Đề thi PTNK https bit lyTC2223 VKTH 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán Thời gian làm bài 120 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lời tác giả Trong năm học 2022 2023, Trường Phổ thông Năng khiếu ĐHQG Tp HCM có sự thay đổi về cấu trúc đề thi tuyển sinh môn Toán không chuyên Cụ thể, đề thi năm nay gồm 2 phần 10 câu trắc nghiệm và 4 câu tự luận, thay vì chỉ có phần tự luận như trước đây Phần tự luận năm nay nhìn chung có dạng đề giống.
Trang 1Đề thi PTNK https://bit.ly/TC2223-VKTH
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lời tác giả Trong năm học 2022-2023, Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM có sự thay đổi về cấu trúc đề thi tuyển sinh môn Toán không chuyên Cụ thể, đề thi năm nay gồm 2 phần: 10 câu trắc nghiệm và 4 câu tự luận, thay vì chỉ có phần tự luận như trước đây
Phần tự luận năm nay nhìn chung có dạng đề giống các năm trước, bao gồm
○ Một câu biến đổi biểu thức chứa căn;
○ Một câu về hệ thức Viète;
○ Một câu phương trình vô tỉ dạng đơn giản;
○ Một câu hình học đo lường;
○ Một câu hỏi toán thực tế; và
○ Một bài hình tổng hợp
Dưới đây, chúng tôi xin giới thiệu phần tự luận của đề thi, cùng với hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu được biên tập ngay sau khi buổi thi kết thúc Phần trắc nghiệm sẽ sớm được gửi đến các bạn trong thời gian sớm nhất
Đây là tài liệu được chia sẻ miễn phí với mục đích phi lợi nhuận, mong các bạn chia sẻ cũng trên tinh thần phi lợi nhuận và tôn trọng tác giả Xin chân thành cảm ơn
Câu 1
a) Cho
M = √ 1
a + 2 +
5
a − 4, N =
√
a + 1 − √ 3
a − 1, a ≥ 0, a ̸= 1, a ̸= 4.
Tìm giá trị của a sao cho M · N = 3
b) Cho hình vuông ABCD và hình chữ nhật M N P Q với AB = M N Biết rằng tổng chu vi hai hình là 42cm, tổng diện tích hai hình là 55cm2 Tính độ dài đường chéo AC, biết M N
là chiều rộng hình chữ nhật
Lời giải.
a) Biến đổi biểu thức, ta được
M = √ 1
a + 2+
5
a − 4 =
√
a − 2 + 5
a − 4 =
√
a + 3
a − 4
N =√
a + 1 −√ 3
a − 1 =
a − 1 − 3
√
a − 1 =
a − 4
√
a − 1
M · N =
√
a + 3
√
a − 1.
Trang 2Đề thi PTNK https://bit.ly/TC2223-VKTH Như vậy,
M · N = 3 ⇔
√
a + 3
√
a − 1 = 3
⇔√a + 3 = 3√
a − 3 ⇔√
a = 6 ⇔√
a = 3 ⇔ a = 9
Do A = 9 thoả mãn điều kiện xác định của đề bài, a = 9 là giá trị cần tìm
b) Đặt M N = AB = a > 0, N P = b > 0(a < b) Khi đó,
ß 4a + 2(a + b) = 42
a2 + ab = 55 ⇒ß 3a + b = 21
a2+ ab = 55
⇒ a2+ a(21 − 3a) = 55 ⇒ −2a2+ 21a = 55
⇒ (2a − 11)(a − 5) = 0 ⇒
"
a = 11 2
a = 5
Với a = 11
2 , ta có
b = 21 − 3a = 21 − 33
2 =
9
2 < a, loại.
Với a = 5, ta có
b = 21 − 3a = 21 − 15 = 6 > a, nhận
Thử lại đúng Vậy AC = a√
2 = 5√
2cm
□
Câu 2
a) Giải phương trình:
x4− 5x2− 36 (√2x + 3 + x − 6) = 0
b) Tổ chức Sẻ Projectalà dự án thiện nguyện được thành lập bởi học sinh khối Văn trường Phổ thông Năng Khiếu, mục đích sẻ chia và giúp đỡ trẻ em và người lớn tuổi có hoàn cảnh khó khăn, với các hoạt động như quyên góp dụng cụ học tập, quần áo, kinh phí cho các bạn học sinh nghèo,
Biết rằng, số tiền quyên góp được trong năm 2020 bằng 70% số tiền quyên góp được trong năm 2021 nhưng lại cao hơn số tiền quyên góp được trong năm 2019 là 40% Trong năm
2022, số tiền mà dự án quyên góp được gấp 3 lần số tiền quyên góp được trong năm 2021
và đồng thời nhiều hơn số tiền quyên góp được trong 2019 là 50 triệu Như vậy, số tiền Sẻ Project đã quyên góp được trong năm 2020 là bao nhiêu?
a Tìm hiểu thêm về Sẻ Project tại https://www.facebook.com/seprojectptnk
Lời giải.
a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3
2 Ta có
x4− 5x2− 36 (√2x + 3 + x − 6) = 0
⇔ x2+ 4
x2− 9 (√2x + 3 + x − 6) = 0 ⇔ï x
2− 9 = 0
√ 2x + 3 = 6 − x .
Trang 3Đề thi PTNK https://bit.ly/TC2223-VKTH
Phương trình đầu tiên cho ta hai nghiệm x = 3 và x = −3 So với ĐKXĐ, ta loại nghiệm x = −3, giữ lại nghiệm x = 3 Biến đổi phương trình thứ hai, ta được
ß 2x + 3 = (6 − x)2
ß 2x + 3 = x2− 12x + 36
ß x2− 14x + 33 = 0
x ⩽ 6
⇔ß (x − 3)(x − 11) = 0
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
b) Gọi t2019, t2020, t2021, t2022 lần lượt là số tiền Sẻ Project quyên góp được cho năm 2019, 2020, 2021
và 2022 Từ đề bài, ta có
t2020 = 0, 7t2021
t2020− t2019 = 0, 4 · t2019
t2022 = 3t2021
t2022− t2019 = 50.000.000 Phương trình thứ hai cho ta
t2020 = 1, 4 · t2019 Kết hợp với phương trình đầu tiên, ta có
1, 4t2019 = 0, 7t2021 ⇔ t2019 = 0, 5t2021 Thay vào phương trình thứ tư:
3t2021− 0, 5t2021 = 50.000.000
hay
2, 5t2021 = 50.000.000 ⇔ t2021 = 20.000.000
Từ đó,
t2019 = 0, 5t2021 = 0, 5 · 20.000.000 = 10.000.000, và
t2020 = 1, 4t2019 = 1.4 · 10.000.000 = 14.000.000
Vậy năm 2020, Sẻ Project quyên góp được 14 triệu đồng chẵn
□
Câu 3 Cho phương trình
x2 − 2(m + 2)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa
2(m + 2)x1+ x22 = 35 − 2m
Lời giải.
a) Ta có
∆ = 4(m + 2)2− 4(2m + 1) = 4(m + 1)2+ 8 > 0 ∀ m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Trang 4Đề thi PTNK https://bit.ly/TC2223-VKTH
b) Theo hệ thức Viète:
ß x1+ x2 = 2(m + 2)
x1x2 = 2m + 1 .
Ta có
x21− 2(m + 2)x1+ 2m + 1 = 0 ⇒ 2(m + 2)x1 = x21+ 2m + 1
Như vậy,
2(m + 2)x1+ x22 = 35 − 2m ↔ x21+ 2m + 1 + x22 = 35 − 2m
⇔ (x1+ x2)2 − 2x1x2+ 4m − 39 = 0
⇔ 4(m + 2)2− 2(2m + 1) + 4m − 34 = 0
⇔ 4(m + 2)2 = 36 ⇔ ï m + 2 = 3
m + 2 = −3 ⇔ ï m = 1
m = −5 Vậy m = 1 và m = −5 thoả mãn điều kiện đề bài
□
Câu 4 Cho △ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M thuộc cung nhỏ AB (M khác A, B) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B, C cắt AM theo thứ tự tại E, F Gọi N là giao điểm của
BF, CE
a) Tính BC theo R Chúng minh AB ∥ CF và AB · AC = BE · CF b) Chứng minh △CEB ∽ △BF C Chứng minh tứ giác MN CF nội tiếp
c) M N cắt BC tại D Chứng minh: DN · DM = DC2 và D là trung điểm BC
Lời giải.
C B
A
M
E
F
N
D
T
O
Trang 5Đề thi PTNK https://bit.ly/TC2223-VKTH a) △ABC đều cho ta
’ BAC = ’ABC = ’ACB = 60◦, AB = BC = CA
Gọi T là trung điểm của AC Do △OAC cân tại O (OA = OC = R) nên OT ⊥ AC và OT là tia phân giác của ’AOC Do đó
’ AOT = AOC’
2 ’ABC
2 = ’ABC = 60
◦ Như vậy,
AT = AO · sin 60◦ = R ·
√ 3
2 .
Từ đó,
BC = AC = 2AT = R√
3
Vì CF là tiếp tuyến của (O) nên
’ ACF = ’ABC = 60◦ = ’BAC ⇒ AB ∥ CF
Vì BE là tiếp tuyến của (O) nên
’ ABE = 60◦ = ’ACF
Do AB ∥ CF nên
’ EAB = ’AF C
Xét hai tam giác △ABE và △F CA, chúng ta có:
○ ABE = ’’ F CA = 60◦
○ EAB = ’’ AF C
⇒ △ABE ∼ △F CA (g.g) ⇒ AB
F C =
BE
CA ⇒ AB · AC = BE · CF
b) Ta có BE · CF = AB · AC = BC2 nên
BC
EB =
CF
BC.
Vì AB ∥ CF nên
’ ABC + ’BCF = 180◦ ⇒ ’BCF = 180◦− ’ABC = 180◦− 60◦ = 120◦
△BCF và △EBC có:
○ BC
EB =
CF BC
○ BCF = ’’ EBC
⇒ △BCF ∼ △EBC (c.g.c) ⇒ ’CBF = ’BEC và ’CF B = ’BCE
Từ đó, vì ’CN F là góc ngoài của △BN C nên
’
CN F = ’N BC + ’N CB = ’N BC + ’CF B
= 180◦− ’BCF = 180◦− 120◦ = 60◦
= ’ABC = ÷AM C
Như vậy, chúng ta kết luận rằng tứ giác M N CF nội tiếp
Trang 6c) Vì tứ giác M N CF nội tiếp nên
÷
N M C = ’N F C = ’N CB
Xét hai tam giác △DN C và △DCM , chúng ta có:
○ Góc chung ÷M DC
○ DCM = ÷÷ DM C
⇒ △DN C ∼ △DCM (g.g) ⇒ DN
DC =
DC
DM ⇒ DM · DN = DC2
Ta lại có ’BN E = ’CN F = 60◦ (hai góc đối đỉnh), mà ÷BM E = ’ACB = 60◦ nên ÷BM E = ’BN E
⇒ BEM N là tứ giác nội tiếp ⇒ ÷BM N = ’BEN = ’N BC
Xét hai tam giác △DN B và △DBM , chúng ta có:
○ Góc chung ÷M DB
○ DBM = ÷÷ DM B
⇒ △DN B ∼ △DBM (g.g) ⇒ DN
DB =
DB
DM ⇒ DM · DN = DB2 Vậy DB2 = DC2, hay DB = DC, mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC
□ HẾT
Trang 7NĂM HỌC 2022 – 2023
KẾ HOẠCH LỚP 8 - 9 CHUYÊN TOÁN
Lương Văn Khải - Nguyễn Tiến Hoàng
Tóm tắt nội dung
Lớp 8 và lớp 9 chuyên Toán được mở ra với các mục đích sau:
1 Giúp các bạn học sinh lớp 8 làm quen với cách học và các kĩ năng học chuyên Toán Đây là khoảng thời gian thích hợp để bắt đầu luyện tập kĩ năng tự học, luyện tập tính kiên trì trong suốt quá trình học, cũng như xây dựng thói quen dành nhiều thời gian làm bài tập hàng ngày
2 Chuẩn bị nền tảng kiến thức cho năm học trọng điểm lớp 9 Chương trình Toán THCS có sự liền mạch rõ rệt trong suốt 4 năm học, do đó việc học trước một số chủ đề Toán chuyên từ sớm là cần thiết
3 Đối với lớp 9, chuẩn bị kiến thức cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán, với mục tiêu hướng đến những trường có khối chuyên mạnh và truyền thống đào tạo tốt
4 Rèn luyện, củng cố các kỹ năng giải Toán, cũng như bước đầu làm quen với cách lập luận bài bản, chính xác, tuần tự Các kỹ năng này rất có ích khi học chương trình THPT chuyên, đặc biệt là hướng đến các kỳ thi Olympic mức độ cao hơn ở bậc THPT
5 Thúc đẩy tinh thần tự học, kiên trì tìm tòi và sáng tạo của học sinh
