TL cơ sở TOÁN NGUYỄN THỊ NHÀN

Tiểu luận: Tìm hiểu về logic mệnh đề: Các phép toán trên mệnh đề, phép hội, phép tuyển, phép phủ định, phép tuyển loại, phép kéo theo, phép tương đương, công thức logic, công thức hằng đúng, tương đương logic, suy luận toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HUẾ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TIỂU LUẬN MÔN HỌC:

CƠ SỞ TOÁN CHO TIN HỌC

TÊN TIỂU LUẬN:

TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ

GVHD: PGS.TS Trương Công Tuấn HVTH: Nguyễn Thị Nhàn

Lớp: Cao học KHMT Gia Lai 2020

Gia Lai, tháng 1/2022

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 2

B NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ 3

I Mệnh đề 3

II Các phép toán logic trên mệnh đề 4

1 Phép hội 4

2 Phép tuyển 4

3 Phép phủ định 4

4 Phép tuyển loại 4

5 Phép kéo theo 5

6 Phép tương đương 5

III Công thức logic 5

IV CÔNG THỨC HẰNG ĐÚNG 6

V TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC 6

VI SUY LUẬN TOÁN HỌC 7

VII MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG 7

VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 8

1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 8

2 Phương pháp chứng minh dùng phản ví dụ 8

3 Phương pháp chứng minh phản đảo 8

4 Phương pháp chứng minh phản chứng 9

5 Phương pháp chứng minh xét tất cả các trường hợp 9

6 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học 9

CHƯƠNG 2 CHỨNG MINH CÁC QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG 10

C KẾT LUẬN 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 13

A MỞ ĐẦU

Sống trong xã hội, mỗi người không tồn tại một cách cô lập mà luôn có mối quan hệ với nhau và quan hệ với tự nhiên Cùng với ngôn ngữ, Lôgíc giúp con người hiểu biết nhau một cách chính xác và nhận thức tự nhiên đúng đắn hơn

Trải qua quá trình lao động, tư duy lôgíc của con người được hình thành trước khi có khoa học về lôgíc Tuy nhiên tư duy lôgíc được hình thành bằng cách như vậy là tư duy lôgíc tự phát Tư duy lôgíc tự phát gây trở ngại cho việc nhận thức khoa học, nó dễ mắc phải sai lầm trong quá trình trao đổi tư tưởng với nhau, nhất là

những vấn đề phức tạp Lôgíc học giúp chúng ta chuyển lối tư duy lôgíc tự

phát thành tư duy lôgíc tự giác

Không phải không học logic thì người ta đều tư duy thiếu chính xác, vì tư duy đúng đắn có thể được hình thành bằng kinh nghiệm, qua quá trình học tập, giao tiếp, ứng xử… Nhưng đó chưa phải là thứ tư duy logic mang tính tự giác Và như vậy, ta cũng rất dễ tư duy sai lầm do ngộ biện Chẳng hạn: Có người lập luận rằng:

“Người tốt thì hay giúp người nghèo Ông Ba hay giúp người nghèo Vậy ông Ba là người tốt” mà không hiểu là mình đã lập luận sai Logic sẽ giúp ta nâng cao trình

độ tư duy để có được tư duy khoa học một cách tự giác Nhờ đó, ta có thể chủ động tránh được những sai lầm trong tư duy của bản thân, như ở ví dụ trên đây

Logic cũng là công cụ hữu hiệu để, khi cần thiết, ta có thể tranh luận, phản bác một cách thuyết phục trước những lập luận mâu thuẫn, ngụy biện, thiếu căn cứ của người khác

Sau khi học xong môn học Cơ sở toán cho tin học của PGS.TS Trương Công

Tuấn Em chọn nội dung Tìm hiểu về logic mệnh đề để làm tiểu luận cho môn

học này

Nội dung của tiểu luận được thể hiện qua 2 chương bao gồm:

Chương 1: Tìm hiểu về logic mệnh đề

Chương 2: Chứng minh các quy tắc suy luận thường dùng

Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tiểu luận này chắc chắn sẽ không tránh khỏi

những thiếu sót nhất định Kính mong được sự thông cảm và góp ý của PGS.TS

Trương Công Tuấn để hướng nghiên cứu sắp tới của em sẽ hoàn thiện và đạt hiệu

quả hơn Em xin cảm ơn!

