document

F:M >M',N >N thì M'N'= MN Định lí cơ bản: Phép dời hình biến ba điểm thắng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biế

Cty TNHH MTV DWH Khang Việt ˆ

1 KIEN THUC TRONG TAM

Phép bién hinh

Phép biến hình F trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng ay, goi là ảnh của điểm M: F(M) = M'

_Phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đồi khoảng cách giữa hai điểm bắt kì F:M >M',N >N thì M'N'= MN

Định lí cơ bản: Phép dời hình biến ba điểm thắng hàng thành ba điểm thẳng

hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có

— Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến mỗi điểm MI của mặt phẳng

thành điểm MI' đối xứng với M qua d, kí hiệu là Da

— Phép đối xứng qua điểm O là phép biến đổi mỗi điểm M thành điểm M' đối xứng với M qua O, kí hiệu là Do

~ Phép quay tâm O góc quay ọ, biến điểm O thành O và biến mỗi điểm M

độ dài k lần, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k, biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính KR, biến góc thành góc bằng nó

293

- T0trong điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - tê Hoành hò

— Hướng dẫn giải Gọi F là phép dời hình có hai điểm bắt động A, B: F(A) = A, F(B) = B Lay một điểm C không thang hang voi A, B va goi C' = F(C)

Nếu C' = C thi F cé ba diém bat động không thẳng hàng Giả sử F không phải là phép đồng nhất thì có một điểm M mà ảnh M' khác M ta có: AM = AM', BM = BM’, CM = CM' nén A, B, C cach đều M và M' nên nằm trên

_ trung trực của MM' do đó chúng thẳng hàng: vô li Vậy F là phép đồng nhát

Nếu C' không trùng C thì AC = AC' và BC = BC' nên AB là trung trực của CC' Khi đó F chính là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng AB Kết quả: Nếu phép dời hình có ba điểm bát động không thẳng hàng thì phép dời hình đó là một phép đồng nhất

294

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

Ta có hợp thành của phép tịnh tiến V và phép đối xứng tâm I là phép đối

xứng tâm J sao cho U= -5 v Do đó hợp thành của k = 2n + 1 phép đối xứng tâm A¡, Aa, , Azsn.: là phép đối xứng tâm O sao cho:

A, O = -(A,A A, +A,A,+ tA, A,

và Ðạ là phép đồng nhất e nên F chính là phép đối xứng Đụ

Bài toán 12 4:

Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài hình chữ nhật BCDE Các đường thẳng qua

D và E lần lượt vuông góc với AB và AC cắt nhau tại K Chứng minh AK

Hướng dẫn giải

Gọi BB', CC' và H là trực tâm là hai

Phép tịnh tiến vecto BE = CD biến: C

Ma BB' và CC giao nhau tại H nên H và Ỉ K

K là hai điệm tương ứng trong phép tịnh E D

tiền này Do đó HK // BE nên HK | BC

Ma AH 1 BC, vậy A, H, K thang hàng, nghĩa là AK vuông góc với đường thẳng BC

295

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - Lé Hoành hò

- Bài toán 12 5:

Cho tám giác ABC Gọi A¡, Bị, C¡ là các trung điểm của ba cạnh BC, CA,

AB Gọi O¡, O¿, Oa và lì, lo, lạ tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp

và nội tee của ba tam giac AB,C,, BC,A; va CA,B Chứng minh AO,0203 =

Cho hinh binh hanh ABCD va diém M sao cho C nam trong tam giac MBD

Giả sử MBC =MDC Chứng minh AMD =BMC

Do đó AMM'D là tứ giác nội tiếp nên AMD = AM'D

Hơn nữa, ta có: BMC = A'MD nên AMD =BMC

Bài toán 12 7:

Cho tam giác ABC Trên đường phân giác ngoài của góc ¢ C lấy một điểm D khác với C Chứng minh: DA + DB > CA + CB

Hướng dẫn giải Gọi A' là điểm đối xứng với A qua CD Do

CD là phân giác ngoài của góc C, nên A'

thuộc tia đôi của tia CB và A'C = AC

Ta co: DA + DB = DA' + DB > BA'

Ctu TNHH MTV DWH Khang Việt

Bai toan 12 8:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi dy, do, ds lần lượt là các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, BC và CA Với một điểm M

bát kì, lấy M; đối xứng với M qua dị, Mạ đối xứng với M: qua d; và M;ạ đối

xứng với M; qua da Chứng minh rằng trung trực của đoạn thẳng MMs la một đường thăng cố định

Hướng dẫn giải

Vi phép đối xứng qua đường thẳng không làm thay đổi khoảng cách giữa

hai điểm nén ta cé AM = BM, = CM, = AM; va OM = OM, = OM2 = OMs Do

đó hai điểm A và O cách đều hai điểm M và Mạ Vậy trung trực của đoạn thang MM; chính là đường thẳng cố định OA

Bài toán 12 9:

Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì đó là hình bình hành

Hướng dẫn giải

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là l

Dinh A chỉ có thể biến thành A, B, C hay D

— Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A là

tâm đối xứng của tứ giác: vô lí

— Nếu A biến thành B hoặc D thì tâm đối

tứ giác: vô lí

Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C.Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến

thành đỉnh D Khi đó tâm đối xứng I là trung điểm của hai đường chéo AC

và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành

Bài toán 12 10:

Cho hình bình hành ABCD và đường tròn (C) bàng tiếp của tam giác

ABD, tiếp xúc với phần kéo dài của AB và AD tương ứng tại các điểm M và

N Đoạn thẳng MN cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P và Q Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với các cạnh BC và _

tròn nội tiếp tam giác ABD, tiếp xúc với AB tại

M', voi AD tai N' va BD tại H; gọi I là trung điểm

của BD

Từ MM' = NN' và MM' = BH + BK,

NN' = DK + DH suy ra BH = DK

Phép đối xứng Đị: Bre D,H BK

Tam giác AMN cân tại A và vì DQ // AM

Nên tam giác DQN cân tại D

Suy ra DQ = DÑN = DK = BH = BM

10.trong diém b6i duéng hoc sinh gidi mén Toén 10 — lé Hodnh Pho

Do đó, Q là ảnh của M' trong phép Đị Tương tự, P là ảnh của N' trong phép

_ Đụ, phép Đụ: (V):> (V) đi qua 3 điểm K, Q, P Vì Mì, N', H là các điểm chung duy nhất của (V) với AB, AD va BC, do đó K, Q, P cũng là điểm

‘chung duy nhất của (V') với BC, CD, CB suy ra đpcm

Bài toán 12 11:

Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng

về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF Gọi M và

N lần lượt là trung điểm của AF và EC Chứng minh tam giác BMN đều

- Phép quay tâm B góc quay 60° biến các

điểm E, C lần lượt thành các điểm A, F

biến đoạn EC thành AF nên biến trung

điểm N của EC thành trung điểm M của

AF, do đó BN = BM và (BN, BM) = 60°

Bai toan 12 12:

Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIL,

ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng N

Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ.-

Hướng dẫn giải Gọi D là trung điểm AB thì phép Q

quay tâm C góc 90° biến MB thành E

AI, suy ra tam giác DPO vuông cân

Phép quay tâm B góc 60° biến A, ¢,

thành C, biến A thanh C,, bién A,A

thành CC¡, do đó AIC, = 600

Lấy trên CC, diém E sao cho IE = IA

thì tam giác EIA đều

Phép quay tâm A góc 607 biến C; thành

Cty INHH MTV DWH Khang Việt

Ta có OA' 1 BC ma › BC // BC' nên OA'

i BC’ Tương tự OB' L AC' Vậy O là

trực tâm của tam giác A'B'C'

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

GA =-2GA', GB=-2GB', QC =-2QC

Do đó phép vị tự V tâm G, tỉ số — 2 biến |

tam giác A'B'C' thành tam giác ABC B A C

Điểm O là trực tâm của tam giác A'BC'

nên phép vị tự V biến O thành trực tâm

H của tam giác ABC

Do đó GH =-2GO nên ba điểm G, H, O thẳng hàng

Bài toán 12 15:

Chứng minh hợp thành F của hai phép vị tự V có tâm O1 tỉ số k, va V2 c6 tâm O; tỉ số kạ là phép tịnh tiến hay phép vị tự

Hướng dẫn giải

Lay một điểm M bắt kì, nếu V; biến M thành M¿ và V; biến M; thành Mạ thì:

- Nếu k;.kạ = 1 thì IMạ= O,M nên

MM, =Oj|=O,O, + O,l=(1~k,„)O,O, : xác định O; 0,

_ Vậy F là phép tịnh tiền theo vecto u =(1—kạ) 0,0,

— Nếu k¡.kạ z 1 ta chọn diém O3 sao cho: O,l= =k,k,O,O,

Khi đó: O.M, = O,I+IM,

= kk,O,O, +, k, OM M = kk„O,M

Vậy F là phép vị tự tam O3 ti sé kyko

Tâm Os của phép vị tự đó

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toón 10- tê Hoành Phò _

Suyra 0,0, +k, 0,0, =(1-kk,)O,0, nén: 0,0, =

Do đó tâm của ba phép vị tự V:,Vạ và F là ba điểm thẳng hang

Cho tam giác ABC có định Gọi Bx, Cy theo thứ tự là các tia đối của các tia

BA, CA Các điểm D, E thứ tự chuyển động trên các tia Bx, Cy Tìm tập hợp các trung điểm M của DE biết BD = 2CE

Hướng dẫngiải -

Vẽ hình bình hành BCEK, ta có K ở „

trên ta Bz cố định song song cùng

chiêu với tia Cy Trên hai tia Bx, Bz lần

ˆ lượt lấy hai điểm cố định Do, Ko sao cho

Vì BD = 2CE = 2BK nên BK // DoKo

Goi N va N, tuong ứng là trung điểm của

DK va DK, Ta cé N, cé dinh va tap hop D

của ÑN là tia BNo

Gọi I là trung điểm của BC:

Cho hinh binh hanh ABCD co đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng

2a, còn A, B, D nằm trên một đường tròn cố định tâm O, bán kính R Tìm

tập hợp đỉnh C

AO kéo dài cắt đường tròn ở K, nên K

ABD, l là trung điểm của BD Từ đó DQ TA

AH = 2OI = 2Ÿ - a” : không đổi nên `

suy ra H nằm trên đường tròn tâm A,

Do ABK = ADK =90°, maAB// DC, AD // BC

300

Cty TINHH MIV DWH Khang Việt

= BK 1 DC và DK L BC nên K là trực tâm tam giác BDC

= CK | DB => CK //AH Trong tam giác ACK, do OI là đường trung bình, nên KC = 20] = KC = AH >> AHKC là hình bình hành

_=HC = AK: xác định nên phép tịnh tiến vectơ AK biến H thành C, biến

A thành K

Vậy tập hợp của C là đường tròn tâm K, bán kính 2VR2 -a?

