Tổng hợp công thức toán

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HÌNH – ĐẠI 10 11 12 Trường Họ và Tên Lớp Năm Học 20 20 TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN (Toán đại) PHẦN I TOÁN ĐẠI 10  ∀

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  P < 0

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu  { ∆≥ 0

PHẦN II : TOÁN ĐẠI 11

1.Công thức lượng giác

3.Công thức góc nhân đôi

 Sin(2𝛼) = 2 Sin(𝛼) Cos(𝛼) = (Sin(𝛼) + Cos(𝛼))2 - 1 =1

 Sin(3𝛼) = 3Sin (𝛼)– 4Sin3 (𝛼)

 Cos(3𝛼) = 4Cos3 (𝛼) – 3Cos(𝛼)

6.Công thức cộng

a Sin(a+b) = Sin(a).Cos(b) +Sin(b).Cos(a)

b Sin(a-b) = Sin(a).Cos(b) – Sin(b).Cos(a)

c Cos(a+b) = Cos(a).Cos(b) – Sin(a).Sin(b)

d Cos(a-b) = Cos(a).Cos(b) + Sin(a).Sin(b)

4 )

√2 𝑆𝑖𝑛(𝛼 −𝜋

4) √2 𝐶𝑜𝑠(𝛼 +𝜋

4 )

2

√22

12

𝑏𝑆𝑖𝑛 𝑏 =

𝑐𝑆𝑖𝑛 𝑐

S = 1

2aℎ𝑎 = 1

2𝑎ℎ𝑏 = 1

2𝑎ℎ𝑐 = 12𝑏𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝑎 = 1

2𝑎𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝑏 =1

2𝑎𝑏 𝑆𝑖𝑛 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐

4𝑅 = pr = √𝑝(𝑝 − 𝑎) (𝑝 − 𝑏) (𝑝 − 𝑐)

b, Phương trình tiếp tuyến

PTTT của ( C ) tại M (x0 ; y0)

 y = f ’ (x0) (x-x0) + f (x0)

c, Đạo hàm tại 1 điểm

Đạo hàm của hàm số tại x0 là F’(x0) hoặc y’(x0)

 F’(x0) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥 0 ) 𝑥−𝑥0

e, Đạo hàm tổng tích thương

(𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′+ 𝑣′

(𝑢 − 𝑣)′ = 𝑢′− 𝑣′(𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

15.Vi phân

- Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑓′(𝑥); ∆𝑥 được gọi là vi phân của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

∆x được gọi là số gia của x:

PHẦN III: TOÁN ĐẠI 12

1.Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên K

 𝑓′(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾  hàm số đồng biến trên K

 𝑓′(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾  hàm số nghịch biến trên K

 𝑓′(𝑥) = 0 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên K

Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm trên K

 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 𝑣à 𝑓′(𝑥) = 0 tại hữu hạn điểm trên K thì 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồng biến trên K

 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾 𝑣à 𝑓′(𝑥) = 0 0 tại hữu hạn điểm trên K thì 𝑦 = 𝑓(𝑥) nghịch biến trên K

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

- Giả sử hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm cấp 2 trên (𝑥0− ℎ)(𝑥0+ ℎ) [ℎ > 0]

 Nếu 𝑓′(𝑥0) = 0 𝑣à 𝑓′′(𝑥0) > 0 thì x là điểm cực tiểu của hàm số

 Nếu 𝑓′(𝑥0) = 0 𝑣à 𝑓′′(𝑥0) < 0 thì x là điểm cực đại của hàm số

 B4: Dựa vào dấu của 𝑓′′(𝑥𝑗)  tính chất cực trị của xj

4.Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số Quy tắc tìm GTLN, GTNN.

5.Đường tiệm cận ngang , đứng

- Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất trong các điều kiện sau thỏa mãn :

lim

𝑥→±∞= 𝑦0

- Điều kiện để hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có tiệm cận ngang

 TXĐ phải chứa khoảng vô cực (𝑎; +∞)(−∞; 𝑏)(−∞; +∞)

 lim

𝑥→±∞𝑦 phải là 1 số

 Các hàm số đều phải là hàm phân thức

-Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau thoản mãn: lim

7.Lũy thừa với số nguyên mũ

Cho 𝑎 ∈ 𝑅, n nguyên dương

a, Tính chất lũy thừa với số mũ thực

Nhân 2 lũy thừa cùng cơ số :  + 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+𝑛 + (𝑎𝑛)m =𝑎𝑛𝑚

+ 𝑎

𝑛

𝑎 𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 + 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛𝑚

- Nếu a > 1 thì 𝑎𝛼 > 𝑎𝛽 → 𝛼 > 𝛽

- Nếu 0 < a < 1 thì 𝑎𝛼 > 𝑎𝛽 → 𝛼 < 𝛽

b, Hàm số lũy thừa

-Cách tìm TXĐ của hàm số lũy thừa

+ Nếu 𝛼 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑡ℎì ℎà𝑚 𝑠ố 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ ∀𝑥 ∈ 𝑅 => 𝑇𝑋Đ: 𝐷 = 𝑅

d, Khảo sát hàm số lũy thừa 𝒚 = 𝒙𝜶

Nếu 𝛼 < 0 thì hàm số nghịch biến, đồ thị có tiệm cận đứng là trục tung (x = 0) và tiệm cận ngang là trục hoành (y = 0)

-Nếu 𝛼 > 0 thì hàm số trên đồng biến và đồ thị không có tiệm cận

-Mọi đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)

log𝑎(𝑏1, 𝑏2) = log𝑎𝑏1 + log𝑎𝑏2

log𝑎(𝑏1𝑏2… … 𝑏𝑛) = log𝑎𝑏1+ log𝑎𝑏2 + … … … + log𝑎𝑏𝑛

log𝑎 𝑛√𝑏 = 1

𝑛log𝑎𝑏

e, Logarit thập phân,tự nhiên

-Logarit thập phân là Logarit cơ số 10

log10𝑏 đượ𝑐 𝑣𝑖ế𝑡 𝑙à log 𝑏 -Logarit tự nhiên là Logarit cơ số e

10 Bài toán lãi kép

Số tiền thu được sau n năm là :

12 Khảo sát hàm số Logarit 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)

𝑦 = log𝑎𝑥 ; 𝑎 > 0 𝑦 = log𝑎𝑥 ; 0 < 𝑎 < 1

+, Nếu a>1 thì hàm số đồng biến trên (0; +∞)

+, Nếu 0<a<1 thì hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

b,Đặt ẩn phụ

 Dạng 1 :PT có dạng 𝐴𝑎2𝑓(𝑥)+ 𝐵𝑎𝑓(𝑥)+ 𝑐 = 0

Đặt 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑡 (𝑡 > 0)  At2 + Bt + C = 0

Lấy Logarit của cùng 1 cơ số cả 2 vế

d, Phương trình Logarit đơn giản

15.Nguyên hàm

-Định nghiã: F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝐾 -Định lí 1: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm

số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của f(x) trên K

-Định lí 2: Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là hằng số

-Nhận xét : Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, 𝐶 ∈ 𝑅 là họ

+ Biến đổi f(x)dx về g(u)du

+ Tính nguyên hàm mới 𝐼 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢

 Phương pháp 2:

Tính 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + Đặt 𝑥 = 𝜑(𝑡), tính dx theo dt

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥

1𝑠𝑖𝑛2(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥

1𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =

1

𝑎tan(𝑎𝑥 + 𝑏)+ 𝐶

16 Tích phân

1 Diện tích hình thang cong

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng

x = a , x = b (a<b) , trục hoành và đường cong y= f(x)

liên tục không âm trên đoạn [a;b]

- Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x) liên tục không âm trên đoạn [a;b]

trục hoành y = 0 và các đường thẳng x = a, x = b thì Shình thang cong là :

+, ∫ √𝑎𝑐𝑑 2 − 𝑥2𝑑𝑥 => Đặt [𝑥=a sin 𝑡 ∶ 𝑡 𝜖 (−

𝜋

2 ;𝜋

2 ) 𝑥=𝑎 cos 𝑡 ∶ 𝑡 ∈(0;𝜋)

+,∫𝑎𝑏𝑎2+𝑥1 2𝑑𝑥 => Đặt [𝑥=a tan 𝑡 ∶ 𝑡 𝜖 (−

𝜋

2 ;𝜋

2 ) 𝑥=a cot 𝑡 ∶ 𝑡 ∈(0;𝜋)

5 Phương pháp tính tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b]

thì ∫ 𝑢(𝑥)𝑣𝑎𝑏 ′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) |𝑏𝑎 − ∫ 𝑣(𝑥) 𝑢𝑎𝑏 ′(𝑥)𝑑𝑥

Hay ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 |𝑎𝑏 𝑏𝑎− ∫ 𝑣𝑑𝑢𝑎𝑏

+ Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv′dx bằng cách chọn một phần thích

hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v′(x)dx

x = b => t = 𝛽 +, Tính tích phân mới I = ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡𝛼𝛽