Học viên thực hiện Nguyễn Thị Nhàn

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ

I Mệnh đề

Trong tiếng Việt có những câu – thường là câu tường thuật – mô tả sự vật và hiện tượng Có những câu mô tả đúng, cũng có những câu mô tả sai sự vật và hiện tượng Những câu như thế, cả câu đúng và câu sai, được gọi là mệnh đề

Ví dụ, các câu sau:

(a) Nam là sinh viên;

(b) Khí hậu trái đất đang nóng dần lên;

(c) Bạn có thể thất vọng khi bị thất bại nhưng bạn sẽ không là gì cả nếu không

nỗ lực hết mình (Beverly Silis);

(d) Nếu người vợ đẹp mà không phải là thiên thần thì người chồng vô cùng bất hạnh (J.J.Rousseau);

là các mệnh đề

Không phải câu nào cũng hoặc đúng hoặc sai Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán không mô tả cái gì nên không đúng mà cũng không sai Có cả những câu tường thuật không thể xác định là đúng hay sai Chẳng hạn, câu “Tôi nói dối” không thể là đúng, nhưng cũng không sai Những câu không đúng, không sai như thế không phải là mệnh đề

Các mệnh đề không thể tách ra thành các mệnh đề đơn giản hơn gọi là mệnh đề đơn Các mệnh đề có thể tách thành các mệnh đề đơn giản hơn gọi là mệnh đề phức Nói cách khác,mệnh đề phức được tạo thành từ các mệnh đề đơn Các mệnh

đề (a) và (b) trên đây là mệnh đề đơn, còn (c), (d) là các mệnh đề phức

Bởi vậy, lớp các mệnh đề được chia thành 2 lớp con: một lớp gồm tất cả mệnh

đề đúng và một lớp gồm tất cả mệnh đề sai Mỗi mệnh đề thuộc 1 trong 2 lớp đó sẽ

nhận một giá trị chân lý đúng (kí hiệu là 1) hoặc sai (kí hiệu là 0)

Chú ý:

Logic 2-trị: Mỗi mệnh đề chỉ nhận 1 trong 2 giá trị: 1 (đúng), 0 (sai)

Logic 3 trị: Mỗi mệnh đề có thể nhận 1 trong 3 giá trị: 1 (đúng), 0 (sai), ½ (chưa biết)

Logic mờ: giá trị chân lý của mệnh đề [ ]

Ta ký hiệu các mệnh đề p, q, r, sau này ta còn gọi là các biến mệnh đề hay mệnh đề sơ cấp

Các mệnh đề phức tạp được tạo ra từ các mệnh đề sơ cấp, việc này được thực hiện nhờ các phép toán mệnh đề: tuyển (˅), hội (˄), phủ định (‒ hoặc ¬), kéo theo (=>), tương đương (⇔)

Tập các mệnh đề cùng với các phép toán này được gọi là đại số mệnh đề

II Các phép toán logic trên mệnh đề

1 Phép hội

Hội của 2 mệnh đề p, q là một mệnh đề ký hiệu p ˄ q, mệnh đề p ˄ q đúng khi

cả p và q đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại Bảng chân trị của mệnh đề

p ˄ q là:

p q p ˄ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

2 Phép tuyển

Tuyển của 2 mệnh đề p, q là một mệnh đề ký hiệu p ˅ q, mệnh đề này chỉ sai khi cả p và q đều sai và đúng trong các trường hợp khác

Bảng chân trị của phép tuyển 2 mệnh đề:

p q p ˅ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

3 Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề p, ký hiệu ¬ p hoặc ̅ là mệnh đề có bảng chân trị:

p ¬ q

1 0

0 1

4 Phép tuyển loại(⨁)

Phép tuyển loại của hai mệnh đề p và q, ký hiệu p ⨁ q, là một mệnh đề có bảng chân trị:

p q p ⨁

q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

5 Phép kéo theo

Cho p, q là hai mệnh đề Mệnh đề p  q, đọc là “p kéo theo q” là mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai và đúng trong các trường hợp còn lại

Bảng chân trị của mệnh đề p  q

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Chú ý:

Trong một số trường hợp, mệnh đề p  q được sử dụng nhưng không quan tâm đến giá trị chân lý của các mệnh đề p, q một cách đầy đủ, chẳng hạn như các mệnh

đề sau:

1 Nếu 1 + 1 = 2 thì Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam

2 Nếu 1 + 1 2 thì Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam

3 Nếu 1 + 1 2 thì thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam

Rõ ràng cả 3 mệnh đề trên đều nhận giá trị chân lý là đúng, nhưng mối liên hệ giữa giả thiết p và kết luận q là không ăn khớp với nhau Do đó để đảm bảo tính logic và chặt chẽ của một mệnh đề, ta phải sử dụng mối quan hệ đó sao cho giữa giả thiết p

và kết luận q phải có mối quan hệ xác định

6 Phép tương đương

Cho p, q là hai mệnh đề Mệnh đề “p tương đương q”, ký hiệu p ⇔ q, là mệnh đề đúng khi cả p, q cùng đúng hoặc cùng sai (nghĩa là p và q cùng chân trị)

p q p ⇔ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

III Công thức logic

Công thức logic (hoặc đơn giản là công thức) được định nghĩa đệ quy như sau: (1) Mỗi mệnh đề sơ cấp p, q, r,… là công thức

(2) Nếu P, Q là các công thức thì: ¬Q, P˅Q, P˄Q, PQ, P⇔Q, P⨁Q là các công thức

(3) Công thức chỉ được thành lập bằng cách áp dụng một số hữu hạn các Quy tắc từ (1)-(2)

IV CÔNG THỨC HẰNG ĐÚNG

Công thức A được gọi là công thức hằng đúng (totologic) nếu A nhận

giá trị 1 với mọi giá trị chân lý có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A

Ví dụ: p ˅ ¬p là công thức hằng đúng

p ¬p p ˅

¬p

0 1 1

1 0 1

V TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC

Hai công thức A, B được gọi là tương đương logic, ký hiệu A ≡ B, nếu A ⇔ B là công thức hằng đúng

Các tương đương logic cơ bản:

1) p ˄ 1 ≡ p p ˅ 0 ≡ p (luật đồng nhất)

p ˄ 0 ≡ 0 p ˅ 1 ≡ 1 (luật nuốt)

2) p ˄ p ≡ p p ˅ p ≡ p

3) ¬(¬p) ≡ p (luật phủ định kép)

4) p˄q ≡ q˄p p˅q ≡ q˅ p

5) p˄ (q˅r) ≡ (p˄q) ˅ (p˄r ) (luật phân phối)

p˅(q˄r) ≡ (p˅q) ˄ (p˅r )

6) p˄ (q˄r) ≡ (p˄q) ˄r (luật kết hợp)

p˅(q˅r) ≡ (p˅q) ˅ r

7) ̅̅̅̅̅ ≡ ̅ ̅ (luật De Morgan)

̅̅̅̅̅ ̅˄ ̅

8) Một số tương đương logic khác:

p ˄ ̅ ≡ 0 p ˅ ̅ ≡1

(pq) ≡( ̅ ̅ )

(pq) ≡( ̅ ˅q)

Chú ý: Việc chứng minh các tương đương logic ở trên có thể lập bảng chân trị

hoặc lập luận qua các giá trị chân lý

VI SUY LUẬN TOÁN HỌC

Suy luận diễn dịch (hoặc suy diễn): Suy luận rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có Các mệnh đề đã có thường được gọi là các tiền đề và mệnh

đề mới rút ra được gọi là hệ quả logic

Định nghĩa (Hệ quả logic) Giả sử A1, A2,…,An; B là các công thức Lúc đó:

NếuA1˄ A2˄ …˄ AnB là công thức hằng đúng thì ta gọi B là hệ quả logic của

A1, A2, …,An và ký hiệu:

VII MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG

1)

(Quy tắc cộng)

2) (Quy tắc rút gọn)

