C6.MO PHONG HE THONG HANG DOI

Khái niệm chung về hệ thống hàng đợiQueueing Systerm - Hệ thống hàng đợi là một hệ thống có các bộ phận phục vụServices và các khách hàng đi đến hệ thống để được phục vụ.. Các thành phần

CHƯƠNG VI – MÔ PHỎNG HỆ THỐNG HÀNG ĐỢI

6.1 Khái niệm chung về hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

- Hệ thống hàng đợi là một hệ thống có các bộ phận phục vụ(Services) và các khách hàng đi đến hệ thống để được phục vụ

- Nếu khi khách hàng đến mà các bộ phận phục vụ đều bị bận thì khách hàng sẽ xếp hàng để đợi được phục vụ

- Chính vì những lý do đó mà ta có hệ thống hàng đợi Lý thuyết toán học

để khảo sát các hệ hàng đợi được gọi là lý thuyết phục vụ đám đông

- Trong hệ hàng đợi khách hàng là sự kiện gián đoạn xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên, vì vậy hệ hàng đợi thuộc loại hệ các sự kiện gián đoạn

6.2 Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

- Mô phỏng hệ thống hàng đợi nhằm đánh giá năng lực làm việc của hệ thống, khả năng mất khách hàng do để khách phải chờ quá lâu, hoặc không còn chỗ để xếp hàng đợi đến lượt được phục vụ

- Trên cơ sở phân tích đánh giá năng lực để thiết kế lại hệ thống, chọn số kênh phục vụ, kích thước hàng đợi, năng suất phục vụ…

+ Dòng khách hàng( Arriving Customers): Là các phần tử, các sự kiện đi đến hệ thống để được phục vụ được gọi là khách hàng Cường độ dòng khách hàng λ l/đvtg Dòng khách hàng là một dòng các sự kiện gián đoạn, ngẫu nhiên do đó khoảng thời gian giữa hai khách hàng liên tiếp là một đại lượng ngẫu nhiên

+ Kênh phục vụ( Server): Là bộ phận phục vụ khách hàng, thực hiện các yêu cầu của khách hàng

+ Thời gian phục vụ(Service Time): Là khoảng thời gian giữa các lần phục vụ

+ Đặc trưng cho kênh phục vụ là dòng phục vụ với cường độ phục vụ là μ (l/đvtg)(Số khách hàng được phục vụ xong trên một đơn vị thời gian) μ = 1/M Trong đó M Kỳ vọng toán học của thời gian phục vụ

6.2 Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

- VD: Xét một dòng

khách hàng là một

dòng tối giản

t1, t 2, …ti Thời điểm các khách hàng xuất hiện

A1, A 2, …Ai Khoảng thời gian giữa các khách hàng

Do dòng khách hàng là dòng tối giản nên cường độ khách hàng(Số khách hàng trung bình trên một đơn vị thời gian) là hằng số

Trong đó MA Kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên A1 A2 Ai

6.2 Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

+ Hàng đợi: Queue Là số khách hàng chờ đến lượt phục vụ

- Chiều dài hàng đợi: Số khách hàng có trong hàng đợi đang chờ được phục vụ Nếu số vị trí đứng đợi không hạn chế thì chiều dài hàng đợi có thể dài bất kỳ, ngược lại nếu số vị trí đứng đợi bị hạn chế thì chiều dài hàng đợi không vượt quá số đã cho

- Thời gian đợi: Là khoảng thời gian từ khi khách hàng đến hệ thống đến khi bắt đầu được phục vụ (Thời gian đợi có thể được hạn chế hoặc không hạn chế tức có vị khách chờ bao lâu cũng được, có vị khách chỉ đợi trong một thời gian nào đó, sau khoảng thời gian này khách sẽ tự động bỏ hệ thống cho dù hệ thống vẫn còn chỗ đứng đợi)

- Luật xếp hàng: Là phương thức chọn khách hàng trong hàng đợi:

* Đến trước phục vụ trước FIFO: Các dịch vụ công cộng

* Đến sau phục vụ trước LIFO: Lấy dữ liệu tại một ô nhớ Ra khỏi buồng thang máy

* Ngẫu nhiên: Các khách hàng đều có độ ưu tiên như nhau và được phục vụ ngẫu nhiên

* Ưu tiên: Một số khách hàng có một số đặc tính đặc biệt nào đó được phục vụ trước

6.2 Các thành phần của hệ thống hàng đợi(Queueing Systerm)

Wi = Di + Si

Wi Thời gian chờ đợi trong hệ thống của khách hàng thứ i

Di Thời gian xếp hàng của khách hàng thứ i

Si Thời gian phục vụ cho khách hàng thứ i

L(t) = Q(t) + P(t)

L(t) Số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t.

