Tìm hiểu về thứ tứ và ứng dụng

Tiểu luận: tìm hiểu về thứ tự và ứng dụng. Các phần tử đặc biệt của tập được sắp thứ tự, 1. Phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, 2. Phần tử chặn trên, chặn dưới, 3. Phần tử cận trên, cận dưới, 4. Phần tử tối đại, tối tiểu

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC

MÔN HỌC: CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG TIN GiẢNG VIÊN: PGS.TS TRƯƠNG CÔNG TUẤN

TÌM HIỂU VỀ QUAN HỆ THỨ TỰ

VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Bài tập tiểu luận nhóm 2

1 TRƯƠNG MINH HOÀ

2 VÕ THỊ THU HÀ

3 PHẠM THỊ NGỌC HÀ

4 NGUYỄN THỊ HỒNG

5 NGUYỄN THỊ DIỆU HƯƠNG

6 NGUYỄN THỊ NHÀN

7 HỒ THỊ NỮ

Quan hệ thứ tự

Ví dụ: Xét quan hệ chia hết “|” trên N* = N \ {0}:

∀ a, b ∈ N*, a | b ⇔ a là ước số của b

Quan hệ “|” là quan hệ thứ tự trên N* không?

Chứng minh: Ta kiểm tra 3 tính chất của quan hệ thứ tự

+) Phản xạ:

∀ a ∈ N*, a là ước số của a nên a | a Vậy quan hệ | có tính phản xạ

+) Phản đối xứng:

∀ a, b ∈ N*, giả sử a | b và b | a Lúc đó a = b

+) Bắc cầu:

∀ a, b, c ∈ N*, giả sử a | b và b | c Lúc đó a | c

Vậy | là quan hệ thứ tự trên N*

Ví dụ: Xét quan hệ bao hàm ⊆ trên P(X) Quan hệ ⊆ là quan

hệ thứ tự trên P(X)

Chứng minh: Ta kiểm tra 3 tính chất của quan hệ thứ tự

+) Phản xạ:

∀ A ∈ P(X), A ⊆ A

+) Phản đối xứng:

∀ A, B ∈ P(X), giả sử A ⊆ B và B ⊆ A Lúc đó A = B

+) Bắc cầu:

∀ A, B, C ∈ P(X), giả sử A ⊆ B và B ⊆ C Lúc đó A ⊆ C Vậy ⊆ là quan hệ thứ tự trên P(X)

Các phần tử đặc biệt của tập được sắp thứ tự

Cho tập A khác rỗng, X là tập con của A.

Phần tử a ∈ X là phần tử nhỏ nhất của X nếu ∀x ∈ X, a ≤ x

Phần tử a ∈ X là phần tử lớn nhất của X nếu ∀ x ∈ X, x ≤ a

Cho tập A khác rỗng, X là tập con của A.

Phần tử c ∈ A là phần tử chặn trên của X nếu ∀x ∈ X, x ≤ c

Phần tử c ∈ A là phần tử chặn dưới của X nếu ∀ x ∈ X, c ≤ x

Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường

Pt nhỏ nhất của X là 2, pt lớn nhất là 4

Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …

Pt chặn dưới: 0, 1, 2

3. Phần tử cận trên, cận dưới

Cho tập A khác rỗng, X là tập con của A.

Phần tử cận trên của X là phần tử nhỏ nhất của tập các chặn trên của X Ký hiệu sup X

Phần tử cận dưới của X là phần tử lớn nhất của tập các chặn dưới của X Ký hiệu inf X

Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường

Pt nhỏ nhất của X là 2, pt lớn nhất là 4

Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …Pt chặn dưới: 0, 1, 2

Sup X = 4, inf X = 2

Vi du: Trên tập số thực R, xét X = (1,2) ⊆ R

Pt nhỏ nhất của X: không có, pt lớn nhất: không có

Pt chặn chặn trên của X: gồm các pt ≥ 2

Pt chặn chặn dưới của X: gồm các pt ≤ 1

Sup X = 2, inf X = 1

Ví dụ: Trên tập số thực R, xét X = (1,2] ⊆ R

Pt nhỏ nhất của X: không có, pt lớn nhất: 2

Pt chặn chặn trên xủa X: gồm các pt ≥ 2

Pt chặn chặn dưới xủa X: gồm các pt ≤ 1 Sup X = 2, inf X = 1

Trang 9

4. Phần tử tối đại, tối tiểu

Cho tập A khác rỗng, X là tập con của A

Phần tử m ∈ X là phần tử tối đại của tập X nếu:

∀ x ∈ X, nếu m ≤ x thì m = x

Phần tử m ∈ X là phần tử tối tiểu của tập X nếu:

∀ x ∈ X, nếu x ≤ m thì x = m

Ví dụ: Trên N, X = {2,3,4}, quan hệ ≤ thông thường Pt nhỏ nhất của X là 2, pt lớn nhất là 4

Pt chặn trên của X là: 4, 5, 6, …Pt chặn dưới: 0, 1, 2

Sup X = 4, inf X = 2

Phần tử tối đại của X: 4, Phần tử tối tiểu X: 2

Ví dụ: Trên tập số thực R, xét X = (1,2) ⊆ R

Pt nhỏ nhất của X: không có, pt lớn nhất: không có

Pt chặn chặn trên xủa X: gồm các pt ≥ 2

Pt chặn chặn dưới xủa X: gồm các pt ≤ 1

Sup X = 2, inf X = 1

Pt tối đại: không có, Pt

tối tiểu : không có,

Ví dụ:

Trên N*, xét tập X = {2,3,5,6,9} theo quan hệ chia hết “|” Tìm các pt đặc biệt của X:

Pt nhỏ nhất của X: không có, Pt lớn nhất: không có

Pt chặn trên của X: bội số của BCNN {2,3,5,6,9} = 90, 180,…

Pt chặn dưới : 1

Sup X = 90, inf X = 1 Tối

đại: 5, 6, 9

Tối tiểu: 2, 3, 5

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 PGS.TS TRƯƠNG CÔNG TUẤN CƠ SỞ TOÁN CHO TIN HỌC

2 PHẠM PHÚC THỊNH GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC