công thức Bernoulli

Ví dụ 1: Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm tốt là 80% Cho máy sản xuất 10 sp

a Tính kỳ vọng, phương sai, giá trị tin chắc nhất của số sp tốt thu được

n n

n

Vậy cần kiểm tra tối thiểu 1533 sản phẩm

* Mối liên hệ giữa pp siêu bội và pp nhị thức:

Cho X ~ H N M n ( , , ) Khi N khá lớn và n khá nhỏ so với N (n<5%.N) thì ta có thể xấp xỉ X

về pp nhị thức X ~ ( , ) B n p với p=M/N  Áp dụng công thức của pp nhị thức để tính

Ví dụ 4: Trong một lô hàng có 10.000 lọ thuốc trong đó có 200 lọ thuốc hỏng Lấy ngẫu nhiên

30 lọ thuốc để kiểm tra Tính xác suất để lấy được 28 lọ thuốc tốt?

III Luật phân phối Poisson

Ví dụ 2: Quan sát tại siêu thị A trung bình 6 phút có 18 khách đến mua hàng

a Tính XS để trong 2 phút có 3 khách đến mua hàng tại siêu thị?

b Tính số khách chắc chắn nhất sẽ đến siêu thị trong 1 giờ?

Giải:

a Theo đề, trung bình 2 phút có 6 khách đến siêu thị A mua hàng

Gọi X là số khách đến siêu thị trong 2 phút => X ~ (6) P

b Theo đề, trung bình 1 giờ có 180 khách đến siêu thị A mua hàng

Gọi Y là số khách đến siêu thị trong 1 giờ => X ~ (180) P

Ví dụ 3: Một cửa hàng điện máy trung bình một tháng (30 ngày) bán được 15 cái tủ lạnh và 20 cái máy giặt Tính xác suất cửa hàng này không bán được cái tủ lạnh và cũng không bán được cái máy giặt nào trong 2 ngày

Giải:

Theo đề, trung bình trong 2 ngày cửa hàng bán được 1 cái tủ lạnh và 4/3 cái máy giặt

Gọi X là số tủ lạnh cửa hàng bán được trong 2 ngày

Gọi Y là số máy giặt cửa hàng bán được trong 2 ngày

* Mối liên hệ giữa pp nhị thức và pp Poisson:

Cho X  B n p ( , ) Khi n rất lớn và p khá bé, ta có thể xấp xỉ về phân phối Poisson

( )

X  P  , với   np => Áp dụng công thức của pp Poisson đề tính

Ví dụ 4: Kiểm tra 1000 linh kiện của một thiết bị có rất nhiều linh kiện Biết xác suất hỏng của mỗi linh kiện là 0,3% Tính xác suất để thiết bị đó có 35 linh kiện bị hỏng

a Tính XS có ít nhất 1 linh kiện A bị hỏng

b Tính XS để máy ngưng hoạt động

HD: Gọi X là số linh kiện A hỏng, Y là số linh kiện B hỏng

1 ( )

Đồ thị hàm mật độ f x ( )có dạng hình chuông, đối xứng qua đường x và đạt cực đại tại

Gọi X là đường kính của chi tiết máy =>X  N (   50; 2  0,05 )2

Chi tiết máy đạt yêu cầu nếu 49,9  X  50,1 nên tỷ lệ chi tiết máy đạt yêu cầu là:

50,1 50 49,9 50

0,05 0,05(2) [1 (2)] 2 (2) 1 2.0,9772 1 0,9544

a Tính tỷ lệ 3 loại A,B,C

b Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm Tính xác suất được ít nhất 2 sản phẩm loại A

HD: Gọi X là trọng lượng của sản phẩm Theo đề X  N(500; 4)  500,  4 2

Chẳng hạn:

+ Các chỉ số sinh học (cân nặng, chiều cao, mức độ thông minh,…) của người cùng giới tính và cùng độ tuổi

+ Các chỉ số sinh học của các loài cây, loài vật cùng độ tuổi

+ Khối lượng, kích thước các sản phẩm do một hệ thống máy sản xuất ra

+ Điểm thi của các thí sinh

+ Lực chịu đựng của một thanh sắt; các sai số trong đo đạc; sai số quan sát; độ bền dẻo của máy móc; trung bình cộng của một số lớn các ĐLNN độc lập…

Trong thương mại, kinh tế khoa học xã hội nhiều phân phối không giống phân phối chuẩn,

nhưng phân phối của trung bình cộng đối với mỗi trường hợp lại có thể xem như phân phối chuẩn miễn là n đủ lớn

Ngoài ra, phân phối chuẩn còn là tiệm cận của phân phối nhị thức

Ví dụ sau minh họa một ĐLNN trong thực tế có luật phân phối chuẩn

Ví dụ:Gọi X là cân nặng của trẻ sơ sinh ở khu vực dân cư lớn Khảo sát đại lượng X sau một khoảng thời gian ta có kết quả trong hình

Với khoảng chia 0,1 kg, nối các điểm bểu diễn tần suất, ta được đường gấp khúc có điểm cao nhất tại X=3,2 kg Nếu khoảng được chia mịn hơn, đường tần suất có dạng trơn hơn, xấp xỉ một phần đường hình chuông của phân phối chuẩn với đỉnh tại X=3,2 kg, do đó có thể cho rằng trung bình cân nặng trẻ sơ sinh khu vực đó là E X ( ) 3,2  kg

3 Sự xấp xỉ phân về phân phối chuẩn

a Xấp xỉ từ phân phối nhị thức về phân phối chuẩn

Cho X  B n p ( , ) Nếu số phép thử n khá lớn và xác suất p không quá gần 0, không quá gần 1 thì X có thể xấp xỉ bởi phân phối chuẩn N ( ,  2) trong đó   np , 2 npq

Lưu ý: Trong ứng dụng, khi áp dụng phân phối nhị thức:

 Nếu n.p > 5 và n.p.(1-p) >5 thì có thể xấp xỉ về phân phối chuẩn

 Khi xấp xỉ pp nhị thức (giá trị nguyên rời rạc) bởi pp chuẩn (liên tục), ta thường điều chỉnh giá trị 0,5 như sau:

0,5 0,5 0,5 0,5