Các dạng toán tìm các điểm đối xứng nhau trên đồ thị

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

CÁC DẠNG TOÁN TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ

1 Bài toán 1: Cho đồ thị  C : y f x   , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua điểm A hoặc đường thẳng d : ax by c 0    ( cho sẵn )

Cách giải:

- Giả sử M x ; y 0 0 (C)  y0 f x   0 1

- Tìm tọa độ điểm N theo x , y0 0 sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d ) Nên ta có :

   



- Từ  1 và  2 ta tìm được tọa độ của điểm M,N

2 Bài toán 2: Cho hàm số  C : y f x    Tìm các cặp điểm trên  C đối xứng với nhau qua điểm

 I I

I x ; y

Cách giải:

Gọi cặp điểm cần tìm là M(x ; y )1 1 và N(x ; y )2 2 ,thế thì ta có:

 M và N đối xứng qua I I là trung điểm của đoạn MN

 M và N thuộc (C) nên tọa độ của chúng nghiệm đúng phương trình y = f(x)

Do đó tọa độ của M, N là nghiệm của hệ sau

y f(x )

y f(x )

x x 2x



  





Giải hệ này sẽ tìm được tọa độ M,N

Đặc biệt: Nếu M, N là hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O , khi đó nếu M x ; y 0 0 thì

0 0

N( x ; y )  suy ra (x ; y )0 0 là nghiệm của hệ

0 0

y f(x )

y f( x )



  

 Giải hệ tìm được tọa độ M,N

Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(a; b) Gọi SI là phép đối xứng tâm I.

Ta có M'(x'; y') là ảnh của M(x; y) qua SI khi và chỉ khi x' 2a x x 2a x'

y' 2b y y 2b y'



Đường (C) : y f(x)  có ảnh qua đối xứng tâm SI là

(C) : 2b y f(2a x)       y f(2a x) 2b  

Ví dụ 1 :

1 Cho hàm số y x33x 2 có đồ thị  C Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng

nhau qua điểm M –1; 3  

2 Cho hàm số y 2x 4

x 1





 có đồ thị  C Tìm trên  C hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MNbiết

M –3; 0 và N –1; –1  

Lời giải

1 Gọi A x ; y 0 0, B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1; 3)   B  2 x ; 6 y 0  0

A, B (C)   0 30 0

3

6 y ( 2 x ) 3( 2 x ) 2







Vậy 2 điểm cần tìm là:  1; 0 và  1; 6

2 MN (2; 1)    phương trình MN : x 2y 3 0   

Phương trình đường thẳng  d  MN có dạng: y 2x m  

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d : 2x 4 2x m

x 1

  2x2 mx m 4 0 (x      1)  1

 d cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B    m – 8m – 32 02   2

Khi đó A(x ; 2x1 1 m), B(x ; 2x2 2 m) với x , x1 2 là các nghiệm của  1

Trung điểm của AB là 1 2

x x

2

m m

4 2

  (theo định lý Vi-et)

A, Bđối xứng nhau qua MN   I MN  m   4

Suy ra  1  2x 2  4x 0    x 0,x 2   A 0; – 4 , B 2; 0    

Ví dụ 2 : Cho hàm số y  x 3  mx 2  9x 4  Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Lời giải

Giả sử M x ; y 0 0 ,N  x ; y0  0 x0 0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :

 

 







Lấy  1 cộng với  2 vế với vế ,ta có : 2    

0

mx 4 0 3

Để  3 có nghiệm khi và chỉ khi m 0

Vậy, với m 0  thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O có hoành độ

0

4

x

m

3 Bài tập

Bài 1:

1 Tìm trên đồ thị   x 3

C : y

x 2





 hai điểm M,N đối xứng nhau qua I(1; 2)

2 Cho hàm số  



2x 1 y

x 3 có đồ thị  C Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A và B đối xứng nhau qua điểm M 1; 2  

Lời giải

1 Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I.

Ta có phương trình của (C') là: 2 ( 2) y (2 1 x) 3 y 5x 15

Phương trình hoành độ giao điểm của (C') và (C) là x 3 5x 15 2

x 1

x 2x 3 0

x 3

  





Hai điểm M,N cần tìm là M( 1; 4)   và N(3; 0)

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng      ; 3  3; 

Cách 1:

Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm là         

Vì A, B đối xứng nhau qua M 1; 2   nên M là trung điểm của AB do đó

 

Vậy các điểm cần tìm là A 4;1 , B    2; 5 hoặc A  2; 5 , B 4;1  

Cách 2:

Gọi   

2a 1

A a;

a 3 Phép đối xứng tâm M 1; 2   biến A thành điểm B có tọa độ thỏa mãn:   



2a 1

B 2 a; 4

a 3



2a 2 a 1 2a 1

C

Vậy, các điểm cần tìm là A 4;1 , B   2; 5 hoặc A 2; 5 , B 4;1  

Bài 2: Tìm m để (Cm) :

3

2

3 2

     có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường

thẳng 9x – 6y – 7 = 0

Lời giải

2

y' x   (m 2)x 2m    y' 0      x 2 x m

Hàm số có hai điểm cực trị Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 m  2

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 1 m3 2

A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) AB(d) và trung điểm I của đoạn AB thuộc (d)

