Dạy thêm toán 8 bài 8 hình

Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu: + Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.. Dấ

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III BÀI : CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

I Tóm tắt lý thuyết

1 Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia

2 Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

3 Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng

Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng

4 Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

II Các dạng toán

Dạng 1 Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng Phương pháp giải:

Có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông

Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Chứng minh:

Hướng Dẫn:

a) BEH CDH g g(  )

Bài 2:Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng

vuông góc với BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E Chứng minh:

Hướng Dẫn:

Học sinh tự chứng minh

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm  và AD17cm Trên cạnh

Hướng Dẫn:

Ta chứng minh được

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

( )

ABE DEC c g c AEB ECD

Từ đó ta có DEC AEB 900 suy ra BEC 900 (ĐPCM)

Bài 4:Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 4cm và BC 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC) Trên tia Cx lấy điểm D sao cho

Hướng Dẫn:

Ta chứng minh được

ABC CBD ACB CBD

Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM)

Dạng 2 Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để

chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy ra điều cần chứng minh

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Hướng Dẫn:

b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh

AH AC

BH AB

  mà BH AH AQ BP

Từ đó suy ra AC AB AQ BP Do đó có BAPACQ c g c(   )

d) Gọi M là giao điểm của CQ và AP (M  AP)

 90 0

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông

góc kẻ từ H xuống AB và AC Chứng minh:

Hướng Dẫn:

Học sinh tự chưng minh

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CEAB tại E, CF AD tại F, BHAC tại

Hướng Dẫn:

a) Ta chứng minh AHBAEC g g( ) AC ABAH AE (1)

 AD.AF =AK.AC (2)

c) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3)

Bài 4:Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Chứng minh

2

Hướng Dẫn:

Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM

Dạng 3 Tỉ số diện tích của hai tam giác Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình

phương tỉ số đồng dạng

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình vuông ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm

của DF và CE Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE

Hướng Dẫn:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

2 4

CBK CFI

S BC CBK CFI

S CF

 

 



S

S 

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Đường thẳng qua D và song song với AC cắt

AB tại E, đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F Cho biết diện tích các tam giác

Hướng Dẫn:

Đặt SABC = S2 EBD ABC

Chứng minh

2

EBD ABC

S BD a BD

S BC S BC

(1)

BD a

BC s

Chứng minh:

2

(2)

CDF CBA

S DC DC b CDF CBA

S BC BC s

 

 



Từ (1) và (2)  BD DC BC BC  a b s s  S a b 2

III Bài tập tự luyện

Bài 1 :Cho tam giác ABC và các đường cao AH(HBC) có AH = 6cm, BH = 4cm,HC=9cm.

Chứng minh rằng:

a)AHBCHA

90

ˆC 

A

B

Hướng Dẫn:

9 4

6

C H

B

A

a) XétABH và CHA

C H A B

H

A ˆ  ˆ =900

A C H H

A

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

b)

0

0 90 ˆ

90 ˆ

ˆ









C A B

C A H B A

H

Bài 2: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D

và E Gọi G là một điểm trên cạnh BC Tính diện tích tứ giác ADGE biết diện tích tam giác ABC

Hướng Dẫn:

Theo giả thiết ta có: B H BH' 'A C AC' 'A B AB' '

Ta chứng minh được BHAB H A' ' ' A A '

 Chứng minh được ABCA B C c g c' ' '(   )

ADE ABC

S AE ADE ABC Do

S AC

suy ra AE=3EC

Kẻ AA'  DE, EE'  BC

Chứng minh EE '13AA' nên S GDE 13S ADE 3cm2

2 12

ADGE

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =12cm, BC=9cm Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ

A xuống BD

a)Chứng minh AHB đồng dạng với BCD

b)Tính độ dài đoạn thẳng AH

c)Tính diện tích tam giác AHB

Hướng Dẫn:

a/ Xét AHB và BCD có:

ABH = BDC (So le trong do AB // CD)