3)  (Quy tắc kết luận – Modus ponens)

4)  ̅

̅ (Quy tắc kế luận ngược – Modus tollens)

5)  

 (Quy tắc tam đoạn luận)

6)  

⇔ (Quy tắc đưa tương đương vào)

7) ̅ (Quy tắc tách tuyển)

8)  

 (Quy tắc tách tuyển giả thiết)

9)  

 (Quy tắc hội kết luận)

10) ̅ ̅ (Quy tắc phản đảo)

11) ̅ ̅ ̅ (Quy tắc phản chứng)

Chú ý: Để chứng minh quy tắc:

Ta sẽ chứng minh quy tắc AB là hằng đúng mà không cần lập bảng chân trị

Ta chỉ cần chứng minh nếu A đúng thì B phải đúng

VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

Để chứng minh mệnh đề B ta chỉ rõ B là hệ quả logic của các tiền đề đúng A1,

A2,…,An

Ví dụ: Chứng minh mệnh đề: “Nếu n là số lẻ thì n2 cũng là số lẻ”

Giả sử n là số lẻ Khi đó n có dạng: n = 2k + 1 Suy ra:

n2 = 4k2+4k+1 = 2(2k2+2k)+1

 n2 là số lẻ

2 Phương pháp chứng minh dùng phản ví dụ

Giả sử cần chứng minh mệnh đề p sai Nếu ta tìm được mệnh đề q là trường hợp đặc biệt của mệnh đề p mà q là sai Lúc đó ̅ đúng và p  q đúng

Do đó theo quy tắc kết luận ngược  ̅

̅ thì ̅ đúng, từ đó p sai

Như vậy để chứng minh p sai ta chỉ cần tìm ra một trường hợp đặc biệt của p sai, tức là lấy phản ví dụ

Ví dụ:Cho m,n là các sốtự nhiên tùy ý ≠ 0 Chứng minh m+n <mn là sai

Ta chỉ cần lấy m=1, n=1thì 1+1<1 là sai

3 Phương pháp chứng minh phản đảo

Giả sử cần chứng minh p  q Nếu ta chứng minh được ̅  ̅ thì theo quy tắc phản đảo ̅ ̅ ta có p  q đúng

Ví dụ: Chứng minh nếu a là số hữu tỉ khác 0 và b là số vô tỷ thì ab là số vô tỷ Giải: Giả sử ab là số hữu tỷ, lúc đó ab có dạng ab = (k,h Mặt khác vì

a là số hữu tỷ khác 0  a có dạng Khi đó b=

= x , suy ra b là số hữu tỷ

4 Phương pháp chứng minh phản chứng

Dùng quy tắc ̅ ̅ ̅

Để chứng minh mệnh đề p là đúng, ta giả thiết p sai, lúc đó ̅ là đúng Sau đó hãy chứng minh ̅  q là đúng và ̅ đúng (tức gặp mâu thuẫn) Vậy theo quy tắc phản chứng ̅ ̅ ̅ thì p đúng, điều này vô lý vì ta đã giả thiết p sai

Ví dụ: Chứng minh mọi ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố

Giải: Chứng minh bằng phản chứng

Gọi n là số tự nhiên và n > 1 Giả sử k là ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n

và k không nguyên tố Vì vậy k là hợp số

Do đó tồn tại ước số m của k sao cho 1 < m < k

Lúc đó m cũng là ước số của n Điều này vô lý vì k là ước số nhỏ nhất khác 1 của

n Vậy k là số nguyên tố

5 Phương pháp chứng minh xét tất cả các trường hợp

Để chứng minh mệnh đề nào đó đúng ta có thể xét tất cả các trường hợp có thể có

Ví dụ: Chứng minh tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 Cho n là số nguyên, n

có thể viết n = 3q + r với q nguyên, r= 0, 1, 2

Xét các trường hợp:

r = 0: n = 3q chia hết cho 3 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 3

r = 1: n = 3q+1 nên n+2 = 3(q+1) chia hết cho 3, suy ra n(n+1)(n+2) chia hết cho 3

r = 2: n = 3q+2 nên n+1 = 3(q+1) chia hết cho 3, suy ra n(n+1)(n+2) chia hết cho 3

