CÁC DẠNG TOÁN cơ vật rắn THI HSG QUỐC GIA VÀ CHỌN QUỐC tế

Trong chương trình ôn thi hsg quốc gia môn vật lý thì cơ vật rắn là một trong những phần khá quan trọng, bài tập phần cơ vật rắn rất đa dạng, áp dụng nhiều kiến thức về toán học, vật lý. Ở trên thị trường có rất nhiều sách tham khảo nhưng đều cung cấp các kiến thức chung chung hoặc phổ kiến thức quá rộng đối với các em làm các em dễ sa đà vào những kiến thức quá mở rộng không cần thiết cho kì thi HSG quốc gia. Đứng trên kinh nghiệm này tôi nhận thấy cần phải có một chuyên đề phân loại các dạng toán cơ vật rắn đã thi HSG quốc gia và chọn quốc tế để cho các em có cái nhìn chắt lọc hơn về những kiến thức cần chuẩn bị nhằm phục vụ cho mục tiêu của mình.

Trang 1

CÁC DẠNG TOÁN CƠ VẬT RẮN THI HSG QUỐC GIA VÀ CHỌN QUỐC

TẾ

I MỞ ĐẦU:

Trong chương trình ôn thi hsg quốc gia môn vật lý thì cơ vật rắn là một trong nhữngphần khá quan trọng, bài tập phần cơ vật rắn rất đa dạng, áp dụng nhiều kiến thức về toánhọc, vật lý Ở trên thị trường có rất nhiều sách tham khảo nhưng đều cung cấp các kiến thứcchung chung hoặc phổ kiến thức quá rộng đối với các em làm các em dễ sa đà vào nhữngkiến thức quá mở rộng không cần thiết cho kì thi HSG quốc gia Đứng trên kinh nghiệm nàytôi nhận thấy cần phải có một chuyên đề phân loại các dạng toán cơ vật rắn đã thi HSG quốcgia và chọn quốc tế để cho các em có cái nhìn chắt lọc hơn về những kiến thức cần chuẩn bịnhằm phục vụ cho mục tiêu của mình

II NỘI DUNG:

PHẦN 1 TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM

Bài 1 – HSG QG 2003

Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm

O(hình vẽ) Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của

nó một đoạn là d = 3R/8

Lời giải :

Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox Chia bán cầu thành nhiều

lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ)

Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin , dày dx= Rcos.d

có khối lượng dm = (Rcos)2dx với nên:

2

m 

m

dsincosRm

xdm

x

2 /

0

3 4 m

Trang 2

D = ( đpcm)

Bài 2 – HSG QG 2011

Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo

dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có

trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng,

mảnh, nhẹ Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định

(trùng với trục ∆) đi qua điểm O Trên hình vẽ, OA và OB là các

thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm

G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng Tìm vị trí khối tâm G của vật 1

Lời giải :

Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy

(xem hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ yG = OG của vật Mật độ khối

Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển

động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường

thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau Các đĩa này quay

cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng

với các tốc độ góc tương ứng là 1 và 2

Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực

ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể Biết các đĩa có khối lượng m,có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủnghình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2 Tính mômen quán tính đối với trục quaynói trên của mỗi đĩa

2 1

8

R3m4

Rcos

m4

Rx

4 2

/ 0 4 4

Trang 3

Lời giải : Mô men: I = ; r = R/2, I = m =

Bài 4 - HSG QG 2006

Một vật hình cầu bán kính đang

đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD Mật độ

khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng

cách đến tâm của nó theo quy luật:

là một hằng số dương

Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xemhình vẽ) Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn  và rơi xuống mặt bàn Hệ số

ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g Tính khối lượng và mô menquán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó

Lời giải : Khèi lîng cña vËt: 0

Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn

không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi va vào một bức tường thẳng

đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn và tường)

Biết hệ số ma sát giữa khối trụ và bức tường là ; vận tốc của trục

khối trụ trước lúc va chạm là v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo

phương ngang của trục giảm đi một nửa về độ lớn; mômen quán tính

đối với trục của khối trụ là (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng của trọng lực trong lúc vachạm và bỏ qua ma sát lăn Biết mật độ khối lượng  tại một điểm của khối trụ phụ thuộc

R 0

r

2

2 )2 r dr)

rR(

5



Trang 4

vào khoảng cách r từ điểm đó đến trục của nó theo quy luật Tìm hệ sốA.

