Tài liệu Quan hệ pdf

II-Quan Hệ Tương Đương I.Quan hệ tương đương: - Quan hệ R trên A được gọi là quan hệ tương đương nếu có đủ 3 tính chất : phản xạ, đối xứng và bắt cầu... • Ví dụ 3: trên tập hợp các mệ

I-Quan hệ hai ngôi:

/),

B

}/

),

,{(

2

1 A A n a a a n a i A i

Ví dụ:

Cho 2 tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b, c}

A × B = {(1; a), (1; b),(1,c), (2; a), (2; b), (2; c), (3; a), (3; b), (3; c),}

B × A = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3), (c; 1), (c; 2), (c; 3),}

B × A = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3), (c; 1), (c; 2), (c; 3),}

a R

R, b)

 c) Ma trận biểu diễn quan hệ:

 Cho 2 tập A = {a1, a2, …, am}, B = {b1, b2, …, bn}

 Ma trận biểu diễn quan hệ giữa A&B, kí hiệu:

 MR = (mij)mxn

 Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào

đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi đó:

j i

ij

b R a

khi 0

Rb a

khi 1

m

 Ví dụ:

 Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28}

 Xét quan hệ hai ngôi R giữa A&B sau:

 aRb ⇔ “a là ước của b”

 Một ma trận biểu diễn quan hệ trên:

01

11

00

01

28

21

1

97

31

R

M

II-Quan Hệ Tương Đương

 I.Quan hệ tương đương:

- Quan hệ R trên A được gọi là quan hệ tương

đương nếu có đủ 3 tính chất : phản xạ, đối xứng và bắt cầu.

• Ví dụ 1: các quan hệ “=, ≡, // “ là quan hệ

tương đương.

• Ví dụ 2:các quan hệ “ “ không phải là quan

hệ tương đương vì không có tính đối xứng.

≤

⊥ ,

≤

⊥ ,

• Ví dụ 3: trên tập hợp các mệnh đề thì quan hệ

“tương đương logic” là một quan hệ tương đương.

• Ví dụ 4: trên tập A = { 1,2,3 } thì

 R = {(1,1),(2,2),(3,3)} là quan hệ tương đương.

 R còn là quan hệ tương đương có ít phần tử nhất.

 T = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} là quan hệ tương đương.

 H = {(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} không là quan hệ tương đương vì không đối xứng.

 K = {(1,1),(2,1),(1,2),(2,1) } không là quan hệ tương đương vì không có tính phản xạ.

 Ví dụ 5:trên tập số nguyên Z cho quan hệ hai ngôi

x ϵ Z , y ϵ Z, (x;y) ϵ f <=> 7.x^2 - 9.x = 7y^2 - 9y.

f có phải là quan hệ tương đương không?

∈x

 + 7x² - 9x = 7x² - 9x với mọi x ϵ Z => (x,x) ϵ f; vậy

+ 7x²-9x ϵ Z với mọi x ϵ Z, mà trong Z có tính bắc

tức là m = n và n = k (m,n,k ϵ Z) => m = k giả sử (x,y) ϵ f và (y,z) ϵ f: ta có: 7x² - 9x = 7y² - 9y

=> 7x² - 9x = 7z² - 9z => (x,z) ϵ f => f có tính bắc

 +7x²-9x và 7y²-9y đều thuộc Z (với x,y ϵ Z)

nên từ 7x²-9x = 7y²-9y => 7y²-9y = 7x²-9x

vậy: nếu (x,y) ϵ f thì (y,x) ϵ f => f có tính đối xứng (3*)

f có đủ 3 tính chất (1*), (2*), (3*) nên là quan hệ tương đương trong Z

II Lớp Tương đương:

Cho R là quan hệ tương đương trên A tập con của A gồm các phần tử tương đương với x A gọi là lớp tương đương chứa x thường kí hiệu tương đương x là [x] hay Theo đó,

Ví dụ 2: Trên tập Z các số nguyên xét quan hệ =(mod3) như

chứng minh được đây là quan hệ tương đương trên Z Ta được:

[0] = {….,-6,-3,0,3,6,….}

[1] = {… ,-4.-1,1,4,……}

[2] = {… ,-5,-2,2,5,……}

 Tính chất: Giả sử R là một quan hệ tương đương trên A Khi ấy

 (i) x A x [x] ∀ ∈ ⇒ ∈

 (ii) x,y A, xRy [x] =[y] ∀ ∈ ⇔

 (iii) Hai lớp tương đương [x], [y] sao cho [x]∩[y]≠ thì ∅

trùng nhau

III Sự phân hoạch thành lớp tương đương:

Cho quan hệ R tương đương trên A Ta có:

1) Các lớp tương đương của R sẽ lập nên một phân hoạch của A

2) Với một phân hoạch,sẽ tồn tại một quan hệ tương đương R tương ứng

3) Hai phần tử có quan hệ tương đương sẽ cùng thuộc một lớp tương đương,hai phần tử không quan hệ tương đương sẽ thuộc hai lớp tương

