Algebra trigonometry earl swokowski

lf·i411iji-ii Funciones polinomiales y racionales 183 3.1 Funciones polinomiales de gr.ido mayor que 2 184 lf·iQlílJl•ii Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas 249 4.1 Funci

Laura Isabel Mora Reyes

Escuela Nacional Preparatoria Número 6

Universidad Nacional Autónoma de Méxteo

Ale¡andro Chávez Ochoa

César Augusto Hemández flores

Jonathan Galván Colln

Preparatoria

Tecnológico de Monterrey

Campus Ciudad de México

María de Guadalupe Arro'JO Santisteban

Vinicio Pérez Fonseca

Jo~ Cruz Ramos Báez

Ignacio García Juárez

Universidad Panamencana ECEE

CENGAGE learning·

www.pdfgrip.com

Earl w Swokowskl Jefícry A Cole

Gerente editorial de contenidos en espaftol

Jesüs Mares Ch1eón

Gerente de Adqulskiones para LatlnoamMca:

Claudia C Caray Castro

Gerente de Manufactura para LatinOJimérica:

Antonio Matees Martínez

Gerente de Desarrollo Editorial en Espai\ot

Pitar Hern~ndez Santamarlna

Gerente de Proytttos Especialu:

Mariana Slcrra Enriquez

O 0.R 2018 por Ccngage Lcarnlng Editores, SA de

C.V • una Compaflla de Ccngage Learnlng lnc

Carretera Mtxlco · Toluca núm 5420 Oficina 2301

Col El Y~ul °"l Cuajima1pa, C.P 05320 Ciudad de Wxlco

Cengage Learnlng® es una marca registrada usada bajo permiso

DERECHOS RESERVADOS Ninguna parte de este trabajo amparado por la ley Federal del Derecho de Autor podrá ~r reproducida, transmitid¡, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea griifko electrónko o mednko Incluyendo pe10 sln llm!taf"l-e a lo siguiente: fotocopiado, rcproducctón, escaneo, digiulizadón, grabación en audta, distribución en lnterllt't, distribuckm en redes de Información o almacenamiento y recopilación en sistemas

de Información a excepción de lo permitido

en el Capítulo 111, Articulo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento

por escrito de la Editotlal.Reg 503 Traducido del libro

Pr«.olculus: Functlons ond Grophs

Twelfth Edltlon, Enhonctd Edition

Earl W SwokowskJ, Jtffery A Cok

Publicado en lng"s por Cengagc lcarning 0 2017 ISBN: 978-1-lOS-66309-1 Datos para catalogación b1bliogr.iftca: Swokowskl, Earl W.; Cole Jeffcry A

Pr«dlculo

Álg<bro y Trlgonom,lrlo con gtomttría onohlko

www.pdfgrip.com

Capllulo J Ejercicios de repaso 75

Capítulo I Ejercicios para análisis 77

Capítulo I Examen 79

ii,\4ii'Ji•fj Funciones Y gráficas 81

2.1 Sistemas de coordenadas rectangulares 82 2.2 Gráficas de ecuaciones 89

2.3 Rectas 104

2.4 Definición de función 120

2.5 Gráficas de funciones 136

2.6 Funciones cuadráticas 151

2.7 Operaciones con funciones 165

Capitulo 1 Ejercicios para análisis 180

Capítulo 2 Examen 181

www.pdfgrip.com

lf·i411iji-ii Funciones polinomiales y racionales 183

3.1 Funciones polinomiales de gr.ido mayor que 2 184

lf·iQlílJl•ii Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas 249

4.1 Funciones inversas 250

4.2 Funciones exponenciales 261

4.3 La función exponencial natural 274

4.4 Funciones logarítmicas 283

4.S Propiedades de los logaritmos 297

4.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 305

Capiwlo 4 Ejercicios de repaso 316 Capiwlo 4 Ejercicios para tmálisis 3 19

Capiwlo 4 Examen 322

fi·i?IUll•Jj Funciones trigonométricas 323

5.1 Á ngulos 324

S.2 Funciones trigonométricas de los ángulos 334

S3 Funciones trigonométricas de los números reales 349

S.4 Valores de las funciones trigonométricas 366

lf·iQHU(el) 1 Trigonometría analítica 415

6.1 Verificación de idcntídadcs trigonométricas 416

6.2 Ecuaciones trigonométricas 422

6.3 Fónnulas de suma y resta 436

6.4 Fónnulas de múltiplos de un ángulo 446

6.S Fónnulas de producto a suma y suma a producto 455

6.6 Funciones trigonométricas inversas 460

Capítulo 6 Ejercicios de repaso 415 Capítulo 6 Ejercicios para tmólisis 4 77

Capíwlo 6 Examen 479

lf·\Qfi'Jl•fi Aplicaciones de trigonometría 481

7.1 Ley de los senos 482

7.2 Ley de los cosenos 491

7.3 Vectores 500

7.4 El producto punto 514

7.S Fonna trigonométrica de números complejos 524

7.6 Teorema de De Moivrc y las raíces n•ésimas de números complejos 530

Capítulo 7 Ejercicios de repaso 535

Ct1pítulo 7 Ejercicios pt1rt1 tuuílisis 538

8.9 Propiedades de los determinantes 613

8.10 Fracciones parciales 621

Capiwlo 8 Ejerr:icios para análisis 630 Capitulo 8 Examen 632

li·SQl(IJl•JM Sucesiones, serles y probabilidad 635

Capíwlo 9 Ejercicios para tmólisis 71 t

Capiwlo JO Ejercicios para análisis 784

www.pdfgrip.com

Apéndices

1 Gráficas comunes y sus ecuaciones AP2

11 Resumen de transformaciones gráficas A P4

111 Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas A P6

IV Valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales

en una unidad circular AP8 Respuestas de ejercicios seleccionados A 1

Índice analítico A85

www.pdfgrip.com

Lista de temas a estudiar

con ayuda de calculadora graficadora

CAPITUL.O 1 Temas de álgebra

Almaccn.'lmicnto de \alores y evaluación de expresiones 4 Recíprocos 6

Operaciones con números complcJOS 6() 61

CAPÍTULO l Funciones y gráficas

Trazo de puntos 86

Trazo de la gráfica en una ,entana de visualiLación estándar 93 Es111nac1ón de los puntos de mtcrsccción de las gráficas 99-100 Cómo e ncontrar la recta de meJOr ajuste 114

Rcprcscntac16n de c.- poncnlcs racionales y cómo dctcmunar valores funcionales 130

Trazo de la gráfica de una función definida por tramos 142

Cómo encontrar un valor máximo (o mlnimo) 156

CAPITUlO 4 Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas

Gráfica de la in,.erso de una función 257

CAPITULO S Funciones trigonométricas

Conversión de medición en r3dianes a medición en grados 328-329

CAPITULO, Trigonometría analítica

Aproximación de las soluciones de una ecuación 1rigonomé1rica 429

www.pdfgrip.com

CAPlTULO 1 Apllcadones de trigonometría

Suma de dos \-eclorcs 506 Obtención de un producto punlo 514 Operaciones con números complejos 526 Obtención de la raiz de un número complejo 533

CAPITULO I Sistemas de ecuaciones y desigualdades

Gráfica de una desigualdad 566

Cómo mgresar una matriz 585 Solución de un sistema u11lu.ando l::1 fonna escalonada reducida de renglón Multiphcac16n de matnce:s 597

Cómo encontrar el detemunante de una matraz 610

CAPJTULO 9 Sucesiones, serles y probabilidad

Generación de sucesiones 637 Gráfica de una sucesión 638 Cómo cncon1rar témunos de una sucesión definida de forma n curs1\'a 639 Cómo encontrar la suma de una sucesión 641

Cómo encontrar los 1érminos de una sucesión de sumas parciales 6-13 Uso del modo Sucesión de la calculadora Tl-83/4 Plus 645 C,Uculo de factoriales 674