Lời giải : Sử dụng hệ toạ độ trụ:

Nhận xét :

- Từ năm 2001 – 2013 có 5 bài cơ vật rắn tính momen quán tính và xác định khối tâm,

không có bài nào thi chọn đội tuyển thi quốc tế Các bài tính mômen quán tính vàkhối tâm đều ở dạng kiến thức cơ bản

- Học sinh phải sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân Cách chia nhỏ vật thể,

xác định cận, lập hàm để tính tích phân

PH N 2 ẦN 2 ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC NG H C - ỌC - ĐỘNG LỰC HỌC ĐỘNG HỌC - ĐỘNG LỰC HỌC NG L C H C ỰC HỌC ỌC - ĐỘNG LỰC HỌC

Bài 1 - HSG QG 2003

Một thanh cứng AB có chiều dài L tựa trên hai

mặt phẳng P1 và P2 (Hình vẽ) Người ta kéo đầu A

của thanh lên trên dọc theo mặt phẳng P1 với vận

tốc không đổi Biết thanh AB và véctơ luôn

nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của

P1 và P2; trong quá trình chuyển động các điểm A, B luôn tiếp xúc với hai mặt phẳng; gócnhị diện tạo bởi hai mặt phẳng là  = 1200 Hãy tính vận tốc, gia tốc của điểm B và vận tốcgóc của thanh theo v0, L,  ( là góc hợp bởi thanh và mặt phẳng P2)

Lời giải :

Các thành phần vận tốc của A và B dọc theo thanh bằng nhau nên:

vB = vAcos(600- )/cos = 2 tg )

32

1(

v0  

Chọn trục Oy như hình vẽ, A có toạ độ:

A

BP1

Trang 5

y = Lsin  y’= Lcos ’ = v0cos300.

Vận tốc góc của thanh:

 = ’ = Lcos

30cos

cos2

cosL4

v

Bài 2 - HSG QG 2006

Một vật hình cầu bán kính R đang

đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD Tấm gỗ

được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo

chiều DC với gia tốc không đổi a(hình vẽ)

Kết quả là vật lăn không trượt về phía D

được đoạn  và rơi xuống mặt bàn Hệ số

ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g Biết khối lượng và mô men

quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó lần lượt là m và

2 0

44

105



1 Hãy xác định thời gian vật lăn trên tấm gỗ và gia tốc tâm O của vật đối với mặt bàn

2 Tại thời điểm vật rơi khỏi tấm gỗ vận tốc góc của vật bằng bao nhiêu?

3 Chứng minh rằng trong suốt quá trình chuyển động trên mặt bàn vật luôn luôn lăn cótrượt

4 Vật chuyển động được một quãng đường s bằng bao nhiêu trên mặt bàn?

Lời giải :

Cách 1:

Xét hệ quy chiếu gắn với tấm gỗ Vật chịu tác dụng

của lực quán tính hướng về phía D: Fma và có

độ lớn F = ma Xét trục quay tức thời đi qua B

Chọn các chiều chuyển động là dương

2 2

0

105

149mR

I

Trang 6

(2) Giải hệ: ; ;

Cách 2:

Viết phương trình chuyển động quay với trục quay qua tâm O:

Gọi F là lực ma sát nghỉ giữa quả cầu và tấm ván, a1 là gia tốc của quả cầu đối với đất:

 =

298105a



 1,7 a



3

Vận tốc theo phương ngang của vật khi chạm mặt bàn bằng vận tốc theo phương ngang của

nó khi rời khỏi tấm gỗ: v0 = a1t =

44a 298

149 105a



 0,5 a Chọn thời điểm vật chạm mặt bàn là

thời điểm ban đầu.Các chiều dương như

hình vẽ Chúng ta có nhận xét là ngay từ

thời điểm này vật đã lăn có trượt, vì

Trước khi đổi chiều quay thì vật

luôn lăn có trượt Muốn vật lăn không trượt, điều kiện cần là vật phải đổi chiều quay

