SKKN Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9 1 A MỞ ĐẦU I Lý do chọn chọn đề tài Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn[.]
Trang 1A MỞ ĐẦU
I Lý do chọn chọn đề tài
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trường Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học
Dạy học sinh học toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo, hoàn thiện nhân cách
Trong chương trình Toán THCS (Trung học cơ sở), chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu
từ những bài toán đơn giản dành cho học sinh lớp 6,7 đến việc cụ thể hóa vấn đề
về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình đại số ở lớp 9 Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS phải nắm bắt được và có kỹ năng giải phương trình một cách thành thạo Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ là một trong những kiến thức quan trọng được đề cập từ lớp 9 và kiến thức này vô cùng quan trong
vì nó được xuyên suốt đến bậc phổ thông trung học Thực tế giảng dạy cho thấy
kĩ năng giải phương trình vô tỉ của một số học sinh còn hạn chế, học sinh không
ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải phương trình này vì đây là kiến thức khó và có nhiều dạng phương trình phức tạp Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua
Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, tôi rất trăn trở về vấn đề này, làm thế nào để giúp học sinh giải thành thạo các phương trình vô tỉ, khi gặp bất
cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể giải một cách tốt
nhất Chính vì thế tôi tìm ra: “ Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy giải
phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9”
II Mục đích nghiên cứu
Nhằm giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực hành thành thạo dạng toán
“Giải phương trình vô tỉ” để nâng chất lượng tăng số học sinh khá giỏi.
III Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ và tìm ra các biện pháp nâng cao chất lượng giải phương trình vô tỉ cho học sinh khá giỏi bậc THCS
Trang 2IV Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp khảo sát thực tiễn
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Phương pháp phân tích, tổng hợp
B NỘI DUNG
I Cơ sở lý luận
Phương trình là mảng kiến thức rất quan trọng trong toán học Theo Ăng ghen “ Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng của không gian, thế giới khách quan Quan hệ bằng nhau giữa các đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản “ Quan hệ số lương” được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát và trừu tượng Chúng không những chỉ ra quan hệ logic “ bằng nhau”;
“ ” ; “ ”; “<”; “ >”; trên tập hợp số mà được hiểu như những phép toán trên
tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý: Mệnh đề, phép biến hình ”
Những kiến thức về phương trình đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và
đã được phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển Không những thế lý thuyết phương trình còn giữ vai trò quan trọng trong nhiều bộ môn khác của Toán học
Có thể nói trong chương trình toán THCS thì phương trình vô tỉ chiếm vị trí hết sức đặc biệt Vì đây là nội dung cơ bản của Toán học nhưng cũng rất phong phú và đa dạng với nhiều phương pháp khác nhau
Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận dụng được nhiều kiến thức khác nhau để đi đến cùng một đích, chính quá trình tìm được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất
Tìm ra những cách giải, phương pháp giải cho một phương trình là rất tốt Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh tìm ra cách giải đúng được bài toán theo một phương pháp nhất định Để việc tiếp thu bài của học sinh đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và tự giác của học sinh Đứng trước một phương trình vô tỉ, học sinh phải biết phương pháp làm, hướng biến đổi để đưa bài toán từ chỗ phức tạp trở thành đơn giản và tìm đến đáp số một cách nhanh nhất
II Thực trạng của việc dạy và học giải phương trình vô tỉ của trường trung học cơ sở:
Trang 31 Về phía giáo viên:
- Chương trình SGK không có một tiêt nào cho phương trình vô tỉ
- Đối với dạng toán giải phương trình vô tỉ, ngoài những kiến thức cơ bản sách giáo khoa và bài tập đề cập đến, để xây dựng một phương pháp chung cho giải phương trình nói chung và giải phương trình vô tỉ là điều rất hạn chế
2 Về phía học sinh:
- Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phương trình vô tỉ đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo
- Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau
- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học
- Các em chưa có phương pháp học tốt, thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó
* Khảo sát thực tiễn
Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải Để thực hiện đề tài này tôi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra và kết quả như sau:
Xếp loại
Tổng số
HS
Thông qua kết quả khảo sát tôi nghĩ cần phải tìm ra các biện pháp rèn kỹ năng tư duy của học sinh đồng thời phát huy tính chủ động tích cực, sáng tạo trong học tập để các em chủ động chiếm lĩnh kiến thức, khả năng suy luận để giải tốt các bài toán về phương trình vô tỉ
III Các giải pháp đã sử dụng dạy học giải phương trình vô tỉ:
1 Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách giáo viên và tài liệu tham khảo về phương trình vô tỉ:
Phương trình vô tỉ được giới thiệu ngay trong chương trình sách giáo khoa toán lớp 9, giải phương trình vô tỉ không gói gọn một hay nhiều tiết dạy mà kiến thức này được xen kẽ ở trong các phần luyện tập Tuy sách giáo khoa không viết sâu và bài tập cũng ở mức độ đơn giản nhưng sách tham khảo về giải các phương trình này lại quá phong phú và đa dạng Nhiều bài tập khó và phức tạp
Trang 42 Rỉn kỹ năng tự học tự đọc tăi liệu:
Đối với học sinh THCS việc tự học, tự tìm tăi liệu lă vô cùng quan trọng Đđy lă điều rất cần để học sinh có lượng kiến thức phong phú ngoăi kiến thức
mă người thầy cung cấp
Để rỉn luyện kĩ năng năy, trước hết phải biết xâc định rõ mục tiíu học tập của từng giai đoạn hoặc từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thđn mình
Với mỗi mục tiíu học tập, căn cứ vằ kiến thức mă giâo viín cung cấp học sinh phải tự học, tự đọc tăi liệu đểm học tốt câc mạch kiến thức đó, có như vậy với nđng cao chất lượng học của học sinh đẻ đạt được mục tiíu đỉ ra
3 Sử dụng linh hoạt câc phương phâp dạy học vận dụng để giải câc phương trình vô tỉ:
* Khâi niệm: Phương trình vô tỉ lă phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đđy tôi chỉ đề cập đến những phương trình mă ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai vă căn bậc ba)
* Phương trình vô tỉ rất phong phú vă đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ lă lăm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ
3.1 Phương phâp nđng lín luỹ thừa:
a Kiến thức vận dụng:
+ (A B) 2 = A2 2AB + B 2
+ (A B) 3 = A3 3A 2B + 3AB2 B 3
+2
2
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( )
n
n
g x
f x g x
f x g x
+ 3 A m Am3
b Ví dụ:
*Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 2x 1 x (1)
Giải
Điều kiện căn có nghĩa: 2x 1 0 (2)
2
1
x
(1) 2x 1 x 2 (3)
Với điều kiện x 2 0 x 2 (4)
(3) 2x - 1 = (x-2) 2 (5)
Trang 50 5
6
4 4 1
2
2
2
x
x
x x
x
Giải ra ta được x 1 =1 không thoả mãn (4)
x2 = 5 thoả mãn (2) và (4)
*Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1 5x 1 3x 2 (1)
Phương trình (1) có nghĩa: (2)
1 0
x
x
(1) x 1 3x 2 5x 1
Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được
2
2
1 3 2 5 1 2 (3 2)(5 1)
4(15 13 2) (2 7 ) 2
(3) 7
x
x
Ta thấy ĐK (3) và ĐK (2) mâu thuẩn với nhau
Vậy phương trình vô nghiệm
*Ví dụ 3:Giải phương trình x 1 x 2 1 (1)
Giải
Điều kiện: x 2 (2)
Viết PT (1) dưới dạng
x 1 x 2 1 (3)
Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được
x 1 x 2 1 2 x 2
2 2 x 2 x 2 1 x 2 1 x 3 thoả mãn điều kiện (2)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
*Lưu ý:
+ Nếu để nguyên PT (1) và bình phương hai vế ta phải đặt ĐK
x+1 x 2 ( và đk này luôn đúng)
Trang 6+ Nếu biến đổi (1) thành x 2 x 1 1 rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK x 1 1 x 0
*Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 x 1 2 3 7 x (1)
Giải
3 3 3
3
3 3
2 ) 7 1 (
2 2 7 1 )
1
(
x x
x x
Giải (1) ( thỏa mản ĐK )
3 ( 1)(7 ) 0
1 7
x x
Vậy nghiệm của phương trình là x =-1 ; x = 7
* Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 1 3 5x
Giải: Lập phương hai vế ta có:
2x 3 3 x2 1( 3 x 1 3 x 1) 5x
3
4
1 5
5 ( 1)
0 0
x x
x x
Vậy: 5 5
2 2
0; ;
x
c Chú ý:
- Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương
- Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn
d Bài tập tương tự:
Giải các pt sử dụng phép bình phương
1/ x 2 - 4x =8 x 1 (x = 4+2 2)
Trang 72/ 2 72 + = x (x = 2)
x
x
x
3/ x 1- x 2= x 5- x 10 (x= - 1)
Sử dụng phép lập phương:
1/3 x 1+3 x 2=3 2x 3 (x = 4; 2)
3/3 x 1+3 3x 1=3 x 1 (x=- 1)
27 28
3.2 Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
a Kiến thức vận dụng :
+) f(x) 2 f(x) f (x) nếu f(x) 0
f (x) nếu f(x) 0
+) Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )
b Ví dụ:
*Ví dụ 6: Giải pt: x2 4x 4 x 8 (1)
Giải:
8 )
2
(x 2 x
+
2
Nếu x 2 thì x 2 x 8 x 5 ( thỏa mãn ĐK đang xét)
Nếu < thì x 2 2 x x 8 0 6 => vô nghiệm
Kết luận : x=5 là nghiệm của pt
*Ví dụ 7 :Giải phương trình : x 2 4x x 2 + x 7 6 x 2 1 (1)
Giải:
Điều kiện : x-2 0hay x 2 (2)
1 3 2 2
2
1 ) 3 2 ( ) 2 2
x x
x x
Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a b ab , dấu “=” xảy ra khi a.b 0.
Khi đó x 2 2 3 x 2 x 2 2 3 x 2 1 (3)
Trang 8Dấu “=”xảy ra khi: x 2 23 x 2 0 (4)
Giải (4) ta được: 6 x 11Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình (1)là : 6 x 11
c Chú ý :
+ Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức
+ Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên
d Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1) x2 2x 1 x2 2x 1 2 x 1
2) x x2 1 x x2 1 2 x 2 3) x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2
2
5
x
3.3 Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:
f x( ) g( )x f x( ) g( )x f x( )g x( )
* Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
2x2 3x 5 2x2 3x 5 3x
Giải Xét phương trình 2x2 3x 5 2x2 3x 5 3x (1)
Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Phương trình(1) có nghiệm khi và chỉ khi x > 0
(2x2 3x 5) –(2x2 3x 5) = 6x hay
( 2x2 3x 5 2x2 3x 5) ( 2x2 3x 5 2x2 3x 5) = 6x
Hay: 3x( 2x2 3x 5 2x2 3x 5) = 6x.
Ta có ( 2x2 3x 5 2x2 3x 5) = 2 (2)
Cộng (1) và (2) vế với vế ta được 2 2x2 3x 5 = 3 2x
Để phương trình có nghiệm thì cần phải có điều kiện x 2
3
Tiếp tục bình phương hai vế ta có : 4 (2x2 3x 5) = 9x2 12x 4.