17 Ứng dụng của tích phân trong hình học

1 Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Cho h/s y = f(x) liên tục không âm thì trên đoạn [a;b]

2 Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng cong

Cho h/s y = f1(x), y = f2(x) liên tục trên đoạn [a;b]

và f1(x) > f2(x) ≥ 0

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi y = f1(x), y = f2(x) , x = a, x = b

 Diện hình D là : 𝑆 = ∫ [f1(x) − f2(x)𝑎𝑏 ]𝑑𝑥 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f1(x), y = f2(x) và các đường thẳng x = a, x = b

𝑆 = ∫ |f1(x) − f2(x)|𝑑𝑥𝑎𝑏 (4)

Cách khử dấu | | trong công thức (4)

+, B1: Giải pt f1(x) – f2(x) = 0 trên [a;b]

Giả sử PT có 2 nghiệm x = c, x = d thỏa mãn

+, B2: Diện tích hình phẳng là

𝑆 = ∫ |𝑓𝑎𝑏 1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥

=∫ |𝑓𝑎𝑐 1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥 + ∫ |𝑓𝑐𝑑 1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥 + ∫ |𝑓𝑑𝑏 1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)|𝑑𝑥

3 Thể tích của vật thể

+, Cắt vật thể v bởi 2 mp (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x =a, x =b

+, Cắt mp tùy ý , cắt V tại x vuông góc Ox theo thiết diện có diện tích là S(x)

+, Khi đó thể tích của vật thể v là:

𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 (5)

+,Thể tích ℎ𝑐 =1

3𝐵ℎ +,Thể tích ℎ𝑐 𝑐ụ𝑡 = ℎ

3(𝐵 + √𝐵 𝐵′+ 𝐵′)

y

x

O A’

4 Thể tích khối tròn xoay

Ta có 𝑆(𝑥) = 𝜋𝑟2 = 𝜋[𝑓(𝑥)]2

+,Thể tích khối tròn xoay được tạo thành

khi xoay xung quanh Ox là:

là số thực có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành

+, Nếu ∆ = 0 thì PT có nghiệm thực kép là :𝑥1 = 𝑥2 = − 𝑏

2𝑎 (𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏′

𝑎) +,Nếu ∆> 0 thì PT có 2 nghiệm thực pb: (𝑥1,2 = −𝑏±√∆

2𝑎 ) (𝑥1,2 = −𝑏±√∆′

𝑎 ) +, Nếu ∆< 0 thì ∆ có các căn bậc 2 là:

Các dạng toán thường gặp:

1 A,B,C thẳng hang  𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

2 A,B,C lập thành tam giác  𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗

 Đường thẳng song song hoặc trùng Oy : ax + c = 0 (b = 0)

 Đường thẳng song song hoặc trùng Ox : by + c = 0 (a = 0)

 Đường thẳng đi qua gốc tọa độ : ax + by = 0 (c = 0)

 Đường thẳng cắt Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b)

(𝑎, 𝑏 ≠ 0):𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏 = 1

 Đường thẳng đi qua điểm M(𝑋0; 𝑌0) và có hệ số góc k là : y – y0 = k(x – x0)

 Đường thẳng d qua điểm M(𝑋0; 𝑌0) và song song với đường thẳng

∆: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 có pttq là : a(x – x0) +b(y – y0) =0

 Đường thẳng d qua điểm M(𝑋0; 𝑌0) và vuông góc với đường thẳng

∆: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 có pttq là : b(x – x0) - a(y – y0) =0

II,Phương tình tiếp tuyến của đường tròn:

1 Phương trình tiếp tuyến tại M(𝑋0; 𝑌0):

V,Phương trình tiếp tuyến Elip:

1 Phương trình tiếp tuyến tại M(𝑋0; 𝑌0):

+, Q(0;90°) (A) = A’ => A’(-b;a)

+, Q(0;-90°) (A) = A’ => A’(b;-a)

4 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

- Muốn xác định giao tuyến giữa 2 mp ta tìm điểm chung của nó

- Để tìm giao điểm của đường thẳng và mp ta đưa về việc tìm giao điểm của

mp đó với 1 đường thẳng nằm trong 1 mp đã cho

- Muốn tìm tiết diện của hình chop cắt bởi mp (𝛼) ta tìm giao tuyến của mp (𝛼) với các mặt của hình chops