6 Xây dựng cộng đồng học tập tương trợ cùng phát triển Thực tế cho thấy nhiều học sinh xuất sắc của thế hệ trước đã rất tích cực tham gia các cộng đồng tương tự; hình thức của thời kỳ đó chủ yếu là các diễn đàn
Trang 81 Giới thiệu chung
1 Tên môn học: Toán chuyên 8, Toán chuyên 9
2 Số buổi học: 2 buổi/tuần
3 Hình thức: online qua Zoom Quản lý bằng Google Classroom, có nhóm trao đổi qua Zalo để các bạn học sinh tuỳ ý thắc mắc và thảo luận
4 Thời gian:
• Lớp 8 chuyên Toán: 17:15 ∼ 19:00 thứ bảy và chủ nhật Khai giảng vào ngày thứ bảy 18/06
• Lớp 9 chuyên Toán: 19:15 ∼ 21:00 thứ ba và chủ nhật Khai giảng vào ngày thứ ba 14/06
5 Phụ trách lớp:
(a) Lương Văn Khải (Email: vankhai8dpct@gmail.com)
• HLV trưởng Gặp gỡ Toán học và Trường đông Toán học miền Nam giai đoạn 2017-2018
• Biên tập viên nhiều ấn phẩm về Toán Olympic THPT và Toán chuyên THCS
• Đồng sáng lập blog "Toán học cho mọi người"
• Thành viên BTC nhiều kỳ thi Toán tiếng Anh tại Việt Nam
(b) Nguyễn Tiến Hoàng (Email: hoang.leo.face@gmail.com)
• Huấn luyện viên Gặp gỡ Toán học giai đoạn 2019-2021
• Giải Nhất Đại số và Giải tích, Olympic Toán Sinh viên Toàn quốc năm 2022
• Giải Nhì Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2019
• Huy chương vàng Olympic 30/4 môn Toán các năm 2017, 2018
6 Học phí dự kiến: mỗi lớp 2,000,000 đ/tháng Học sinh có thể học thử miễn phí trong hai tuần đầu
2
Trang 92 Đăng ký
Truy cập
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfWnlQOFSCdtQ7Z466_
mY-V8ITeUJ2ZdakBw0pbGi29mru9Ig/viewform
hoặc quét mã QR
để đăng ký
3.1 Đại số
1 Các hằng đẳng thức Các bài toán biến đổi đại số
2 Bất đẳng thức: các phương pháp cơ bản, AM-GM, Cauchy-Schwarz
3 Phương trình và bất phương trình đưa về dạng đa thức
3
Trang 103.2 Số học
1 Phép chia hết và phép chia có dư
2 Số chính phương Số nguyên tố - Hợp số
3 Phương trình nghiệm nguyên cơ bản
3.3 Hình học
1 Các tứ giác đặc biệt Diện tích và ứng dụng
2 Định lý Thalès Tỉ lệ và tam giác đồng dạng
3 Các định lý về thẳng hàng và đồng quy: Menelaus, Ceva
3.4 Tổ hợp
1 Nguyên lý Dirichlet
2 Nguyên lý cực hạn
3 Nguyên lý quy nạp
4 Các bài toán suy luận
4
Trang 114 Nội dung học lớp 9 chuyên Toán
4.1 Đại số
1 Căn thức và ứng dụng
2 Phương trình và hệ phương trình
3 Các vấn đề về hàm số bậc hai
4 Một số chủ điểm bất đẳng thức và đa thức
4.2 Số học
1 Ước và bội Các bài toán về tính chất chia hết
2 Đồng dư thức Định lý Fermat, Wilson, Euler
3 Ứng dụng trong bài toán phương trình nghiệm nguyên
4.3 Hình học
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông Tỉ số lượng giác
2 Cơ bản về đường tròn Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp
3 Góc nội tiếp Tứ giác nội tiếp
4 Định lý và mô hình hình học Điểm và đường cố định
4.4 Tổ hợp
1 Các phương pháp chứng minh tổ hợp
2 Suy luận trong bài toán tổ hợp
3 Giới thiệu về bài toán đếm
5