dao động

+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ dao động.. thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và thả nh

Viết phương trình dao động của vật dao động, của các con lắc lò xo và con lắc đơn.

g l

∆ ;

A =

2 0 2

(lấy nghiệm "-" khi v0 > 0; lấy nghiệm "+" khi v0 < 0); với x0 và v0 là li

độ và vận tốc tại thời điểm t = 0

+ Phương trình dao động của con lắc đơn: s = S0cos(ωt + ϕ)

ω

 +  ÷  =

2 2

2 4

ω +ω ; cosϕ =

0

s

S ; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm "+" khi v < 0); với s =

αl (α tính ra rad); v là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0

+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:

α = α0cos(ωt + ϕ); với s = αl; S0 = α0l (α và α0 tính ra rad).

+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ dao động Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì: ϕ = 0 nếu kéo vật ra theo chiều dương; ϕ = π nếu kéo vật ra theo chiều âm

+ Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốc cực đại, khi đó: A = vmax

ω , (con lắc đơn S0 = vmax

ω ) Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì: ϕ = - 2

π nếu chiều truyền vận tốc cùng chiều với chiều dương; ϕ =

2

π nếu chiều truyền vận tốc ngược chiều dương

* Bài tập:

1 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo

khối lượng không đáng kể, có độ cứng 40 N/m Kéo vật nặng theo phương

thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm và thả nhẹ cho vật dao động điều hoà Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng; chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian

là lúc thả vật Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động của vật ĐS: x

= 5cos(20t + π) (cm)

2 Một con lắc lò xo gồm vật năng khối lượng m = 400 g, lò xo khối lượng

không đáng kể, có độ cứng k = 40 N/m Kéo vật nặng ra cách vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ Chọn chiều dương cùng chiều với chiều kéo, gốc thời gian lúc thả vật Viết phương trình dao động của vật nặng

Đs:x = 4cos20t (cm)

3 Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục

Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là L = 40 cm Viết phương trình dao động của con lắc Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm Đs: x = 20cos(10πt +

2

π) (cm)

4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng khối lượng m gắn

vào lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m Chọn trục toạ độ thẳng đứng, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trên xuống Kéo vật nặng xuống phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s theo chiều từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động Cho g = 10 m/s2, π2 = 10 Viết phương trình dao động của vật nặng Đs: x = 10cos(4πt -

4

π) (cm)

5 Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có

khối lượng m = 100 g, được treo thẳng đứng vào một giá cố định Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thời gian

là lúc vật bắt đầu dao động Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động của vật nặng Đs: x = 4cos(20t +

3

2π) (cm)

6 Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân

bằng một góc 90 rồi thả nhẹ Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, π2 = 10 Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiều chuyển động ban đầu của vật Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad

Đs: α = 0,157cos(2,5π + π) (rad).

7 Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s Lấy g = 10 m/s2,

π2 = 10 Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 rad và vận tốc v = - 15,7 cm/s Đs:s = 5 2 cos(πt +

4

π) (cm)

8 Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân

bằng con lắc được truyền vận tốc 14 cm/s theo chiều dương của trục tọa

độ Lấy g = 9,8 m/s2 Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài Đs: s = 2cos(7t -

2

π) (cm)

9 Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một

vận tốc v0 = 40 cm/s theo phương ngang thì con lắc đơn dao động điều hòa Biết rằng tại vị trí có li độ góc α = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc v

= 20 cm/s Lấy g = 10 m/s2 Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều với vận tốc ban đầu Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài ĐS: s = 8cos(5t -

2

π) (cm)

10 Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =

5

π

s Biết rằng ở thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, có biên độ góc α0 với cosα0 = 0,98 Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc Đs: α = 0,2cos10t (rad)

11 Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm, chu kỳ T = 0,5 s

Chọn gốc thời gian khi vật có li độ 2,5 2 cm đang chuyển động ngược với chiều dương của trục tọa độ Phương trình dao động của vật là

4

3

t 4

13 Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2 s Vật qua vị trí cân bằng

với vận tốc 31,4 cm/s Tại thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ 5

cm theo chiều âm Lấy π2 =10 Phương trình dao động của vật là

3

t cos

20

0)5(− +

=+ω

10

0

4 +

=+ω

vì v < 0  ϕ =

2

π.Vậy: x = 20cos(10πt +

2

π) (cm)

4

π Vậy: x = 10cos(4πt -

4

π) (cm)

3

2π Vậy: x = 4cos(20t +

3

2π) (cm)

α =−

= - 1 = cosπ  ϕ = π.Vậy: α = 0,157cos(2,5π + π) (rad)

7 Ta có: ω =

T

π2 = π; l = 2

4

π); vì v < 0 nên ϕ =

4

π Vậy: s = 5 2 cos(πt +

4

π) (cm)

vì v > 0 nên ϕ = -

2

π Vậy: s = 2cos(7t -

2

π) (cm)

α g +

2

2ω

2

π

Vậy: s = 8cos(5t -

2

π) (cm)

10 Ta có: ω =

T

π2

= 10 rad/s; cosα0 = 0,98 = cos11,48 0  α0 = 11,48 0 = 0,2 rad;

α = 1 = cos0  ϕ = 0 Vậy: α = 0,2cos10t (rad)

VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

I Các công thức của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa:

2 Dao động điều hòa:

- Phương trình dao động:x= Acos(ω +t ϕ)

- Vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng thì chuyển động chậm dần và ngược lại

sin

)(

ϕω

t E

E

t E

E

t

đ

với E0 là cơ năng

Tại những pha: α =(ωt+ϕ)đặc biệt:

4

3sin

±

=

α

απ

3cos

4

1sin

±

=

α

απ

π

α

II Hệ thống phương pháp giải

Dạng 1: Tìm thời điểm xảy ra sự kiện và khoảng thời gian giữa hai sự

kiện (Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến

x 2 ?)

PP:

- Vẽ đường tròn lượng giác

- Xác định tọa độ x1 và x2 trên trục Ox, xác định điểm M1 và M2 trên đường tròn (x1 và x2 lần lượt là hình chiếu của M1 và M2 trên Ox)

- Xác định góc quét α tương ứng trên vòng tròn khi vật đi từ x1 đến x2, suy ra thời gian cần tìm:

ω

α

=min

t

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Ví dụ 1: Vật dao động với phương trình x=Acos(ω +t ϕ) Tính:

a Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2

b Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên -A 3 /2 đến A/2 theo chiều dương

c Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a

A/2

M16

π

O

Giải a.

x0 = 0

2

30

π

ω

α

b Khi vật đi từ vị trí biên -A 3 /2 đến A/2, tương ứng với vật chuyển

động trên đường tròn từ A đến B được một cung

3

52

;6

72

3

0 0

πϕ

73

20sin(

0)20cos(

A A

v

A x

π

ππ

π

A/2

M16

π

O

M0-A/2

π

πωα

Ví dụ 3: Trong một chu kỳ, thời gian ngắn nhất để chất điểm dao động

điều hòa với chu kỳ T đi từ vị trí x = +A đến x =

)(3

−

=

=+

=

02

35)30sin(

10

)(5)30cos(

10

ππ

π

π

v

cm x

Khi vật đi được quãng đường 30cm thì nó

Quét được một góc

3

433

8

độ Tính hiệu pha hai dao động.

3

23

3

ππ

π

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa giữa hai điểm P và Q như hình vẽ

T=1s Sau khi bắt đầu dao động được 2,5(s) vật có tọa độx=−5 2(cm)

và đi theo chiều âm của quỹ đạo với vận tốcv=10π 2(cm/s) Lấyπ2 =10

a Viết phương trình dao động:

b Tính vận tốc trung bình khi vật chuyển động từ I tới J (I là trung điểm

PO, J là trung điểm OQ)

Giải

a Phương trình dao động x= Acos(ω +t ϕ); ω =2π(rad/s)

)(102

−

=+

cm A

A

A

10

41

tan2

5)5sin(

25)5

ϕϕ

π

ϕπ

)42

43

5

rad

πππ

9

Thời gian chuyển động là:

)(6

12

10

s cm t

4

5cos(

−

=

−

=+

=

0)/(2

.33)4

50sin(

6

)(23)4

50cos(

6

s cm v

cm x

ππ

12

133

2

4

ππ

3

210

320)3

20sin(

4

10

)(2)3

20

cos(

4

ππ

π

π

v

cm x

Lần đầu tiên mà vật lặp lại vị trí ban đầu là M1

Ví dụ 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật cân bằng thì lò xo giãn

3cm Kích thích cho vật dao động tự do theo phương thẳng đứng với biên

độ A = 6cm Trong một chu kì dao động,

thời gian lò xo bị nén là bao nhiêu?

t = = π =

π

ω

α

Ví dụ 10: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng được kích thích dao động

65cos(

x Góc O trùng với VTCB, trục tọa độ Ox cùng với trục của lò xo, hướng lên Khoảng thời gian vật đi từ thời điểm ban đầu lên độ cao cực đại lần thứ nhất là bao nhiêu?

)(33π

v

cm x

15

M1O

Ví dụ 11: (TS ĐH 2008)

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lược là 0,4(s) và 8(cm) Chọn trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, 0 trùng VTCB, góc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương, lấy g = π2= 10m/s2 Thời gian ngắn nhất kể tư khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là:

4 2

2

g k

mg l l

k

πω)/(

5

2

s rad

Tπ π

Tại t = 0,

20

sin

00

sin

ϕ

ϕϕ

A x

25cos(

π

α = + =

)(

O

M0

- Khi vật quét một góc Δφ = 2π (một chu kỳ thì qua một vị trí bất kỳ 2 lần , một lần theo chiều dương , một lần theo chiều âm )

Ví dụ : Vật d.đ.đ.d với phương trình : x = 6cos(5πt + π/6)cm (1) a.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trí x = 3cm mấy lần.

b.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương

Trước tiên ta biểu diễn pt (1) trên vòng tròn, với φ = π/6(rad)

-Vật xuất phát từ M , theo chiều âm (Hình 1)

a.Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s

=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2

Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 2)

- trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương )

- trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần

- còn lại Δφ2 = π/2 từ M →N vật qua x = 3cm một lần tại P(chiều âm )

Vậy: Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua x = 3cm được 13 lần

b.Trong khoảng thời gian Δt = 2 s

Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)

VD1 : Vật d.đ.đ.d với phương trình : x = 8cos(5πt – π/6)cm (1)

-30 0

M Hình 1 -8 0 +8

Xác định thời điểm đầu tiên :

a.vật qua vị trí biên dương.

b.vật qua vị trí cân bằng theo chiều

âm

c vật qua vị trí biên âm.

d vật qua vị trí cân bằng theo chiều

P

Q

K

30 0

Dạng 4 : Xác định thời điểm kể từ lúc t = t 0 vật qua vị trí có li độ x = x 1

lần thứ n vào thời điểm nào?

VD2 : Vật d.đ.đ.d với phương trình :

x = 5cos(5πt – 2π/3)cm Xác định thời điểm thứ 5 vật qua vị trí có li

độ x = – 2,5cm theo chiều âm

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li

độ x = – 2,5cm theo chiều âm : tại vị

trí N : Δφ1 = 2π/3 + π/2 + π/6 =

4π/3(rad)

Thời điểm thứ hai : Δφ2 = 2π(rad), (vì quay thêm một vòng)

Thời điểm thứ ba: Δφ3 = 2π(rad)

Thời điểm thứ tư : Δφ4 = 2π(rad)

Thời điểm thứ năm : Δφ5 = 2π(rad)

Vật xuất phát từ biên dương (xmax = +8)

Trong một chu kỳ thì vật qua vị trí x  4

được 2 lần tại M(chiều âm) và N(chiều dương)

đồng thời góc quét là : Δφ = 2π(rad)

Vậy khi quay được 1004 vòng (quanh

-120 0

N

π/6

Δφ1 = 1004.2π = 2008π(rad)

Còn lại một lần : từ +8 đến M : góc quét : Δφ2 = π/3(rad)

Vậy góc quét tổng cộng là: Δφ = Δφ1 + Δφ2 = 2008π + π/3 = 6025π/3(rad)

1 Một vật dao động điều hoà với phương trình x  4cos(4πt + π/6)

cm Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí x  2cm theo chiều dương

2.Vật dao động điều hòa có ptrình : x 5cosπt (cm).Vật qua VTCB

lần thứ 3 vào thời điểm :

3 Vật dao động điều hòa có phương trình : x  4cos(2πt - π) (cm, s)

Vật đến điểm biên dương B(+4) lần thứ 5 vào thời điểm :

A 4,5s B 2,5s C 2s D 0,5s.

3 Một vật dao động điều hòa có phương trình : x  6cos(πt  π/2)

(cm, s) Thời gian vật đi từ VTCB đến lúc qua điểm có x  3cm lần thứ 5 là :

5 Một vật dao động điều hòa có phương trình x  8cos10πt Thời

điểm vật đi qua vị trí x  4 lần thứ 2008 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :

6 Con lắc lò xo dao động điều hoà trên mặt phẳng ngang với chu kì

T  1,5s, biên độ A  4cm, pha ban đầu là 5π/6 Tính từ lúc t  0, vật

có toạ độ x  2 cm lần thứ 2005 vào thời điểm nào:

A 1503s B 1503,25s C 1502,25s D 1503,375s

Dạng 5: Xác định quảng đường mà vật đi được giữa hai sự kiện, vận tốc trung bình trên quãng đường xảy ra giữa hai sự kiện (Xác định

M14

π

O

quãng đường vật dao động điều hòa di chuyển được sau thời điểm t = t0

một khoảng thời gian t).

sin

cos28

ϕω

s rad m

k

/40

4,

Vậy S = S1 + S2 = 143,8(cm)

M16

πO

Ví Dụ 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình

))(

32

ω

)(3

2

10

)2

322

1(46cos2

A A A

S

+

=

++

=+

Tính quãng đường vật đi được trong thời gian ( )

60

31

s

t= kể từ lúc vật bắt đầu dao động?

Giải

)(

1

20

2

s t

s T

ω

S1 = 5.4A = 5.4.6 = 120 (cm)

)(332

363

sin

S = S1 + S2 = 120 +3 3 (cm)

3 Dạng ba: Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến

+ Biểu diễn và đếm trên vòng tròn và tính trực tiếp từ vòng tròn + Tính quãng đường:

- Khi quét Δφ1 = n1.2π thì s1 = n1.4.A

- Khi quét Δφ2 thì s2 tính trực tiếp từ vòng tròn

2

Min

− trong đó S là quãng đường vật đi được từ t 1 đến t 2

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2 ;

Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:

t

=

∆ với SMax; SMin tính như trên.

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao

động điều hòa với phương trình : x

 12cos(50t  π/2)cm Quãng đường

vật đi được trong khoảng thời gian

6 -6

3 -3

- Quãng đường tổng cộng là : s = s1+ s2 = 96 + 6 = 102cm =>ý C

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x 

6cos(20t  π/3)cm Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t

 13π/60(s), kể từ khi bắt đầu dao động là :

Trong Δφ2 = π/3 vật đi từ M →N thì s2 = 3 + 3 = 6 cm

Vậy s = s1 + s2 = 48 + 6 = 54cm => Đáp án D

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và

chu kì 1s Tại t = 0, vật đi qua VTCB theo chiều âm của trục toạ độ

a.Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s

kể từ thời điểm được chọn làm gốc là :

A 56,53cm B 50cm C 55,75cm

D 42cm

b.Tính tốc độ trung bình trong khoảng

thời gian trên

−

Ví dụ 4:Một chất điểm M dao động điều hòa theo phương trình:

1 Một vật dao động điều hoà với biên độ 4cm, cứ sau một khoảng

thời gian 1/4 giây thì động năng lại bằng thế năng Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1/6 giây là

A 8 cm B 6 cm C 2 cm.

D 4 cm

2.Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng

O với biên độ A và chu kỳ T Trong khoảng thời gian T/4, quãng đường nhỏ nhất mà vật có thể đi được là

A. A(2- 2) B A C A 3 D 1,5A

3 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s

Tại t = 0, vật đi qua VTCB theo chiều âm của trục toạ độ Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc là :

A 56,53cm B 50cm C 55,77cm D 42cm

4 Một vật dao động với phương trình x  4 2cos(5πt  3π/4)cm Quãng đường vật đi từ thời điểm t1  1/10(s) đến t2 = 6s là :

8 Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos (2πt –

π/3)cm.cm Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t1 = 1,5 s đến t2 =13/3 s