5 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

- Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng trong không gian

+, a // b Nếu a và b không có điểm chung

+, a ≡ b Nếu a và b có vô số điểm chungung

+, a và b có 1 điểm chung duy nhất ta nói a và b cắt nhau => 𝑎 ∩ 𝑏 = {𝑀}

- Muốn xác định giao tuyến và 2 đường thẳng ta có thể tìm điểm chung và chỉ

ra 2 đường thẳng //

6 Đường thẳng và mặt phẳng song song

- Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng d và (𝛼) +, 𝑑 ∩ (𝛼) = ∅ ta nói d // (𝛼)

+, 𝑑 ∩ (𝛼) = {M} ta nói d và (𝛼) cắt nhau tại M

+, d và (𝛼) có 2 điểm chung trở lên ta nói d nằm trong (𝛼) => d⊂ (𝛼)

+, B1: Tìm (𝛽) chứa d

+, B2: Tìm giao tuyến (𝛽) và (𝛼) kéo dài giao tuyến cắt d tại M

 M là giao điểm của d và (𝛼)

7 Phép chiếu song song

Các tính chất của phép chiếu song song:

- Phép chiếu // biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi vị trí thứ tự 3 điểm đó

- Phép chiếu // biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng

- Phép chiếu // biến 2 đường thẳng // thành 2 đường thẳng // hoặc trùng nhau

- Phép chiếu // không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng // hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng

8 Vecto trong không gian

- Phép cộng, phép trừ trong hông gian A, B, C bất kì:

9 Điều kiện đồng phẳng 3 vecto

- Trong không gian cho 3 vecto 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 ≠ 0⃗ Từ điểm O kẻ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗ , 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐

+, Nếu OA,OB,OC cùng nằm trên 1mp ta nói 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 đồng phẳng

+, Nếu OA,OB,OC không cùng nằm trên 1mp ta nói 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 không đồng phẳng

- Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của 3 vecto không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm O

10 Hai đường thẳng vuông góc

- Tích vô hướng của 2 vecto 𝑎 , 𝑏⃗ (𝑎 , 𝑏⃗ ≠ 0⃗ ) trong không gian được xác định bởi công thức:

𝑎 𝑏⃗ = |𝑎 | |𝑏⃗ |.cos( 𝑎 , 𝑏⃗ )

+, 𝑎 = 0 hoặc 𝑏⃗ = 0 => 𝑎 𝑏⃗ = 0

+, 𝑎 ⊥ 𝑏⃗ => 𝑎 𝑏⃗ = 0

11 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Nếu 1 đường thẳng ⊥ 2 đường thẳng cắt nhau cùng thuộc 1 mp thì nó ⊥ với

mp ấy

- Nếu đường thẳng ⊥ 2 cạnh của 1 tam giác thì nó cũng ⊥ với cạnh còn lại của tam giác

- Các bước xác định góc giữa đường thẳng và mp:

B1: Xác định giao điểm O của đường thẳng d và mp (𝛼)

B2: Lấy A bất kì khác điểm O Tìm hình chiếu A’ của A lên (𝛼)

B3: Kết luận góc ( 𝑑; (𝛼) )̂ = ( 𝑑; OA′ )̂ = ( 𝐴𝑂𝐴′ )̂

12 Hai mặt phẳng vuông góc

- Các bước xác định góc giữa 2 mp:

+, Cách 1:

B1: Tìm giao tuyến C của (𝛼) và (𝛽)

B2: Lấy I ∈ 𝐶 Trong (𝛼) dựng A qua I và vuông góc với C

Trong 𝛽) dựng B qua I và vuông góc với C

13 Diện tích hình chiếu 1 đa giác.

- Cho hình ℋ là đa giác nằm trong (𝛼) có diện tích S , H’ là hình chiếu của H lên (𝛽) Khi đó S’ được tính theo CT:

𝑆′ = 𝑆 cos 𝜑

𝜑 là góc giữa (𝛼) và ( 𝛽)

14 Điều kiện 2 mặt phẳng vuông góc

- Điều kiện cần và đủ để 2 mp vuông góc thì mp này chứa đường thẳng

vuông góc với 1 mp kia

- Để chứng minh (𝛼) ⊥ (𝛽) ta cm trong (𝛼) chứa đường thẳng a ⊥ (𝛽)

- Để chứng minh đường thẳng ⊥ mp ta cm đường thẳng đó ⊥ với 2 đường

thẳng cắt nhau trong 2 mp đã cho

- Nếu 2 mp ⊥ với nhau đường thẳng nào nằm trong mp này và ⊥ với giao

tuyến thì ⊥ với mp kia

- Cho 2 mp (𝛼) và (𝛽) ⊥ với nhau Từ 1 điểm thuộc (𝛼) ta dựng 1 đường

thẳng ⊥ (𝛽) thì đường thẳng này nằm trong (𝛼)