Bài toán 12 18:

Cho tam giác đều ABC Với một điểm M tuỳ ý gọi M; là điểm đối xứng với M

qua đường thẳng AB, Mạ là điểm đối xứng với M: qua đường thẳng BC và

Mạ là điểm đối xứng với Mạ qua đường thẳng CA Tìm tập hợp trung điểm I

Huong dan giai

qua BC, K Ia trung diém cla MM,

(K € AB) va K' [a trung điểm của

MM; Khi đó phép đối xứng qua M

đường thẳng BC sẽ biến M thành X Mi

M, M¡ thành Mạ nên cũng biến K B | Cc

thành K' tức là biến BK thành BK' M;

Suy ra góc hợp bởi BK' và BC cũng bằng 60° hay BK’ // AC Vì MM; L

BK, M;M; L AC, suy ra ba điêm M', Mạ, Mạ thẳng hàng Nếu ta gọi H' là

trung điểm MạM; (H' e AC) thì M'M, =2K'H'=2BH với BH là đường cao

của tam giác ABC

Nếu gọi P là trung điểm MM' (P e BC) và l là trung điểm MMa thì

Pi = sMM, _=BH Vậy phép tịnh tiền theo vectơ BH sẽ biến điểm P thành

l, vì P e BC nên tập hợp I chính là ảnh của đường thẳng BC qua phép tịnh tiến nói trên Tập hợp này là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh

AB và AC

Bài toán 12 19:

Cho một đường thẳng d và một vectơ v cố định Với mỗi điểm M bat ki, phép đối xứng trục Ðạ biến M thành M', và phép tịnh tiến T- biến M! thành M" Tim tap hợp trung điểm của đoạn thẳng MM" |d Hi

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - Lê Hoành hò

Vì I nằm trên d nên tập hợp I' là đường thẳng d', ảnh của d qua phép tịnh

tiến theo vectơ >

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) va một diém A thay đổi

trên đường tròn đó Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC

Vẽ đường kính AM của đường tròn thì có

BH // MC va CH // MB nên BHCM là hình

bình hành Nếu gọi I là trung điểm của BC

thi | cé định và cũng là trung điểm của

MH

Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M

thành H.-

Vậy tập hợp là đường tròn là ảnh của

đường tròn (O; R) qua phép đối xứng tâm |

Goi | là giao điểm của MN và AB, ta có:

IA = IM.IN = IB— lA =IB

=> | la trung điểm của AB có định

- Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với

(O) ta có: IA? = IA.IB = IM.IP

= IN = IP nên ! là trung điểm của PN,

do đó phép đối xứng tâm I biến P thành N

Vì tập hợp điểm P là đường tròn (O)

Cty TINHH MTV DWH Khang Viét

Hướng dẫn giải

Ta có E là ảnh của A qua phép quay F

tâm B, góc 90” Khi A chạy trên nửa

đường tròn (O), E sẽ chạy trên nửa

đường tròn (©O') là ảnh của nửa

đường tròn (O) qua phép quay tâm

B, góc 90”

Một điểm M lưu động trên cung AB lớn của đường: tròn (O), với A, B là hai điểm

cố định trên đường tròn này Trên đoạn BM lấy điểm N sao cho BN = AM Tim tập hợp điểm N

Hướng dẫn giải Đường trung trực của cung AB cắt

= (MA, MB) = ọ: không đổi A 3h

nên phép quay tâm l góc ọ biến MthànhN `¬`. -</

Vậy tập hợp điểm N là cung BIB' ảnh của cung AIB qua phép quay tâm I góc ọ

Bài toán 12 24:

Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O; R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm qũy tích trọng tâm G của tam giác ABC

Hướng dẫn giải _

Gọi I là trung điểm của BC thì l cố định

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên B “tS

Do đó phép vị tự V tâm tỉ số = bién

điểm A thành điểm G Từ đó suy ra khi

A chạy trên đường tròn (O; R) thì tập

hợp G là ảnh của đường tròn đó qua

phép vị tự V, tức là đường tròn (O'; R)

mà IO'= -L IO vàR'= -TR

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - tê Hoành Phò

Cho đường tron (O) co đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B

và PQ là đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB Đường thẳng

CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N Tìm tập hợp các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi

Ta có QB // AP (vì cùng vuông góc với PB) va B là trung điểm của AC nên

Q là trung điểm của CM Tương tự ta có AQ // BN (vì cùng vuông góc với AP) và B là trung điểm của AC nên N là trung điểm của CQ

M

-Ta có CM = 2CQ nên phép vị tự V tâm C tỉ số 2 biến -Q thành M Vì Q

chạy trên đường tròn (O) trừ hai điểm A, B nên tập hợp M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V trừ 2 ảnh của A, B

304

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

| Tương tự CN = 5 CQ nên tập hợp N là ảnh của đường tròn (O) qua phép

Trong tam giác ACC' ta biết AC' = 2a, °

BC = b là trung tuyến kẻ từ C va AC'C

— Dung hinh: Dung AC' = 2a, trung điểm B của AC, cung chứa góc ơ trên dây AC', cung tròn tâm B, bán kính b Gọi C là diém chung của hai cung tròn đã dựng Dựng D là ảnh của C trong phép tịnh tiến độn, |

— Chứng minh: Theo cách dựng thì ABCD là hình bình hành thảo mãn đề bài

— Biện luận: Bài toán có số nghiệm là số điểm chung của hai cung tròn

Bài toán 12 28:

Cho hai đường tròn (O;), (O;) và một đường thẳng d Dựng một đường

thang d' // d sao cho d' cat (O,) va (Oz) theo hai dây cung bằng nhau

Hướng dẫn giải

Giả sử đã dựng được đường thẳng d' song song với d, cắt (O¿) tại A, B và cat (Oz) tại C, D thoả mãn: AB = CD.Goi |; va [2 lần lượt là hình chiếu vuông góc với O:;O; trên d Gọi (O';) là ảnh của (O;) qua phép tịnh tiến lly

Do AB = CD = AC = BD = l;l; nên phép tịnh tiến đó biến C thành A, D_

thành B, do đó (O';) cắt (O¡) tại A và B Từ đó suy ra cách dựng |

305-_ 10 treng diém bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - tê Hoành Pho

._ Dựng (O?;) là ảnh của (O;) qua đc Gọi A, B là các giao điểm của (O';) và |

| _ Giả sử đã dựng được điểm M

_ Gọi A’ = T: (A) thì MA // FA'

| nên A' FB = AMB = œ: không đỗi

_Đo đó, F là giao điểm của CD với cung A i Vp

chứa góc œ nhìn bởi đoạn A'B Từ đó NCA” 7

Dựng ảnh của A qua T; là A' Dựng cung chứa góc œ trên dây A'B Dựng

Xét tam giác ABC có B và C lần lượt

nằm trên hai tia Ox và Oy Gọi A' và

A" là các điểm đối xứng với điểm A

lần lượt qua các đường thẳng Ox va

Oy Chu vi của tam giác ABC là:

~ AB + BC + CA =A'B +BC + CA"> A'A" A’

Dấu "=" xảy ra khi bốn điểm A', B, C,

A" thẳng hàng Vậy chu vi tam giác

ABC bé nhất khi lấy B và C lần lượt là

giao điểm của đoạn thẳng A'A" với hai

tia của góc nhọn xOy

Vì góc xOy nhọn tồn tại các giao điểm B và C

Cho phép đối xứng tâm Ðạ và đường thẳng d không đi qua O Hãy nêu

cách dựng ảnh d' của đường thang d qua Do Tim cach dựng d' mà chỉ sử

dụng compa một lần và thước thẳng ba lần

306

Oo

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

Hướng dẫn giải

Dựng đường tròn (O; R) sao cho

nó cắt d tại hai điểm phân biệt A,

Mặt khác A lại nằm trên (O; R) nên A

phải là giao điễm của A' và (O; R) Suy

ra cách dựng:

Dựng đường thẳng A' là ảnh cla A

qua phép đối xứng tâm B, Lay A là

giao điểm của A' và (O; R), còn B là

giao điểm của đường thẳng AI và

ý, và gọi B' là điểm đối xứng của A' qua P;, C là điểm đối xứng của B' qua

Pa, D' là điểm đối xứng của C' qua Pa, E' là điểm đối xứng của D' qua Pa và A" là điểm đối xứng của E' qua Ps

Khi do AA'= P,A'-P,A =-P.B'+ P,B= -BB'

Tương tự BB'= -CC',CC'= -DD', DŨ' = -EE', EE' =-AA'

Do đó AA'=~— AA " nên A là trung điểm của A'A"

Từ đó suy ra cách dựng: Láy một điểm A' bát kì, rồi dựng các điểm B', C',

D, E, A” như trên Cuỗi cùng dựng trung điểm A của đoạn thẳng A'A", thì A

là một đỉnh của ngũ giác cần tìm Các đỉnh còn lại dựng dễ dàng

307

10 trọng điểm bồi dưỡng học sính giỏi môn Toán 10 - Lê Hoành Phò

Bài toán có một nghiệm hình duy nhất Thật vậy nếu có hai ngũ giác ABCDE và A'B'C'DE' cùng thoả mãn điều kiện của bài toán thì lập luận như trên ta có AA'=—AA' nên AA'= 0 tức là A trùng với A', và do đó B, C, D,

E lần lượt trùng với B', C', D, E'

Bài toán 12 34:

Cho hai đường thẳng a, b song song và một điểm G không nằm trên chúng

Xác định tam giác đều ABC có A e a, B e c và G là trọng tâm của tam giác đó

Giả sử đã dựng được AABC thoả mãn "

trong phép quay Q tâm G góc 120°

Dựng: a' là ảnh của a qua phép Q và B = b ¬ a Các đỉnh A, C'là ảnh của B

qua phép quay tâm G, góc +120/

Bài toán luôn có hai nghiệm hình, góc quay +1207

Bài toán 12 35:

Cho tam giác ABC, có góc A = ọ, và một điểm M nằm trên cạnh AB Dựng

trên các đường thẳng BC, CA các điểm N, P tương ứng sao cho MP = MN

và đường tròn đi qua A,M,P tiếp xúc với MN A

Hướng dẫn giải Giả sử đã dựng được hai điểm:

N BC, P c AC thoả mãn các điều kiện

MP = MN nên phép quay Q tâm M, góc

ọ biến A thành A', PA thành NA' Gọi

ANa AC = I

Ta có NIC = (PA,NA) =o=NIC =BÂC p

=> IN // AB

Từ đó suy-ra cách dựng như sau:

Phép quay tâm M, góc ọ biến A thành A' Vẽ A'N//AB, N c BC

Dựng tia MP cắt AC tại P sao cho NMP = q thi N và P là các điểm cần tìm Bài toán có một nghiệm duy nhát

Cty TNHH MTV DWH Khang Việt

Bai toan 12 36:

Tam giác ABC có BC = a, AC =b, C= o (ọ < 1209) Tìm điểm M trong mặt

phẳng sao cho MA + MB + MC nhỏ nhát và tính giá trị nhỏ nhất của tông đó

Hướng dân giải Thực hiện phép quay: Q 6-60) Mh M',A Bb A'., thì MA = MA' Tam giác

CMM! đều, nên MM' = CM

Do đó: MA + MB + MC = BM + MM' + M'A' > A'B: không đổi

Theo định lí hàm số cosin trong tam

_ giác ABC:

A'B? = a’ + b* — 2abcos(@ + 60°)

Độ dài đường gấp khúc BMMA ngắn

nhật khi M và M' năm trên BA., do đó

CMA' = CÂA' = 60” nên thuộc đường ;

tròn ngoại tiép tam giac ACA’

Vậy điểm M cần tìm là giao của đường thẳng BA' và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACA' Độ dài ngắn nhất của tổng là:

MA + MB + MC = a? + b? — 2ab.cos(@ + 60°)

Bai toan 12 37:

Dựng một đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng Ox, Oy cho sẵn và

đi qua một điểm cố định A cho sẵn ở trong góc xOy _

Hướng dẫn giải

Phân tích, giả sử dựng được đường tròn (C) đi qua A va tiếp xúc với Ox,

Oy, phép vị tự tâm O biến (C) thành (C') chỉ thoả 2 điều kiện tiếp xúc với

Dựng đường tròn (C) tuỳ ý tiếp xúc với Ox và Oy.Dựng OA cắt (C) tại

A'.Dựng giao điểm A của đường thẳng OA' với đường thẳng qua C, song

song C'A' Đường tròn tâm C, bán kính CA là đường tròn phải dựng

Chứng minh: Đường tròn tâm C, bán kính CA đi qua A là ảnh của đường

tròn (C') trong phép vị tự nên tiếp xúc với Ox, Oy, tâm O tỉ k = cài

Biện luận: Đường thẳng OA cắt (C) tại 2 điểm A‘), A'¿ nên bài toán có 2

309-10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 309-10 - tê Hoành 2hò

Gọi S là tâm vị tự ngoài của (O) và

(O') Gọi N là ảnh của M qua phép vị

tự tâm S biến (O) thành (O') Đường _

thẳng SN cắt (O') tại điểm thứ hai S

M' Goi O" la giao diém cua OM va

Gọi O là giao điểm 2 cung chứa góc

Hợp thành của phép quay tâm O, góc quay = va phép vi tw tam O tik =

v2 biến A thành C, I thành D nên chính là phép đồng dạng cần tìm biến AI

thành CD

Bài toán 12 40:

Cho hai đường tròn (O) và (O) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O) lần lượt tại B và C Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn giải Kéo dài BC cắt (O) tại B' Vì C là tâm vị tự trong của (O') va (O) nên hai vectơ O'B' và O"B ngược hướng

Cty TNH MTV DWH Khang Viét

Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”)

nên hai vecto O"B va OB ngược

hướng Do đó hai vectơ OB và O'B'

cùng hướng

Vậy đường thẳng BB', cũng chính là

đường thẳng BC, luôn luôn đi qua điểm

cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và

(O)

Bài toán 12 41:

Cho tam giác ABC cân đỉnh A, A; là trung điểm BC |

a) Chứng minh tồn tại duy nhất cặp điểm B;, C¡ thoả các điều kiện: B;

thuộc đoạn AC, C¡ thuộc đoạn AB và BC; + A:B;¡ = BA: + BịC¡

b) Chứng minh khi đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng hai lần bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A:B:C¡

b) Từ câu a) thì tứ giác BC;:B:A; ngoại tiếp được đường tròn (lọ, rọ) Ta gọi M,

N là các tiệp điêm của đường tròn (fg, ro) với BC; và BA Do đó: BB:,

C:A¡, MN đồng quy tại S

Gọi (1:, r;) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

311

10 trong diém béi dUéng hoc sinh gidi mén Todn 10 — (tê Hoành Phè

Cho tam giác ABC Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh

AC sao cho MN song song với BC và AM = CN A

Hướng dẫn giải Giả sử đã dựng được hai điểm M,N

thoả mãn điều kiện đầu bài Đường

thẳng qua M và song song với AC cắt

BC tại D thì tứ giác MNCD là hình bình

hành Do đó CN = DM nên tam giác

_ là phân giác trong của góc A va NM = CD nên M là ảnh của N qua phép -

tịnh tiến theo vectơ DC

Từ đó suy ra cách dựng: Dựng đường phân giáo trong của góc A cắt BC tại

D Dựng đường thẳng d là ảnh của đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ CD, d cat AB tai M Dung N sao cho NM = CD, thi M, N la hai diém can dung

Trên ba đường tròn có cùng tâm O và có bán kính R, 2R, 3R, lần lượt lấy

ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và điểm O thuộc miền trong tam giác này Tính diện tích tam giác ABC theo R

Hướng dẫn giải

Phép quay tâm B góc 3 bién C

thanh A sẽ biến điểm O thành O'

Từ đó: OO + OA? = 8R? + R? = 9R? = O'A? > O'ÔA = 90°

Ma: BOO' = 45° nén BOA = 135°

Dinh ly ham sé cosin trong tam giac BOA cho:

312

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

AB? = OA? + OB? — 20A.OBcosBOA = (5 + 2V2)R?