Cálculo de pcrmuiaciones 685 Cálculo de combmaciones 691

CAPITULO to Temas de Geometría analftlca

Gráficas de senuelipses 731

Trazo de gráficas en modo paramé1rico 752 Coll\crsión de polar a rectangular 765 Coll\ersión de rectangular a polar 765 Gráfica de una ecuación polar 768

www.pdfgrip.com

Prefacio

La primera edición en español (duodécima en inglés) de Pn1"álc.ulo Álgebra y

Tngonomctria con Gcomctria Analittca incluye más de 650 eJcrcic1os y 11 cJcm• plos nue,os muchos de los cuales son resultado de las sugerencias de usuanos

y rc\isorcs de ediciones anteriores Casi 22'• dc los ejercicios son difcrc-ntcs El

capítulo 11 (d1spomble en mglés y en línea en el sI1I0 \\Cb wwv ccngagcbram,com)

es nuevo Todo se ha incorporado sm sacrificar la precisión matcm.iuca que ha sido

pnmord,al p:na e l éxito de este libro

Una de las no\cdadcs de esta cd1c1ón es el cx:amen al final de cada caphulo,

que incluye preguntas sencillas rcprcscntt111,,as de las preguntas planteadas previa• mente, asi como preguntas conceptuah.-s para el examen J)Or capitulo L3 inclusión de ejemplos e 1nscrcioncs del uso de calculndora g_raficador:i que presentan secucncrns específicas de teclas y pantallas del modelo Tl-83 4 Plus ha demostrado aportar un ,ator agregado al texlo, en panicular para quienes trabaJan

por primera \ez con calculadoras de este 11¡,o También brinda más nex1b11idad a los docen1cs en cuamo a la fonna de abordar una solución El d1sci\o de 13 obra pcr-nute identificar con füc1hdad las inserciones sobre recursos 1ecnológic~ las cuales

se incluyen en un indice especifico para faciluar su búsqut."da

Enseguida se presenta un resumen de los capilulos seguido por una brt\-C cnpeión del curso univers1tano de álgebra que nnpanl en el Commumty College Anoka-Ramscy y luego un:1 hsta de las característ1cas generales del hbro

dcs-Perspectiva general

CAPITULO 1 Este capitulo con11cne un resumen de algunos lemas de álgebra elemental Usted ya

debe estar famihari.tado con gran parte de este ma1enal pero algunos de los c1os suponen un reto que lo preparará para cursos de cálculo m1egral y d1fercnci11I

cjcrci-Se introducen y u11hza11 operaciones con calculadora graficadora para comprobar las OpCraC1ones algebraicas Asim ismo las ecu3c1oncs y desigualdades se resuel-ven de manera algebraica y numérica con apoyo de hemn11cntas tccnológ1cas;

en capítulos pos1criorcs se rcsolvenin gráficamente Usted ampharli sus m1cn1os sobre estos temas: por eJemplo, seguramente ha trabaJado con la íónnula cuadrática pero se le pedirá que la relacione con la íac1orización y que trabajen con coeficientes que no son números reales (re, ,se los ejemplos 6 y 7 de la sección 1.4)

conoc1-CAPÍTULO l En este capítulo se mtroduccn las gráficas y las funciones b,d,mcnsion:.lcs Se

pro-porcionan mstruccioncs específicas parn la mayoria de las funciones básic11s de una calculadora graficadora por eJcmplo encontrar ceros y puntos de 1111crsccci6n, asi como p.ira algunos de los temas más complejos entre ellos dcl :rminar un modelo

de regresión y g.raficar una función dcfinuia por 1111crvalos El ejemplo 10 en la

sec-ción 2.5 uno de nus fa\-Ontos es una apl 1cac16n de ac1uahdad (1mpucs1os)quc

rela-ciona tablas, fórmulas y gr.ificas La nomción de flechas, in1roducida en la sección 3.5 se ha trasladado a la sección 2.2 y se hace reícrcnc1a a ella con más rn ~uenc1a

u ,iTULO 3 E.sic capítulo comien1 a con un análisis de las funciones polinómicas y un poco de

1coria de polinomios En la sección 3.5 se rcalil.a un an31isis completo de las fun•

www.pdfgrip.com

cioncs racionales, seguido por una sección sobre va.nacio~ que mcluye gn\fic3s

de funciones polmómicas simples y funciones racionales

CAPITULO• Las funciones inversas son el primer tcm3 de análisis seguido de varias

seccio-nes que se ocupan de las funcioseccio-nes exponenciales y logarítmicas Uay un CJcmplo nuevo sobre la obtención de la inversa de una función racional (re, ise el eJemplo

4 de la sección 4.1 )

CAPITULO S Los ángulos son el pnmcr tenui de este capítulo A con1muac1ón se introducen 13s

funciones 1ngonométricas utilizando el mctodo del tnángulo rectángulo y luego se definen en 1émlinos de una circunfcn.-ncia um1an3 L3.s 1dcnt1dadcs mgonomé1ncas básicas se mencionan a lo largo del capítulo el cual concluye con secciones sobre

gráficas trigonométricas y problemas de aplicación

CAPITULO 6 Es1c C3pílulo 1rata pnnc1palmcn1c sobre las idcnudadcs 1ngonométncas su~

fór-mul3S y ecuaciones La úh1m3 sección contiene las definiciones propiedades y aplicaciones de las funciones trigonomé1ricas in,cn.as

(A.PiJULO 1 Las leyes de senos y cosenos se ut1h.z.:m para resohcr tr1:ingulos oblicuos Luego se

introducen los ,ectorcs y se u1ih.tan en las aplicaciones Las dos úhunas secciones

se relacionan con las funciones trigonomélricas y los números complejos

CAPITULO I Los s1s1em.as de desigualdades y la progro.mac16n lmcal siguen mmcd1atamcn1c a

la solución de smemas por sust1tuc16n y chmmación A con1muación se introducen las ma1riccs mismas que se utilizan para resohcr sistemas de ecuaciones Este caphulo conclu)'e con una d1scus1ón de los deiermman1cs y las fracciones JX1rc1ales

CAPITULO 9 El capítulo conm::na con una exposición de las sucesiones que se apoya

cons1-dCT'3blementc en el uso de herrum1cntas 1ccnológicas Las fómrnlas para el

ené-simo témuno de las su~siones an1méticas y geométricas se han generalizado para encontrarlo utilizando cualquier término no sók> el pnmero Luego se presentan la mducc1ón matemática y el teorema del bmom10 seguidos por temas de conteo La

Uhnna sección trata sobre tcm35 como probab1l1dadcs y ,·alor esperado M1 eJcmplo fa,ori10 mclu)'e un nuc,·o tipo de problema de probabilidad, y la solución se puede aplicar a muchos problemas s1m1larcs (re, 1sc el CJemplo 9 de la sección 9.8)

CAPITULO 10 Las secciones sobre parábola c hpsc e hipérbola 1mc1an este capilulo Dos formas

d1fcrcn1cs de representar funciones se presentan en las secciones subsiguienlcs

sobre ecuaciones paramétncas y coordenadas polares Se han mcorporado cerca de

www.pdfgrip.com

Las sccc1oncs que se cubren en Álgebra I son:

2.1 2.7, 3.1.3.5 (parte), 3.6.4 1-4.6, 8.1 8.4 9.1 9.3 y9.5 9.8

El capítulo I se usa como malerial de repaso de algunas clases y las secciones restantes se ensei\an en el curso s1gu1cnte En algunas secciones se requiere usar cakuladora graficadora y en otras es opcional

EJtmplo5 Todos los eiemplos 111ulados para fac1htar su consulta proporcionan soluciones detalladas de problemas similares a aquellos que aparecen en las series

de CJcrcicios Muchos incluyen gráficas o labias para ayudarle a us1ed a entender los proccd1m1en1os y soluciones

E.lpliuunnes puo • paso Con la finalidad de ayudarle a seguirlas mas fic1l• mente muchas de las soluciones de los ejemplos contienen explicaciones dcta• lindas

fjerci-cios p,r1 an:.h1i1 Cada capilulo concluye con vanos eJcrc1c1os adecuados para comentarse en equipos de discusión Estos eJercic1os varian en grado d1fieul• tad de fáciles a difíciles y de teóricos a orientados a la aplicación

Dflnostraclon.s Las soluciones de algunos ejemplos se prueban de fonna ci1a a fin de recordarle a l cs1ud1ante que debe comprobar que sus soluciones sa11s-fag:m las cond1c1ont.-S de los problemas

explí-Ejempk>s t1MI a.lwb.d:or1 1r1fiudon Donde es apropiado se agregaron al tex10 ejemplos que requieren usar una hcrra.m1en1a o dispositivo de gro ficación los cuales se 1den1ifican con el icono de calculadora (que se muestra a la izquierda) y

se alustran con una figura reproducida de la pantalla de la calculadora graficadora

lnYfCtlMWS con c.a.lwlad1,ra IJ'aflc.adora Además de los CJemplos con calcula•

dora graficadora hay inserciones que resaltan algunas de las capacidadc~ de es1c tipo de calculadoras o ilustran su uso para realizar las opcrocioncs en estudio Por ejemplo, \ea en la sección 9 1 "Uso del modo de sucesión en la TJ.8314 Plus", Ejercic.J~ con uJtt.1ladora ¡ra.flaidora En secciones donde conviene, se mclu• yen CJCrticios d1sei\ados cspcclficamen1e para rcsoh·crsc con una hcrra.m1cn1a de g.raficación Es10s CJerc1cios también se identifican con el icono de calculadora (que

se muestra a la uqu1crda)

Aplka.c.iones Par.i despertar el mterés del es1ud1ante y ayudarle 11 relacionar los ejercicios con suuacionc.s reales se han timlado los CJcrcicios aplicación Numero-sos docentes han seflalado que las aplicaciones cons1uuycn una de lru; caroctcrlsll• cas más sólidas del libro

www.pdfgrip.com

EJ •r<ldot Las series de CJCrcicioscom1cnz.an con problem3s cot1d13nos y 3\anzan

de fonna gradual hacia problemas más compleJOS Un gr:in número de eJercicios m31crnático para los datos proporcionados Muchos de los ejcrc1c1os nuc\ os rcqmc• rcn que usted comprcncL1 la relación conccpuwl en1rc una ecuación y su gráfica Por lo general los problemas de aphcac1ón aparecen al fin31 de ur\3 sene de eJCr• c1cios de modo que el cs1udmn1c 3dqu1era scgund.'ld en la :1pl1cac1ón de las nue\3S ideas planteadas antes de que mlenle resol\.er problemas que requieren un mayor anélis1s y sintcs1s de estas ideas Los ejercicios de repaso al final de cada capítulo

se pueden usar como preparación para los exámenes

EUMenH porcapltufo Es1a es una camctcristica nueva en cs1a edición Los menes conucncn preguntas rcprcscnuuivas de los CJCrc1c1os de las secciones así como preguntas conceptuales Espero que los docentes me companan sus prcgun-

exá-ias preferidas de examen; por favor higanmelas llegar

Llnta"'1entos o pHOt Los hncam1cntos que se presenlan en un n. cuadro enume•

mn los pasos de un proccd1micn10 o técnica para ayudarle al estudiante a rcsol"cr problemas de fomta s,s1emát1ca

Alertu Intercaladas en el tc.><to hay llamadas de atención para alcno.r al estudiante sobre errores comunes que se comc1en cuando se estudia la matcna

01.fto del libro Las figuras y gráficas que const1tu)cn un conJunto de ane 1otal msupcrablc se han gcncrado por computadora par:i obtener ma)'or precisión ut1li• za.neto la tecnología más reciente

Formato de interiores El libro ha sido d1se1\ado para ascgur:ir que las cxposicier ncs de los temas sean fáciles de seguir y los conceptos 1mponan1cs estén resaltados

Se u11liz.a color para esclarecer pcdagóg1camcn1c las gráficas complejas y ayudar al estud1an1e a \ isuahzar problemas pr.k11cos

Apltndkes El apéndice l Gráficas comunes y sus ecuaciones es un resumen ilus• lrado de gráficas y ccuac1onc-s que los estudiantes suelen encontrar en ma1emát1cas

de prccálculo El apéndice 11 Resumen de las transfonnaciones de gráficas es una

texto: desplazamiento cst1ram1cn10 compresión y rcnexión El apéndice 111 ficas de funciones trigonomé1ricas y de sus inversas, contiene gráficas, domini~ y rangos de las seis funciones tngonométricas y sus inversas El apéndice IV Valores

Grá-de las funciones 1rigonométricas Grá-de ángulos especiales en un 1 circunferencia um•

!.aria es una referencia de página completa sobre los ángulos más comunes en una c1rcunfcrcncia umtana vahosa para quienes intentan aprender los \a.lores de las func1onC!i trigonométncas básicas El apéndice V T" orcmas de lim11cs cont1cnc demostraciones de algunos teoremas del capítulo 11; este apéndice está d1spomblc

en inglés en el s1110 "cb del estudiante

S.Cdón dt rtspuHtu El apéndice de respuestas del final del hbro contiene las rcspues1as de la mayoria de los CJercic10s impares así como las de todos los CJCrtl· que esta sección fuera una herramienta de aprencfü.aje para el estudiante en \C.t de sólo un siüo para comprobar respuestas Por cJcmplo se proporcionan dcmostra-www.pdfgrip.com

ciones para los problemas de inducción matc1ná11ca Las respuestas numéricas de muchos CJCrcicios se expresan truuo en fonna exacta como aproximada Las gr.\fi-cas demostraciones y sugerencias se incluyen cuando es apropiado Las soluciones

y r~puestas preparadas por el autor garan11zan un allo grado de coherencia entre el

texto !ns soluciones y las respucsms

Recursos didácticos para el docente

(disponibles en inglés para los docentes que adopten el libro

como texto b.isico en sus cursos)

lnstructOf''I Sollltlons Manu.al piir Jefftry A Colt

ISBN-10: 1-111-57349-2: ISBN-13: 978-1-111-57349-2

Este manual preparado por el aulor incluye las rcspucslas de lodos los eJercicios

y soluciones detalla~ paro la mayoría de ellos l-la sido revisado a fondo para lograr mayor exaclllud Las soluciones del caphulo 11 se incluyen en el siuo "cb del profesor

MlndTap for Mathematlu and St.atl1tlu

(disponible en inglés y con costo adicional)

La expencnc1a es 1mponan1c cuando se desea conmbuir al éxuo de los estudiantes Con MindTap for Mathema11cs and Statís11cs los docentes pueden

• Persor13liuar la ruta de aprendizaje para que coincida con el programa del curso al reordenar el contc111do o ai'lad1r ma1erial orig1n.1I al con1emdo en linea

• McJorar la expcnencia de aprendi.taJe y los resultados mcdian1c lo sunplífieac1ón del íluJo de trab3J0 del es1udian1e

• Personahzar las evaluaciones y tareas en línea

• Conectar un panal de sistema de admm1s1ración del aprcnd1za1c al curso en línea

• Hacer un scguinucnto de la pan1c1pac1ón el progreso y la comprcns16n de los es1udum1es

• Promo, cr el éxito del cs1udia111c mcd1an1c mtcrac11, idad, multimedia y CJcrcicios Los docentes que ullhzan un sistema de admm1strac1ón del aprcnd1zaJe (corno Blackboard Can,as o Moodlc) para el segu1m1cn10 de los conlemdos, lareas y

e,aluacioncs del curso pueden acceder con facilidad a tl.·lmdTap, la hcrrnm1cn1a de con1emdos y evaluaciones paro es1c curso

Conozca más en www.cengagc.com/nundtap

Ceng•Brain.com Para acceder a 01ros mmenalcs del curso y recursos menlarios, v1s11e WW\\.cengagebram.corn

complc-Hnr.amt• nl»1 dt: prendli.aj• p•u -estudi1nt•

(disponibles en inglés y con costo adicional)

Manual de t0lu<lon~> p.ara e l studi.1nte por Jefflfy A Cvl

ISBN-10; 1-111-57350-6; ISBN-13: 978-1-111-57350-8

Este manual preparado por el autor ofrece las soluciones de uxtos los e1erc1cios impares así como cs1rotcg1as para la solución de e1ercic1os ad1c1onalcs También incluye muchos conse1os y rccomeodac1ones úulcs Las soluciones del capiiulo 11

se mclu)en en el s1110 \\Cb del es1ud1an1c

www.pdfgrip.com

MindTap para matemiticas y estadlstica es una solución d1gual que coloca

el aprcndtzaJe en el núcleo de la experiencia Además de problemas generados mediante algornmos rctroalimcmación inmediata y un potcn1c sistema de evalua-ción de respuestas y calificación MindTap para matemáticas y estadís1ica ofrece una experiencia personali.tada que combina tareas dinánucas un plan de mCJOr.l

continua y apoyo integrado justo a tiempo que convierte la rutina en inno\·ación

la apa1ia en compromiso y a los cs1Ud1an1es que aprenden por memorización en pensadores de al10 m\cl 0 "Seubra más en WW\\.Ccngagc.comlmmdtap

DVD especlficos del libro ISBN-10: 1-111-58077-4: ISBN-13: 978-1-1 11-58077-3 Es1a sene de DVD presenta el material de cada capítulo, d1\ 1dido en lecc1011es de solución de problemas de 10 a 20 minutos que cubren cada sección

www.pdfgrip.com

Agradecimientos

Muchos de los cambios en cs1a cd1c1ón se deben a las s1gu1cntes personas quienes revisaron el manuscnto o h1c1cron sugcrencw para incrementar la utilidad del libro p.:sru el estudiante:

Elsic Campbcll Uni,crsidad Esia1al Angelo

Ronald DotLcl Un1,crsidad de Missouri•St Louis

Shcrry Galc Um\crs1dad de Cmc1nnn11

Shc1ln Lcdford Colegio Comunitario de la Costo de Georgia

Chris Pa.rks Universidad de Indiana

Brenda Shryod: Um,ers1dad de Carolina del None en Chapel H1II

Lisa TO\\-RSlcy Uni,ersidad de Georgia

S1cphame Vanee Colegio Estatal Adams

Lons Zueca Lone Star Collcgc-Kmgwood

También agradc7 c0 a Marv Ricdcscl y Mary Johnson por su re, 1sión de la precisión

de los CJCmplos y CJCrtlCIOS llUC\OS f ya rc,1.sados

Es1oy agradecido por la cxcelcnu: cooperación del personal de Ccngagc ning e)pc-c1almcn1e del grupo editorial de Gary \\!halen Stacy Green C)'nlhia Ashlon Samandta Lugtu Jcnnifcr Risdcn y Stcfamc Beck Gracias a Lynh Pham por el mancJo de muchos tcn\3S de tecnología y a M1a Ore)'cr por su ayuda en

Lcar-la prcparac,ón del manuscnto Sally L1ílnnd Ga1I Magm Jane llooHr y Qmca Ostrandcr de L1fland et al • Bookmakcrs se encargaron del libro en 1odas las etapas

de producción pusieron un cuidado excepcional para que no se produj<.-ran s1s1encias y ofrecieron muchas sugerencias Ühlcs El fallecido Georgc Morris de

incon-Sc1cnufic lllus1rntors creó el ane de este libro con precisión m.atcmáttca a lo largo

de \-3nas cd1c1ones Su h1JO Bnan con11nua con es1a 1rnd1ción de excelencia Además de todas las personas nombradas aquí me gustaría expresar m1 más sin-cero agradecinuen10 a los estudian1cs y docentes que han contribuido n es1ruc1urar mis puntos de ,ista sobre la cnsc1'an¿a de !ns ma1cmá1icas Por fo,or siéntase en

la hbcnad de cscnb1m1e (Jeff-eolcfa comcas1.nct) en 1omo a cualquier aspcc10 del libro, apn.'Ciaré mucho su opm16n

Jcffery A Cole

www.pdfgrip.com

La palabra áfg(>bra pro- ienc de 1/m al-jahr " 'a/ nmqahala rilulo de un

hbro esenio en el siglo tx por el m:11cmát1co irabc al-Kh~ori11m1 El titulo

se ha traducido como la ciencia de la restauración y rcducc,ón lo cual s1g•

mfica transponer y comb1ru:tir ténnmos scmcJantes (de una ecuac1ón} La

1ranshtcrac1ón la1m:1 de a/.jabr 11".:,6 al nombre de la roma de las mau:má•

11e.1s que ahora se llama álgebra

Este capitulo micia con una re, is1ón de los mimcros reales y sus pro p1cd3dcs, las cuales se u1ih.am a lo largo del hbro y t.-n otros cursos de

ma1emá11cas Se pre!.enta una discusión sobre algunas cécmcas algcbrn,cas fundamentales antes de centrar la :ucnción en ecuaciones y desigualdades

cuyas soluciones son subconJuntos de la recta num1 ~ca real

www.pdfgrip.com

Números reales

, ,n n, ni uw ar,/ mholo

para r, •prournada111t·nll' if:uwl a

Los ntimcros reales se u11h1.an en las ma1cmá11cas y debemos fomilianzamos con los simbolos que los repre-!.enlan por eJemplo

1 n -5 ~-VÍ o \LBS, o.nm 596.25,

etcétera Los rnlrros po.silh·os, o númrro.1 naluralrs son

1, 2 3 4

Los números enteros no ntgathos son los números n.1.turales combmados con el

cero Los númuos e ntr rosson los números na1uralcs el cero y los enteros negati\OS -4 -3 -2 -1, º· l 2 3 4,

A lo largo del hbro, las letras mmllsculas a b c t y reprcscman números

reales arb1Lr.mos (también llamados mrwhles) Si a y denotan el mismo número

real se escribe a • b, lo cual se lee a es l~ual 11 h"" y se le llama igualdad La

notación a 1- b se Ice a 110 ts Igual a b.··

S1 a.by e son enteros y e - ab, entonces a y b son factores o dh lsorts de c

Por eJemplo como

6 - 2·3 - (- 2X-3) - 1 ·6-(- 1X-6l s.ibcmosquc l -1 2 -2 3, -3 6 y -6 son factoresdc6

Un entero pos111"0 p diferente de I es primo s, sus tlmcos factores pos111vos son I y p Los primeros nllmcros primos son 2 3 5 1 11 13 17 y 19 El teorema fundamental d e la arilmt lica establece que todo entero posit1-.o diferente de 1 puede expresarse como el producto de númcrO§ primos de una y solo una manera (c:,.ccpto por el orden de los factores) Algunos eJemplos son

12 - 2·2·3 126 - 2·3·)·7 540 - 2·2·3·)·3·5

Un númrro racional es un número real que puede C'(prcsarse en la fom1a alb,

donde " y h son enteros y h + O Tenga en cuenta que iodo número entero " es un número racional, ya que se puede expresar en la forma a /1 Todo nümcro real puede expresarse como un decimal y las rcprescntac1oncs d~1males de los nllmcros mcio-n:1lcs sonf,nitru o nofimtas y per1ód1cas Por CJCmplo, podemos mostrar mediante

el proceso antméuco de d1\ isión que

; - 1.25 y !ir-3.2181818 , donde los dígitos 1 y 8 en 13 representación de !{; st rep1te11 de fom1a mdcfimda (lo cual a veces se escribe 3.2TB)

Los números ~les que: no son racionales son númr ros irracionales Las sentaciones dccunales de los números ,rrncionalcs son siempre "º fim1t1s y "º

c1rcunferenc1a de un círculo y su diámetro A veces se usa la notación w 3.1416 para indicar que 1t es aprodmadamrnlr igual a 3.1416

No hay un nümcro n,cio,wl h tal que Ir - 2 donde Ir se denota h · b Sin

embargo cxis1c un nllmero 1rmt:iom1I md1cado por "2 (ralz cuadrada de 2) tnl

que ({2)' - 2

El sistema de los númrros rules cst:i formado por iodos los números raciona, les e 1rroc1onalcs Las rclac1oncs cn1re los tipos de números que se uhhz.an en el álgebra se ilustran en el diagrama de la figura 1 donde una línea que une dos f\."'C-

1ángulos sigmfica que los nltmcros mencionados en el rectángulo supcnor mclu;cn

a aquellos en el rectángulo mfenor Los números compleJOS que se estudian en la sección 1.5, incluyen todos los números reales

www.pdfgrip.com

PropledadH d~ kHi nUrnerm THIH

7) 1 es el idi ntko mulliplinth·o

8) S1 u:/: O.: es el in,·rrso

multlplkatho o rttlptOC'O, de a

9) La mult1phcactón es dlstributln

rcspcc-10 • 13 adición

flGURA 1 Tipos de número- que~ utilizan en el álgebra

Los númel"O'S reales son cerrados con respecto a la operación de adición (que

se denota por + ): es decir a iodo par a b de números rc31cs le corresponde cxac• tanu.-ntc un número real a + b llamado 13 suma de a y b Los números reales son también ct'rrados resp('clo a la mult iplicación (que se denota con·) es decir a

todo p.'tT a, b de nt'.1mcros reales le corresponde exactamente un número real a · b

(que también se denota con ab) llamado el p roducto de a b

L1s propiedades 1mpor1anleS de la ad1c16n y la mult1plicac16n de 105 números reales se lisian en la siguiente tabla

U sunu de O a cu:dqu1cr numero da el mLSmO

La wma de un número y su s1rné1nco da O

El orden no es rtk-\ ante cuando se muluphcan dos

La agrupactón no cs rdc\'antc cuando se n1ult1phcan

La muh1phcac1Ón de un numero cu;ilqu1cra por l da el mismo n\Jmcro

U muh1phcx:1ón de un num "l'O d1fcrtntc de C1.'fo por

su reciproco d:i 1

La mult1phcx:1ón de un numero y un.a SUITl3 de dos números C$ cquw1lcn1c a mulllphcar cad3 uno de kJs dos nWncros por el nim\Cfo y luego sumar los productos

www.pdfgrip.com

Dado que a + (b + e) y (a + b) + e son siempre 1gW1lcs podemos usar

a + b + e para expresar este número real Se ut1hza abe ya sea para a(bc) o (ab)c

Asimismo si cua1ro o más números reales a b e, ,J se suman o mult1phcan pode·

mos cscnb1r o + b + e + d para su suma y t1bctl para su produc10 sin imponar la manera en que se agrupan o intercambian los númt.'f'OS

Las propiedades d1stnbu11vas son ú11lcs para encontrar productos de muchos 1,pos de expresiones que contienen sumas El s1gmcn1c CJcmplo muestra su uso

Dil'i:.11•11 Uso de las propiedades distributivas

Si p q r y r denotan nlnneros reales demuestre que

,mera r,rup11."1ul J1~1nbu11\u

Almxenamiento de valores y evaluxión de expresiones faalúc los Indos 1Lqu1crdo y derecho de la 1gu:ildad del CJcmplo I para

Propie dades de la Igualdad

l Productos que involumn el O

Si ll • by e es cU3lqu1cr numero real entonces

l ) o+c • b+c

2) oc -be

Las prop1cd:tdes I y establecen que el mismo número puede sumarse 3 ambos

lados de una igualdad, y ambos lados de una igualdad pueden muluplicarsc por el

mismo número Es1as propiedades se usarán ampliamen1c en codo el libro como

auxihar para encontrar soluciones de las ecuaciones

El siguiente resultado se puede demostrar

1) a · O - O para iodo número real "

Cuando usamos la palabra o como lo hacemos en el inciso 2) queremos dt -cir que

por lo me11<u uno de los factores a y hes O Nos rcferm~ a 2) como el too"'"'" del fac10r u ro en un traba Jo futuro

Algunas propiedades de los negamos se hstan en la siguiente iabla

Propiedades de los neg.atlvos

1) - ( - u) = u - ( -3) = 3

2) (- •lb= - (ah)= a(-b) ( - 2)3 = - (2 · 3) = 2( -J) J) (-t1)(-h) = t1h (-2)(-3) = 2 · 3

mtrodnc1r una variable (o sólo un número) y luego encontrar su recíproco

Las operaciones de r esta ( - ) y dhisión ( + )se definen corno sigue Resta y división

de Ct"ro, se mul!1phca por el reciproco

mcnle escnb1remos - 3

Usaremos albo ¡ para o + by se hace rcfcrcnc1a a o bcomo el Cl)(icnte d e a) b

o la fracción a sobr e b Los nllmcros" y son el numt rador y d t n ominador

rcs-pecl1\amente de o h Dado que O no tiene in\;erso mul1iplica1i\;o, o b no se define

si b - O: es decir, la d11"isiim entre cero no esta defi11idt1 Es por esta razón que los

números reales no son cerrados respecto a la d1v1sión Obscn-c que

1 + b • -i- = b -1 si b "' O

www.pdfgrip.com

Las s1gu1er11es propiedades de los coc,cntcs son ,erdaderas siempre que todos los dcnonunadorcs sean n(nncros reales diferentes de cero

Propiedades de los todenttt

como se wuestra en la figura 2 El punto correspond1cn1c a un número racional por eJcmplo -;- se ob11enc al subd1vid1r estos seg_mcntos de recta, Los puntos asociados con c icr1os números 1rracionalcs como Vf se pueden obtener por construcción (,ea el eJercicio 45)

p0SIU\i»

El número" que está asociado con un punlo A entes la coordenada de A A

estas coordenada~ se les conoce como SÍ"llema dl" coordr nadas a/, como la nda

de coordtnadas o rt'cta real Se puede asignar una d1recd6n a/ al tomar la ción posllh a hacia la dcrcch3 y la dirt'cción negath·a hoci3 la izquierda La d1rcc-c16n po~111va se denota al colocar Un.3 nccha sobre/, como se muestra en la figura 2 Los números que com."Sponden a los puntos a l3 <k.-r" cha de O en la figura 2

dirtt-son números rrales posith os Los números que se ubican a la izquierda de O son

números rules negalhos El mím,•ro rPlll O'"' rJ ¡1051tim m negllt1m

www.pdfgrip.com

1) S111 CS p0S1tl\0, entones - (ICS ncglltl\O

2) Si e, es negativo, entonces -a es pos1ti\O

En la siguiente tabla se definen las nociones de mayor <1ue y menor que para

los números reales a y b Los símbolos > y < son signos de de,igu11ld11d, y 13s exprcs1oncs a > by a < b se llaman dtsigualdad~ (Htrlcta,)

Mayor que o menor que

a - b e1_~111_vo_ +

-o - bes ncpll\ o

Si los pun1os A y B sobre una recta de coordenadas tienen las coordenacfas a y b

rcspcctwamenle, entonces a > bes equ1valentc al enunciado ""A está a la derecha

de Ir m1cnlru!> que o < bes cqu1\·alentca "A está a la i=qmmlade lf"

EJEMPlOS Mayorque( )ymenMque( )

La s1gmcn1c ley pcnn11c comparar u ord<·nar, dos nllmcros reales cualcsqu1cra

Ley de tricotomfa S1 ,, y h son números reales entonces cxacuunen1c una de las siguientes relaciones

··t ·• ,'t'nltHkro y o•· rcprescntafi,lso Sólo una de las nes antenores puede ser,erdadera scgün la ley de tricotomla Como se ilustró an1cs en la calculadora

relacio-T l-83 4 Plus se u a la notación 0 para las opet0ncs de mcnü

-·-~· -El signo de un nUmero real t.'S pos1t1\O s1 el número es pos1ti\O, o negat1\O s1 el número es ncgat1\O Dos números reales tienen el ,msmo s1gtHJ s1 los dos son pos1-t1\OS o ambos son ncgali\.OS Los nUlncros tienen sig11~ op11es1os si unoC!I positivo

y el otro negattvo Los resultados siguientes sobre los signos de los productos y cocien1es de dos números reales a y b pueden demostrarse usando las prop,cdJdcs

de los negat1\os y los cocientes

1) S1 a y tienen el nusmo signo entones ab y¡ son pos1tl\OS

2) S1 a y b tienen signos opuestos entonces ab y ~ son negativos,

Los reciprocos• de las leyes de los signos también son , ólidos Por e,emplo s1 un coc,ente es negall\O, entonces el numcr:\dor y el denominador tienen signos OpuCSIOS,

La no1aci6n a ~ b se lee a t-s mayor o igual qut b", lo que significa ya sea que

a > boa • b (pero no ambas) Por eJcmplo ir ~ O para lodo número real o El

slrnbolo a :5 b que se lee a es menor o Igual qut b ", significa que a < h o" - b

Las C)l',presioncs de la fonna as h a ~ h se llaman d rsi¡:ualdadts no rstrictas,

ya que " puede ser igual a b Del nusmo modo que con el simbolo de 1gu3Jdad cualquier símbolo de desigualdad se puede negar al colocar una diagonal en medio del nusmo es decir, "> s1gmtica no mayor que

Una expresión de la fom,a a < h <ese conoce como de,igualdad continua y significa que a< by h < e: se dice que "b tsti e nlrt a y e·· A~im,smo la expre-sión e> b > us1gnificaqucc > b yb > u

EJEM,LOS Orden.ar tres nUme:ros re.ale,

■ 1 < 5 < ~ ■ - 4 < ¾ < V2 ■ 3 > -6 > -10 Exislen otro~ tipos de desigualdades Por ejemplo u < b ~ e significa que

a < by b ~ c Oc la nusma manera u :5 b < e significa que u ~ h h < c Por Ultimo, a:5 h :5 e significa que u :5 by b ::se

•s, wi trottma ,ir t'.K'l'lbc-m b íunN1 -s1 P nuoncn (T, oondC' P y Q ,on munc~ ma1rnd11CM

lbil~ li;pl>tnu y ront'l1•dl,,t, rnpc-ctio,naalC', cnt -k" C'I rttlprwo del lCOffll\11 hmc b f ~ -S1

Q, cntonca P' S1 wito ti IC'ORmacomosu n:c,procoton , ~ 1Utlcnctibu~-rw ytólos1

C!" CqUC' K dcnou I' SSl Ql www.pdfgrip.com

S1 o es un entero entonces cs 13 coordenada de algtin pumo A en una recta de

coordenadas y el símbolo taj denota el número de umdadcs enlie A y el origen sin importar la dirección El número lal no negat1\0 se conoce como el \YJ/or t1bsol1110

-4 1encmos -4, As1m1smo 4 "' 4 En general si a es negam-o, Sl' cambia s11

i.iguiente amplía eslc concepto a lodos los números rcaks

Definidóndeva lor absoluto El \ alor a bsoluto de un número real o que se dcnoia con 101 se define como

sigue:

Valor absoluto

1) Si a.:!! entonces 1aj - a

2) S1 a < O entonces .al - -u

Dado que II es ncgatho en el inciso 2) de la defimción - a reprcscnla un nUmero

real pos11n-o Algunos casos especiales de esta defimc16n se proporc1orum en los s1gu1cntcs ejemplos

EJEMPLOS Notación del valor absoluto t,,J

J

927

351

www.pdfgrip.com

4, es igual a 5 unidades f<.sta d1stnncia es la diferencia que: se obtiene al restar la coordenada menor {en el cx1remo izquierdo) de la coordenado mayor (cx1rcmo derecho) (7 - 2 • 5) S1 usamos valores absolu1os, entonces como 7 - 2 , • ,2 - 7 es neccsano preocuparse por el orlk. n de la sustracción Este hecho da lugar

a la s1gu1cn1c definición

Sean a y b las coordenadas de dos ponlos A y B respccti, amente sobre una recta de coordenadas La distancia cnrrt' A ) 8 , que se denota pord(A B) se define como

d(A.B) - lb-a l

El número ~A B) es la long11ud del scgmen10 de recta AB

Como tl(B A) • la - bl y lb - ,, • ¡o - hl obsenan'IOS que

a\'A 8) - ,~8.A) Obscnc que la distancia entre el origen O y el pun10 A es

,~O A) - " -O - lal,

lo cual concuerda con la m1crpre1ación geométrica del valor absoluto que se Ira en la figura 4 La íónnula ~A B) • lb -des ,crdadcra sm 1mpon3r loss1goos

mues-de u b, como se ilustra en el siguiente ejemplo,

DD!tli!iil Determinación de las distancias entre puntos Sean A B Cy D puntos con las coordenadas - 5 -3, 1 6 rcspcc11vamentc sobre una recta de coordenadas, como se aprecia en la figura 5 Encuentre ~A B) atC 8), a\'O, A) y ,~C D)

SOLUCION Usando la definición de la d1sta.ncia cn1re puntos en una recta de denadas ob1cncmos las dlSlancias;

distan-www.pdfgrip.com

En la siguiente sección comentaremos la notación exponencial d' donde a es

un número real (llamado base) y n es un número en1ero (llamado exponen/e) En

particular, para la base I O cenemos 10' • 1, 10' = 10, 10' = 10 · 10 = 100, 10' = 10 · 10 · 10 = 1000,

etcé1cra Para exponentes negat1\-0S se usa el reciproco del exponente posi11,o correspondiente, como sigue:

Es1a notación se puede usar para escnb1r cualquier represcntac16n <k.- c1mal fimta

de un número real como una suma del tipo siguiente:

437.56 = 4(100) + 3(10) + 7(1) + 5(¡\¡) + 6(,fu)

• 4(10-) + 3(10') + 7(10") + 5(10- •¡ + 6(10- •¡

En las ciencias suele trabaJarse con números muy grandes o muy pcquei\os y comparar las magnitudes relativas de las cantidades muy grandes o muy pequci\as Por lo general un número pos1two a grande o pequCOO se representa de forma

c1e,11íjica usando el símbolo X para denotar multiplicación

a • e X 10-, donde 1 .se < IO y nes un entero

La distancia que recorre un rayo de luz en un ai\o es aproximadamente S.900.000,000.000 millas Este número se puede escnb1r en forma cicnlifica como S.9 X 10'1El exponente positho 12 indica que el pumo decimal debe moverse 12

posiciones a la derecha La notación también funciona bien para números

pcquc-i\os El p -so de una molécula de oxigeno se estima en

Muchas calculadoras utilizan en sus pantallas la forma c1cn1lfica Para el número

e X 10- el 10 se suprime y el exponen1e suele ir precedido por la letra E Por plo para encontrar (4,500,000)i en una calculadora c1cntifica, se podria introducir

ejem-el entero 4,500.000 presionar la tecla 0 (o ele,ar al cuadrado) y obtener un resullado parecido al que se muestro en la pantalla de la figura 6 Esto se 1raduciría como 2.025 X I01J Por lo tanto

(4.500.000Y - 20.2so.ooo.ooo.ooo

Las calculadoras también utilizan la fonna c ientífica cuando se introducen los números El manual del usuario debe con1ener los detalles específicos www.pdfgrip.com

9 l r:4•6 7r:· lt

6 23tc ·6

Antes de concluir esta sección debemos considerar brc,emcnte el problema

del redondeo de los resultados Los problemas aplicados suelen incluir nitmcros obtenidos por vanos tipos de mediciones y por cons1gu1en1e son aproximociones

a valores exactos Es1as rcspucs1as deben redondean.e porque el resultado final de

un c:ilculo no puede ser mis pn. ciso que los datos que se han estado usando Por

CJCntplo, s1 la longitud y el ancho de un rectángulo se miden con una precisión

de dos posiciones decimales no podemos esperar una precisión de m:.\s de dos posiciones decimales en el valor calculado del área del rcct:.\ngulo Para un 1rabajo purnmcntc mo1em6tlco si se proporcionan los ,·atores de la longitud y el ancho de

un rcct3ngulo se asume que las dimensiones son rxocl(ls y no se requiere rcdon•

deo

Si un número o se escnbe en fonna c1entUica como a - e X I O" para 1 :S e <

1 O y si e se redondea a k posiciones decimales entonces se dice que a es preciso (o se ha redondeado) a k + 1 cifras o dlgltos slgnlncathos Por CJemplo 37.2638 redondeado a S c1íras s1gm ficativas es 3.7264 X 101o 37.264: a 3 cifras s,gmfica-11,as es 3.73 X 101 o 37.3 y a 1 cifra s1gmficat1va 4 X 101• o 40