Q(t) Số khách hàng trong hàng đợi tại thời điểm t.

P(t) Số khách hàng đang được phục vụ tại thời điểm t.

Thời gian xếp hàng trung bình:

Thời gian chờ đợi trung bình trong hệ thống

6.2 Các thành phần của hệ thống hàng đợi

(Queueing Systerm)

* Chiều dài trung bình của hàng đợi: Q = λd

λ: Cường độ dòng khách hàng.

d: Thời gian xếp hàng trung bình

* Trị số khách hàng trung bình có trong hệ thống: L = ωλ

ω: Thời gian chờ đợi trung bình của khách hàng trong hệ thống.

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

- Xét một hệ thống hàng đợi M/M/1(Hệ thống có 1 kênh phục vụ, dòng khách hàng và dòng phục vụ là dòng tối giản) Hệ thống có n chỗ đợi Điều

đó có nghĩa là khi khách đến mà cả n vị trí đợi đều bị chiếm chỗ thì khách hàng sẽ tự động bỏ đi tức là hệ thống mất khách

- Cường độ dòng khách là: λ

- Cường độ phục vụ là: μ

- Trạng thái của hệ thống: Ui

U0 Điểm phục vụ rỗi(Không có khách hàng)

U1 Một khách đang được phục vụ, không có khách đợi

U2 Một khách đang được phục vụ, có một khách đợi

U3 Một khách đang được phục vụ, có hai khách đợi

…

Ui Một khách đang được phục vụ, có i-1 khách đợi

Un+1 Một khách đang được phục vụ, có n khách đợi

p0, p1, …pn+1 xác suất để hệ thống ở trạng thái U0, U1, …Un+1

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

λp0 = μ p1

λp1 = μ p2

…

λpi-1 = μ pi

Hay p0 = p0

p1 = (λ/μ)p0

p2 = (λ/μ)2 p0

pn+1 = (λ/μ)n+1 p0

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

Ta có p0 + p1 + …+ pn+1 = 1

Mẫu là một cấp số nhân có công bội là

λ/μ do đó ta có thể viết lại theo công thức:

* pn+1 Là xác suất có 1 khách đang được phục vụ còn n khách đang xếp hàng Khi đó nếu có khách hàng đến hệ thống sẽ bỏ

đi bởi hệ thống không còn chỗ Đây chính là xác suất để hệ thống mất khách.

p = pn+1 =

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

* Đối lập với khả năng mất khách là khả năng phục vụ tương đối của hệ thống P* = 1 – pn+1

* Khả năng phục vụ tuyệt đối của hệ thống là

A = λ P* Trong đó A là số khách hàng được phục vụ trên 1 đơn vị thời gian.

* Số khách hàng trung bình có trong hàng đợi là Q

* Thời gian xếp hàng trung bình: d = Q/λ

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

* Thời gian trung bình của khách hàng trong hệ thống ω = Thời gian xếp hàng trung bình d + Thời gian phục vụ trung bình ts

ω = d + ts Trong đó ts = (1/μ) P*

Hay ω = d + ts = Q/λ + (1/μ) P*

* Số khách hàng trung bình đang được phục vụ là

Is = λ ts = λ (1/μ) P*

* Số khách hàng trung bình nằm trong hệ thống L = Số khách hàng trung bình trong hàng đợi Q + Số khách hàng trung bình đang được phục vụ

L = Q + Is = Q + λ (1/μ) P*

6.3 Năng lực phục vụ và xác suất mất khách hàng của hệ thống

VD5.1 Một garage ôtô có bãi đỗ xe chỉ chứa được 5 xe ( n = 5) Cường độ dòng xe đến sửa chữa là λ = 1xe/1phút, Thời gian sửa chữa xe ôtô là 1.25 xe/phút Hãy xác định:

- Xác suất để trạm mất khách P

- Khả năng phục vụ tương đối và tuyệt đối: P* và A

- Trị số trung bình số ôtô chờ phục vụ Q.

- Trị số trung bình số ôtô có trong trạm L.

- Thời gian trung bình ôtô chờ trong hàng d.

- Thời gian trung bình ôtô có mặt tại trạm sửa chữa ω

Bài làm

μ = 1/1.25 = 0.8

6.4 Hệ thống hàng đợi M/M/1 có độ dài không hạn chế n ==> ∞

- Trong trường hợp độ dài không hạn chế thì tất cả khách hàng đều được phục vụ, hệ thống sẽ không bao giờ mất khách.

* Số khách hàng trung bình có trong hàng đợi là Q

* Trị số trung bình số khách hàng có mặt trong hệ thống

* Trị số trung bình thời gian khách hàng chờ trong hệ thống