Dạy thêm toán 8 ôn tập hình chương 3

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG IIITheo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau Ví dụ 14 ta có: ADB AMC S MCS AM.AC 2 AMB ADC Dạng 2: Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

ÔN TẬP HÌNH CHƯƠNG 3

I.Lí Thuyết

Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng của tam giác

Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợpcạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc

Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng vềcạnh huyền và cạnh góc vuông

  Cùng cộng với KIB được: AIB KID 90   

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM AM 1BC

Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF Gọi M là giao điểm của BE và DF

, N là giao điểm của DE và CF

b) Suy ra từ câu a).

Lưu ý: Trong ví dụ trên, khi xét tỉ số AI

IM, ta đã viết tỉ số đó dưới dạng tích của hai tỉ số trunggian AI IF.

Trên BC lấy điểm D sao cho BD 5  cm

Tam giác ABD cân tại B nên  B 

ADC 90 BAC

2

   

Do MB MC  nên DB DB MB.

DCMC DC (1)

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có:

ADB AMC

S

MCS AM.AC (2)

AMB ADC

Dạng 2: Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ sốdiện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Nếu  ABC   A B C    có AB k

A B  , AH và A H  là đường cao thì ABC 2

A B C

S AH

A H   S    

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi M và N theo thứ

tự là hình chiếu của E và D trên BC

a) Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM

DN b) Gọi O là giao điểm của DM và EN Chứng minh rằng HO vuông góc với BC

a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất;

b) Tam giác DMN có diện tích lớn nhất

    Đáp số: AB = 9cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC có B C   , I là trung điểm của BC, đặt IB IC a   Các điểm M, N

theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho MIN 

a) Tính BM.CN theo a

b) Chứng minh rằng NI là tia phân giác của góc MNC

c) Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến MN khồn đổi

c) Từ câu b) suy ra khoảng cách từ I đến MN bằng khoảng cách từ I đến AC không đổi

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có C 20 , đường phân giác CD Trên cạnh AC lấy điểm

E sao cho ABE 30  Tia phân giác của góc CBE cắt AC ở I Chứng minh DE song song với BI

Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC

Ta có BI là đường phân giác của ∆EBC nên BE BC

A  thì ∆ABC vuông tại A B

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, điểm D đối xứng với A qua B Đườngthẳng đi qua A và vuông góc với DH cắt BC ở I Chứng minh rằng HI IC 

Kẻ trung tuyến IK của ∆ICA

Do IK và HB là hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

nên CIK AHB900

∆AHC có AK = KC và KI // AH nên HI // IC

Bài 7: Cho hình thoi ABCD, M là trung điểm BC Trên đoạn AM lấy điểm E sao cho

MAMB, lại có DAE AMB

nên ∆DAE  ∆AMB (c.g.c)

b) ∆DAE  ∆AMB  AED MBA

Suy ra hai góc bù với chúng bằng nhau MED BCD

Bài 8: Cho tam giác ABC, AB AC , điểm D trên cạnh AC sao cho AD AB , điểm E trên đoạn

AD sao cho ABE C  Đường thẳng đi qua A và song song với BD cắt BE ở K Gọi M là giaođiểm của KD và BC Chứng minh rằng BM MC 

a) MN song song với EF;

b) H là trực tâm của tam giác AMN

 ∆AND  ∆EAD (c.g.c)  A1E1  AN DE

Tương tự AM BF Vậy H là trực tâm của ∆AMN

Bài 10: Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD AG  Gọigiao điểm của DG với AC, BC theo thứ tự là E, K Chứng minh rằng DE EK

Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC I BC   Hãy chứng minh IC CK 

∆DIK có IC = CK và DI // EC nên DE = EK.

Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, điểm D trên cạnh AB Gọi I là hình chiếucủa D trên BC, lấy điểm K trên đoạn HC sao cho HK BI Đường vuông góc với DK tại K cắt

OBH OCH Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của O trên AB và AC Chứng minh rằng OH

đi qua trung điểm của DE

Hướng Dẫn:

Gọi I là giao điểm của OD và HB, K là giao điểm

của OE và HC, Ta có OIHK là hình bình hành

nên OH đi qua trung điểm của IK

Hãy chứng minh IK //DE bằng cách chứng minh DI EK

Xét các tam giác đồng dạng BDI và CEK, BOD và COE

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG IIIBài 13: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác

ABE vuông tại B, ACF vuông tại C có BAE CAF  Chứng minh rằng các đường thẳng

KH, BF, CE là ba đường cao của KBC nên chúng đồng quy

Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB sao cho

a)Đặt các góc bằng nhau và bằng m, n, p như hình vẽ

Ta có 2m2n2p360 (bằng 540 trừ đi tổng ba góc của DEF )

BAD CAM Đường thẳng đi qua D và song song với AB cắt AC ở E Đường thẳng đi qua D

và song song với AC cắt AB ở F Chứng minh rằng:

b) AEF ∽ ABC AEF B Ta lại có AEF EFD và BEDC nên EFDEDC.

Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD Điểm I nằm trong hình chữ nhật sao cho IAD ICD  Chứngminh rằng:

b)Kẻ đường vuông góc với DI tại D, kẻ đường vuông góc với CI tại C, chúng cắt nhau ở K

Do A1 C 1 nên A2 C 2, do B1 D 1 nên B2 D 2, AIBCKD(g.c.g)  S AIB S CKD

Bài 19: Một hình thang có đáy nhỏ 17cm, đáy lớn 31cm được chia thành hai phần bởi một đoạnthẳng song song với hai đáy dài 25cm và có hai đầu mút nằm trên hai cạnh bên Chứng minh rằnghai phần đó có diện tích bằng nhau.

Hướng Dẫn:

Kí hiệu như trên hình vẽ

Kẻ BG, FI song song với AD

EFCD

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 20: Cho tam giác nhọn ABC, có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H Biết diện tích các

tứ giác BDHF và CDHE bằng nhau Chứng minh rằng AB AC 

Từ (1) và (2) suy ra S1 S3 S2 S4, tức là S BDHF S CDHE, trái với giả thiết

Giả sử AB AC, tương tự S BDHF S CDHE, trái với giả thiết

Vậy ABAC

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm vị trí của các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên cáccạnh BC, AC, AB sao cho tam giác DEF vuông tại D đồng dạng với tam giác đã cho và có diệntích nhỏ nhất

Hướng Dẫn:

DEF

 có các góc không đổi nên có diện tích nhất nếu EF nhỏ nhất

AB D BC , kẻ OE song song với BC E OA  , kẻ OF song song với CA F AB  .

a)Kẻ EH song song với AB H BC  , kẻ FI song song với BC I CA  , kẻ DK song songvới CA K AB   Chứng minh rằng diện tích tam giác DEF bằng nửa diện tích lục giác FIEHDK

b)Chứng minh rằng DEF

SS3

 Hướng Dẫn:

S   x  y z O là trọng tâm của ABC

Bài 23:Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=3cm, AC=4cm,vẽ đường cao AH

a) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt AH kéo dài tại D Chứng minh

BAC ACD

  , rồi suy ra AC2 = AB CD

b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang vuông Tính diện tích của ABDC

c) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E và cắt BD tại F So sánh HE vàHF?

Hướng Dẫn:

Tứ giác ABDC có AB // CD và A 90   0 nên ABDC là hình thang vuông.

Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC)

a) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D, vẽ AE vuông góc với BD tại E Chứng minh tam giácAEB đồng dạng tam giác DAB

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Xét hai tam giác BAH và BCA có:

 

ABH CBA và BHA BAC 90  0

Nên BAH BCA,

Nên BEH BCD Từ đó ta có BHE BDC

Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH Qua C vẽ đường

thẳng song song với AB cắt AH tại D

a) Chứng minh  AHB   DHC

b) Chứng minh AC2 = AB.DC

c) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao? Tính diện tích của tứ giác ABDC

Hướng Dẫn:

a) Ta có ABH DCH (so le trong) và AHB DHC 90   0 nên AHBDHC

b) ABC CAD    (cùng phụ với góc BAH)

DC // AB nên DC AC  BAC ACD 90   0

Do đó ABC CAD, từ đó suy ra:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG IIIBài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Kẻ BD là tia phân giác của ABC cắt

AH tại I Chứng minh AD2 = IH DC

Hướng Dẫn:

Ta sẽ chứng minh AD IH

DC AD.Theo tính chất chân đường phân giác trong thì: AD BA

Bài 27 Cho đoạn thẳng AB Trong một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax va

By vuông góc với AB tại A và B Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác A, B) Trên tia Ax lấyđiểm C (khác A), tia vuông góc MC tại M cắt By tại D

a) Chứng minh AMCBDM

b) Đường thẳng CD cắt AB tại E Chứng minh rằng EC.BD= ED.AC

c) Vẽ MH vuông góc với CD tại H Chứng minh HM2 = HC.HD

d) Gọi I là giao điểm của BC và AD Chứng minh DE.IA = ID.EC

Hướng Dẫn:

a) Ta có:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

  0   0

AMC BMD 90 , BDM BMD 90    , suy ra AMC BDM   

Lại có MAC DBM 90   0, do đó AMCBDM

b) Vì BD // AC, theo định lí Talet ta có: ED BD EC.BD ED.AC

EC AC  c) MCH DMH  (cùng phụ với gócCMH); MHC DHM 90  0, nên ta có:

Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20 cm và đường cao AH Vẽ HD

vuông góc AB tại D và HE vuông góc AC tại E

a) Vẽ tia Ax vuông góc DE cắt BC tại M Chứng minh M là trung điểm BC

b) Tính diện tích tam giác ADE

ABM AHD (cùng phụ với góc BHD)

Do đó: MAB ABM Từ đó suy ra được hai tam giác AMB và AMC cân tại M Vậy M làtrung điểm của BC

Bài 29: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BH cắt nhau tại I

a) Chứng minh HI.CB = CH.IA

b) Tia CI cắt AB, DH lần lượt tại K, M Chứng minh: IK.MC= KC.IM

Suy ra CHD KHA  KHI MHI  , hay I là chân đường phân giác trong kẻ từ H của tamgiác HKM

Theo tính chất chân đường phân giác trong và ngoài thì:

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

a) Chứng minh tam giác ADE và ABC đồng dạng tam giác ABC

b) Gọi K, F lần lượt là giao điểm của AH với DE, BC Chứng minh KH.AF= AK.HF Hướng Dẫn:

a)Dễ thấy ADB AEC AD AB

AE AC

Xét hai tam giác ADE và ABC có góc Achung và AD AB

AE AC nên ADE ABC.b) Chứng minh tương tự câu 1b

H và A lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài kẻ từ D của tam giác KDF,

suy ra: KH KA KD KH.FA KA.FH

FH FA FD   .

Bài 31: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H

a) Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh tam giác BKF đồng dạng tam giác BAC.b)Tia EF cắt AK và BC lần lượt tại N, D Chứng minh DE.FN = DF.NE

c) Gọi O, I lần lượt là trung điểm của BC và AH Chứng minh ON vuông góc DI

c)Gọi J là điểm đối xứng của H qua O, ta có BHCJ là hình bình hành,

từ đó suy ra BJAB, CJAC

Dễ thấy :

BF BH CJBFH CFA

Mặt khác, tương tự câu a, ta chứng minh được AEF ABC suy ra ABC AEF 

Từ đó ta có AEF AJC  Mà AJC JAC 90     0 nên AEF JAC 90  0, hay AJEF

Ta có IO là đường trung bình trong tam giác AHJ nên IO // AJ EFIO

Xét tam giác IDO có INDO, DNIO nên N là trực tâm IDO

HÌNH HỌC 8 – CHƯƠNG III

Mặt khác ABI AIB 90   0 CAE AIB 90   0

Vậy EABI

Bài 33: Cho hình thang ABCD (CD > AB; AB//CD) có AB vuông góc BD Hai đường chéo AC và

BD cắt nhau tại G Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG vàđoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB.Chứng minh GF vuông góc EF

Hướng Dẫn:

Dựng đường thẳng qua E, vuông góc với CD, cắt đường thẳng CD tại H

Ta có ECH DCG 90  0, DCG DGC 90  0, DGC AGB

Từ đó suy ra ECH AGB 

Như vậy ta có AGB ECH (g-c-g) EH AB, CH BG DF  

(1), (2) suy ra FDGEHF DGF HFE 

Mặt khác DGF DFG 90  0nên HFE DFG 90  0 Vậy GFE 90  0