AABC vuông can = S(ABC) = = AB" = S22 ng

Bài toán 12 44:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, Mlà điểm tuỳ ý:

a) Chứng minh rằng: Từ 3 đoạn thẳng MA, MB, MC ta luôn luôn dựng được một tam giác (T) nào đó.Tam giác (T) suy biên thành đoạn thăng khi và chỉ

khi M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

D) Tìm tập hợp của điểm M sao cho (T) là tam giác vuông

a) Xét phép quay (A: 60°): AB › AC và AM > AM'

Tam giác AMM' đều nên: AM = AM'

AABM = AACM' nén BM = CM' |

Vậy tam giác MCM' có 3 cạnh: MM' = MA, MC = MB và MC Đó chính là

~ tam giac (T) can dung

Nếu (T) suy biến thành đoạn thẳng: (M, C, M' thẳng hàng)

Vì tam giác AMM' đều nên: AMM' = 60” AMC = ABC= 601

Vậy: M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đảo lại dùng phép quay

(A, 60 Ta có: ACM+ABM= 1807

AABM = AACM' => ACM'= ABM=> ACM+ ACM'= 180°

Vay (T) suy bién thanh doan thang

b) Trước hết, ta tìm tập hợp các điểm M sao cho:

MA? = MB? + MC? _

Dựng ! đối xứng với A qua BC Gọi E = AI ¬ BC Ta có:

2 MB? + MC? = 2ME? + - MA? + MI? = 2ME* +

Suy ra: MA? + MI? — MB? — MC? = a?

Do đó: AMCM' vuông tại 3=— <> MM"? = MC? + M'C?

<> MA? = MB? + MC?© MIỸ = aˆ © MI = a

313

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10~ tê Hoành Phò

Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tam | bán kính R = a trừ hai điểm

Goi J là điểm đối xứng với B qua AC và K là điểm đối xứng với C qua AB

Từ đó suy ra tập hợp của M là 3 đường tròn (l; a), (J; a), (K; @) trừ 3 đỉnh

của tam giác ABC :

Vậy F là phép tinh tién theo vecto AA‘

Nếu k z 1 thì có điểm O sao cho OA' = kOA

Ta có OM'= OA'+ A'M' =kOA +kAM =kOM

Vậy F là phép vị tự tâm O, tỉ số k

3 BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 12.1: Chứng minh các phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục và

phép quay đều là các phép dời hình

Dùng định nghĩa của các phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục , phép

quay và định nghĩa của phép dời hình

Bài tập 12.2: Chứng minh rằng hợp thành của phép đối xứng trục Ðạ và phép tịnh tiền T theo vectơ v vuông góc với a là phép đối xứng trục

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

Bài tập 12.4: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, BC =b, CD = c, DA = d Chứng

ac +bd

minh tứ giác có diện tích S <

Hướng dẫn

Dùng phép đối xứng trục là đường trung trực A của đường chéo BD

Bài tập 12.5: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm

A, B nằm về một phía đối với d Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho

MN = PQ và AM + BN bé nhát

Hướng dẫn Lấy A; đối xứng A' qua d thì:A'N + BN = A+N +BN >A¿B

Bài tập 12.6: Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng

vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đôi xứng

_— Hướng dẫn Kết quả tâm đối xứng là giao điểm của hai trục đối xứng vuông góc

Bài tập 12.7: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M

thay đổi trên (O) Gọi M; là điểm đối xứng với M qua A, Mz la điểm đối xứng

voi M, qua B, Ms là điểm đôi xứng với Mạ qua C Tìm tập hợp các điểm Ma

Hướng dẫn Phép biến hình F biến điểm M thành Mạ là một phép đối xứng tâm

Bài tập 12.8: Cho tam giác ABC Lấy trên AB một điểm lưu động M và trên AC một điểm N sao cho BM = CN Chứng minh trung trực của MN qua 1 điểm

cố định và đường tròn (AMN) qua 2 điểm cố định

Hướng dẫn

Dùng phép quay bảo toàn góc

Bài tập 12 9: Goi MA, MB, MC là 3 dây cung của đường tròn tâm O Chứng minh rang các giao điểm khác với M của 3 đường tròn đường kính MA, MB

và MC lấy từng đôi một là 3 điểm thẳng hàng

Hướng dẫn Dùng phép vị tự tâm M

Bài tập 12.10: Cho tam giác nhọn ABC, hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho

hai đỉnh P, Q nằm trên cạnh BC và hai đỉnh M, N lần lượt nằm trên hai cạnh

315

10 trong điểm bồi dưỡng học sính giỏi môn Todn 10 — lé Hoanh Pho

-_ Gọi l là giao điểm của đường tròn đường kính AB với cung chứa góc 60° dựng trên dây OO' Hợp thành của phép quay tam |, góc 60° và phép vị tự

tam |, tik = = là phép đồng dạng cần tìm

Cty INHH MTV DWH Khang Viét

KIEN THUC TRONG TAM

Tích vô hướng và góc, khoảng cách

Tích vô hướng của hai vectơ a = (a1; a2) va b = (bị; bạ):

a.b =aj,b; + aobs

Vị trí của 2 điễm M,N đối với duong thang A: ax + by +c =0:

M, N cung phia <= (axy + byy + c)(axn + byn + C) > O

M, N khac phia < (axy + byy + c)(axn + byyn + c) < 0

Dién tich tam giac ABC co AB = (X4, Y1), AC = (X2, Yo):

(Mo; A) =

| S= 2 | XIV2 — XaYn |

Phương trình đường thẳng

Phương trình tổng quát qua Mo(xo; yo) và có VTPT n =(A;B):

Ax + By + C =0, A* + B* # O hay A(x - Xo) + Bly — yo) = 0

Phương trình tham số qua Mo(xo; yọ) và có VTCP u =(a;b):

Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau

ax + biy +c¡ =0); a¿x + bạy + cạ = 0 là :

317

10 trong điểm bồi dƯỡng học sinh giỏi môn Toán 10 ~ Lé Hodnh Phd

a.x+bytc, + a X+b,y +c, Loc!