[ju 3 ': Rttmplatt cl 1ímbolo a con el 1imbolo < > o =

quc nlidc c-1 C"nunciado rnul1antr,

f) El nq;JII\O de= no es ffla)'<M' que J

g) El coc1cn1e dcp y q e, como máximo 7,

h) El reciproco de • es como mimmo 9

I) El ,,alor absoluto de r:c.s mll)'Of que 7

f) Llncgall\OdcMnocsmcnorquc-2

1 g) El ooc1cn1c de r y J es como mln1mo j

h) El rccíprooode/cscomo nWumo 14

I) U ~"llor absoluio de t c-s menor que 4

t:ju 9-14: Rttscriba el númuo sin ulilinr ti !imbolo de:

\alor llbtoluto) tlmpllfü1ut' t'I rt1ultado

[jer 15-18: Lo1 númer os dados son coordenadH dt- los pun•

IOJ A B ) c rttp«'lhamt'nll' l'n un• rttla dt' ('OOrdtnad;u:

Encut'nlrt' 11 dit tancla

Eju 19-24: l os dos númrros pro¡>orclonado5 50n coordC"nl•

dH dt' los punlos A) B, nspettlnmenle, sobre una r« t• de

coordenadn ExprHe el e nunciado Indicado como una d&

lguald•d quC" ln\olucre d 1imbolo d C" , ·alor absolulo

20 , -V2 111:A, H) C$ mayor que 1

21 , -3 alA B) CJ como minm.o 8

22 , 4 ,~A B) es como mbm.o 5

23 4 ,: t.tA B) no es mayor que J

24 -2 r ,~A B) no es menor que 4

[jt'r 25-Jl: H.us(rib• la u:prnMn iln uur t'I 1írnbolo de

nlor a bsoluto> 1dmplifique el n:-.sultado

Ejtr ,u - U: Apro,lme 11 expresión tn númuos reales a C'UII•

lro po!ikionn dttim•lcs

12 X 10)

43 a} 3 1 X JO!+ I Slx 10)

b) (123 X IO~) + VUxtO'

44 a) \11345-12 x IO' I + 10' b) (1.79 X 10~) X (9.84 X 101) 4S El ~nto sobre un:a rcc:1a de coordenadas que comspondc

• V2 puede: dctc:nmnanc: mc.-d1an1c la coni1rucc16n de un tn:ingulo rcct:ing1,1lo ron l.1d05 de longnud 1 como nmc~tra

la figura Dc1ermmc los punl~ q ue corresponden a VJ y

\/s rcsp«l1\amente (Sugerrncw use el 1eorcma de

P,13-¡oras.) (JUCKIO,U

46 Un circulo de nsdw I rueda 11 lo largo de: una recta de COOf"• drnadas en d1rtcc:tón p<>Slli\ a como se aprecia en la figura S1 el pun10 /' esc! tn1c111lmcn1c: en d ongcn cncucnltt la

coordenada de P después de una, dos y d1c1, R:\oluc1oncs c:ompletal

www.pdfgrip.com

O 1 2 3 4

47 Las dcmosuac1onc$ grométncas de lu propiedades de los

números realn las proporcionaron por pnmcn \CZ los

anti-guos gnegos Con la finalidad de eslablcttr la propiedad

dtS1ributl\a at.b + e) = ab + uc par, los números reales

pos111,os a, by c de1enmnc el ,rc:a del rcc1ángulo que se

muestra de dos mancrti en la figura,

48 Las :aproumacton(1 nK'1onak-s a las raiccs cuadradas se

pueden obtener mcd111.n1e una fónnula dcscub1cm por los

an11guos babilonio,; Sea 1'1 La pnmcra aproxunac1ón racional

para½J S1

cnloncd , sed una 11leJOI' :1rrox1macKXl para Yn y el cllcuk>

puede ~lf'5C al SUSlll\llf' '°: por X1• A pa11lr de", = ; dc1et"•

mme las s1gu1cntcs dos aprox11nac10ncs racionales pan V2

t:jrr 49-50: t: x-prHt" rn forma d r ndfica rl núnirro

49 il) 427.000 b) 0,000 000 093 e) 810.000.<XX>

SO ai) 85.200 b) O 000 005 4 e) 24,900.000

Ejrr 5 1-SZ: Expl"Nt r l nú.n1~r o r.n forn1a dl'Cin11I

S1 il) 83 X IO\ b) 2.9 X 10-u

Úlpcest cs1e numero en forma CK"ntífica

54 M.i il Jn •I Klrón La masa de un electrón es

apro:uma-dan'ICl'lte 9 1 X 10 11 kilogramos btprcsc en forma dc-cmuil

55 Al~ hu En astronomía lu d1SUU'IClaJ a las estrellas se

m,dcn en dos luz Un aOO lu7 es la d1stanc1a que un r.l)'O

de luz, 1aJa en un afio S1 la ,cloc1dad de la lw es apro:oma•

damesuc 186,000 millas por segundo csumc el número de

n11llas en un :u\o luz

a) Los astrónomos han CSllmado que la galaxia de la Via Láctea conuroc 100.000 millones de cs1rcllas l:.xprcsc

en fonna c1cntifica cste numero b) Se csllma que el diámetro d de la galaiua de la Via Uc1ea es de 100,000 aflos hu Exprese den m1ll.u

(Consulte el cJcrcic10 55.)

57 NumHO CM A~ ~o 1:1 número de á1omos de hidrógeno

en un mol es el número de A\C>g;idro 6 02 X 10:1 S1 un mol del gas 11ti-.c una mua de 1 01 gramos csomc la nwa de i1omo de hidrógeno

51 Pe >l.ciOn de pw ~ La dm.im1a1 poblac1on.al de nmchos peces se caractcnza por tasas de fcrt1hdad sumamcnlc altas cn1rc los aduhos y uru de supc:n-1\'UICaa muy baJH cnirt los JÓ' cncs Un hahbu1 maduro puede poner has!■ 2.S nulloncs

de huc,os pero sólo 000035•• de la! crí.u sobn:-VI\CR 111 edad de tres 111\os Use 13 forma eten1ifie.11 pan1 apro'l.1R13r el número de crías que, I\Cn hasa l:a edad de tres ai\oL

59 e.u lr01 ,.~.a,.llc.ut.adi ~ Unadclaspcliculasmás largas Jamás filmadas es un,1 película inglesa de 1970 qix dura 48 horaJ Suponiendo que La ,clocldad de la película

es de 24 cuadros por segundo, estime el número 1otal de cuadros de csla película Exprese en forma ctentifica su rcs-puesla

60 Hu"" ro- pi 1 1r rtd-:-1 l:I numero 2"'"' - 1 es un numero pomo En la fpoca en que se dctcnmnó que era primo un,1 de las computldons más rip1da.s del mwxto tardó alrcdcdot- de 60 d1as en , cnficarlo Esta computadora

era c•paz de rcahzar 2 X 1011 cálculos por segundo Vil• hce la form3 c1cn11fica pam esumar el numero de cilculos

rtqucndos p.ira realu.ar este cllculo (Rl'C1cntcmentc, en

2005, se <kmostró que 2~~ 4•· - l un número quccon11cnc 9,152.052 dig11os, es pruno )

61 Prt >n dt w, t1 do Cuando un tomado pasa cerca de

un cd1fict0 hay un descenso nlp1do de la pn:-s16n cxlcnor )'

la pres160 1ntcrKH" no 1,cnc ucmpo de cambiar La c1a multan le es capaz de causar una presión de 1 4 lb pu!Jr hacia afuera de las paredes y del 1ccho del cd1fic10 a) Calcule La flk.'f7 a en libras que se eJerte en 1 p•e cua•

d1fcn:n-dr.ldo de una pared

b) 1- sumc las 1oncl3das de la fucru t'Jerclda sobre una pared que mide 8 pies de aho po.-40 p!CS de anc-ho

62 Pobl 1n d• p1 tito Un r2n.chcro 11ene 750 cabc1as de ganado que con51sten en 400 aduhos (de 2 o más ai'los) ISO bo'vmos de un do y 200 becerros Se sabe la s1gmcn1c mfor-mac1ón acerca de es1a especie en ran1cular Cada pr,ma,era

un:a hembra aduha pare un solo becerro y 15•, de estos becerros 50bre\ nen el primer aM Los porccnlaJCS anua-les de supcn1,cncia ¡,;ara los bo,mos adultos son de 80- y