Giả sử đến thời điểm  nào đó vật chuyển động tịnh tiến với vận tốc v’ và quay với vậntốc góc ω’ Sử dụng các định lí biến thiên động lượng và mômen động lượng :

Trang 7

Thay biểu thức của I0 và 0 vào (*), ta thu được: Điều đó có nghĩa khi quả cầuđổi chiều quay (’=0) thì v’=0 vật dừng lại Vậy vật lăn có trượt trên suốt quá trình chuyển

động trên mặt bàn cho tói khi dừng lại

v2kg =



2

44 a149.105.kg  0,124

a

kg

Bài 3 – HSG QG 2010

Một thanh cứng AB đồng chất, tiết diện đều, khối

lượng M, chiều dài AB = L có gắn thêm một vật nhỏ

khối lượng m = M/4 ở đầu mút B Thanh được treo nằm

ngang bởi hai sợi dây nhẹ, không dãn O1A và O2B (hình

vẽ) Góc hợp bởi dây O1A và phương thẳng đứng là 0

a Tính lực căng T0 của dây O1A

b Cắt dây O2B, tính lực căng T của dây O1A và gia tốc góc của thanh ngay sau khi cắt

5

(*)

- Momen quán tính của hệ với trục quay qua G: với

8mLI

O 2

m M

2 0

I   ' mR v '

Trang 8

a Khi thanh cân bằng, xét với trục quay qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

Từ phương trình momen, có: P.BG T Lcos 0  0 0 0 0 0

2L

5T



b Tại thời điểm t = 0 khi dây O2B vừa bị cắt, vì thanh chưa

di chuyển, điểm A có vận tốc bằng 0 Điểm A chỉ có gia

tốc aAtheo phương vuông góc với dây O1A

Xét điểm G, có gia tốc: aG aAaG/A (vì AG=const nên

dAG

0dt

- Phương trình ĐLII Newton: P T (M m)a  G (M m)(a G/Aa )A

Chiếu lên phương dây O1A, với aG/A    A AG

(M m)g.cos   T (M m)a  cos (M m) .AG.cos   (3)

Thay (2) vào (3) tính được:

0

0 G

(M m)g.cosT

(M m)AG cos1

0

C

O 1

O 2

G 0

Trang 9

0 0 0

0 2

Một con lắc vật lí có khối lượng M, khối tâm tại G và có thể quay

quanh trục nằm ngang đi qua điểm O nằm trên con lắc Momen quán tính

của con lắc đối với trục quay là I Biết khoảng cách OG = d Con lắc

được thả từ vị trí có OG hợp với phương thẳng đứng một góc α0 = 60o (G

phía dưới O) Bỏ qua ma sát ở trục quay và lực cản môi trường

1 Tính độ lớn phản lực của trục quay lên con lắc khi OG hợp với

phương thẳng đứng một góc α

2 Tính gia tốc toàn phần lớn nhất của khối tâm con lắc trong quá trình dao động

Lời giải :

1 Chiếu phương trình động lực học : M g + F = Ma lên các phương:

Ox tiếp tuyến với quỹ đạo khối tâm: Mγd = Ft – Mgsinα (1)

Oy trùng với phương GO: Mω2d = Fn – Mgcosα (2)

Phương trình chuyển động quay : Iγ = -Mgdsinα (3)

Từ (1) và (3) suy ra: Ft = Mg(1-A)sinα , với A =

 = Mgd(cosα –cosαo)

Từ (5) và (2) suy ra: Fn = Mg[(1-2A)cosα + 2Acosαo]