Voi 2 vecto u,v bat ki thi-co | u vi] <lul |v

Dau bang xay ra kHíà chỉ khi 2 vectơ u, v cùng hướng

Với 2 vectơ u, Vv bat ki thi co Iu-v|<lul|+ lv I

Dấu bằng xảy ra khi:

š,u, bất kì thì có

à chỉ khi 2 vectơ u, v ngược hướng

- Với nvectơ U,,U5

"` lu,£u, + +u | <lu,l+lu, l+ +Ïu, Ì

: Dau bang xay ra khi.và chỉ khi cả n vectơ cùng hướng

2 CÁC BÀI TOÁN

Bai toan 13 1:

_ Cho điễm M(1; 2) Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn

trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau

Hướng dẫn giải Xét d qua géc O thi d: y = kx > y = 2x

Xét d không qua gốc O thì a, b z 0

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

Lập phương trình đường thẳng A đi qua A(2; 3) và cắt tia Ox, Oy tại 2 điểm

M, N khác điểm O sao cho OM + ON nhỏ nhất

Hướng dẫn giải Gọi Mứm; 0), N(O; n) với m, n > 0 Phương trình A: x4 =1

Giao điểm M(x; y) của d; và d; có toạ độ là

nghiệm của hệ phương trình:

10 trong diém bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toón 10- (ê Hoành Phò

Lấy A(1; 0) thuộc d;, phương trình đường thẳng AH vuông góc với d;:

3(x-—1) + 1(y-0) =O @ 3x+y-3=0 Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình:

Với b = 0, chọn a = 1, ta được đường thẳng A+:x — 1 = 0

Với 21B + 20a = 0, chon a= 21, b = -20 ta được đường thang Ag:

21x-20y—1=0, Bài toán 13 5:

Viết phương trình phân giác d của góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng d::x— 2y-5=0,dQ;:2x— y+2= 0

Hướng dẫn giải

=

Do đó l(-3; —4) Lấy A(5; 0) € dy, B(—1; 0) € do |

Ta cé: IA.IB = 8.2 + 4.4 = 32 > 0 nên góc AIB nhọn

_ M@x; y) thuộc phân giác d của góc nhọn tao bởi d; và d;

cos(IA ,IM) = cos(IB ,IM)

= B(x +3)+4(y+4) 2(x+3)+4(y +4)

@x-y-1 = 0 Vay d:x-y-1=0

Toạ độ điểm I'là nghiệm của hệ: 4

Cty TNHH MTV DWH Khang viet

Chú ý: Nếu góc AIB tù thì M c d khi: cos(IB, IM) = = '—cos(lA, IM)

Bài toán 13 6:

Cho điểm P(3;0) và hai đường thang: (d;): 2x -y - 2 =0, (d;): x+y+3=0 Lập phương trình đường thẳng qua P và cắt r0, (d;) lần lượt ở A và B trong mỗi trường hợp:

Do do: A 3" 3 nên (d) là AP: 8x - y- 24 =0

b) Tam giác IAB cân tại I nên d lần lượt song song với 2 phân giác của góc tạo bởi dị, dạ Gọi M(‹,y) thuộc phân giác:

Trong mặt phẳng Oxy, biết A(1; —-1) và B(3; 0) là hai đỉnh của hình vuông

ABCD Tim toa độ các đỉnh C và D

Hướng dẫn giải Goi C(x; y) Khi đó AB = (2; 1), BC =(x— 3; y)

Điều kiện ABCD là hình vuông ta có:

321

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - Lé Hodnh Pho

Gọi E(x,y) là điểm đối xứng của C

AD 1 CE val AD nên x, y thỏa mãn:

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

Gọi B(x,y) thì trung điểm M t 5 4 ye)

x+7y+5=0 và *(Xÿ?]H4}Z$]-to=o= gcte 1)

2 Bài toán 13 10:

Cho E(3,3), F(0,2) Tìm M trên d: x + y— 4= 0 nhìn EF dưới góc 45° hay 135°

Theo dé bai: |cos(ME,ME )| =

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Toĩn 10- Lê Hồnh “hị ——

_ Hướng dẫn giải .G là trọng tâm tam giác ABC nên

(x-1? +(y+1%=10 = [y? +2y=0 |

Hướng dẫn giải ra: y = 0, x = 4 hay y = -2, x = -2

Vậy: A(0;2), B(4;0), C(—2;-2) hay A(0;2), B(-2; -2), C4; 0)

Bai toan 13 13:

Trong mat phẳng Oxy, cho A@; 2) và các đường thẳng d;: x + y - 2 = 0, d;: x+y—-8=0 Tìm các điểm B thuộc d;, C thuộc d; sao cho tam giác ABC vuơng cân tại A

Aä=z0Me|

Hướng dẫn giải Gọi B(b; 2—b) thuộc d;, C(c; 8—c) thuộc d;

Tam giác ABC vuơng cân tại A: - |

Điểm N e d > N (n; 2n—2) = ON = (n; 2n— 2)

Điểm M e A = M(m; m~4) = OM =(m;m-4)

Vì 2 đường thẳng d và A nằm cùng phía đối với điểm O nén

OM.ON = 8 OMON =8em= 5n

Ta cĩ OM cùng phương với ON ©m.n +4n~2m=0.-

Suy rả' 5n?— 6n =0 n=0 hoặc n= :

Với n = 0 thì m = 0, ta cĩ điểm M (0; 4); N (0; -2)

Cty INHH MTV DWH Khang Viét

Voin= = thim= 6, ta có điểm M 6, 2): N|ệ 2)

Bai toan 13 15:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh

BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M2) và đường

- thẳng AN có phương trình 2x — y — 3 = 0 Tìm tọa độ điểm A

Hướng dẫn giải

Dat t= = thì có 32-8t-3=0 © t=3hay t=-—

Với t= 3 thì tọa độ A là nghiệm cia he: {2 ¥~3=9 = A (4:5) | 3x +y—-17=0

Voi t= —_ thi toa do A la nghiem cia he: J 2% 7¥ ~ 3 =9 = a (4;-1)

-70 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - tê Hoènh hò

Bài toán 13 16:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thang AC va

AD lần lượt có phương trình là X+ 3y =0 và x— y + 4 =0; đường thẳng BD

đi qua điểm M = ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhat ABCD

Trung trực của AD cũng là trung trực của MN :x +y = 0 |

= trung điểm AD la E (2; 2) nên D (-1; 3)

Giao điểm của AC và EK : I (0; 0)

[ là trung điểm BD = B (1;—3) nên C (3; —1)

Gọi H là trung điểm của BC và D là trung điểm

Do đó D(2 ;2) nên trung điểm của BC là B H cờ H(-2;-2)

Phương trình BC qua'H va song song với d là : x +y+4=0

Điểm B thuộc BC nên B( ;-4-) và C đối xứng B qua H nên — ‘t)

Điểm E thuộc đường cao qua C nên

Cty TINHH MTV DWH Khang Viét

của góc A có phương trình x - y + 2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y — 1 =0

Hướng dẫn giải

Gọi H'(a, b) là điểm đối xứng của H qua

phân giác AD thì HH' L AD và trung

điểm của HH' là s 2 thuộc AD:

Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng: dị: x — y = 0, dạ: 2x + y— 1= 0

Tìm các đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d;, C thuộc dạ và B, D thuộc trục hoành

nên |b— 1| = 1, |d— 1| = 1 Hướng dẫn giải ra b, d bằng 0 hoặc 2

Vậy hai đỉnh B, D có toạ độ (0; 0) và (2; 0)

10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Todn 10 - Lé Hodnh Pho

Hai đường phân giác của góc A là:

7X+ ÿy,X+y+12 12

fo a

Chon phân giác trong của góc A với B và C nằm về hai phía của đường

thẳng nên phân giác trong AK: 2x + y + 10 = 0

Hai đường phân giác của-góc B là:

7X + yy 7X-—y +28

Chọn phân giác trong của góc B với A và C nằm về hai phía của đường

thẳng nên phân giác trong BL: x + 2 = 0

Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của hai đường phân giác trong AK va BL nén | (—2; -6)

Diém M(x, y) nam trong góc có chứa điểm I(1; 5) khi và chỉ khi M va | nằm :

cùng phía đôi với d, đông thời M và l năm cùng phía đổi với d, tức là:

Tìm điều kiện của a, b, c, d đễ hai đường thẳng d; và d;:

- c) Trùng nhau _đ) Vuông góc với nhau

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét c)d;=d2 = u va v cùng phương và M:(x¡; y1) € de

Nếu m z 1,m z —1 thì D z0: hai đường thẳng cắt nhau

Nếu m = 1 thì D=0, D„ z0: hai đường thẳng song song

Nếu m = ~1 thì D = D„ = Dy = 0: hai đường thẳng trùng nhau

Xét (P): y = XỶ + x thì phương trình hoành độ giao điểm:

x°+x= (2m + 1)x- mỸ x°- 2mx + mˆ= 0 A'=m^-mˆ=0, vm

Vì phương trình luôn luôn có nghiệm kép nên họ đường thẳng tiếp xúc với

10 trọno điểm bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 10 - Lê Hoènh hè

Hướng dẫn giải

Xem phương trình d ẩn m: (1 - x) mˆ+ 2W= 2)m+3+x= 0

A’= (y-2)?-(1 — x)( 3 + x) = (x +1)? *Yy ~2)°-4

Xét I(—1;2) thì d(I;d) = 2 không đổi

Vậy đường thẳng A luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm l(—1; 2 bán kính R =2 :

Bai toan 13 26:

Các cạnh của tam giác ABC được cho bởi các phương trình sau: AB: x + y = 4; BC: 3x - y = 0; CA: x— 3y—8 =0

a) Tinh các góc, chu vi va diện tích của tam giác -

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác

Chu vi của tam giác ABC là 2p = 4(4/2 + i )

S= sabsinC = ~(2V10J1- cos* của 0.16

Cho đường thẳng Am: (m - 2)x + (m — 1)y + 2m - 1 = 0 và điểm A(2; 3) Tìm m

để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng A„ là lớn nhát

Cty TINHH MTV DWH Khang Việt

Ha AH L Am Ta có AH < AM với mọi m

Vậy AH lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM L Am,

10 trong diém béi duéng hoc sinh gidi mén Todn 10 — (tê Hoanh Pho

| x3T2t-3L | Khi do trung diém | : —ø

Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi N là trung điểm của CD và lấy điểm N

trên đường chéo AC sao cho AM = TAC Tinh dién tich BMN va doan Cl

với Ì là giao điểm của BN và AC

Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ Axy với điểm B(a; 0), D(0; a)

Vay tam giác BMN vuông cân tại M nên M

_ 1 a/10 a/10- Sa^ A