~ rcsp«ll\amcnte La prQf)Of'C'ión de machos a hembras

es de uno en 1odas las clases de edades l:sl1mc la población

de cada clase de edades a) en la pr6~1rtl3 prm1a,·cn b) en la pnmh'crl pasada www.pdfgrip.com

Exponentes y radicales

rcprcscma n ,·cccs el producto del número real a por si mismo Nos refcnmos a O"

como a a la u~slma potencia o sencillamente, a a fa n Al entero positivo n se le conoce como el u ¡,oncnte y al número real a como la base

u• - a"" • a ""• a· a

Ul s1gu1cntc hs1a contiene vanos CJcmplos numéricos de la no1ac16n nencial

expo-EJEMPlOS l a notación exponencial a"

EJEMPLOS l a notación ca"

9 -9

03125

Note que la expresión del segundo renglón - 31es cqun-alentc a - 1 · 31

www.pdfgrip.com

~nseguuia ampliamos la definición de a-a exponentes no pos1t1\os Exponentes cero y nei.ativos (no po$itivos)

D.tiairi6a (o ,,_ 0) Ejomplo<

Si m y n son enteros poslll\'OS entonces

tl"tt' • (l•(l • ( I •

Como el numero 101al de factores de a en la den.'Cha es m + 11 esta expn, s16n es

igual a et"••; es decir

Podemos ampliar esrn íórmula paro m ~ O o 11 ~ O usando las dclimcioncs del exponcn1e cero y los exponentes ncgall\'OS Esto nos dn la ley 1, que se establece

en la siguiente tabla

Para demostrar la ley 2 podemos escribir para m y,, positl\OS

(a"")" • «-•,r- • a"'' ' ' ,,

y con1ar el nümero de\ eces que a aparece como un factor en el lado derecho Dado

que ti" • a · a • a · a con a ocurriendo como un factor m veces y dado que el

nUmcro de estos grupos de: m factores es "· el nUmcro de factor(.'S de a es m · ,, Por

lo 1an10

(a")"= u'"

Los c.asos m :S O y 11 :S O pueden demostrarse usando la definición de

exponen-les no pos111vos Las tres leyes restantes pueden establecerse de manera similar

med1anlc el conteo de fac1ore5 En las leyes4 y se supone que los denommadores

Por lo general se usa Sa) si m > n y Sb} si m < n

Las leyes de los exponentes se pueden amplinr p3ra ob1cner reglas corno (alx-r

""' d'fl'c" y d"d'tl' ""' u-·••, Algunos otros ejemplos de l3s leyes de los exponentes

se proporcionan en los siguientes eJcmplos

EJEMPLOS l eyts de los exponentes

los exponcn1cs son pos1mos Asmm~mos q11e los deno1111nlldorr.f siempre

rq,,-e-,fertran mínreroJ reC1les difen•ntes ,k cero

Use las leyes de los exponentes para snnphficar cada expresión:

b-• 1//t' ti" 1 (•)-• a- 11' (b)"

Enscguu1a se define la ra("t 11~ lm11 ~ de un número real a

Sean n un número pos 111, o entero mayor que 1 y un número real

1) S1 O • 0 CnlOOCeS"° • 0 2) Si a> O entonces W/ es el número real posun'O b tal que /t' - a

J) a) Si a < O y n es impar entonces ~a es el número real ,wgalt\'O b tal que 1,- - a

b) S," < O y es par, c111onces :[¿ no es un número real

www.pdfgrip.com

( Rafifflitslm,,

Los nümcros complejos que cs1ud1:imos en la sección I S son neccs:irios para definir ~ s1 a < O y es un entero posiwvo par porque: para todos los nümeros reales h Ir' ~ O siempre ~e II sea par

Si 11 - 2 escribimos ✓a en ,ez de ifi, y ./ü se le ll:illl3 raí~ cuadrada de a El

nümcro ~ es la rall cúbica de a

EJEMPLOS La raíz n-ffima ra

■ Vl6 = 4 porque 4' = 16

• ~ - ! porque HY -

b-• \Y-8 b-• -2 porque (-2)' • -8

■ ~ no es un ndmcro real Obscne que fil + :!:4 porque, por definición las rafees de los números reales pos111vos son positivas El símbolo :!: se lee ·•mis o menos

Para completar nucs1ra tmmnologia la expresión ~ es un r11dkal, el número

"es el radicando y es el indkt del radical Al símbolo ,r se le llama s igno d r radical

Si ,fo - b entonces Ir -a: es decir ( ✓u)~ - u S1 \'a • b entonces b1

1) (~""'a si ~ ~ u n númcron::al (vs)' - s (-.r::ii)' --8

J ) efd- - asia<Oy11cs1mpar v'f=zy - -2 \YT=2r •-2 4) ~""lt1li,1a < Oyncspar V(-3¡;- 1-31 -J v'Fii' - 1-21 - 2

S1 a ~ O entonces la propiedad 4 se reduce a la propiedad 2 También observa• mos de la propiedad 4 que

www.pdfgrip.com

paro todo número real x En panicular st :e~ O entonces.¡;¡ -x pero s1 .x < O cn1onces fxl - - que es pos1II\O

Las tres leyes que se lisian en la siguicn1e tabla son \erdadcras para los

cn1e-ros pos111vos m y n, siempre q11t! lar ralees indicadas uil'lún, es decir siempre y

cuando las raices sean nümeros reales

leyu de los ndicalfl

Los rod1candos de las leyes I y 2 son productos y cocientes Debemos tener

cuidado cuando hay sumas o restas en el radicando La s1gu1cn1e labia con11ene dos ad,cnencias paniculares sobre errores que se cometen comúnmcn1c

pode-e> O o s1 e< O y n es impar entonces

siempre que :f;J cx1s1a S1 e< O y n es par cn1onces

siempre que exista G

EJEM,LOS Eliminar las n-lsimas potencias

■ v'<' - ~ - ~ - v'f,')iv - , , \Y'_;

■ v?;: - w ,¡; _ 1,1 ,¡;

Nota: Para ev11ar considerar los ,·alores absolu10s, t!n los cyemplos \' e1err:iclos ,Je

es U! caf)itu{Q que C0'1tenga" mdicale.1 asmmremos que todas las te1ras -a, h c d

t' y ,•1cé1rru q11r ó¡xm:c,:n ,:" los rodic"ando., rt•¡m:sema,, mímems reale.1

pos,ri-ms a m('nt>s que se especifique 01ra cosa

www.pdfgrip.com

Como observ3.mos en 13 demostración :intcrmr y en los s1guicn1cs CJcmplos, s1 el índice de un radical es 11 cn1onces el racheando se reordena aislando un factor de la formap"'.dondcp puede estar fom13do por vanas letras Lucgochm1namos::r;; • p

del radical como se 111d1c6 antes De esta manera, en el eJemplo 3b) el Indice del radical es 3 y el radicando se reordena en cubos, con lo cual ob1cncmos un factor p'

con p - 2.nJ= En el inciso c) el indice del radical es 2 y el radicando se reordena

en cuadrados ob1cmcndo un fac1or ¡r con p - 3a'lr

factor en el radicando 1cnga un exponente mayor o igual que el indice del radical y

el indice sea lo menor posible

Uii'Ul•II Ellmlnaclónde fadoresde los radicales

Simplifique cada radical (todas las lciras denotan n(uncros reales posimos):

Si el denominador de un cocien11: 11cne un factor de la forma ef;¡ con k < n ya>

O entonces 13 multiplicación del numerador y el dcnonunador por ~ clinunará

el radical del denominador, ya que

efJ, ef¡;;=i = '¼1= = ef¡¡; = a

Este proceso se llama racionalizar un d<'nominador Algunos casos especiales se hstan en la siguiente 1abla

RadoNillzar denomlnadoru de cocientes ( o> O) ~actorm Multiplicar~ a uawndor ~actor resultante _ , por m d dfflominador

,t;; ,ro; vr;,v"';J-#-tt ;¡¡;¡ y/;¡ y;;¡v.Q.-,;:J;;i a

El s1guien1e ejemplo ,lustra esta 1é-cnica

www.pdfgrip.com