PHỤ LỤC TOÁN CHO vật LÝ

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng I... + Gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một véc tơ.. Dive c

PHỤ LỤC

Bảng các đạo hàm

dx dy

dx dy

3 y = x4

x

y a ax dx

dy= a−1 =

e dx

dy =

a a dx

dy

log 3 , 2

=

6 y = lnx

x dx

dy= 1

7 y = logax

x a dx

log

434 , 0

=

dx

dy

cos

=

dx

dy

sin

−

=

10 y = tgx

x dx

dy

2

cos

1

=

11 y = cotgx

x dx

dy

2

sin

1

−

=

12 y = arc sinx

2

1

1

x dx

dy

−

=

13 y = arc cosx

2

1

1

x dx

dy

−

−

=

14 y = arc tgx 2

1

1

x dx

dy

+

=

15 y = arc cotgx 2

1

1

x dx

dy

+

−

=

Tích phân một số hàm

1 dx=x+C

1

1

−

 + +

=

a

x

dx

x

a

a

3  = x+C

x

dx

ln

+b a ax b C

ax

dx

) ln(

1

5  = +C

a

a

dx

a

x x

ln

6  = e +C

k

dx

7  n kx = n kx

e x k dx

e

k

( lấy tích phân từng phần)

8

kx kx kx kx kx

e

e u đăt

nên

Ta

C e

e k

e

dx

+

=

+ +

=

+



1

1 ln 1

1

+

a k

e dx

ax

e

kx kx

) cos sin

(

10  + +

+

a k

e dx ax

e

kx kx

) sin cos

(

11  = − kx+C

k

sin

12  = kx+C

k

cos

13  = tgkx+C

k kx

cos2

14  = − gkx+C

k kx

dx

cot 1 sin2

k x dx

4

1 2

1 sin2

k x dx

4

1 2

1 cos2

k

n kx k

x dx kx

n n

cos cos

k

n kx k

x dx kx

n n

sin sin

19 sin sin sin( ) sin( )

2( 1) 2( )

k l x k l x

20 cos cos sin( ) sin( )

2( 1) 2( )

k l x k l x

l k

x l k k

x l k lx

−

−

− +

+

−

=

sin cos cos(2( 1)) cos(2( )) , nếu k  l

22  = − kx+C

k

k gkxdx 1ln sin

cot

a dx b

) ( 3

2

) (ta nên đăt u= ax+b

25 C

a

b ax b

ax

+

 2 (ta nên đăt u= ax+b)

a

x arctg x

a

−

2 2

a

b ax b ax dx

b ax

3

15

) ( ) 2 3 ( 2

a

x a

x a x dx x

2

2 2

x

x a a a x a dx x

x

ln

30 x x2 +m dx= x2 +m 3 +C

) (

3 1

m

x

+

2

x

x a a a x a dx x

x

ln

33  x2 +m dx= x x2 +m+m x+ x2 +m+C

ln(

2 1

x

a a

a x dx x

a

x

arccos

2 2 2

2

a x

a x a a

x

dx

+ +

−

=

−

2

1

2

a x a x a

a

x arctg a a

x

+

( rút a ra ngoài và sau đó đặt tant= x/a)

b ac

b ax arctg b

ac c

bx

ax

dx

+

−

+

−

= + +

4

2 4

2

, nếu 4ac-b2>0

C ac b

b ax

ac b

b ax ac b

c bx ax

dx

+

− + +

−

− +

−

= + +



4 2

4 2

ln 4

1

2 2

2

38  − − −  + + −

− +

+ +

−

−

+

= +

2

) (

) 4

)(

1 (

2 ) 3 2 ( )

)(

4 )(

1 (

2 )

c bx ax

dx b

ac n

a n c

bx ax b ac n

b ax c

bx

ax

dx

+

dx a

b c bx ax a c bx

ax

xdx

2 2

2

2 ) ln(

2

1

, xem số 37

+ +

= +

dx c

b c bx ax

x c

c bx ax

x

dx

2 2

2

2

2 ) (

ln 2

1 )

+ +

−

−

= +

m

c bx ax x

dx c

m

a m n c

bx ax cx m c

bx ax

x

dx

) (

) 1 (

) 3 2

( ) (

) 1 (

1 )

−

−

+

c bx ax x

dx c

m

m

n

) (

)

1

(

)