- Nếu 2 mp cắt nhau và cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mp thứ 3

B1: Tìm (𝛽) chứa A ⊥ (𝛼) ; (𝛼) ∩ (𝛽) = A

B2: Trong (𝛽) kẻ AH ⊥ A tại H

 AH ⊥ (𝛼) Vậy hình chiếu của A lên (𝛼) là H

15 Khoảng cách

- Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng :

+, Cho điểm O và đường thẳng a , trong (O;a) gọi H là hình chiếu của O lên a

 d(O;a) = OH +, d(O;a) bé nhất so với khoảng cách từ O đến 1 điểm bất kì thuộc a

+, Nếu đường thẳng vuông góc chung ∆ cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M ,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau a,b

- Để tính khoảng cách giữa 2 đường chéo ta phải tìm 2 đường thẳng vuông góc chung

 Cách tìm đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Phần III: Toán hình 12

1 Khối đa diện đều

2 Thể tích khối đa diện và tỉ số thể tích

3 Diện tích 1 số đa giác thường gặp.

- Trong (P) cho ∆ cắt d tại O và ( d; O )̂ = 𝛽 (0° < 𝛽° < 90°)

- Quay (P) xung quanh trục ∆ 1 góc 360° thì đường thẳng d tạo Nên 1 mặt nón tròn xoay

+, O là đỉnh của mặt nón

+, ∆ là trục của mặt nón

+, d là đường sinh của mặt nón

+, 2𝛽 là góc đối đỉnh của mặt nón

5 Diện tích xung quanh , toàn phần , thể tích hình nón tròn xoay

a) Diện tích xung quanh.

6 Diện tích xung quanh, toàn phần , thể tích hình trụ tròn xoay

a) Diện tích xung quanh

Ta có (P) cắt (S) tại điểm duy nhất

Khi đó: (O) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại M

hay (P) gọi là tiết diện của (S), H là tiếp điểm

- Điều kiện cần và đủ để ( P) tiếp xúc với (S) (O;r)

tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó

 Trường hợp h < r

Ta có : (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm H và bán kính 𝑅 = √𝑟2− ℎ2

+, Đặc biệt : khi h = 0 thì (P) cắt (S) theo giao tuyến

là đường tròn lớn có tâm O và bán kính r Khi đó (P)

gọi là mặt phẳng kính

9 Giao của mặt cầu với đường thẳng Tiếp tuyến của (S)

Cho (S) ( O;r) và đường thẳng ∆

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên ∆ => d = OH

1, Nếu d > r thì ∆ và (S) không có điểm chung

2, Nếu d = r thì ∆ và (S) có 1 điểm chung duy nhất H H là tiếp tuyến

3, Nếu d < r thì ∆ và (S) theo dây cung MN

Đặc biệt: Nếu d = OH = r thì ∆ cắt (S) theo 1 đường kính

M

r r’

P

+, B1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC là O

+, B2: Dựng đường thẳng ∆ qua O và ∆ vuông góc (ABC)

hay gọi là trục của đáy

( Mọi điểm nằm trên trục ∆ thì cách đều 3 đỉnh của đa giác đáy)

+,B3: Chọn 1 cạnh bên phù hợp, dựng 1 mặt phẳng trung trực của cạnh bên này ( thường dựng đường trung trực) Khi đó mặt phẳng trung trực cắt trục ∆ tại I tâm mặt cầu

11 Hệ tọa độ trong không gian

a) Tọa độ 1 điểm

- Trong không gian Oxyz cho M tùy ý => ∃ duiy nhất cặp ( x;y;z) sao cho 𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗

Khi đó cặp (x;y;z) gọi là tọa độ của điểm M

Kí hiệu : M = (x;y;z) hoặc M ( x;y;z)

 𝑛⃗ là VTPT của (𝛼) thì k𝑛⃗ cũng là VTPT của (𝛼) => (𝛼) có vô số VTPT

 (𝛼) đi qua gốc tọa độ

- Nếu 1 trong 3 hệ số A,B,C = 0

+, Giả sử A = 0 thì PT mặt phẳng (𝛼) : By + Cz + D = 0

+,VTPT của (𝛼) là 𝑛⃗ = ( 0;B;C)

𝑛⃗ ⊥ 𝑖 vì (𝑛⃗ , 𝑖 = 0)

 (𝛼) // với trục Ox hoặc (𝛼) chứa trục Ox

- Nếu 2 trong 3 hệ số A,B,C = 0

−𝐷𝐵

−𝐷𝐶