BC

AH

=

BD

AB

b/ Từ tỉ lệ thức trên  AH = AB. BD BC =12BD.9

 BD = 15cm

Do đó AH = = 7,2cm Và BC AH=BD AB=79,2=54

c/ Ta có SBCD =

2

1

a.b = 54cm2

BCD

AHB

S

S

= k2 =

2 5

4











Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC 20cm,AH 8cm.  Gọi D là hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB

H

B A

b 9 12

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ADE

Hướng Dẫn:

Từ đó suy ra ĐPCM

b) Ta có:

4 25

ADE

ABC

S DE AH

S BC BC

    

Từ đó tính được

SADE = 12,8cm2

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; BC = 10cm Lấy điểm D trên AB và E trên



Hướng Dẫn:

Xét hai tam giác vuông ABC và AED

AB   BC  

1 2



Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao và AM là đường trung tuyến Tính

diện tích tam giác AHM và tỉ số diện tích tam giác AHM và ABC, biết BH = 4cm; CH = 6cm

Hướng Dẫn:

Ta có hai tam giác vuông HAB và HCA đồng dạng

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

8

1

10 2

2

AHM

2

ABC

80 10

AHM ABC

S

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) M là trung điểm BC Vẽ MDAB tại D, ME

Hướng Dẫn:

Ta có DE // BA

Hai tam giác BDH và DAK có:

HBD KDA (góc đồng vị)

BD = DA

BDH = DAK

Bài 8: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C kẻ các đường thẳng CE, CF

lần lượt vuông góc với AB, AD Chứng minh rằng:

2

Hướng Dẫn:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

0

90

H E  

A chung

AB AE AH AC

0

90

H  F

AF

BCH C   (BC//AF)

BC AF HC AC

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành)

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được:

AH.AC + HC.AC = BC.AF + AB.AE

2

AC

Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng AE.AB = AD.AC

Hướng Dẫn:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

a) Xét AEC và ADBcó D E   900

A chung

Vậy AE BA AD AC  (đpcm)

0

90

D F  

Mà CF BC BC BF BC CF( BF)BC2

d) Đặt AB = a

1 30

B 

ADB

2

a

2

a

AD 

2

ADE

ABC





Vậy

1

ADE ABC

a





HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

120 30

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A Qua điểm D trên đáy BC kẻ đường vuông góc với BC cắt

các đường thẳng AB và AC theo thứ tự ở E và G Chứng minh DB.DC = DE.DG

Hướng Dẫn:

Xét DGC và ABC có D A   900 và C chung

AB DC DG AC

Xét ABC và DBE có D A   900 và B chung

AB DE DB AC

DE AB

DB AC

DB DG

Vậy DB.DC = DE.DG

Bài 11: Trong tam giác ABC có hai góc B và góc A thỏa mãn điều kiện A 90 0 B , kẻ đường

Hướng Dẫn:

1 90

2 90

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Vậy ta có C1 B

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh AC kẻ các đường

CEvuông góc với DB tại E Chứng minh rằng BE.AC = AB.EC + AE.BC

Hướng Dẫn:

Gọi M là giao điểm của AB và CE Vẽ AF vuông góc với AE (Fthuộc BE)

Xét MBE và MCA có E A   900

;

MBE MCA

MBE MCA   (cmt) và ABF EAC 

AB CE AC BF

90

AED DCB 

AE CB AC EF

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được

AB CE AE BC AC BF  AC EF AC BF  AC BE

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Vậy BE.AC = AB.EC + AE.BC

Bài 13: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD tại M, tia

DE cắt AB tại N Chứng minh rằng:

b) BM vuông với CN

Hướng Dẫn:

a) Ta có AB//CM

AB BE

CM CE

Và ta có CD//BN

CD CE

BN MC CD AB

2

BN MC BC

Suy ra B2 N ; C2 M

B B     B N   

Vậy BM vuông với CN

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH, từ H kẻ HI vuông góc với AB tại I, HK

vuông góc với AC tại K

a) Chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC suy ra AI.AB = AK.AC

c) Gọi O là trung điểm của đoạn IK Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BO tại R Đường thẳng AR cắt cạnh BC tại S Chứng minh S là trung điểm của đoạn thẳng HC