6 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

Để chứng minh công thức liên quan đến số tự nhiên:

P(n), (n N, n k0, k0 N)

Phương pháp chứng minh qui nạp gồm các bước sau:

- Chứng minh P(n) đúng khi n = k0

- Giả thiết qui nạp: Giả sử P(n) đúng n = k k0, k N

Cần chứng minh P(n) đúng khi n = k+1

- Kết luận:

P(n) đúng n k0, n N theo nguyên lý quy nạp toán học

CHƯƠNG 2 CHỨNG MINH CÁC QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG Chứng minh các quy tắc suy luận thường dùng là đúng

Đặt T= Hằng đúng F= Hằng sai

1) Quy tắc cộng:

p(p q) ≡ ̅ p ≡ ̅ ≡ T q ≡ T

2) Quy tắc rút gọn:

(p˄q)p ≡ ( ̅̅̅̅̅)˅p ≡ ( ̅˅ ̅)˅p ≡ ( ̅˅p)˅ ̅ ≡ T˅ ̅ ≡ T

3) Quy tắc kết luận – Modus ponens: 

[  ] [ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] [ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅] [ ̅ ̅ ]

[ ̅ ̅ ̅ ]

≡[ ̅ ̅ ] ≡ ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

4) Quy tắc kế luận ngược – Modus tollens:  ̅

̅

[  ̅] ̅ [ ̅ ̅] ̅ [ ̅ ̅ ̅ ] ̅ [ ̅ ̅ ] ̅

≡ ̅ ̅  ̅ ̅ ̅ ̅ ≡ (p˅q)˅ ̅ ≡(p˅ ̅)˅q ≡ T˅q ≡ T

5) Quy tắc tam đoạn luận:  

 [   ](p [ ̅ ̅ ] ̅˅r) ≡ [ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] ̅

≡ ̅ ̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅ (p˄ ̅ ̅ ̅ [ ̅ ̅] [ ̅ ]

[ ̅ ̅ ̅ ] [ ̅ ] [ ̅ ̅ ] [ ] ̅ ̅

̅ ̅ ̅

6) Quy tắc đưa tương đương vào:  

⇔

[   ]  ⇔ [   ][   ]

[ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅]˅[     ] ≡ T

7) Quy tắc tách tuyển: ̅

[ ̅] [ ̅ ̅ ] [ ̅ ] ̅̅̅̅̅̅

̅

≡ ̅

8) Quy tắc tách tuyển giả thiết:  

 [   ][  ] [ ̅ ̅ ][ ̅̅̅̅̅ ]

[ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅]˅[ ̅ ̅ ] ≡ [ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] [ ̅ ̅ ] ≡ T

9) Quy tắc hội kết luận:  



((   [  ] ≡ [ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] [ ̅ ] ≡ [ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅] [ ̅ ]

≡ T

10) Quy tắc phản đảo: ̅̅

( ̅ ̅   ̅  ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅ ≡ T

11) Quy tắc phản chứng: ̅ ̅̅

[ ̅ ̅ ̅ ] ≡ [ ̅ ] ≡ [ ̅ ] ≡ (p˄T)˅p ≡ ̅ ≡ T

C KẾT LUẬN

Tri thức được thể hiện dưới dạng lớp của các biểu thức logic và cơ sở tri thức giải bài toán được thiết lập trên cơ sở lớp của các biểu thức logic này Logic mệnh

đề có cú pháp và ngữ nghĩa rất đơn giản Các câu cơ bản của logic mệnh đề bao gồm câu true, false và các biến mệnh đề Mỗi biến mệnh đề đại diện cho một sự kiện trong bài toán

Có thể nói logic mệnh đề là nền tảng của logic toán học hiện đại Mặc dù logic mệnh đề vẫn còn một số những hạn chế, chưa được ứng dụng nhiều như logic mờ, chưa phải là đỉnh cao của logic học nhưng những điều mà logic mệnh đề đã cống hiến thực sự rất to lớn, nó là cơ sở logic chung của tư duy chính xác, đặc biệt là các lĩnh vực như toán học, kĩ thuật điều khiển từ xa…