Bài tập toán rời rạc

Tống Bá Quang Anh BTL Toán rời rạc docx BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN RỜI RẠC Sinh viên thực hiện Tống Bá Quang Anh Lớp TIN13A2 I Tự luận Bài 1 Một xâu nhị phân được gọi là Palindrome nếu ta đảo ngược xâu đó sẽ cho kết quả là chính nó Ví dụ các xâu 101101101, 1111, 01010 là Palindrome Hãy đếm số xâu Palindrome có độ dài n Lời giải Xâu nhị phân có độ dài n có trường hợp 2

BÀI TẬP LỚN MÔN: TOÁN RỜI RẠC

Sinh viên thực hiện:Tống Bá Quang Anh

Lớp:TIN13A2

I Tự luận

Bài 1 Một xâu nhị phân được gọi là Palindrome nếu ta đảo ngược xâu đó sẽ cho kết quả

là chính nó Ví dụ các xâu 101101101, 1111, 01010 là Palindrome Hãy đếm số xâu Palindrome có độ dài n

Lời giải:

Xâu nhị phân có độ dài n có2𝑛trường hợp

𝑎

1𝑎

2… 𝑎

𝑛

Xâu được gọi là Palindrome nếu đảo ngược xâu đó ta sẽ được kết quả chính nó nên ta

1𝑎

2… 𝑎𝑛

2 −1 𝑎𝑛 2

𝑎𝑛

2 −1……𝑎

2𝑎

1

TH1: n là số chẵn

Xâu nhị phân sẽ có2 trường hợp xảy ra

𝑛 2

TH2: n là số lẻ

Xâu nhị phân sẽ có2 trường hợp xảy ra

𝑛+1 2

Bài 2 Nam có 8 tờ tiền loại 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 nghìn đồng Nam cho Hoa rút ngẫu nhiên

5 tờ của mình Hãy chứng minh, Hoa bao giờ cũng có ít nhất hai tờ tiền có tổng giá trị là

9 nghìn đồng

Lời giải:

Giả sử Hoa không có 2 tờ tiền có tổng giá trị là 9 nghìn đồng

Gọi a1, a2, , a8 lần lượt là giá trị của các loại tiền

Khi đó, ta có:

a1 + a2≠9

a2 + a3≠9

a3 + a4≠9

a4 + a5≠9

a5 + a6≠9 a6 + a7≠9 a7 + a8≠9 a8 + a1≠9 Cộng 2 vế của các bất đẳng thức trên ta được:

2.(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)≠72

Mà: 2.(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)=2.(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 72

=> Giả thiết ban đầu là sai Vậy bài toán đã cho được chứng minh

Bài 3 Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 20, thỏa

màn điều kiện: x1 ≤ 3; x2 ≥2; x3 >4

Lời giải: Phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (1)

Vì các nghiệm của phương trình là các nghiệm nguyên không âm nên ta có thể viết lại điều kiện bài toán như sau: x1 ≤ 3; x2 ≥2; x3 ≥5 (*)

Xét các điều kiện:

+) x2 ≥2; x3 ≥5 (**)

+) x1 ≥4; x2 ≥2; x3 ≥5 (***)

Gọi p,q,r lần lượt là các số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện (*), (**), (***)

Ta có: p = q-r

- Tính q:

Đặt X1 = x1; X2 = x2 - 2; X3 = x3 - 5; X4 = x4, phương trình (1) trở thành:

X1 + X2 + X3 + X4 = 13 (2)

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (**)

Mà số nghiệm của phương trình (2) là:

= = = = 560.

𝐶

𝑛+𝑘−1

𝑛−1

𝐶

4+13−1

4−1

𝐶

16

3 16!

13!.3!

- Tìm r:

Đặt X1 = x1 - 4; X2 = x2 - 2 ; X3 = x3 - 5; X4 = x4, phương trình (1) trở thành:

X1 + X2 + X3 + X4 = 9 (3)

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (***)

Mà số nghiệm của phương trình (2) là:

𝐶

𝑛+𝑘−1

𝑛−1

𝐶

4+9−1

4−1

𝐶

12

3 12!

9!.3!

⇨ p = q – r = 560 – 220 = 340

Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (*) là 340

Bài 4 Trong một cuộc hội thảo khoa học, một số nhà khoa học bắt tay nhau Hãy chứng

minh số người bắt tay với một số lẻ người khác là một số chẵn

Lời giải:

- Gọi A là tổng số cái bắt tay của các người dự họp

- Gọi B là tổng số cái bắt tay của các người bắt tay một số chẵn lần

- Gọi C là tổng số cái bắt tay của các người bắt tay một số lẻ lần

- A = B + C

=> A chẵn, vì mỗi cái bắt tay được thực hiện bởi 2 người

B hiển nhiên chẵn theo cách gọi ở trên

=> Vậy C chẵn (Vì A chẵn, B chẵn, A = B + C) Mặt khác C là tổng của các sổ lẻ, vậy số người bắt tay 1 số lẻ lần là 1 số chẵn

Bài 5.Cho đồ thị được biểu diễn bằng hình dưới đây:

a) Viết thứ tự các đỉnh được thăm của đồ thị theo thuật toán BFS, DFS

b) Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 0 đến các đỉnh còn lại của đồ thị bằng

thuật toán Dijkstra

c) Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị trên bằng thuật toán Kruskal

d) Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị trên bằng thuật toán Prim

Lời giải:

a) Thăm đỉnh theo BFS: 0,1,7,2,8,3,5,6,4

Thăm đỉnh theo DFS: 0,1,2,8,6,7,5,4,3

b) Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 0 đến các đỉnh còn lại của đồ thị thuật toán Dijkstra

Đường đi ngắn nhất từ đỉnh 0 đến các đỉnh còn lại của đồ thị thuật toán Dijkstra: {(0,1);(1,2);(2,3);(5,4);(6,5);(7,6);(0,7);(2,8)}

=> DDNN = 4+8+7+10+2+4+8+2 = 45

c) Cây khung nhỏ nhất bằng thuật toán Kruskal

+) Bước 1: Sắp xếp các cạnh theo trọng số tăng dần:

(6,7); (5,6); (2,8); (0,1); (2,5); (6,8); (7,8); (2,3); (0,7); (1,2); (3,4); (4,5)

+) Bước 2: Đặt cây khung cần tìm là T = ∅

(*) Bổ sung: (6,7); (5,6); (2,8); (0,1); (2,5) (*) Loại (6,8); (7,8) vì tạo ra chu trình con (*) Bổ sung (2,3); (0,7)

(*) Loại (1,2) vì tạo ra chu trình con (*) Bổ sung (3,4)

(*) Loại (4,5) vì tạo ra chu trình con Thuật toán kết thúc vì đã bổ sung 8 cạnh vào cây khung T

+) Bước 3: Kết luận:

Danh sách cạnh cây khung T: { (6,7); (5,6); (2,8); (0,1); (2,5); (2,3); (0,7); (3,4) } CKNN = 1 + 2 + 2 + 4 + 4 + 7 + 8 + 9 = 37

Cây khung T:

d) Cây khung nhỏ nhất bằng thuật toán Prim

Khởi

tạo

[0,0]* [4,0]* [ ,0]∞ [ ,0]∞ [ ,0]∞ [ ,0]∞ [ ,0]∞ [8,0] [ ,0]∞ 0

B1 - - [8,1] [ ,0]∞ [ ,0]∞ [ ,0]∞ [ ,0]∞ [8,0]* [ ,0]∞ 0,1

Cặp cạnh {(0,1); (5,2); (2,3); (3,4); (6,5); (7,6); (0,7); (6,8)}

CKNN = 4+4+7+9+2+1+8+6 = 41

=> Cây khung nhỏ nhất bằng thuật toán Prim là:

II Lập trình

Bài 1 Lập trình cài đặt thuật toán duyệt đồ thị theo chiều rộng (BFS).

Code (C++) :

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <queue>

using namespace std;

int n; //so dinh cua do thi

int matrix[1001][1001]; //ma tran ke

bool visited[1001]; //kiem tra cac dinh da duoc duyet chua - bd cac dinh chua duoc duyet la

"false"

void Init()

{

ifstream file("matrixts.txt", ios::in);

file>>n;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

for(int j=1; j<=n; j++) {

file>>matrix[i][j]; }

visited[i] = false;

}

}

void BFS(int u)

{

cout<<"BFS{"<< u << "}: "; queue<int> Q;

Q.push(u);

visited[u] = true;

while(!Q.empty())

{

int s = Q.front();

cout<< s << " ";

Q.pop();

for(int t = 1; t<=n; t++) {

if(visited[t] == false && matrix[s][t] == 1)

{

Q.push(t);

visited[t] = true;

} }

}

cout<< endl;

}

int main()

{

int k;

Init();

cout<<"Chon dinh bat dau duyet: ";

cin>>k;

BFS(k);

return 0;

}

● Hình ảnh test chạy code:

Bài 2 Lập trình cài đặt thuật toán duyệt đồ thị theo chiều sâu (DFS).

Code (C++) :

#include<iostream>

#include<fstream>

#include<stack>

using namespace std;

int n; // so dinh cua do thi

int matrix[1001][1001];

bool visited[1001];

void Init()

ifstream file("matrix.txt", ios::in); file >> n;

for(int i = 1; i <= n; i++)

{

for(int j = 1; j <= n; j++) {

file >> matrix[i][j];

}

visited[i] = false;

}

}

void DFS(int u)

{

cout << "DFS(" << u << "): "; stack<int> st;

st.push(u);

visited[u] = true;

cout << u << " ";

while(!st.empty())

{

int v = st.top();

for(int t = 1; t <= n; t++)

{

if(visited[t] == false && matrix[v][t] == 1) {

cout << t << " ";

visited[t] = true;

st.push(v);

st.push(t);

break;

}

}

}

}

int main()

{

int s; // dinh bat dau

Init();

cout << "Chon dinh bat dau: ";

cin >> s;

DFS(s);

return 0;

● Hình ảnh test chạy code:

Bài 3 Lập trình cài đặt thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị theo thuật

toán Prim

Bài 5 Lập trình cài đặt thuật toán nhánh cận giải bài toán cái túi.

#include <iostream>

using namespace std;

int a[100], x[100];

int n;

int w;

int tong;

int temp;

void Try(int t);

int main(){

temp=0;

tong=0;

cout<<"Nhap so luong mon hang: ";

cin>>n;

for(int i=0; i<n; i++)

{

cout<<"Nhap khoi luong mon hang thu ["<<i+1<<"]: "; cin>>x[i];

}

cout<<"Nhap khoi luong balo co the chua: ";

cin>>w;

Try(0);

return 0;

}

void Try(int t)

{

if(t>=n)

{

for(int i=0; i<n; i++)

tong+=(a[i]*x[i]);

if(tong > temp && tong<=w) {

temp=tong;

system("cls");

temp=tong;

cout<<"Cac mon hang duoc chon la: "<<endl;

for(int i=0; i<n; i++) {

if(a[i]==1) {

cout<<"mon hang"<<i<<": "<<x[i]<<endl; }

} }

tong=0;

}

else

for(int j=0; j<=1; j++) {

a[t]=j;

t++;

Try(t);

t ;

a[t]=0;

} }

Bài 6 Lập trình cài đặt thuật toán nhánh cận giải bài toán người du lịch

#include<iostream>

#include<conio.h>

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

using namespace std;

int n,c[100][100],x[100],chuaxet[100],kq[100]; int MIN=0;

int a=1;

void Init(){

cout<<"\n Nhap n="; cin>>n;

cout<<"\n Nhap chi phi \n";

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=1;j<=n;j++){

if(i!=j){

cout<<"c["<<i<<"]["<<j<<"]="; cin>>c[i][j]; }

else c[i][j]=0;

}

x[1]=1;

for(int i=2;i<=n;i++) chuaxet[i]=1;

}

void Result(){

cout<<"\n T1->";

for(int i=2;i<=n;i++) cout<<"T"<<kq[i]<<"->"; cout<<"T1";

cout<<"\n Tong chi phi la: "<<MIN;

}

void Work(){

int S=0;

for(int i=1;i<=n-1;i++){

S=S+c[x[i]][x[i+1]];

}

S=S+c[x[n]][1];

if(S<MIN||a==1){ a=0;

MIN=S;

for(int i=1;i<=n;i++) kq[i]=x[i];

}

}

void Try(int i){

for(int j=2;j<=n;j++){

if(chuaxet[j]){

x[i]=j; chuaxet[j]=0;

if(i==n) Work();

else Try(i+1);

chuaxet[j]=1;

} } }

main(){

Init();

Try(2);

Result();

return 0;

}