Dạy thêm toán 8 bài 6 hình

TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI C.G.CI.. Tóm tắt lý thuyết Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai t

CHỦ ĐỀ 6 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI (C.G.C)

I Tóm tắt lý thuyết

Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo

bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng

C' B'

A'

C B

A

ABC, A 'B 'C '

AB BC

,B B '

A 'B ' B 'C '

KL ABC∽ A 'B 'C '

II Các dạng toán

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng – tính góc – Tỉ số đoạn thẳng – Tỉ số chu vi – diện tích

Bài 1:

A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm

10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm

KL MN = ?

M N

B C

Hướng Dẫn:

Xét ABC và ANM ta có :

AC

AM

= 15

10 = 3 2

AB

AN

= 12

18 = 3 2

Mặt khác, có A chung

Vậy ABC  ANM (c.g.c)

Từ đó ta có :

AN

AB

=

NM

BC

hay

MN

18 18

12

 

12

18 8 = 12(cm)

Bài 2 :Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối của HB lấy điểm C sao cho AC =

3

5

AH Tính BAC .



AC

AM

=

AB AN

Hướng Dẫn:

A

ABH; H = 900 ; AB = 20cm

3

5 AH

KL BAC = ?

B 12 H C

Ta có

AH

AC BH

AB







3

5 12 20



AH

BH AC

AB

 Xét ABH và  CAH có :

AHB = CHA = 900

AH

BH AC

AB

 (chứng minh trên)

 ABH  CAH (CH cạnh gv)  CAH= ABH

Lại có BAH + ABH = 900 nên BAH + CAH = 900

Do đó : BAC = 900

Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 600 Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tương ứng ở M, N Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính BKD?

Hình thoi ABCD; A = 600 ;

B GT BN  DM tại K

KL Tính BKD = ?

K C

A

D

N

Hướng Dẫn:

Do BC // AN (vì N  AD) nên ta có :

NC

MC AB

MB

 (1)

Do CD // AM (vì M  AB) nên ta có :

DN

AD NC

MC

 (2)

Từ (1) và (2) 

DN

AD AB

MB



ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và A = 600 nên là  đều

 AB = BD = DA

Từ

DN

AD AB

MB

 (cm trên) 

DN

BD BD

MB

 Mặt khác : MBD = DBN = 1200

Xét 2MBD và BDN có :

DN

BD BD

MB

 ; MBD = DBN

 MBD  BDN (c.g.c)

  1

M = 

1

B

MBD và KBD có 

1

M = 

1

B ; BDM chung  BKD = MBD = 1200 Vậy BKD= 1200

Dạng 2 Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần);

Bước 2: Lập tỉ số các cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau;

Bước 3: Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Bài 1: Cho ABC có các trung điểm của BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F Trên cạnh BC lấy

điểm M và N sao cho BM = MN = NC Gọi P là giao điểm của AM và BE; Q là giao điểm của CF

và AN Chứng minh:

a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng

b) ABC  DQP

Hướng Dẫn:

a) Chứng minh cho 2 đường thẳng PD và FP cùng // AC

PD là đường trung bình BEC  PD // AC

FP là đường trng bình ABE  FP // AC

Tương tự cho 3 điểm D, Q, E

b)PD = 1

2 EC = 1

2 2

AC

= 4

AC

AC

PD = 4 4

4

AC



AB

QD = 4 4QD QD 

 

DP QD ; BAC EDP 

ABC  DQP (c.g.c)

Bài 2 Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song BC cắt cạnh AB và AC tại D và E sao cho

DC  BC DE Chứng minh ECD DBC

 Hướng Dẫn:

F, P, D thẳng hàng

BAC DEC (Đơn vị EF // AB)

DEC EDP (so le trong PD // AC)

Ta có DC2 BC DE.

Xét hai tam giác DEC và CDB có

EDC DCB   (so le trong)

Và DC DE

Nên DEC CDB

ECD DBC 

  (hai góc tương ứng)

Bài 3: Cho xOy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D Chứng minh rằng

 ∽  nếu biết một trong các trường hợp sau:

a) OA OB;

Hướng Dẫn:

a) Có OA OB

OC OD nên ta chứng minh được

( )

AOB COD c g c

 

b) Có OA.OD = OB.OC

   ĐPCM

Bài 4: Cho xoy , trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D Chứng minh rằng

AOD BOC

 ∽  nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm   và OD 10cm.