Một vectơ chỉ phương của (d) là a (2; 3) 

3 2

AB vuông góc với (d)

3 2 m

2

3

2

2

m 0 m

 

 m = 0 m = 4  m = 2 (loại)

Với m = 0 thì A 2; 1

3

  , B(0;1) suy ra trung điểm của AB là

1

I 1;

3

  Thay tọa độ I vào phương trình của (d) ,ta được 0 = 0 ,suy ra I (d) vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Với m = 4 thì A 2;23

3

19

B 4;

3

  suy ra I(3;7)

Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được 27 – 42 -7 = 0 (sai)   I (d) Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán

Vậy, m = 0 thỏa mãn bài toán

Bài 3: Cho hàm số  



x 1 y

x 1 , có đồ thị là  C Gọi A, B là 2 giao điểm của đường thẳng : y 1x

6 với

đồ thị  C Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA MB  có giá trị

nhỏ nhất

Lời giải

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình:



 

1

6

x 1 y

x 1



1

A 2;

3 1

B 3;

2

A, B nằm về cùng phía đối với đường phân giác d : x y 0   Gọi A' a;b  là điểm đối xứng của A qua d

nên có:







 



1

a 2 1 b 1 0

3 1 b

0



 



1

A' ; 2 A' B 16; 9 3

b 2

Phương trình tham số của A'Blà :      

 



x 3 16t

t R 1

2

Khi đó M là giao điểm của A'B và d Tọa độ M là nghiệm của hệ



  



  



x y 0

7 7

x 3 16t M ;

5 5 1

2

Vậy  

7 7

5 5

là tọa độ cần tìm

Bài 4: Cho hàm số y   x 3  3x 2  có đồ thị  C Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua   : y  2x 2 

Lời giải

Vì A, B cùng thuộc đồ thị  C nên   3      3      

A a; a 3a 2 , B b; b 3b 2 a b

Gọi I là trung điểm của         

a b a 3a 2 b 3b 2

Ta có AB b a 1; 3 a     2  ab b  2

Do A, B đối xứng nhau qua   : y2x 2 nên:



 



7

a ab b

Với



  



2

2

a b 0

Với





2

ab

Vì  

2

4.

2 2 4 hệ vô nghiệm

Bài 5: Cho hàm số  3  

y x 3x 3 có đồ thị là  C Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho A, B song song với trục hoành và AB 3 

Lời giải

Vì AB song song với trục hoành nên AB ki k 1; 0  là véc tơ chỉ phương đơn vị của trục hoành

Do AB 3  nên k     3 k 3

Với k    3 AB    3i BA 3i  vì vậy chúng ta sẽ không quan tâm tới thứ tự A, B nên chỉ cần xét

 



AB 3; 0

Vì AB  3; 0 nên B là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến

v

T với v  3; 0 do đó tọa độ điểm B là giao điểm của đồ thị  C và đồ thị  C' là ảnh của  C qua phép tịnh tiến

v

T

Phương trình  C' qua phép tịnh tiến

v

T là y x 3  3 3 x 3    3 x 3  9x 2  24x 15 

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ        





3

x 2 y 5

y x 9x 24x 15

Với B 1;1  thì từ AB  3; 0  A 2;1

Với B 2; 5  thì từ AB  3; 0  A 1; 5

Vậy, các cặp điểm cần tìm A 2;1 , B 1;1   và A 1; 5 , B 2; 5   hoặc ngược lại

Bài 6: Cho hàm số   4 3  16 2

3 3 có đồ thị là  C Gọi B xB 1 , D là giao điểm của  C và đường thẳng d : 4x 3y 16 0    Xác định tọa độ trọng tâm G của ABC Biết Athuộc trục hoành, ABC

vuông tại A, C d  và đường tròn ngoại tiếp  ABC có bán kính bằng 1

Lời giải

Tọa độ giao điểm B,C là nghiệm phương trình: 4 316 216 4x

  x 2 x 4      4 x 1 x 2 x 4     0 x 4, x   1 vì xB 1

20

B 4; 0 , D 1;

3 hoặc D 1; 4 

Cách 1: d : y 4x16

3 3 Nhận thấy, d tạo với Ox một góc  mà tan   4 tan ABC4

AB 3 3 với AB a   0

3 9 3  a a 3   0   a 3 Với a   3 A 1; 0  hoặc A 7; 0 

     

4

A 1; 0 ,C 1; 4 G 2;

3 , trường hợp này C  D hay C thuộc đồ thị  C

       

4

A 7; 0 ,C 7; 4 G 6;

3 Do bài toán không yêu cầu CD nên cả 2 trường hợp đều thỏa mãn

Cách 2:

Vì A Ox   A a; 0  và   

16 4a

C d C a;

3 nên AB   a 4 ,



 16 4a 5 

AB BC CA p

2 là nửa chu vi

 ABCvuông tại     

ABC

ABC

     a 4 3 a 1 hoặc a 7 

 Với        

4

a 1 A 1; 0 ,C 1; 4 G 2;

3

 Với          

4

a 7 A 7; 0 ,C 7; 4 G 6;

3 Vậy,  

4

G 2;

3 hoặc

4

G 6;

3 là tọa độ cần tìm

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí