ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ THỐNG ĐA ĐỐI TƢỢNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỐI ƢU HÓA CHUYÊN NGÀNH : KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA. Ngƣời hƣớng dẫn: TS. TRẦN THỊ MINH DUNG

Nghiên cứu mới rất được chú ý gần đây là tính đồng thuận Consensus trong điều khiển hệ thống mạng lưới Networked control system – NeCS.. Chính vì vậy, đề tài nghiên cứu này sẽ ứng dụng t

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- -

PHAN ANH TUẤN

ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ THỐNG ĐA ĐỐI TƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA

CHUYÊN NGÀNH : KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

MÃ SỐ NGÀNH : 8520216

Người hướng dẫn: TS TRẦN THỊ MINH DUNG

Đà Nẵng 11/2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG i

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA i

LỜI CẢM ƠN iv

LỜI CAM ĐOAN v

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT i

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ iii

MỞ ĐẦU 1

1.Tính cấp thiết của đề tài: 1

2 Mục đích nghiên cứu đề tài: 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài: 2

4 Phương pháp nghiên cứu: 3

5 Cấu trúc luận văn: 4

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐA ĐỐI TƯỢNG VÀ HỆ THỐNG MẠNG LƯỚI ĐIỀU KHIỂN 5

1.1 HỆ THỐNG ĐA ĐỐI TƯỢNG 5

1.1.1 Khái niệm hệ thống đa đối tượng 5

1.1.2 Các ứng dụng của hệ thống đa đối tượng 9

1.2 HỆ THỐNG MẠNG LƯỚI ĐIỀU KHIỂN 9

CHƯƠNG II THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN VÀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 11

2.1 THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN 11

2.1.1 Phân loại thuật toán đồng thuận 12

2.1.2 Hệ thống thời gian rời rạc 13

2.1.3 Hệ thống thời gian tuyến tính 14

2.1.4 Vấn đề đồng thuận trong thời gian hữu hạn 15

2.1.5 Thiết kế ma trận đồng thuận 15

2.1.6 Trọng số có bậc lớn nhất 16

2.1.7 Trọng số Metropolis 16

2.1.8 Trọng số cạnh là hằng số 16

2.1.9 Tối ưu hóa 17

2.2 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 17

2.2.2 Định nghĩa 18

2.2.3 Biểu diễn đồ thị 19

2.2.4 Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng 19

2.2.5 Đơn đồ thị (simple graph) và đa đồ thị (Multiple graph) 19

2.2.6 Ví dụ 20

2.2.7 Tính kết nối đồ thị 20

2.2.8 Đặc tính đồ thị đại số 22

2.2.9 Đặc tính quang phổ đồ thị 24

2.2.10 Các loại đồ thị tiêu chuẩn 26

CHƯƠNG III TÍNH BỀN VỮNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA ĐỂ ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG 30

3.1 TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG LƯỚI 30

3.1.1 Độ kết nối của nút (cạnh) 30

3.1.2 Độ kết nối đại số 31

3.1.4 Độ phản kháng của đồ thị 31

3.2 ĐÁNH GIÁ TÍNH BỀN VỮNG CỦA MẠNG LƯỚI THEO HÌNH THỨC PHÂN TÁN 32

3.2.1 Tính các giá trị , là nghịch đảo của các giá trị riêng riêng biệt của ma trận Laplacian 34

3.2.2 Tính toán các giá trị riêng riêng biệt của ma trận Laplacian 36

3.2.3 Tính toán bội số của mỗi giá trị riêng riêng biệt của ma trận Laplacian 37

CHƯƠNG IV MÔ PHỎNG VÀ NHẬN XÉT 39

CHƯƠNG V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Khoa Điện

đã tạo điều kiện, cung cấp cho tôi những kiến thức cơ bản, cần thiết để thực hiện quá trình nghiên cứu

Mặc dù tôi đã cố gắng thực hiện hoàn thiện quyển đồ án của luận văn nhưng trong quá trình soạn thảo, kiến thức còn hạn chế nên có thể xãy ra nhiều thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô

Sau cùng tôi xin chúc quý Thầy Cô sức khoẻ, thành công và tiếp tục đào tạo những sinh viên giỏi đóng góp cho đất nước Tôi xin chân thành cảm

ơn

Trân trọng!



Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, có tham khảo một

số tài liệu và bài báo của các tác giả trong và ngoài nước đã được xuất bản Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu,chữ

viết tắt Nội dung

MAS Hệ thống đa đối tượng (Multi-agent systems)

NeCS Điều khiển hệ thống mạng lưới (Networked control system)

Λ Tập hợp các giá trị riêng biệt Laplacian không phân biệt

SG Tập hợp ma trận SG = {W ∈ RN×N|wij = 0 nếu (i, j) ∈ E và i

≠ j}

ρ(A) Bán kính quang phổ ρ(A) = max{|λ1(A)|, , |λN(A)|}

2.3 a) Đồ thị có hướng (G1), b) Đồ thị vô hướng (G2) 18 2.4 Đồ thị G1 vô hướng 6 nút a), đồ thị G2 có hướng 5 20 2.5 Biểu đồ không được kết nối được kết nối 21

hình thức phân tán

33 4.1 Cấu trúc mạng lưới 4 nút toàn diện 39 4.2 Dạng sóng của mạng lưới 4 nút toàn diện 41 4.3 Hàm mục tiêu của mạng lưới 4 nút toàn diện 42 4.4 Cấu trúc mạng lưới 4 nút bị mất 2 links 43

4.5 Cấu trúc mạng lưới 6 nút 44 4.6 Dạng sóng của mạng lưới 6 nút 46 4.7 Hàm mục tiêu của mạng lưới 6 nút 47

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài:

Các vấn đề đồng thuận (Consensus) có thể được phân tích theo hình thức của hệ thống thời gian liên tục hoặc thời gian rời rạc Vấn đề đồng thuận đã nhận được

sự quan tâm rất lớn từ cộng đồng nghiên cứu do các ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực bao gồm cảm biến đa dữ liệu hợp nhất (multi- sensor data fusion), hành vi bầy đàn (flocking behavior of swarm), phân tán tính toán (distributed computation) Cụ thể hơn, các thuật toán thống nhất trung bình (nghĩa là thỏa thuận tương ứng với mức trung bình của các giá trị ban đầu) thường được sử dụng như một khối cho một số kiểm soát, lập dự toán hoặc suy luận thuật toán phân tán

Nghiên cứu mới rất được chú ý gần đây là tính đồng thuận (Consensus) trong điều khiển hệ thống mạng lưới (Networked control system – NeCS) Chính vì vậy, đề tài nghiên cứu này sẽ ứng dụng tính đồng thuận trong việc đánh giá tính bền vững của một hệ thống điều khiển được kết nối mạng

Theo tôi biết, thuật toán về đồng thuận trong điều khiển rất mới mẻ trong cộng đồng nghiên cứu ở Việt Nam, trong khi trên thế giới đã tồn tại hơn một thập niên

Trong thời gian cho phép, tôi chỉ nghiên cứu thuật toán về tính đồng thuận cho việc sử dụng phương pháp tối ưu hóa để tính ra những thông số, được sử dụng để đánh giá tính bền vững của mạng lưới

2 Mục đích nghiên cứu đề tài:

Tính hiệu quả của một mạng lưới được đánh giá thông qua các chức năng và tính bền vững của nó Nhắc đến điều này, một vài câu hỏi sẽ được đặt ra: nếu có một

sự kiện ngẫu nhiên nào đó xãy ra, mạng sẽ phản ứng như thế nào? Có thể tiếp tục tồn tại hay không ? Hơn thế nữa, sự hiểu biết về tính bền vững của mạng có thể bảo vệ và cải thiện hiệu suất của mạng một cách hiệu quả Nó cũng được sử dụng để thiết kế các mạng mới có thể hoạt động tốt khi đối mặt với lỗi hoặc khi

bị tấn công Để trả lời cho những câu hỏi này thì những nghiên cứu về tính bền vững của mạng thu hút rất mạnh mẽ đối với giới nghiên cứu

Nghiên cứu thành công, tất nhiên sẽ góp phần đánh giá chất lượng của một mạng lưới điều khiển Ngoài ra nghiên cứu về tính đồng thuận sẽ là tiền đề cho việc ứng dụng thuật toán Consensus trong các lĩnh vực khác

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài:

Đối tượng nghiên cứu

- Lý thuyết thuật toán đồng thuận

- Hệ thống mạng lưới điều khiển

Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về vấn đề đồng thuận

- Nghiên cứu về phương pháp đánh giá tính bền vững của mạng lưới

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết và mô phỏng

- Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, các bài báo khoa học

- Thuật toán đồng thuận

- Hệ thống điều khiển đa đối tượng

- Phương pháp nghiên cứu mô phỏng và thực nghiệm bằng phần mềm Matlab Simulink

5 Cấu trúc luận văn:

Cấu trúc luận văn gồm 5 chương cụ thể như sau

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐA ĐỐI TƯỢNG VÀ HỆ THỐNG

MẠNG LƯỚI ĐIỀU KHIỂN

1.1 HỆ THỐNG ĐA ĐỐI TƯỢNG

1.1.1 Khái niệm hệ thống đa đối tượng

Hệ thống đa đối tượng MAS (MAS: Multi-agent systems) là một hệ thống được ghép nối nhiều đối tượng riêng lẻ lại với nhau, giữa chúng có đa xử lý ghép lỏng

và cùng giải quyết một vấn đề (đối tượng) phức tạp Chúng làm việc cùng nhau

để tìm câu trả lời cho các vấn đề vượt quá khả năng đối tượng Họ cùng nhau giải quyết một vấn đề phức tạp hoặc kiểm soát một hệ thống phức tạp

Ngày nay, hệ thống đa đối tượng (MAS) đã nhận được sự quan tâm ngày càng tăng trong những thập kỷ qua Chúng được phát triển cho nhu cầu linh hoạt, mạnh mẽ và cấu hình lại các tính năng xuất hiện trong các lĩnh vực ứng dụng khác nhau bao gồm sản xuất, hậu cần, lưới điện thông minh, tự động hóa tòa nhà, cứu trợ thiên tai, hệ thống giao thông thông minh, giám sát, theo dõi và thăm dò môi trường, và bảo vệ hệ thống hạ tầng vv

Một hệ thống đa đối tượng (MAS) có thể thực hiện những nhiệm vụ mà một đối tượng không thể nào thực hiện được Chính vì vậy, mà MAS đã trở thành một

đề tài nổi bậc trong nghiên cứu ở các ngành như sinh học, toán học, vật lý, khoa học máy tính và khoa học xã hội đặc biệt là trong ngành điện

Một hệ đa đối tượng bao gồm:

- Sự tương tác qua lại giữa các đối tượng thông minh (cảm biến, đối tượng, phương tiện giao thông, robot, nguồn điện phân tán….);

Hình 1.1 Cấu trúc chung của một hệ đa đối tượng

Hình1.2 Điều khiển phương tiện tham gia giao thông trong thành phố

Một cách tổng quát, một hệ thống đa đối tượng là một nhóm các điểm nút (đối tượng) thể hiện cho phương tiện giao thông, cảm biến, đối tượng….mà chúng

có thể trao đổi thông tin để đạt đến một mục tiêu chung Theo cách mô tả các bằng chứng mô hình, một hệ đa đối tượng có thể được biểu diễn bỡi một mạng lưới các điểm nút kết nối với nhau thông qua một sơ đồ truyền thông Sự kết hợp qua lại giữa các đối tượng trong một hệ thống đa đối tượng thường được

mô hình hóa bỡi những đồ thị trực tiếp hoặc gián tiếp

Một điều cần chú ý ở đây là một hệ thống đa đối tượng có thể giải quyết những nhiệm vụ khó tưởng chừng như không thể thực hiện được bỡi một đối tượng riêng lẻ Trong những thập niên gần đây, hệ thống đa đối tượng thu hút được sự chú ý rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, sinh học, khoa học máy tính, khoa học xã hội… Những đề tài nghiên cứu đang có xu hướng chiếm lĩnh rộng rãi trong công trình nghiên cứu hệ thống đa đối tượng bao gồm hợp tác và phối hợp trong điều khiển, tính toán

Trong điều khiển tự động, điểm nổi bật của hệ thống đa đối tượng đặc biệt liên quan đến việc khi người nào đó đối mặt với những hệ thống chứa nhiều phương tiện giao thông (được xem như là các đối tượng) với một vài cảm biến, thiết bị chấp hành mà dự định biểu diễn một nhiệm vụ phối hợp Trong những năm gần đây, khả năng điều khiển phối hợp này bao gồm điều khiển mô hình, điểm hẹn, phân phối độ cao, nhóm, điều khiển tắc nghẽn trong mạng lưới truyền thông, phân bổ nhiệm vụ và vai trò, điều khiển giao thông hàng không được phân tích rất nhiều

Đối với các chiến lược điều khiển hợp tác thành công, những vấn đề lớn được liệt kê ra bao gồm định nghĩa và quản lý thông tin chia sẻ trong các nhóm các đối tượng để hỗ trợ sự phân phối của những đối tượng này Hơn nữa, thông tin chia sẽ có thể định hình những mục tiêu chung, những thuật toán thông thường, những thông tin vị trí liên quan, thông tin cần thiết cho sự hợp tác có thể chia sẻ thông tin bằng nhiều cách Ví dụ, để tránh ùn tắc giao thông trong thành phố thì thông tin từ trung tâm điều khiển giao thông được phát ra và truyền các phương tiện tham gia giao thông, hoặc thông tin được truyền từ các phương tiện

Với cấu trúc tập trung cơ bản, một trung tâm liên hợp tập trung tất cả những thông tin đo lường từ các đối tượng và sau đó thực hiện tính toán cuối cùng Tuy nhiên, do dòng thông tin cao đến trung tâm liên hợp, sự tắc nghẽn có thể xảy ra Cấu trúc như vậy rất nhạy cảm đối với lỗi Và những yêu cầu về phần cứng để xây dựng truyền thông không dây có thể là nguyên nhân gây sự tăng giá của các thiết bị, vì vậy đưa đến chi phí giá trị tổng cao hơn mạng lưới Với những nguyên nhân này, một cấu trúc điều khiển tập trung sẽ không mang lại hiệu quả Xu hướng nghiên cứu mới của hệ thống đa đối tượng đã chuyển sang

hệ đa đối tượng rời rạc, nơi mà sự tương tác giữa các đối tượng được thực hiện một cách cục bộ không cần thông tin chung toàn cục

1.1.2 Các ứng dụng của hệ thống đa đối tượng

MAS được áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, toán học, vật

lý, khoa học máy tính và khoa học xã hội đặc biệt là trong ngành điện.….Nó bao gồm mô phỏng thị trường, giám sát, chẩn đoán hệ thống và các biện pháp khắc phục hậu quả

- Hệ thống đa tác nhân cho các ứng dụng kỹ thuật điện và trong hệ thống điện

- Giám sát an ninh vật lý trực tuyến của trạm biến áp điện

1.2 HỆ THỐNG MẠNG LƯỚI ĐIỀU KHIỂN

Hệ thống mạng lưới điều khiển (Networked control system – NeCS) cũng là một

hệ đa đối tượng Hiện nay, một ví dụ rất được quan tâm là mạng lưới cảm biến không dây (Wireless sensor network) Hệ thống này được tìm thấy trong rất nhiều lĩnh vực như ứng dụng trong quân sự, ứng dụng trong môi trường, ứng dụng trong vấn đề sức khỏe, tự động hóa tòa nhà vv

Một hệ thống điều khiển là một thiết bị hoặc một tổ hợp thiết bị dùng để quản lý, chỉ huy, định hướng hoặc điều chỉnh hành vi của các thiết bị Sự ra đời của mạng lưới truyền thông, giới thiệu các khái niệm về kiểm soát từ xa một hệ thống, đã cho ra đời hệ thống điều khiển mạng lưới (NeCS)

Hiện nay nghiên cứu về NeCS có thể đóng góp trong nhiều lĩnh vực tiềm năng bao gồm: mạng lưới truyền thông, mạng lưới cảm biến, mạng điện, mạng lưới giao thông, mạng lưới sinh học vv

NeCS là nơi mà các hệ thống, thiết bị và cảm biến không nhất thiết phải cùng phân bố tại một chỗ mà có thể kết nối thông qua mạng lưới truyền thông

Lĩnh vực nghiên cứu của NeCS rất nhiều nhưng tôi tập trung nghiên cứu về mạng lưới cảm biến với các vấn đề liên quan về ước lượng (estimation), tính đồng thuận (consensus), tính bền vững (robustness) của mạng lưới

Giả sử rằng cảm biến tại các nút được trang bị đầy đủ tài nguyên về máy tính và truyền thông, các vấn đề của dự toán phân phối bao gồm trong việc ước tính thông số, không phải bằng cách kết hợp các phép đo tại một nút trung tâm mà bằng cách phân phối các tính toán trên tất cả các nút trong mạng Lợi ích của phương pháp này là giảm thiểu sự tổn thương của mạng và khối lượng dữ liệu truyền tải, phân phối tải trọng tính toán trên mạng Hiện nay giải pháp thường được dùng là thông qua sự đồng thuận giữa các cảm biến nút khác nhau trong mạng