2

(

2

a n

b ax n dx b

+

+

= +

) 1 (

) (

b ax a n

b ax n dx b

ax

n

+

−

+

= +

) 1 (

) (

44 lnxdx=xlnx−x+C

45 (lnx)n dx=x(lnx)n−n(lnx)n−1dx

a

x x

dx a

arcsin arcsin

a

x x

dx a

arccos arccos

a

x xarctg dx

a

x

2

2 2

a

x g xarc dx a

x g

2 cot

( lấy tích phân từng phần)

50. s inx ln tan( )2

=



bx Arc b x b

a

dx

sin 1

2 2

2

52. = − − +

2

2

2 2 2

2 2

2

2

2

sin

a

bx Arc a b

x b a x x

b

a

dx

x

53. sec ln(sec anx) ; sec 1

cos

x

55

2 2

2 2



56

3



CÁC TÍCH PHÂN ĐỊNH HẠN

Với a>0

1 -ax

0

1

e dx

a



=



2 3 -ax2

2 0

1 2

a



=



0

!

n

n

n

x e dx

a



+

=



4 4 -ax2

5 0

3 8

a





=



5 ax

0

1 e dx a



=

+



6

0

sin( )

2

ax

dx

x





=



7 -a x2 2





=



8 -ax2

0

1 2

a



=



0

1 4

a





=



KHAI TRIỂN CHUỖI

TỪ ĐÓ SUY RA CÁC CÔNG THỨC SAU

! 3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1

+

−

− +

−

x m m m x m m

(-1<x<1)

2 sin x = x - .

! 7

! 5

! 3

7 5 3

+

− +x x

x

(x bất kì)

! 6

! 4

! 2

6 4 2

+

− +x x

x

(x bất kì)

2 2

(

2835

62 315

17 15

2 3

x x

x x

x

! 4

! 3

! 2

! 1

4 3 2

+ + + +x x x

x

(x bất kì)

4 3 2

4 3 2

+

− +x x

x

(-1<x 1)

7 ln(1-x) = - x - .

4 3 2

4 3 2

−

−

−x x

x

(-1x<1)

7 6 4 2

5 3 1 5 4 2

3 1 3 2

7 5

3

+ +

x

(-1<x<1)

7 5 3

7 5 3

+

− +x x

x

TÍCH PHÂN GAUSS

Xét tích phân Gauss:

2 x

I( ) + −e  dx

− 

Trong đó  0 là một tham số Đổi biến x= y ta được

2 y

1



+ −

− 

Bình phương hai vế (P2) ta có tích phân hai lớp  −+

+

−

 +



−

)

I





(P3)

(P3) có thể lấy dễ dàng nếu chuyển sang hệ toạ độ cực trong mặt phẳng với 2 2

x + y =r ;

rdr dxdy  2

2

2

( Vì khi x, y chạy từ − →  thì bán kính r chỉ chạy từ 0 →  )

Từ đó ta được:

2 x

I( ) e  dx 



+ −

− 

Ta có thể tính tích phân khác theo hàm phân bố Gauss, thí dụ

2

x +x e− dx

− 

Dễ thấy từ (P1), (P5)

( ) 1 / 2

2

3 / 2

dI

x

d

 

 

Tổng quát hoá (P6) cho giá trị trung bình theo phân bố Gauss của x n:

( )

2

2 n 2 n x

n 2 n 1

2n 1 !!

2



+ −

+

Giá trị trung bình của bậc lẻ 2 n 1

x + =0 vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ mà lấy tích phân

theo khoảng đối xứng Tuy nhiên nếu lấy tích phân theo khoảng không đối xứng (0, ) tích

phân sẽ khác không, thí dụ bằng cách đổi biến ta dễ dàng chứng minh rằng:

2

x

0

1

2



 −

Chứng minh một cách tổng quát bằng đạo hàm theo tham số tương tự như trình bày ở trên ta được:

2

2n 1 x

n 1 0

n!

x e dx ; 0

2



 + −

+

Bổ túc toán

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

I Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

y’’ + ay’ + by = 0 (1)

* Tìm nghiệm riêng dưới dạng y = ekx, k là hệ số cần tìm

Thay vào (1) ta được ekx ( k2 + ak + b) = 0  k2 + ak + b = 0 (2)













−

=





−

−

=

 +

−

=

a

k

a

k

4

; 2

2

1

1 Nếu k1, k2 là thực và phân biệt (k1 k2) 







=

=

x k

x k

e y

e y

2 1

2 1

Vì 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát có dạng:

y = C1y1 + C2y2 (C1, C2 là 2 hằng số tùy ý và xác định từ điều kiện biên)