Trang 10

Do đó : F = F n2 F t2 = Mg  2 2 2

0

(1 2A)cos  2A cos (1 A) sin 

2 Gia tốc khối tâm:

a = a2na2t = ( d)2 2 ( d)2 = g 4A (cos2   cos0)2A sin2 2

= gA 1 8cos cos   0 3cos2 4cos20

Khi α0 = 600 có a = g

2

Md

I 2 4cos  3cos2Xét hàm f(α) = 2 4cos  3cos2

Dễ dàng thấy hàm có cực đại tại α = 0 với f(0) = 1 và cực tiểu ứng với cosα = 2/3

Tại biên f( ± 600) = 3/4 < 1 , vậy a cực đại khi α = 0 và amax =

23

2

MgdI

Bài 5 - Chọn đội tuyển dự IPHO 2003 :

Một khối trụ đồng chất , khối lượng M ,

bán kính R, có momen quán tính đối với trục là

, được đặt lên mặt phẳng nghiêng góc 

= 300 Giữa chiều dài khối trụ có một khe hẹp

trong đó lõi có bán kính

R

2 Một sợi dây ABCkhông giãn, khối lượng không đáng kể được quấn nhiều vòng vào lõi rồi vắt qua ròng rọc B(khối lượng không đáng kể) Đầu còn lại của sợi dây mang một vật khối lượng m Phần dây

AB song song với mặt phẳng nghiêng Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa trụ và mặt

nghiêng( cũng là hệ số ma sát trượt ) là

C

Trang 11

b) Trụ lăn không trượt lên trên Lấy chiều dương của gia tốc aO của O ( trục khối trụ ) vàgia tốc a của m như hình vẽ Tính aO , lực căng dây T 

, lực ma sát F ms

và tìm điều kiện

về

M

m để có trường hợp này

c) Trụ lăn không trượt xuống dưới Tính aO , lực căng dây T 

, lực ma sát Fms và tìm điều

m ứng với cân bằng của hệ Tính T và f

e) Trụ trượt xuống Tìm aO và điều kiện về

Mg6

Trang 12

c) a0 = g

Mm33

2



 ; để a0 > 0 thì

M

m < 3 ; T = g

4mM3m2M ; Fms = -

Mg6

d)

M

m = 3; T = mg ; Fms =

mg2

e) a0 = g

Mm4

Bài 6 – Chọn đội tuyển dự IPHO 2004

Một thanh kim loại AB khối lượng m, tiết diện nhỏ đều đồng chất, chiều dài 2  có thểquay quanh một trục O nằm ngang cố định có đầu B một

khoảng bằng  Đầu A của thanh có gắn một quả cầu khối

lượng M = 2m, kích thước nhỏ không đáng kể Kéo cho thanh

lệch góc α0 (α0 < 900 ) so với phương thẳng đứng rồi buông ra

với vận tốc ban đầu bằng 0 Bỏ qua mọi ma sát và lực cản của

không khí Gia tốc trọng trường là g

a) Hãy tính tốc độ góc, gia tốc góc của thanh và cường độ của

lực do thanh tác dụng lên quả cầu ở thời điểm thanh hợp với phương thẳng đứng mộtgóc α ≤ α0

b) Tìm gia tốc toàn phần nhỏ nhất, lớn nhất của quả cầu trong quá trình chuyển động theo gvà α0

Một vành trụ mỏng I, đồng chất, khối lượng M, bán kính

R Trong lòng vành trụ có một khối trụ đặc II, đồng chất, khối

lượng m, bán kính r, cùng chiều dài với vành trụ Trong hình

vẽ bên, Oxy là mặt phẳng tiết diện vuông góc với trục vành

trụ, A và B là giao điểm của mặt phẳng Oxy với hai trục Tác

dụng lực có phương đi qua A vào vành trụ sao cho vành trụ

lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo chiều

dương trục Ox Biết khối trụ lăn không trượt trong lòng vành

trụ, trục khối trụ luôn song song với trục vành trụ Ở thời điểm t, góc hợp bởi AB và phươngthẳng đứng là ; vận tốc của A là vA, tốc độ góc của AB quanh trục đi qua A là 

A B

O

Trang 13

1 Xác định lực ma sát giữa vành trụ và khối trụ, giữa vành trụ và mặt phẳng nằm ngangtheo gia tốc xA′′ của A và gia tốc góc " của đoạn AB ở thời điểm t.