Hướng Dẫn:

Chứng minh được AODBOC c g c( )

Bài 5: Cho hình thang ABCD AB CD , biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm.   Chứng minh ABD BDC

 ∽ 

Hướng Dẫn:

Ta chứng minh được ABD BDC và 3

4

BD DC  Từ đó suy ra ABDBDC c g c( )

Bài 6: Cho xoy , trên Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm, trên Oy lấy các điểm B và C sao cho

OB2cm,OC8cm Chứng minh rằng AOB∽ COA

Hướng Dẫn:

Chứng minh được 1

2

OA OB

OC OA

và AOB COA nên ta có AOBCOA c g c( )

Dạng 3 Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh

các góc bằng nhau

Phương pháp giải:

Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ

đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng còn lại bằng nhau

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Lấy điểm E

trên DH và điểm K trên BC sao cho DE CK

DH CB Chứng minh:

a) ADE ∽ ACK; b) AEK ∽ ADC;

c) AEK900

Hướng Dẫn:

a) Ta chứng minh được DE DH (1)

CK CB

      (2) Từ (1) và (2) suy ra DE DA

CK AC mà ADEACK

nên ta có ADEACK c g c(   )

b) Từ phần a) ta suy ra được AE AD

AK AC Chứng minh được EAK CAD  nên ta có AEK ADC c g c( )

c) Có AEK ADC AEK ADC900

Bài 2: Cho hình thang ABCD biết   0

AD90 Trên cạnh AD lấy điểm I sao cho AB.DCAI.DI Chứng minh:

BIC 90 Hướng Dẫn:

a) Theo đề bài ta chỉ ta được AB DI

AI DCtừ đó suy ra ABI DIC c g c(   ) b) Chứng minh được AIB DCI mà DIC DCI 900  BIC 900

Bài 3: Cho hình thoi ABCD,  0

A60 Qua C kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia

BA, DA theo thứ tự tại E và F Gọi I là giao điểm của BF và ED Chứng minh:

a) EB AD;

c)  0

BID 120

Hướng Dẫn:

a) Có BC/ /AD BE CE

BA CF

Lại có DC/ /AB EC AD

FC DF

Suy ra ĐPCM

b) Do ABCD là hình thoi có A 600 nên:

AB = BD = DC = CA = AD

Ta có EBD BDF 1200 và theo câu a) EB AD

BA DF

hay EB BD EBD BDF c g c( )

BDDF   

c) Từ phần b) ta có: BED DBF từ đó chứng minh được BDI  EDB mêm suy ra

  1200

BID EBD 

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, A90 0 Kẻ AHCD tại H, AKBC tại K Chứng minh:

a) AH DA;

Hướng Dẫn:

a) Chứng minh AHD AKBvà AB = CD suy ra ĐPCM

b) Từ phần a ta có AH AK

BC BA và chứng minh được HAK ABC Từ đó ta có

;

 

Mà ABC CDA nên suy ra KAH  CDA từ đó chứng minh được AKH ACH

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CA theo tỷ số 1 : 2,

các điểm I, K theo thứ tự chia trong các đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số 1 : 2 Chứng minh rằng IK song song BC

Hướng Dẫn:

Gọi M là trung điểm của AF

Gọi N là giao điểm của DM và EF A

Xét  ADM và  ABC có : D M N

AD

AB = AM

AC = 1

3 Góc A chung B E C

ADM P ABC (c.gc)

 ADM = ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DM // BC

 MN // EC mà MF = FC nên EF = FN

Ta có : EK

EN = EK

EF EF

EN = 2

3 1

2 = 1

3 (1)

mà EI

ED = 1

3 (gt) (2)

Từ 91) và (2)  EK

EN = EI

ED Suy ra IK // DN (định lý Ta – lét đảo) Vậy IK // BC

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 18cm, AC =27cm, BC=30cm Gọi D là trung điểm của AB,

điểm E thuộc cạnh AC sao choAE =6cm

a)Chứng minh: AEDABC

b)Tính độ dài DE

Hướng Dẫn:

E D

C B

A

a) Xét AEDvàABC

Aˆ chung

3

1





AC

AD AB

AE

=>AEDABC

b) Từ câu a) suy ra

cm DE

DE AB

AE

CB

DE

10 3

1





Bài 3 :Hình thang ABCD(AB//CD) có AB =2cm,BD =4cm,CD = 8cm Chứng minh. Aˆ D BˆC

Hương Dẫn:

B A

F

1





DC

DB BD

BA

) (

ˆ

B

 ABDBDC

C B D

Aˆ  ˆ

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A( Aˆ <900), đường cao AD và CE cắt nhau tại H Tính BC biết

