Đạo hàm và phương pháp giải bài tập

Giải phương trỡnh trờn ta tỡm được x0 ⇒ y0.. Đường phõn giỏc thứ nhất của mặt phẳng tọa độ cú phương trỡnh là y = x ii.. Đường phõn giỏc thứ hai của mặt phẳng tọa độ cú phương trỡnh là y

CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM

Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) y x = 3 b) y = 3 x2 + 1 c) y = x + 1 d) 1

1

y x

=

−

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1) = 3 − 2 + − 5

x x

2

y 3) = −2 42 + 53 − 64

7

y

4) y = 5 x2( 3 x − 1 ) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6)y = ( x2 + 5 )3 7)

) 3 5 )(

1

y = + − 8) y = x ( 2 x − 1 )( 3 x + 2 ) 9)y = ( x + 1 )( x + 2 )2( x + 3 )3

10) = + ( − )

x 11)y = 2 x3 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

13)y = 3 x4 + x2 14) y = ( 2 x2+ 1 ) ( x − 2 3 ) ( x + 7 ) 15)

2

2

x y x

−

= +

y

=

+ − 17)

3 2

2 1

y

x x

−

= + + 18)

=

−

2 2

3

y

x x

19)y = x2 + 6 x + 7 20)y = x − 1 + x + 2 21)y = ( x + 1 ) x2 + x + 1

22)

1 2

3 2

2

+

+

−

=

x

x x

1 x

+

=

2

y = x + x + x − x 26) y = x (x2- x +1) 7)

3 2

2

x

x

−

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4)

2

) cot

1

y = + 5)y = cos x sin2 x 6) 1 3

3

y = x − x 7) 2

sin4 x

y = 8)

x x

x x

y

cos sin

cos sin

−

+

4

π

10) y = sin (cos3 )2 x 11) y cot 1 x = 3 + 2 12) y = 3 sin2 x sin 3 x

13) y = 2 tan x + 2 14) y cosx3 4 cot x

3sin x 3

= − + 15) y = sin(2sin ) x 16)

4

) 2 sin 1 (

1

x

y

+

= 18) y xsin x

1 tan x

= + 19)

sin x x

y

x sin x

= + 20) y = 1 2 tan x +

Bài 4: Cho hai hàm số : f x ( ) sin = 4 x + cos4 x và 1

4

Chứng minh rằng: f x '( ) = g x '( ), ( ∀ ∈ x R )

Bài 5: Cho y = x3− 3 x2 + 2 Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3

2

x

x

<



 >

 b) 1 − 2 < < + x 1 2

Bài 6: Giải phương trỡnh : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3 sin x − cos x + x

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 7: Cho hàm số f(x) = 1 x Tớnh : + f(3) (x 3)f '(3) + −

Bài 8: a) Cho hàm số:

2

2 2

2 + +

y Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

b) Cho hàm số 3

4

x y x

−

= + Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y = 2x x − 2 Chứng minh rằng: y y" 1 03 + =

Bài 9: Chứng minh rằng f x '( ) 0 > ∀ ∈ x R , biết:

3

f x = x − + x x − x + x − b/ f x ( ) 2 = x + sin x

Bài 10: Tớnh vi phõn cỏc hàm số sau:

a) y = x3 − 2 x + 1 b)

2 sin4 x

y = c) y = x2 + 6 x + 7 d) y = cos x sin2 x e) y = ( 1 + cot x )2

Bài 11: Tỡm đạo hàm cấp hai của cỏc hàm số sau:

2

x

y

x

+

=

− 2) 2

2 1

2

x y

+

= + − 3) 2 1

x y

x

=

− 4) y x x = 2+ 1 5) y x = 2sin x 6) y = − (1 x2) cos x

7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

6 ''

2

y

x

=

3 2

''

2

y

x x

=

+ − 3)

2 3 2

''

1

x x y

x

+

=

−

4)

3

''

y

+

=

+ + 5) y '' = − ( 2 x2) sin x + 4 cos x x 6) y '' 4 sin = x x + ( x2 − 3) cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 12: Tớnh đạo hàm cấp n của cỏc hàm số sau:

1

y

x

=

ĐS: a) ( ) ( )

! 1

1

n n

n

n y

= −

n

y =  x n + π 

Bài 13: Tỡm đạo hàm cỏc hàm số sau:

a) y=(x2 −3x+3)(x2 +2x−1) ; b) y=(x2 −3x+2)(x4 +x2 −1) c) =( +1)( 1 −1)

x x

d)

2

1

2

2

+

+

=

x

x

y e)y =(1−2x2)5 f) 3

1

1 2













−

+

=

x

x

) 5 2 (

1

+

−

=

x x

y k) y = x3 −x2 +5

l) y=sin3(2x3 −1) m) y=sin 2+x2 n) y =2sin24x−3cos35x o) y=(2+sin22x)3

p) y=sin2(cos2x) g) 2 2

tan 3

x

y= r) tan cot

Bài 14 : Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3 Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)

VẤN ĐỀ 2: Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)

Lí THUYẾT :

Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y 0 ) ∈ ( C )

Phương phỏp : Xỏc định x0 , y0 , f’( x0 ) và sử dụng cụng thức y = f’( x 0 ).(x – x 0 ) + y 0

Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( xA ; y A )

Phương phỏp :

B1 :Gọi k là hệ số gúc của tiếp tuyến

⇒phương trỡnh tiếp tuyến cú dạng : y = k.(x – xA) + yA = g(x)

B2 : Dựng điều kiện tiếp xỳc : ( ) ( )

( ) '

f x g x

f x k

=



( nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến )

Giải hệ phương trỡnh trờn ta tỡm được x ⇒ k ⇒ PTTT

Dạng 3 : Tiếp tuyến cú hệ số gúc k cho trước

( song song hoặc vuụng gúc đường thẳng cho trước )

Phương phỏp : Gọi (x 0 , y 0 ) là tiếp điểm

⇒ f’(x 0 ) = k với x0 là hoành độ tiếp điểm

Giải phương trỡnh trờn ta tỡm được x0 ⇒ y0 ⇒PTTT y = k.(x – x 0 ) + y 0

Chỳ ý :

i Đường phõn giỏc thứ nhất của mặt phẳng tọa độ cú phương trỡnh là y = x

ii Đường phõn giỏc thứ hai của mặt phẳng tọa độ cú phương trỡnh là y = -x

iii Hai đường thẳng song song nhau thỡ cú hệ số gúc bằng nhau

iv Hai đường thẳng vuụng gúc nhau thỡ tớch hai hệ số gúc bằng -1

Tức là nếu đường thẳng ∆ cú hệ số gúc a thỡ :

+ Đường thẳng d song song với ∆ ⇒ d cú hệ số gúc k = a

+ Đường thẳng d vuụng gúc với ∆ ⇒ d cú hệ số gúc k = 1

a

−

Baứi 1: Cho haứm soỏ (C): y x = − 3 3x 2 Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ (C) taùi ủieồm I(1, –2)

Bài 2: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong y = x3 :

a) Tại điểm (-1 ;-1) ;

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Bài 3: Cho hàm số y f(x) 3x 1

1 x

+

− (C) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C)

a) Tại điểm A(2; –7); b) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

c) Tại giao điểm của (C) với trục tung; d) Biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100

2

e) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuụng gúc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x = −3 5 x2 + 2 Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến đó:

a) song song với đường thẳng y = − + 3 x 1; b) vuông góc với đường thẳng 1

4 7

y = x −

c) đi qua điểm A(0;2)

Bài 5 Cho đường cong (C): 2

2

x y x

+

=

− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) tại điểm có hoành độ bằng 1; b) tại điểm có tung độ bằng 1

3; c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là − 4

Bài 6 Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a.Tại điểm có hoành độ 1

2

x= ; b Tại điểm có tung độ 1

2

y= − ; c Biết hệ số góc của tiếp tuyến k= −3

1

x y x

+

=

− (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a Tại điểm có tung độ 1

2

y= ; b Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )1

9

2

d y= − x+ ;

c Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )2

1

8

d y= x−

1

x y x

−

= + (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a Tại giao điểm của (C) và trục hoành b Tại giao điểm của (C) và trục tung

c Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )1

:

d y= − x+

Bài 10: Cho hàm số

2

2

y x

+

=

− (C)

a Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1 b Viết PTTT của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x = −3 5 x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) :

a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1

7x – 4.