Chuyên đề tam giác đồng dạng

Phiếu học tập tuần toán 7 Tailieumontoan com  Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 8 năm 2021 Website tailieumontoan com BÀI 1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC I Tóm tắt lý thuyết 1 Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' và C ' D ' nếu AB A ' B ' CD C ' D ' = (hoặc AB CD A ' B ' C ' D ' = ) 2 Định lý Ta – lét Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường[.]

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 8 năm 2021

BÀI 1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC

2 Định lý Ta – lét

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường

thẳng định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

E D

C B

Bài 2: Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB 3

BC = 5 và BC 5

CD = 6 a) Tính tỉ số AB

CD b) Cho biết AD 28cm= Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD

Bài 3:Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AD AE

AB =AC

a) Chứng minh AD AE

BD = EC b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm= = và AE 4cm= Tính AC

E D

C B

Hướng Dẫn:

a) HS tự làm b) Tìm được 4

3

EC= cm

D ạng 2 Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét

Bước 2 Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ

Hướng Dẫn:

HS tự làm

Đáp số: AE=2cm EC; =3, 5cm và AC=5, 5cm

Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD 3

BC = 4, điểm E trên đoạn AD sao cho

D ạng 3 Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét

Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh

được hệ thức đề bài yêu cầu

Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Một đường thẳng song song với AB cắt các

cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E và F Chứng minh ED BF 1

Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC Qua E kẻ đường

thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt

AC ở F Chứng minh CF DK.=

Hướng Dẫn:

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF=AD (1)

Kẻ MG//AC (G ∈ AB), ta được G là trung điểm của AB Áp dụng định lý Ta-lét trong

ABC

∆ , ta có: CF AC

EF = AB (2) Tương tự với ∆AGMvà ∆ABC, ta có:

a) Chứng minh được M là trực tâm ∆HNCnên: MN ⊥HC, từ đó suy ra MN/ /AB hay

/ /

MN DB Theo tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD

b) Ta có IH/ /DN và HK/ /NCnên chứng minh được HI HK

DB = Trong ba điểm A B D; ; điểm nào nằm

giữa hai điểm còn lại? tính độ dài DB

b) Nếu điểm Dnằm giữa hai điểm còn lại thì trái với giả thiếtD thuộc tia đối của tia BA

Nếu điểm A nằm giữa hai điểm còn lại thì DA AB DB+ = ⇒DA<DB, trái với 3

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB=5cm.Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho CA CB: =3 : 4

−

5

3 4 4 3 1 nên CA=15cm

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB=12cm Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 1: 3 , điểm D

chia trong đoạn thẳng BA theo tỉ số 1: 3

a) Giải thích vì sao điểm C nằm giữa A và D

Hướng Dẫn:

Tính được CA=12cm CB, =30cm CO, =9cm

Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB Qua M kẻ đường thẳng song song với BC

cắt AC ở N Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm.= = = Tính độ dài các đoạn AN, NC

Hướng Dẫn:

Tương tự 2A Tính được AN = 22cm, NC = 16cm

Bài 9: Cho xAy, trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho

FD EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H Chứng minh AE2 =AD.AH

thẳng song song với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H Đường thẳng

kẻ qua F song song với BD cắt CD ở G Chứng minh AH.CD AD.CG.=

Kẻ CH ⊥ AB tại H vì tam giác ABC vuông cân tại C nên đường cao CH đồng thời là

đường trung tuyến

Gọi G là giao điểm AH và AM

Suy ra G là trong tâm tam giác ABC AG 2

2

BD

Bài 12: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các

cạnh AB, BC lần lượt ở D và E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết DA+EC=16cm và chu vi tam giác ABC bằng 75cm

Hướng Dẫn:

Vẽ DN // BC ⇒ DNCE là hbh ⇒ DE = NC Và DB=2DA, DE = 18 cm

Bài 13: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt

cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA

Bài 14: Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B′, C′ sao cho

′ ′

= Qua B′ vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C′′

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC′ và AC′′

b) Chứng minh B′C′ // BC

Hướng Dẫn:

a) AC′ = AC′′ b) C′ trùng với C′′ ⇒ B′C′ // BC

Bài 15: Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB, AC

và đường cao AH lần lượt tại B′, C′, H′

Bài 17: Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI

= IH Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2

a) Chứng minh: OA OB IM = IB và IM IB OD

IP = ID OB b) Chứng minh: IM IN

IP = IQ

Hướng Dẫn:

Sử dụng định lí Ta-lét

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh

CD Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau

HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC

Bài 20: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD

ở M, cắt cạnh BC ở N Biết rằng DM CN m MA = NB = n Chứng minh rằng: MN mAB nCD

Hướng Dẫn:

Tính riêng từng tỉ số MN MP AB CD; , rồi cộng lại

Bài 22: Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC ở

= Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK Tính diện tích tam giác ABC,

biết diện tích tam giác BQC bằng a cm2( 2)