HD =4cm, HA=32cm,

Hướng Dẫn:

E

B

A

Xét CDH và ADC

=>ABDBDC( cgc)

cm BC

cm CD

CD

CD CD

HD AD

CD

24 12

4 36













=>Aˆ D BˆC

Bài 5: Cho xoy , trên Ox lấy các điểm M và P, trên Oy lấy các điểm N và Q Chứng minh rằng

OMN OPQ

 ∽  nếu biết một trong các trường hợp sau:

a) OM2cm;ON1,5cm;OP 4 cm;OQ3cm;

b) M là trung điểm của OP, N là trung điểm của OQ

Hướng Dẫn: Học sinh tự giải

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB 12cm,AC 15cm,BC 18cm.   Trên cạnh AB, đặt đoạn

AM10cm, trên cạnh AC đặt đoạn AN8cm Tính độ dài đoạn MN

Hướng Dẫn:

Chứng minh được AMN ACB c g c(   )

3

AC CB  ;

Từ đó tính được MN = 12cm

Bài 7: Cho xoy , phân giác Ot Trên Ox lấy các điểm A và C ' sao cho OA 4cm,OC ' 9cm  , trên

Oy lấy các điểm A ' và C sao cho OA' 12cm,OC 3cm,  trên tia Ot lấy các điểm B và B ' sao cho

OB6cm,OB '18cm Chứng minh:

A B

a) OAB ∽ OA 'B '; b) AB AC BC

A 'B ' A'C ' B 'C ' Hướng Dẫn:

a) Chứng minh được OABOA B c g c' '(   )

b) Chứng minh được 1

' ' ' ' ' ' 3

A B A C B C 

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB 13cm, điểm C trên đoạn thẳng ấy sao cho AC 4cm, trên đường thẳng vuông góc với AB tại C, lấy điểm D sao cho CD6cm Chứng minh ADB90 0

Hướng Dẫn:

Tính AD, DB Sau đó áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác ADB vuông tại

D Từ đó quy ra ĐPCM

Cách khác: Có 2

3

DC CB  mà C  900 nên CDB ADC  900  ĐPCM

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB 9cm,AC 12cm,BC 7cm.   Chứng minh B2C.

Hướng Dẫn:

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC = 7cm Chứng minh được

ABC ACE c g c

suy ra BCA E 

Từ đó ta có ABC BCE E  2E 2BCA

Bài 10 : Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm Chứng minh:

BAD DBC

Hướng Dẫn:

Xét BAD và DBC có AB // CD do đó :

ABD BDC (so le trong )

4 1

8 2

AB

BD  

8 1

16 2

BD

DC  

 AB BD

BD DC ( cùng bằng 1

2)

 BAD P DBC (c.g.c)

 BAD DBC

Bài 11: Tính số đo góc C của hình thang ABCD biết rằng

 / / , 40 ,o 8 ,

AB CD ADB AB cm BD12cm CD, 18cm Hướng Dẫn:

ABD

 và BDC đồng dạng (c.g.c) suy ra ADB BCD Vậy BCD 40 o

Bài 12: Cho tam giác ABC cóAB 8  cm AC, 16  cm Điểm D nằm trên cạnhAB, điểm E nằm trên cạnh AC sao choBD 2  cm CE, 13  cm Chứng minh rằng các tam giác AED và ABC

đồng dạng, các tam giác ABE và ACD đồng dạng

Hướng Dẫn:

A

D

E

Các tam giác đó đồng dạng theo trường hợp c.g.c

Bài 13: Hình thang vuông ABCD có A D 90 ,o AB10cm CD, 30cm AD, 35cm Điểm E nằm trên cạnh AD sao choAE 15  cm Tính BEC

Hướng Dẫn:

Hình 92

E

C D

A B

Chứng minh rằng BAE và  EDC đồng dạng

Bài 14: Cho tam giác ABCcó AB 4  cm AC, 6  cm BC,  9cm Điểm D nằm trên cạnh BC sao choCD 4  cm Tính độ dài AD

Hướng Dẫn:

A

D

ABC

 và DAC đồng dạng vì góc C chung, AC DC 3

BC AC 2

Do đó AB AC 4 6 AD 8 cm

ADDC AD  4 3

Bài 15: Cho tam giác ABC có 1 ,

2



AB BC M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM

Chứng minh rằng 1

2



AD AC

Hướng Dẫn:

A

B

DBA

 và ABC đồng dạng (c.g.c) nên DA DB 1

AC AB 2 Do đó AD= AC 1

2