2 Nếu k1 = k2 = -a/2 thực (= 0)  (1) có một nghiệm riêng : y1 = ek1x

Ta tìm nghiệm riêng thứ 2 là y2(x)

+ Giả sử y2 độc lập tuyến tính với y1 nên có thể viết dưới dạng : y2 = y1 u(x)









+ +

=

+

=

x k x

k x

k

x k x

k

ue k e

u k e

u

y

ue k e

u y

1 1

1

1 1

2 1 1

2

1 2

' 2 ''

''

' '

Thay vào (1) ta được

vì k1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2):

và theo (2) cũng có k12 + ak1 + b= 0 (5)

Thay (4) và (5) vào (3) ta được

u’’ = 0  u = Ax + B (Ta có thể chọn A = 1, B = 0  u = x)

Vậy y2 = (Ax+B) x

e1 Nghiệm TQ của (1) sẽ là: y = C1y1 + C2y2 = x

e 1 (C1x + C2)

3 Nếu phương trình đặc trưng (2) cho <0 thì(2) có hai nghiệm ảo:









−

=

+

=









i

k

i

k

2

1

với

2

; 2



=

−









−

=

=

+

=

=

) sin ((cos

) sin (cos

2

1

2

1

x i

x e

e

y

x i

x e

e

y

x x k

x x k













Lưu ý công thức Ơle: e( +i)x = ex eix = ex (cos  x + í sin  x )

Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:

y =C1y1 + C2y2

= ex(C1+C2) cos x+i(C1−C2) sin x)=

















−

− + + +

+

− + +

− +

)) (

( ) (

1 cos

) (

)) (

( ) (

1 ))

( ( )

2 2 1 2 2 1 2

1 2 2 1 2 2 1

2 2 1 2

2

C C i C C x C

C C

C i C C e

C C i C

= ( ( C1 + C2)2 + ( i ( C1 − C2))2) ex(sin  cos  x + cos  sin  x )

y=A ex sin(  x +  )

Đây là dạng dao động có lực cản tỉ lệ vận tốc(lực ma sát nhớt)

II Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Tương tự: x’’ + k2x = 0  Đặt nghiệm x = lt

e

 lt

e (l2+ k2) = 0  l = ik

Tương tự (*) x =ax1+bx2= C1sinkt + C2coskt = ( sin cos )

2 2 2 2

2 1 2

2 2

C C

C kt

C C

C C

C

+

+ +

+

= Asin(kt+ )

Với C1=i(a-b)và C2=(a+b)

II Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Tương tự: x’’ + k2x = 0  Đặt nghiệm x = lt

e

 lt

e (l2+ k2) = 0  l = ik

Tương tự (*) x =ax1+bx2= C1sinkt + C2coskt = ( sin cos )

2 2 2 1

2 2

2 2 1

1 2

2 2

C C

C kt

C C

C C

C

+

+ +

+

= Asin(kt+ )

Với C1=i(a-b)và C2=(a+b)

III Phương trình vi phân: 2

x −k x b+ =

Nghiệm riêng có dạng x1= kt

e Nghiệm tổng quát có dạng kt kt

x= +a Be +Ce−

IV Phương trình vi phân

0

" b ' F cos

Nghiệm có dạng x=Acos(  t+ )

MỘT SỐ TOÁN TỬ TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCÁC

1.Gradien của một trường

 là một hàm vô hướng( trường vô hướng)

  

 = + + =  

 gọi là toán tử Nabla

-Các tính chất của Gradien:

Grad(u+v)= Gradu+ Gradv

Grad(u.v)= vGradu+uGradv

−

- Ý nghĩa vật lý của gradient:

+ Gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một véc tơ

VD E=grad, E là cường độ điện trường,  là điện thế

2.Dive(divergent) của trường véc tơ:

- Định nghĩa: Gọi A=P x y z i( , , ) +Q x y z j( , , ) +K x y z k( , , ) là một véc tơ trường Dive của trường véc tơ A tại

điểm M là giới hạn của của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi

bề mặt này

( )

( , , ) ( , , ) ( , , )

V M

A n dS

P x y z Q x y z R x y z

→



-Ý nghĩa vật lý của dive: có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường véc tơ Phương trình Maxwell divD= ; D là véc tơ cảm ứng điện,  là mật độ điện khối D= 0E

3.Rota của trường: A=P x y z i( , , ) +Q x y z j( , , ) +K x y z k( , , )

