3 Bài 1 Rút gọn biểu thức a) b) c) d) e) f) Bài 2 Rút gọn biểu thức a) b) Bài 3 Cho biểu thức 1 Xác định x để A có nghĩa 2 Rút gọn A Bài4 Cho A = (với x 0) Tìm các giá trị của x để a) A > b) A < c) A Bài tập 5 Cho biểu thức (với ) Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để Bài 6 Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x = 3 2 Bài 7 Cho biểu thức với x > 0, x 4 a) Rút gọn P b) Tìm x để P + 3 = x Bài 8 Cho biểu thức với x > 0, x 1 a) Rút gọn.
Trang 1Bài 1: Rút gọn biểu thức
a)A 32 72 2 3 2 2
b)A 12 75 3 7 4 3
c)
1 1
2 2
d)
2
4
3 45 ( 5 1)
5 1
e)A 2 3 27 4 2 3
f) A 50 32 3 2 2
Bài 2: Rút gọn biểu thức
Bài 3 Cho biểu thức:
1 Xác định x để A có nghĩa
2 Rút gọn A
Bài4: Cho A = (với x 0).
Tìm các giá trị của x để:
a) A > b) A < c) A
Bài tập 5: Cho biểu thức:
.
x B
Rút gọn biểu thức B và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để
1 2
B
Bài 6: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x = 3 - 2
.
1
1
x
x
3
1
5
2
2 1
2
Trang 2a) Rút gọn P
b) Tìm x để P + 3 = x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để có giá trị là số nguyên dương
Bài 9
Cho biểu thức
.
B
Rút gọn biểu thức B và tìm giá trị của x để B= 3
Bài 10
Cho biểu thức
1 : 1 1
B
x
� � � � � �
(với x >0 , x�1).
Rút gọn biểu thức B Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức B nhận giá trị âm
Dạng 2: Hàm số
Bài 1 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có pt: y = 2(m+1)x - 3m + 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m = 3
b) C/m rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m
c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A;B Tìm m để x1 + x2 = 20
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P : y x 2và đường thẳng d : y 2 m 1 x 5 2m (m
là tham số)
Biết đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1, x2 Tìm m để
x x 6
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y =
2
1
2 x
Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là hoành độ giao điểm của (P) và (d): y = x – 4
Chứng minh: y1 y2 5( x1 x2) 0
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y =x2 và đường thẳng (d) có phương trình:
y = -2x + m ( với m là tham số)
a) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2
b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = 6 x1 x2
P 1
Trang 3Bài 5 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số)
1.Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3
2.Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn:
2 2
1 2 1 2
x x x x 2014.
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2ax + 1 và Parabol (P): y = -2x2
a Tìm a để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 5)
b Tìm a để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn
x x x x .
Bài 7 Gọi đồ thị hàm số y x 2 là parabol (P), đồ thị hàm số ym4 x2m5 là đường thẳng (d).
a Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là x x1; 2 Tìm các giá trị của m sao cho
x x .
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol =.
a) Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi
b) Gọi là hoành độ giao điểm của và Tìm để
Bài 9 Cho parabol ( ) : P y = x2 và đường thẳng d y : = mx + 3 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ( 1; 1)
A x y
, B x y ( 2; 2)
thỏa mãn y1+ - y2 x x1 2> 25.
Bài 10 Cho parabol (P):
2
1 4
và đường thẳng (D):
2
1 2
(m là tham số)
a) Cho m 2 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng phép toán.
b) Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A x y v B x y ( ; ) à ( ;1 1 2 2)sao cho 1
3 9 2
Dạng 3: Phương trình- hệ phương trình
1 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
1) x2 + 3x = 0 2) 6x2- 5x + 1 = 0
3) x2 - 2x - 3 = 0 4) x2 - 4x + 2 = 0
5) 3x2 + 5x + 60 = 0 6) 9x2 - 6x + 1 = 0
7) x2 – 6x + 14 = 0 8) 4x2 – 8x + 3 = 0
9) 3x2 + 5x + 2 = 0 10) -30x2 + 30x – 7,5 = 0
11) x2 – 4x + 2 = 0
12) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) 13) 1 2 x2 2 x 1 2 0
14) 2 x2 1 2 2 x 3 2 3 0 15) x2 1 2 x 2 0 16) 2- 3 x +2 3x- 2+ 3 =0 2
Bài 2: Cho phương trình :
Trang 4x2 2 m 1 x m2 4 m 5 0
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính 2
2
2
x theo m
Bài 3: Cho phương trình x2 4 x 3 8 0 có hai nghiệm là x1; x2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của
biểu thức : 1 32 13 2
2 2 2 1
2 1
5 5
6 10
6
x x x x
x x x x M
Bài 4: Cho phương trình: xx 2 m 2 x m 1 0
a) Giải phương trình khi m =2
1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của m để:
x1( 1 2 x2) x2( 1 2 x1) m2
Bài 5: Cho phương trình: x2mxn 30 (1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0 CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:
7
1
2 2
2 1
2 1
x x
x x
Bài 6: Cho phương trình: x2 2 k 2 x 2 k 5 0 ( k là tham số)
a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị của k sao cho 2 18
2
2
x
Bài 7: Cho phương trình: 2 m 1 x2 4 mx 4 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=1
b) Giải phương trình (1) khi m bất kì (Tìm nghiệm theo m)
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 8: Cho phương trình: x2 2 m 3 x m2 3 m 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 1 x1 x2 6
Bài 9: Tìm m để phương trình : x2 2 ( m 1 ) x m2 3 m 0 có 2 nghiệm x
1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 8
Bài 10: Tìm m để phương trình : x2 ( 2 m 1 ) x 4 m 3 0 có 2 nghiệm x
1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 10
Bài 11: Tìm m để phương trình : ( 2 m 1 ) x2 2 ( m 4 ) x 5 m 2 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn
16 x x
2
x
2
2
Bài 12: Tìm m để phương trình: ( m 1 ) x2 2 mx m 1 0 có 2 nghiệm x
1, x2 thoả mãn
0 2
5 x
x x
x 1
2 2
Trang 513: Tìm m để phương trình: mx2 ( m 4 ) x 2 m 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn
0 x x 5 )
x
x
(
2
2
Bài 14: Tìm m để phương trình : x2 ( m 2 ) x m 5 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn x x2 10
2
2
1 Bài 15: Tìm m để phương trình : x2 ( m 2 ) x 2 m 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn x x2 8
2
2
1 Bài 16: Tìm m để phương trình : x2 ( m 3 ) x 3 m 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn x x2 10
2
2
1
Bài 17: Tìm m để phương trình : x2 2 ( m 2 ) x 4 m 5 0 có 2 nghiệm x
1,x2 thoả mãn
1 x
x x
x 1
2 2
Bài 1 8: Tìm m để phương trình : ( m 2 ) x2 ( 2 m 1 ) x m 3 0 có 2 nghiệm x
1, x2 thoả mãn x1 = 2x2 Bài 1 9: Tìm m để phương trình : x2 2 ( m 1 ) x 4 m 3 0 có 2 nghiệm x
1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
b)
7
x y
x y
�
�
�
c)
x y
x y
�
�
�
e)
x y
x y
�
�
�
f)
25
x y
�
�
�
g)
x y
x y
�
�
�
h)
x y
�
�
�
Trang 6Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 3:
Cho hệ phương trình :
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4:
Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 1: Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C
cách bến B 72 km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược dòng là 15 phút Tính vận tốc riêng của ca
nô, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km so với
lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B
* Dạng toán công việc:
Bài 1: Một nhà máy theo kế hoạch làm một công việc Nếu hai dây chuyền sản xuất của nhà máy cùng làm chung thì
hoàn thành công việc sau 12 giờ Nếu làm riêng, để hoàn thành công việc thì dây chuyền sản xuất 1 làm lâu hơn dây chuyền sản xuất 2 là 7 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi dây chuyền sản xuất làm xong công việc trên trong bao lâu
Bài 2: Theo kế hoạch một công ty cần làm công việc gồm 312 sản phẩm trong một số ngày quy định Nhờ áp dụng
công nghệ tiên tiến nên mỗi ngày công ty đã làm được nhiều hơn hai sản phẩm so với số sản phẩm cần làm trong một ngày theo kế hoạch Do đó công ty đã hoàn thành công việc với thời gian ít hơn một ngày so với số ngày quy định Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày công ty cần làm được bao nhiêu sản phẩm
Bài 3: Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định Do mỗi ngày đội đó chở vượt
mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài 4: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy Sau khi hai vòi cùng chảy 8
giờ thì người ta khoá vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy Do tăng công suất vòi II lên gấp đôi, nên vòi II đã chảy đầy phần
bể còn lại trong 3 giờ rưỡi Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì phải bao lâu mới đầy bể?
* Dạng toán tìm số:
Bài 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng: Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số đã
cho là 9, tổng của số đã cho và số mới là 99 Tìm số đã cho
Bài 2: Cho một số tự nhiên có hai chữ số Tổng các chữ số của số đó bằng 6 Nếu cộng số đó với 18 thì thu được một
số tự nhiên cũng có hai chữ số của số đã cho nhưng được viết theo thứ tự ngược lại Tìm số đã cho
Bài tập hình tổng hợp
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = 3R Qua A kẻ 2 tiếptuyến AB và AC với đường tròn
(O) (B và C là hai tiếp điểm) Lấy điểm Mthuộc đường tròn (O)sao cho BM song song với AC Gọi N là giao
Trang 71) Chứng minh tứ giácABOC là tứ giác nội tiếp 2) ChứngminhKA2= KB.KN
3) Tính độ dài đoạn thẳng AK theo R 4) Tiếp tuyến M,N của (O)cắt nhau tại E.Chứng minh E,B,Cthẳng hàng
Bài 2: Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C khác B) Kẻ dây DE
của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC
a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng
c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N ( với M thuộc cung nhỏ � AD) Chứng minh rằng EM2DN2 AB2
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M,N (M
�B, N�C) Gọi H là giao điểm của BN và CM; P là giao điểm của AH và BC.
1 Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn
2 Chứng minh BM.BA=BP.BC
3 Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a
4 Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE, AF của đường tròn tâm O đường kính BC (E,F là các tiếp điểm) Chứng minh
ba điểm E, H, F thẳng hàng
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC Kẻ AH BC Gọi M và N là các hình chiếu vuông
góc của H trên AB và AC
1) Chứng minh AC2 CH.CB.
2) Chứng minh tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp và AC.BM + AB.CN =AH BC
3) Đường thẳng đi qua A cắt HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F Chứng minh BE // CF
Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O Các đường cao AD BE CF D , , ( thuộc BC E , thuộc
,
AC F thuộc AB ) của tam giác cắt nhau tại H M , là trung điểm của cạnh BC.
1 Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh các đường thẳng ME và MF là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
3 Chứng minh DE DF BC � .
Bài 6.
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) và nội tiếp trong đường tròn ( ).O Gọi D là điểm đối xứng của B qua O
Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm B lên AC và AO, với K khác O và thuộc đoạn thẳng
AO Gọi M là giao điểm của đường thẳng HK và BC
1) Chứng minh bốn điểm A B H K, , , cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh tam giác MHB cân
3) Chứng minh M là trung điểm của BC
Trang 8thời cắt ( )O tại hai điểm phân biệt P Q, Giả sử bán kính đường tròn ( )O bằng a Tính diện tích lớn nhất của tam giác OPQ theo a
Bài 7 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( ; ) O R và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại
H (E BC� , F�AC).
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: OCEF.
2 Cho tam giác ABC có ˆB, C ˆ là các góc nhọn và có diện tích không đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
Bài 8.
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R) (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN) Đường thẳng BC cắt MN
và AO lần lượt tại E và F Gọi I là trung điểm của MN
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn
b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của BIC � .
c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D Chứng minh rằng AMF ∽ AON và BC DN // .
d) Giả sử OA = 2R Tính diện tích tam giác ABC theo R
Bài 9.
Cho ( )O
đường kính AB =2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm
tuỳ ý trên cung nhỏ BM �
(K khác B M , ), H là giao điểm của AK vàMN .
a) Chứng minh rằng BCHK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AH AK = AM2
c) Xác định vị trí của điểm K để K M +KN +KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 10
1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H (E �
BC, F�AC)
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, E, F cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh rằng OC EF
2 Cho tam giác ABC có �B và C �
là các góc nhọn và có diện tích không đổi Tìm GTNN của biểu thức P = 2BC2+ AC2 + AB2
Bài 12.(3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của cung AB, trên cung nhỏ BM là
một điểm K bất kỳ Kẻ MH vuông góc AK ( H thuộc AK)
a) Chứng minh bốn điểm A,O,H,M thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tam giác MHK là tam giác vuông cân
c) Chứng minh OH là tia phân giác của góc MOK
d) Gọi P là hình chiếu vuông góc của K lên AB Xác định vị trí của K để chu vi tam giác OPK lớn nhất
Bài tổng hợp
Câu 1 (1,5 điểm)
1) Giải phương trình 2 x2 7 x 5 0 2) Giải hệ phương trình
3( 1) 4
�
�
�
Trang 91) Rút gọn biểu thức sau:
2
2) Cho biểu thức B =
3 x 3 1 1
3
x 3 x 3
x
x
� � � �
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị của x để B nhận giá trị nguyên
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 – 6x + 8 = 0 b) Giải hệ phương trình:
3( 2) 2 4
x y
�
�
�
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
1
3
2) Cho biểu thức :
1
B
với x 0; x � 1 a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị là số nguyên
Câu 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình
2
1
2
=
và đường thẳng (d) có
phương trình y = - x + m (m là tham số).
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2)
thỏa mãn x1.x2 + y1.y2=5