Hay x 2 = 16 suy ra x = 4 ( thỏa mãn ĐK) ; x 4 ( bị loại)
Trang 9Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4
Hướng dẫn ( 4x 13 x 1)( 4x 13 x 1) = 3x + 12
Đáp số x 1
* Ví dụ 9: Giải phương trình: 3(2 x 2) 2 x x 6
Giải:
Phương trình tương đương: 3 x 2 x 6 2x 6 (1) (Đkxđ x 2)
Nhân biểu thức liên hợp của vế trái vào hai vế ta có:
Thử x=3 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn, vậy x=3 là nghiệm phải tìm Giải tiếp với x≠ 3, suy ra
(2)
3 x 2 x 6 4
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
Nghiệm 11 3 5 bị loại vì không thỏa mãn phương trình đã cho Vậy
2
phương trình có nghiệm là x = 3
5
x
x x
3
x 4x 1 3x 2 x 3
Hay( 4x 1 3x 2)( 4x 1 3x 2) x 3 (2)
Thay (1) vào (2) ta có :
3
5
x
Từ (1) và (3) : 2 4 1 28 (ĐK -28)
5
x
x
x
Trang 10Từ (1) và (3)
Ta có 2 3 2 22 (ĐK )
56
x
2) Giải các phương trình
x 1 4x 13 3x 12 (1) Đáp số x = 1
3)3 x 45 3 x 16 1 giải tương Đáp số x = -109 ; x = 80
3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ:
a Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:
*Ví dụ 10: Giải phương trình x2 5x 13 4 x2 5x 9 (1)
Giải :
Ta có : > 0
4
11 2
5 9
5
x
Đặt: x2 5x 9 y 0 x2 5x 9 y2 (2)
Khi đó (1) y 2 + 4 = 4y
y 2 + 4 - 4y = 0
( y-2)
Thay vào (2) ta có
0 5 5
4 5 5 2
2
2
x x
x x y
2
5 5 2
5 5
x x
Vậy nghiệm của phương trình là: 5 5; 5 5
*Ví dụ 11: Giải phương trình: 2 (1)
4
1 2
1
x
Giải:
Điều kiện: 1 (2)
4
x
Đặt: x1 y 0
Trang 11
4
1
2
Khi đó (1) trở thành ) 2
2
1 ( 4
y
0 7 4
4 2
2 2 1 2
2 2 1 2
y y
Trường hợp < 0 loại
2
1 2
y
x 2 2, thoả mãn điều kiện (2)
Vậy nghiệm của phương trình là : x 2 2
*Ví dụ 12: Giải phương trình: 3 x 1 3 x 3 3 x 3 0 (1)
Giải:
Đặt: x 2 y
(1) 3 y3 1 3 y3 1 y
Lập phương hai vế ta có : y3 y3 y6 1
3 6
0
y y
y
(+) Nếu: y 0 3 x 2 0 x 2
(+) Nếu y2 3 y6 1 y6 y6 1, vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là : x = -2
b Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
* a Dạng: axb r(uxv) dxe (1)
Với a, u, r 0
Đặt u.yv axb
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng :
0 ) 1 2 )(
(xy ruyrux ur
u
* Ví dụ 13: Giải phương trình: 2x 15 32x2 32x 20 (1)
Giải:
Điều kiện:
2
15 0
15
x
Trang 12Khi đó: (1) 2x 15 2 ( 4x 2 ) 2 28 (2)
Đặt: 4y 2 2x 15 (3)
Điều kiện:
2
1 0
2
y
Khi đó (2) trở thành (4x + 2) 2 = 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có : (4y + 2) 2 = 2x + 15 (5)
Từ (4) và (5) có hệ:
) 5 ( 15 2 ) 2 4 (
) 4 ( 15 2 ) 2 4 (
2
2
x y
y x
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
8 11 2
1
x
x
8
11
x
+) nếu 8x + 8y + 9 = 0
, Thay vào 9 (4) ta được:
9 8
8
64x 2 + 72x-35 =0
Vậy nghiệm của phương trình là :
2
1
1
x
16
221 9
2
x
* Dạng:
(1)
e dx v ux r b
ax 3
Đặt uyv 3 axb
(1) đưa được về dạng:u(yv)(rP2 rPQrQ2 1 ) 0
16
16
x