2 Giả thiết rằng trục vành trụ chuyển động đều Tìm gia tốc góc " của đoạn AB theo

, R, r, gia tốc của A và gia tốc trọng trường g

Một hình trụ rỗng bán kính R, mặt trong nhám, được giữ thẳng đứng Một đĩa mỏngđồng chất khối lượng m, bán kính r (r < R), lăn không trượt ở mặt trong của hình trụ sao chotiếp điểm của nó với hình trụ luôn nằm trên một mặt phẳng nằm ngang Gọi  là hệ số masát nghỉ giữa đĩa và hình trụ,là góc nghiêng của đĩa so với phương thẳng đứng Cho gia tốctrọng trường là g, bỏ qua ma sát lăn và lực cản môi trường

1 Giả sử đĩa lăn đều, không trượt và luôn nghiêng một góc  0 không đổi

a) Tính vận tốc góc của khối tâm đĩa trong chuyển động quay quanh trục hình trụ

b) Hỏi0phải nằm trong khoảng giá trị  min ,  maxnào thì điều giả sử trên (lăn khôngtrượt với góc nghiêng không đổi) thỏa mãn?

2 Giả sử khi đĩa đang chuyển động với góc nghiêng 0 nằm trong khoảng  min ,  max,

người ta tác động trong thời gian ngắn làm cho đĩa thay đổi góc nghiêng một giá trị nhỏ Biếtrằng trong quá trình chuyển động tiếp theo lực ma sát đủ lớn để giữ cho đĩa tiếp tục lănkhông trượt

a) Gọi momen quán tính của đĩa đối với trục quay tiếp tuyến với đĩa và nằm trong mặtphẳng của đĩa là Imr 2 Tìm giá trị của .

b) Hãy phán đoán chuyển động tiếp theo của đĩa khi đĩa bị thay đổi góc nghiêng một giátrị nhỏ quanh góc 0.Giải thích

Nh n xét : ận xét :

Trang 14

- Từ năm 2001 – 2013 có 4 bài cơ vật rắn về động học và động lực học(xác định vận

tốc, gia tốc, các lực tác dụng) Có 4 bài thi chọn đội tuyển thi quốc tế Số lượng bàitoán thi hsg quốc gia và thi chọn đội tuyển thi quốc tế thuộc phần kiến thức này lànhư nhau và xuất hiện nhiều Do đó đây là dạng toán quan trọng cần làm kỹ nếumuốn đi tiếp vào vòng trong

- Học sinh phải biết cách phân tích đúng các lực tác dụng, sử dụng tốt công thức cộng

vận tốc, cộng gia tốc Nắm được điều kiện lăn có trượt và lăn không trượt của vật rắn

PHẦN 3 VA CHẠM – XUNG LỰC – NĂNG LƯỢNG

Bài 1 – HSG QG 2003

Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O

Đặt bán cầu trên mặt phẳng nằm ngang.Giả thiết bán cầu đang nằm cân

bằng trên một mặt phẳng nằm ngang khác mà các ma sát giữa bán cầu và

mặt phẳng đều bằng không (Hình vẽ) Tác dụng lên bán cầu trong khoảng

thời gian rất ngắn một xung của lực nào đó theo phương nằm ngang,

hướng đi qua tâm O của bán cầu sao cho tâm O của nó có vận tốc Tính năng lượng đãtruyền cho bán cầu Cho biết gia tốc trọng trường là g; mô men quán tính của quả cầu đặc

đồng chất khối lượng M, bán kính R đối với trục quay đi qua tâm của nó là I =

2

2MR

15.v16R

Động năng của bán cầu: E =

83mv

256  0,32

2 0

mv2

Tiêu đề	Các Dạng Toán Cơ Vật Rắn Thi HSG Quốc Gia Và Chọn Quốc Tế
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM
Chuyên ngành	Vật lý
Thể loại	bài tập
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	913,06 KB