Hướng Dẫn:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

a)Tứ giác AKHI có A K I 90   0 nên AKHI là hình chữ nhật, ta có: AKI AHI   

Từ đó ta có ABK ACI 

c) Xét tam giác ABS có AH và BR là đường cao nên O là trực tâm tam giác ABS

Mặt khác, theo trên thì tứ giác AKHI là hình chữ nhật nên O là trung điểm AH

Như vậy trong tam giác AHC, SO là đường trung bình Từ đó ta có S là trung điểm của HC

Bài 15:Cho tam giác ABCcân ở A,AB 32 cm, BC 24cm, đường cao BK Tính độ dài KC

Hướng Dẫn:

K

H

A

AHC

AC HC

BC KC 

32 12

24 KC  KC 9

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III Bài 16: Cho tam giácABC vuông ở A,AB 10cm,BC 30cm Trên tia đối của tia CAlấy điểm D

Hướng Dẫn:

x

Hình 22

2 1

A B

E

D C

ABC

 vàDCE( 90o

45 15 )

(1)

Ta lại có ˆE+ˆC 2 90o

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆC 1+ˆC 2 90o



Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường caoAH.Kẻ HE vuông góc với AB(AB thuộc AB

Hướng Dẫn:

Bài 18: Cho tam giác ABC, đường cao AD,trực tâmH Biết BD 4cm,DC 10cm,AD 8cm.Tính

Hướng Dẫn:

ABD

Bài 19: Cho tam giácABC, các đường caoAA'’, BB’, CC’, cắt nhau ở H Chứng minh rằng

’ ’ ’.

AH HA BH HB CH HC

Hướng Dẫn:

'

AHB

' '

AH HB

BH HA

   AH HA 'BH HB '

Bài 20: Cho tam giácABC, các đường caoBD CE,

Chứng minh rằng

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Hướng Dẫn:

AC AE

Bài 21: Tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 3:4, đường cao tương ứng với

cạnh huyền dài12cm Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Hướng Dẫn:

Gọi ABC là tam giác vuông ở A, đường cao AH

AHB

AH HB AB

CH HA CA

12 4

HB HC

Suy ra HB = 9 cm, HC = 16 cm

Bài 22: Hình thang vuông ABCDcó =90o, hai đường chéo vuông góc với nhau

4 , 9

AB cm AD cm

Hướng Dẫn:

C

D

AB AD

DA DC

   AD2 AB DC  4.9 36  Vậy AD = 6 cm

6 3

BD AB

AC DA 

Bài 23: Cho hình chữ nhật ABCDcóAD 12 cm AB,  16 cm Đường thẳng qua Avà vuông góc với

Hướng Dẫn:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

E

B A

D

E A

Bài 24: Cho hình ABCD Điểm Ethuộc cạnhAB, điểm Fthuộc cạnh AD sao choAEAF Gọi

Hướng Dẫn:

BH BA,

HBC

b) Từ câu a suy ra AHE BHC

Bài 25: Cho tam giác ABCvuông ởA, đường phân giác BDcắt đường cao AH ởE Chứng minh

EA DC

Hướng Dẫn:

E

H

D

A

Theo tính chất đường phân giác của

ABH

A

HE BH

E BA , AD BA

DC BC

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

D A

BH BA HE A

BA BC E DC

Bài 26: Gọi AClà đường chéo lớn của hình bình hànhABCD, Evà Ftheo thứ tự là hình chiếu của

Hướng Dẫn:

K

H

F

E

C

B

AF

D.AF D

AC

A AC AH

A AH

(vì AH AKAC do AK CH )

Bài 27: Cho hai tam giác ABC cân tại A và A 'B 'C ' cân tại A ' Cho biết tỉ số hai đường cao BH

và B ' H ' bằng tỉ số hai cạnh tương ứng AC và A'C ', chứng minh hai tam giác trên đồng dạng