đương khác nhau

4) Trong mỗi lớp tương đương,ta có thể chọn bất kỳ phần

tử nào làm đại diện cho lớp

[Việt Nam]={x ϵ S / x R Việt Nam}={Nhật, Lào, Việt Nam, Iran}

[Mỹ]={Chile, Peru, Mỹ}

[Ý]={Nga, Áo, Anh, Mỹ, Ý}

[Úc]={Úc}

[Libi]={Libi, Maroc}

I/ Biểu đồ hasse:

1/Giới thiệu:

Quan hệ thứ tự: quan hệ R trên tập A là quan

hệ thứ tự nếu nó có tính chất phản xạ , phản xứng và bắc cầu

Ký hiệu: ≺Cặp (A, ) được gọi là tập sắp xếp thứ tự ≺hay poset

Phản xạ: a a.≺

-Tính phản xứng: có, a|b nghĩa là b=k.a(1)

b|a nghĩa là a=j.b(2)thay 2 vào 1 ta có b=k.j.b đúng khi k=j=1

-Tính bắc cầu: a|b  b=k.a(1)

b|c c=j.b(2)thay 1 vào 2 ta có c= j.k.a a|cVd2 : (Z,|) là poset? Không phải vì không theo tính chất phản xứng : 3|-3 -3|3 nhưng 3!=-3

{12,12}}

 Trội, trội trực tiếp:

Xét một tập hợp có thứ tự (X, ) và x, y là 2 phần tử bất

kỳ của X Khi đó ta nói:

 y trội x hay x được trội bởi y nếu x ≤ y

 y là trội trực tiếp của x nếu y ≠ x, y trội x và không tồn tại một trội z của x sao cho x < z < y

 Quan hệ thứ tự - chận dưới

 Cho (X, ≤ ) là một tập hợp có thứ tự, và A ⊂ X

 Ta gọi một phần tử x ∈ X là một chận dưới của tập hợp A

nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ A ta có : x ≤ a

 Chận dưới lớn nhất (nếu có), tức là phần tử lớn nhất trong

tập hợp tất cả những chận dưới của A được ký hiệu là inf (A)

 Quan hệ thứ tự - chận trên:

 Cho (X, ≤ ) là một tập hợp có thứ tự, và A ⊂ X

 Ta gọi một phần tử x ∈ X là một chận trên của tập hợp

A nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ A ta có : a ≤ x

 Chận trên nhỏ nhất (nếu có), tức là phần tử nhỏ nhất trong

tập hợp tất cả những chận trên, của A được ký hiệu là sup (A)

 Thứ tự tốt:

 Một tập hợp có thứ tự được gọi là có thứ tự tốt (hay được

sắp tốt) nếu và chỉ nếu mọi tập con khác rỗng đều có phần

tử nhỏ nhất

 Tập hợp có thứ tự (N, ≤ ) là một tập hợp được sắp tốt.

 Tập hợp có thứ tự (Z, ≤ ) không phải là một tập hợp được

sắp tốt vì Z không có phần tử nhỏ nhất.

Phẩn tử trội:Phần tử b trong poset (S,)

được gọi là phần tử trội của phần tử a trong S nếu

a b ≺

Chúng ta cũng nói rằng a là được trội bởi b Phần tử

b được gọi là trội trực tiếp của a nếu b là trội của a, và không tồn tại trội c sao cho a c b a!=c!=b.≺ ≺

Ta định nghĩa Biểu đồ Hasse của poset

(S, ) là 1 đồ thị:≺

-Mỗi phần tử của S được biễu diễn bởi một điểm trên

mặt phẳng

-Nếu b là trội trực tiếp của a thì vẽ một cung đi từ a

-Phần tử tối tiểu và phần tử tối đại : Xét tập hợp có thứ tự (A, ).≺

+ Phần tử tối tiểu: a là phần tử tối tiểu của A nếu như trong A không tồn tại x sao cho a!=x a.≺

+ Phần tử tối đại : b là phẩn tử tối đại của A nếu như trong A không tồn tại x sao cho b x !=b≺

Như vậy, ta có thể tóm tắt lại như sau:

-Trong biểu đồ Hasse không có cung nào xuất phát từ đỉnh tối đại và không có cung nào kết thúc

ở đỉnh tối tiểu.

- Trong 1 poset S hữu hạn, phần tử tối đại và phần tử tối tiểu luôn luôn tồn tại.

-Phần Tử Min, Max:xét tập (A, )≺

+Phần tử Min :a là phần tử nhỏ nhất của tập A (ký hiệu a=min(A)), nếu mọi x thuộc A ta có:a x.≺

+Phần tử Max: b là phần tử lớn nhất của tập A (ký hiệu b=max(A)), nếu mọi x thuộc A ta có:x b.≺

VD: trong tập hợp thứ tự (A,<=), với

A={x Z/x*x<100) Ta có min(A)=-9, max(A)=9

-Phần tử min và max có thể không tồn tại

vd : trong tập (R,<=)-Phần tử min và max nếu tồn tại là duy nhất

- Nếu (A, ≺ ) là tập hợp hữu hạn được sắp thứ tự toàn phần thì min(A) và max(A) đều tồn tại

Vídụ:Tìm phần tử tối đại, tối tiểu,min, max của poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, | ) ?

 Điểm cực đại :12,20,25

 Điểm cực tiểu: 2,5

 Min, max: không tồn tại

Giải bài tập