Qua D vẽ DD′// AE Tính được DD ME′ = ⇒76 CM CD = ⇒ 67 S CMA 6S CAD 2S ABC 2S

Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên

hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

E D

C B

H ệ quả của định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song

song với cạnh còn lại thì tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

E D

C B

KL AD AE DE

AB = AC = BC

Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác

và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:

D

C B

C B

A

AD AE DE

AB =AC = BC

II Các d ạng bài tập

D ạng 1 Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác

Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh các đoạn thẳng song song Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB CD ) Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD là M và

N Chứng minh: MN, AB và CD song song với nhau

Hướng Dẫn:

Gọi P là trung điểm của AD Ta chứng minh được NP và MP lần lượt là đường trung bình

của ABD∆ và ∆ADC nên suy ra NP//AB và MP//DC Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng ⇒MN/ /AB/ /DC

Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC 4CM.= Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho CN 1

AN =3 Chứng minh MN song song với AB

Hướng Dẫn:

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các

đoạn thẳng tỉ lệ

Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian

(nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy

ra các đoạn thẳng bằng nhau

Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC = m Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE =

EB Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự ở M và N Tính độ dài các đoạn thẳng DM và EN theo m

a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với BC Q( ∈BC) Chứng minh được Q là trung điểm

của BC và NQ//AB suy ra ĐPCM

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có B D 90  = = 0 Gọi M là điểm bất kì trên đường chéo AC Gọi N và P

lần lượt là hình chiếu của M trên BC và AD Chứng minh MN MP 1

C B AH

AH' = ' '

b) Biết AH’ =

3

1AH; S∆ABC = 67,5cm2

C H H B

+

+ ' '''

=

BC

C

B' '(đpcm)

b) Từ

BC

C B AH

C B AH

'''

=

ABC

C AB

1 ⇒ (

AH

AH '

)2 = (3

1)2 = 91

Vậy

ABC

C AB

1 ⇒

5,67

⇒ S∆AB’C’ =

9

5,67 = 7,5(cm2)

D ạng 3 Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Xét các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giác để chứng minh

các đường thẳng song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận và hệ quả của định lý Ta – lét để

có được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ)

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM song song với

BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC

Hướng Dẫn:

Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra AI AM

AB = AK và AN AK

AI = AC

Do đó AN AM

AB = AC ⇒ ĐPCM

Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM Gọi E là giao điểm của

BI và AC, F là giao điểm của CI và AB Chứng minh EF song song với BC

Bài 3: Cho ∆ABC điểm D∈AC, điểm E∈AC sao cho: CD=1 CA; BE=1 BA

3 3 Gọi O là giao điểm của BD và CE Tính tỉ số OD

O A

OD =OC do đó EG DC

Chú ý Cách giải khác

Ta có BGAD nên S ABD =S AGD Cùng trừ đi S AOD ta được S AOB =S DOG (1)

Chứng minh tương tự S AOB =S COE (2)

Từ (1) và (2) suy ra S DOG =S COE Cùng trừ đi S EOG được S DEG =S CEG do đó EG DC

Bài 5: Cho điểm M nằm trên cạnh AB của tứ giác ABCD Vẽ ME BD E( ∈AD), vẽ

A

B

C

D M

Cách 1 (không dùng định lí Talet đảo)

DC DK

⇒ = ⇒ 

Chú ý Bài toán này cho ta bài toán dựng hình: cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của

nó Qua điểm C nằm ngoài đường thẳng AB, chỉ dùng thước dựng đường thẳng song song với

AB

Bài 7: Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên BC Các đường song song với AM vẽ từ B và

C cắt AC, AB tại N và P Chứng minh

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM và

BD, K là giao điểm BM và AC

a) Chứng minh IK//AB

b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo lần lượt E, F Chứng minh EI = IK = KF

Hướng Dẫn:

a) Theo giải thiết AB//CD nên theo định lý Talet ta có

IA = KB ⇒ (theo định lí Talet đảo)

b)Theo chứng minh câu a ta có IE//CD

Bài 9: Cho tam giác ABC và trung tuyến AD Một đường thẳng bất kỳ song song với AD cắt cạnh

BC, đường thẳng CA, AB lần lượt tại E, N, M Chứng minh EM EN 2

Bài 12:∆ABC có: AB=4cm; BC=8cm; AC=6cm Một đường thẳng song song với BC cắt AB

và AC theo thứ tự tại M và N sao cho BM = AN Tính độ dài AN;MN ?