Như vậy, dựa vào những thông tin cục bộ và sự tương tác qua lại giữa các đối tượng, làm thế nào để các đối tượng đạt được sự đồng thuận Vấn đề này được gọi là vấn đề đồng thuận, nó được thiết kế cho một giao thức mạng lưới dựa trên thông tin cục bộ thu được bởi mỗi đối tượng sao cho tất cả các đối tượng cuối cùng sẽ đạt đến sự đồng ý trên một đại lượng nhất định

CHƯƠNG II THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN VÀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

2.1 THUẬT TOÁN ĐỒNG THUẬN

Bài toán đồng thuận bắt nguồn từ khoa học máy tính Trong những năm gần đây, người ta đã ứng dụng ngày càng nhiều trong hệ đa đối tượng với mục đích phối hợp hoạt động giữa một số lượng lớn của các đối tượng phân tán Những mạng lưới như vậy, tùy theo những quy luật ưu tiên, hay còn gọi là giao thức, mỗi nút cập nhật tỉ số của mình dựa vào thông tin nhận từ hàng xóm của nó với mục đích là đạt đến sự thống nhất tại một giá trị chung Nếu giá trị chung này tương ứng với trung bình của các giá trị ban đầu, ta gọi sự đồng thuận trung bình

Ví dụ: Cho một mạng lưới bất kỳ gồm 5 đối tượng truyền thông với nhau như hình 2.1

Hình 2.1 Đồng thuận trung bình trong một mạng

Mỗi nút có giá trị ban đầu Giao thức đồng thuận là luật tương tác sao cho thông tin được trao đổi giữa các đối tượng và tất cả hàng xóm của nó trên mạng nhằm đạt đến sự thống nhất trên một đại lượng nhất định, nó phụ thuộc vào trạng thái của tất cả các đối tượng

2.1.1 Phân loại thuật toán đồng thuận

Đối với hệ rời rạc và hệ tuyến tính

Cho một đồ thị G(V,E) cho trước, mỗi nút có một giá trị xi là trạng thái của nút

i Gọi x(0) = [x1(0) x2(0) …xn(0)]T là vector của các trạng thái ban đầu của một mạng lưới cho trước, với mỗi trạng thái ban đầu cho trước tại mỗi nút xi(0), ∈ , nhiệm vụ chính là tính toán giá trị đồng thuận cuối cùng sử dụng bước lặp tuyến tính phân tán Mỗi bước lặp liên quan đến sự truyền thông cục

bộ giữa các nút

Hình 2.2 Phân loại thuật toán đồng thuận

2.1.2 Hệ thống thời gian rời rạc

Phương trình cập nhật đồng thuận dựa vào bước lặp tuyến tính [1]:

(k) + (2.1)

Ở dạng ma trận:

(k) , nếu (i,j) (2.2)

Hệ thống được gọi là đồng thuận phân tán tiệm cận nếu , nghĩa là tất cả các nút đồng nhất tại một giá trị Khi là trung bình các giá trị ban đầu, , hệ thống được gọi là đạt để đồng thuận trung bình, nghĩa là:

= 1 (2.3)

Điều kiện hội tụ như sau:

a) Định lý1[1] Cho giao thức bước lặp tuyến tính, đồng thuận phân tán đạt được khi và chỉ khi ma trận đồng thuận trọng số W thỏa mãn điều kiện sau

W1=1 (2.4)

Với là bán kính phổ của ma trận và c được chọn sao cho = 1

Vậy ma trận trọng số có tổng hàng bằng 1 và 1 là một giá trị riêng của ma trận

W và tất cả các giá trị còn lại đều nhỏ hơn 1 Người ta gọi đó là ma trận ngẫu nhiên hàng

b) Định lý 2: Phương trình đúng khi và chỉ khi nếu[1]:

W1=1 (2.5)

W1=1

Nghĩa là W là ma trận ngẫu nhiên

2.1.3 Hệ thống thời gian tuyến tính

Chúng ta xem hệ thống mô hình bỡi đồ thị G(V,E) với N nút, trong đó mỗi nút có giá trị ∈ phương trình cập nhật:

̇ ∈ (2.6)