( R Q) ( P R) ( Q P)

x A

Định lí Stokes dưới dạng vectơ n

S

  , trong đó rota A n là hình chiếu của rota Alên phương pháp tuyến của mặt S

-Ý nghĩa vật lí của rota:

rota của thông lượng của từ trường từ H thì sinh ra dòng điện với mật độ J:

Còn rota của thông lượng của điện trường E thì sinh ra sự biến thiên của

véc tơ cảm ứng từ B theo thời gian: rotaE B

t



= −



4 Các phép tính đối với dive và rota:

- Nếu A là véc tơ hằng

0

div A=  =A

-Dive và rota có tính chất tuyến tính: Xét C= A+ B

divC= div A+ divB rotC= rot A+ rot B

-Các phép tính đối với tích:

Graduv=ugradv+vgradu (u,v là trường vô hướng)

divu A= (gradu A ) +udiv A

rotu A= gradux A +urot A

- div AxB( ) =Brot A−Arot B

5.TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI

Từ đó người ta viết lại grad=  ; div A= A rot A; =  x A

+ Hàm vô hướng

 

divgrad grad

= 





+Véc tơ trường

( )

div A A graddiv A A

divrot A x A A

rot A x A

rotrot A x x A

 

=  

 

=  →

   

=    

Ta dễ dàng suy ra

+rotgrad =   x  =  x  = 0

+ divrot A=   x A=0

( ) ( ) )

rotrot A x x A=   − A A =graddiv A−  A

+divgrad =  =   2

Toán tử Laplace:

Trong vật ly toán người ta gọi toán tử cấp 2 divgrad là toán tử Laplace và kí hiệu 

Tức là  =  =    2

Vậy trong hệ trục tọa đề- các thì

  

   

*Vi Phân trong hệ trục tọa độ cầu:

- Liên hệ giữa hệ trục tọa độ đề các (x,y,z)và hệ trục tọa độ cầu( , , )    : trong đó

0 0



 

 

 → 



  



  



cos sin os

sin sin sin

os

 







2

dV =dxdydz= rd    d d =    d d d

chx

PHƯƠNG PHÁP HỆ TỌA ĐỘ VÀ VECTOR TRONG CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ

I Một số kiến thức toán học về vector và các hệ tọa độ:

1/ Các hệ tọa độ điển hình:

Chúng ta thường gặp ba hệ tọa độ là HTD Đề Các, HTD trụ và HTD cầu Tùy vào bài toán mà ta áp dụng các HTD này một cách hợp lý

+ Hệ tọa độ Decartes:

Gồm có ba trục vuông góc đôi một với nhau trong không gian Với các vector đơn vị là e x,e y,e z hoặc i,j,k

Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ Decartes được xác định bằng 3 yếu tố (x,y,z), tương ứng là khoàng cách từ điểm

đó đến ba trục Ox, Oy và Oz

+ Hệ tọa độ trụ:

Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ trụ được xác định bằng 3 yếu tố là (r,  ,z), với ba vector đơn vị là e r,e,e z + Hệ tọa độ cầu:

Tọa độ của một điểm trong tọa độ cầu: (r,  ,  ), tương ứng với 3 vector e r,e,e

2/ Một số kiến thức cơ bản về vector:

Chúng ta quan tâm đến các công thức tổng quát về vector

Với a b c, , là các véc-tơ, và x,y,z là các hằng số; các công thức biến đổi véc-tơ cần nhớ:

Tính chất đại số:

( )

a b b a

+ = +

− = + − + + = + + = + + Các phép nhân:

Nhân vô hướng:

( )

Với a,b là các mô-đun (độ lớn) của các véc-tơ a b,

Nhân hữu hướng:

( )ˆ sin ,

Với ˆn là véc-tơ đơn vị (có độ lớn bằng 1 đơn vị), có phương vuông góc với mặt phẳng chứa 2 véc-tơ a b, , chiều được xác định bằng phương pháp vặn nút chai (Tưởng tượng xoay nút chai theo chiều quay từ véc-tơ a đến véc-tơ b, chiều tiến của nút chai chính là chiều của véc-tơ)

Biến đổi giữa các phép nhân:

( )a b  =c ( )a c b −( )a b c .

Cách viết gọn của phép nhân vô hướng một véc-tơ với một tích véc-tơ hữu hướng:

( ) ( )

.

Ký hiệu đạo hàm theo thời gian và tính chất vi phân của một tích véc-tơ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d

dt

d a b a d b b d a

d a b a d b b d a

=

( )

e e e

b b b





Hàm hyperbolic

chx

2

−