Hướng Dẫn:

Bài 13: Qua giao điểm O của đường chéo hình thang ABCD, vẽ các đường thẳng thứ tự song song

với các cạnh bên AD và BC, cắt đáy DC tại M và N Chứng minh rằng DM =CN

Hướng Dẫn:

Chứng minh rằng DM =CN

DC CD

Bài 14: Hình thang ABCD có các đáy AB và CD thứ tự dài 12cm và 30cm, các cạnh bên AD và BC

thứ tự dài 9 cm và 15 cm Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở O Tính độ dài OA, OB

E A

D

Bài 16: Cho tam giác ABC Hình thoi BEDF có E∈AB; D∈AC; F∈BC

a) Biết cạnh hình thoi bằng 30cm ; DA=24cm; DC=36cm Tính độ dài AB; AC

Bài 17: Cho tam giác ABC, G là trong tâm Qua G kẻ đường thẳng song song với AB nó cắt BC tại

D, kẻ đường thẳng song song với AC, nó cắt BC tại E So sánh tỉ số BD EC;

BC BC

Hướng Dẫn:

Vì G là trong tâm tam giác ABC nên ta có 2

Qua C vẽ đường thẳng AD cắt AB tại F Qua F lại kẻ đường thẳng song song AC cắt BC tại P Chứng minh rằng

Áp dụng định lí đảo Talet ta có MP//AB

b) Gọi I là giao điểm của BD và CF Theo câu a ta có

M thẳng hàng, nói cách khác, MP phải đi qua giao điểm I của BD và CF

Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng bất kỳ qua A cắt đoạn BD, đường thẳng CD và

BC lần lượt tai E, F và G Chứng minh rằng

a =CG ⇒ = không đổi

Bài 2: Cho tam giác ABC Với G là trọng tâm Một đường thẳng bất kì qua G cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh AC AB 3

Bài 4: Cho tam giác ABC Kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC tại E Qua C

kẻ Cx song song với AB, cắt DE ở G Gọi H là giao điểm của AC và BG Kẻ HI song song với AB

Trong tam giác AD//CG nên DE DA

Qua B vẽ BD//Ox, D∈Oz Và DE//Oz, E ∈Ox

Ta có tứ giác ODBE là hình bình hành mà OB là tia phân giác của góc AOC, nên ODBE là hình thoi

Suy ra DB = BE

Tam giác AOC có BD//OA nên BD CB

thuộc AB); qua E kẻ EG vuông góc với AC Chứng minh:

a) AD.AE AB.AG AC.AF;= =

b) FG song song với BC

Hướng Dẫn:

Bài 8: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm

của MA và BD, F là giao điểm của MB và AC

a) Chứng minh EF song song với AB

b) Đường thẳng EF cắt AD, BC lần lượt tại H và N Chứng minh: HE = EF = FN

Bài 9: (ĐỊnh lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R

Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thì PB QC RA 1

a) Cho tia Ax nằm giữa hai tia AB và AD Chứng minh rằng, với mọi điểm M bất kì thuộc tia Ax, tỉ số các khoảng cách từ M đến AB và từ M đến AD không đổi

b) Cho hình bình hành ABCDcó AB=a; AD=b; M là một điểm thuộc đường chéo AC Tính tỉ số các khoảng cách từ M đến AB và từ M đến AD

E

C' C

B' B

Bài 12: Một chiếc thang tre có 8 gióng ngang cách đều nhau, gióng trên cùng dài 30cm, gióng

cuối cùng dài 44cm Tính độ dài các gióng còn lại

Bài 14:Hình thang ABCD (AB CD), O là giao điểm của hai đường chéo Qua O vẽ đường

thẳng song song với hai đấy, cắt AD và BC thứu tự ở E và G Tính các độ dài OE;OG biết rằng

AB a;CD b

Hướng Dẫn:

G E

a b

=+

Tương tự: OG ab

a b

=+

Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G,

H sao cho AE AH CF CG

AB = AD CB CD= =

a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành

b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi

Hướng Dẫn:

b) Gọi I, J là giao điểm của AC với HE và GF ⇒ P EFGH =2(AI IJ JC+ + ) 2= AC

Bài 16: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM

và BD, K là giao điểm của BM và AC

Bài 17: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt

AC tại M và AB tại K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB tại F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC tại P Chứng minh rằng:

a) MP song song với AB

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy

Hướng Dẫn:

b) Gọi I là giao điểm của DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng

song với BC qua O, cắt AB ở E và đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD ở F

a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD

b) Từ O vẽ các đường thẳng song song với AB và AD, cắt BC và DC lần lượt tại G và H

Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH

Hướng Dẫn:

a) Chứng minh AE AB AD= AF b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH

Bài 19: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC Chứng minh rằng

a) ∆ADE∼∆ABC

b) Tìm tỉ số đồng dạng

Hướng Dẫn:

D

C B

AB =>BC//ED(Định lý Talet đảo)

=>∆ADE∼∆ABC(định lý hai tam giác đồng dạng)

b) = 2

AB

AD

Bài 20: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I Gọi E là giao điểm của DI và CB Gọi J

là giao điểm của AE và CI Chứng minh BJ vuông góc DE

AFD+FAK=90 , hay EA⊥DF

CDO + ADE = 90 nên   0

CDO+DCF=90 , như vậy ta có ED⊥CF

Từ đây suy ra I là trực tâm tam giác CEF và H là trực tâm tam giác DEF, suy ra CI⊥EF,

Bài 21: Cho tam giác AOB có AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm.= = = Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD 3cm= Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO ở C Gọi F là giao điểm của AD và BC Tính:

Bài 22: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là giao điểm

của AD và BC OM cắt CD tại N Chứng minh N là trung điểm của CD