Trong đó, Ji(t) là tập hợp các đối tượng mà thông tin cho phép nút i tại thời gian t và aij(t) kí hiệu cho nhân tố dương trọng số biến thiên theo thời gian Nói cách khác, quy trình tính toán được thực hiện tại nút mà tích hợp giá trị của nó, hoặc là thông tin trạng thái của mỗi nút hướng đến trạng thái của các hàng xóm tại mỗi thời điểm

Phương trình ở dạng ma trận:

̇ (2.7) Với L là ma trận Laplacian, x = [ ]T

2.1.4 Vấn đề đồng thuận trong thời gian hữu hạn

Các hệ thống phức tạp trên thực tế, thời gian thực thi càng trở thành nhân tố quyết định Chính vì vậy, mục đích của ta bây giờ là thiết kế thuật toán đồng thuận trung bình trong thời hữu hạn cho phép tất cả các nút đạt đến giá trị đồng thuận trung bình trong D bước cho giao thức tự cấu hình hóa

x(D) = (2.8)

Nghĩa là, chúng ta sẽ thiết kế các ma trận đồng thuận W1, W2, ,WD sao cho

(2.9)

2.1.5 Thiết kế ma trận đồng thuận

Mục tiêu của việc thiết kế ma trận đồng thuận W sao cho thõa mãn các điều kiện hội tụ của giao thức đồng thuận[1, 2]

2.1.6 Trọng số có bậc lớn nhất

Thiết kế ma trận trọng số W trong đồ thị với cấu trúc truyền thông định sẵn

và phân bố một trọng số trên mỗi cạnh bằng với bậc lớn nhất của mạng lưới

{

(2.11)

2.1.8 Trọng số cạnh là hằng số

Ma trận được áp dụng rộng rãi cho cả đồ thị có cấu trúc truyền thông biến thiên

và bất biến theo thời gian [1]

{

| |

(2.12)

Ma trận trọng số có thể biểu diên ở dạng ma trận: W = – αL, với ma trận đơn vị

2.1.9 Tối ưu hóa

Trong phân tích các vấn đề đồng thuận, tốc độ hội tụ là một nhân tố quan trọng

để đánh giá biểu diễn của các thuật toán đồng thuận đƣợc đề xuất Chính vì vậy, những nghiên cứu có liên quan đến bài toán tăng tốc độ hội tụ của thuật toán đồng thuận đƣợc giải quyết bằng tối ƣu hóa bằng cách tập trung

Ta có bài toán tìm ma trận W sao cho đồng thuận trung bình đạt đƣợc trong thời gian ngắn nhất bằng cách giải bài toán lồi [1](semi-definite convex programming)

Đồ thị đƣợc dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhƣ:

- Xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bảng điện phẳng

không;

- Phân biệt hai lớp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị

- Xác định hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không thông qua mô hình đồ thị mạng máy tính

- Giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông (sau khi đã gán các trọng số cho các cạnh của nó)

- Lập lịch và phân chia kênh cho các đài truyền hình

- Lập sơ đồ tính toán của một thuật toán

- Biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường sinh thái

- Biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó

- Biểu diễn các kết cục của cuộc thi đấu thể thao

- Giải các bài toán như bài toán tính số các tập hợp khác nhau của các chuyển bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không

2.2.1 Khái niệm

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị

a) b)

Hình 2.3 a) Đồ thị có hướng (G1), b) Đồ thị vô hướng (G2)

2.2.3 Biểu diễn đồ thị

Ta có thể biểu diễn hình học cho đồ thị trên mặt phẳng như sau:

- Đỉnh: biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ, chứa các đỉnh

- Cạnh:

+ Cạnh vô hướng: Biểu diễn bằng đoạn thẳng

+ Cạnh có hướng: biểu diễn bằng mũi tên nối hai đỉnh của đồ thị

2.2.4 Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng

Cho đồ thị G = (V, E), G được gọi là đồ thị:

- Vô hướng khi đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng (hình 2.3 b)

- Có hướng khi đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng (hình 2.3 a)

Trong đó, V = {1, 2,…, N} là tập hợp các đỉnh (N nút), E V × V là tập hợp các cạnh (liên kết giữa các nút)

Nếu các nút thứ i và j được kết nối, thì liên kết giữa i và j được bao gồm trong tập hợp E, (i, j) ∈ E và khi đó i và j được gọi là hàng xóm của nhau Tập hợp các láng giềng của các nút i là được biểu thị bằng Ni và nó được biểu thị bằng di = |Ni|, trong đó |.| viết tắt của các nút trong một tập hợp

2.2.5 Đơn đồ thị (simple graph) và đa đồ thị (Multiple graph)

Cho đồ thị G = (V, E), G được gọi là:

- Đơn đồ thị: mà mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bởi không quá một cạnh (hình 2.4a)

- Đa đồ thị: khi đồ thị có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thì được gọi là đa đồ thị (hình 2.4 b)

Đường đi từ đỉnh i đến đỉnh j là một dãy các đỉnh riêng biệt bắt đầu với đỉnh i

và kết thúc với đỉnh j sao cho các đỉnh liên tiếp liền nhau Một con đường đơn

là một con đường không có các đỉnh lặp lại

Trong đồ thị vô hướng G, hai đỉnh i và j được kết nối nếu có một đường dẫn từ

i đến j Một đồ thị vô hướng G được kết nối nếu cho bất kỳ hai đỉnh nào trong

G có một đường dẫn giữa chúng Ngược lại, hai đỉnh i và j trong G bị ngắt kết

nối nếu không có đường đi từ i đến j Biểu đồ vô hướng G là ngắt kết nối nếu chúng ta có thể phân chia các đỉnh của nó thành hai bộ không rỗng x và Γ như vậy không có đỉnh nào trong x liền kề với một đỉnh trong Γ

Biểu đồ được cho là hoàn chỉnh (được kết nối đầy đủ) nếu mọi cặp đỉnh có một cạnh kết nối chúng, có nghĩa là số lượng hàng xóm của mỗi đỉnh là bằng N

- 1, xem hình

Hình 2.5 Biểu đồ không được kết nối được kết nối

Hình 2.6 Biểu đồ bị ngắt kết nối

Hình 2.7 Biểu đồ hoàn chỉnh

2.2.8 Đặc tính đồ thị đại số

- Hai đỉnh được nối liền bởi một cạnh được gọi là điểm cuối của cạnh Nếu đỉnh i và đỉnh j là điểm cuối của cùng một cạnh, thì i và j được gọi là liền kề với nhau.Trong một đồ thị vô hướng, các đỉnh liền kề với một đỉnh i được gọi

là hàng xóm của i Tập hợp của tất cả các hàng xóm của một đỉnh i được định nghĩa là :

- Cấu trúc của một đồ thị với N nút được mô tả bằng một ma trận N×N Ma trận kề A là ma trận với được cho bởi:

{ ∈ (2.17)

Có nghĩa là (i,j) của A là 1 chỉ khi đỉnh j là một hàng xóm của đỉnh i Tất cả các đường chéo của ma trận A đều bằng 0 Nếu G là đồ thị vô hướng, = tức là ma trận A là đối xứng Trong trường hợp đồ thị có hướng, A là không đối xứng

Ví dụ, lấy đồ thị vô hướng trong hình 2.4a) làm ví dụ, chúng ta có ma trận kề được định nghĩa như sau

Ma trận kề cho một đồ thị được chỉ dẫn được định nghĩa như sau:

- Số cạnh hướng ra khỏi đỉnh i và số cạnh hướng tới đỉnh i được xác định bằng tổng của trọng số của các cạnh đi và các cạnh đến tương ứng, tức là:

(2.18)

Ma trận A và đỉnh i được cho là cân bằng nếu nó có các cạnh đến và các cạnh đi bằng nhau, tức là Do đó, tất cả các đồ thị vô hướng là biểu đồ cân bằng

- Một đồ thị G được gọi là cân bằng nếu

Bậc ma trận D của đồ thị G là ma trận đường chéo N N với (i,j) được cho bởi

{ ∈

(2.19) Hoặc tương đương:

D = diag(A1) (2.20)

2.2.9 Đặc tính quang phổ đồ thị

Ma trận Laplacian được sử dụng để mô tả chính xác kết nối trong một hình thức nhỏ gọn hơn Với được cho bởi:

Một số thuộc tính quan trọng của ma trận Laplacian là:

(1) Như có thể thấy trong định nghĩa của L, tổng hàng L là 0 Vì L1 =

0, trong đó 0 là một vector không có độ dài N, L có ít nhất một giá trị riêng bằng không liên kết với liên kết bên phải vectơ riêng 1

Nếu đồ thị G (V, E) là vô hướng, thì:

(2) Quang phổ của L, đó là tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận Laplacian là:

sp(L) = { , , , } (2.23)