Chirp Thuật toán biến đổi z

Sử dụng thuật toán CZT là một trong những cách hiệu quả có thể đánh giá phép biến đổi z tại các điểm M trong mặt phẳng z nằm trên vòng tròn hoặc đường viền xoắn ốc bắt đầu từ bất kỳ điểm

Chirp – Thuật toán biến đổi z

Tóm tắt

Một thuật toán tính toán về đánh giá số lượng biến đổi z của một chuỗi các mẫu N được thảo luận Thuật toán này đã được đặt tên là thuật toán chirp biến đổi z (CZT)

Sử dụng thuật toán CZT là một trong những cách hiệu quả có thể đánh giá phép biến đổi z tại các điểm M trong mặt phẳng z nằm trên vòng tròn hoặc đường viền xoắn ốc bắt đầu từ bất kỳ điểm tùy ý nào trong mặt phẳng z Khoảng cách góc của các điểm là một hằng số tùy ý, và M và N là số nguyên tùy ý

Thuật toán này được dựa trên thực tế là các giá trị của biến đổi z trên một đường viền tròn hoặc xoắn ốc có thể được thể hiện như là một chập rời rạc Vì vậy người ta có thể

sử dụng kỹ thuật chập tốc độ cao nổi tiếng để đánh giá sự biến đổi hiệu quả Đối với

M và N khá lớn, thời gian tính toán là khoảng tỉ lệ thuận với (N + M) log2(N + M) như trái ngược với tỷ lệ N M để đánh giá trực tiếp biến đổi z tại các điểm M

I Lời giới thiệu

Trong giao dịch với các dữ liệu lấy mẫu z-transform vận chuyển bởi biến đổi Laplace tiếp tục đóng vai trò hệ thống thời gian Một ví dụ về ứng dụng của nó là phân tích quang phổ Chúng ta sẽ thấy rằng các tính toán của mẫu biến đổi z, đã được tạo điều kiện thuận lợi rất nhiêu của thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) [l], [2], vẫn còn tiếp tục tạo điều kiện thuận lợi bằng các thuật toán chirp (CZT) biến đổi được mô tả trong bài báo này

Biến đổi Z của một chuỗi số xn được định nghĩa là

(1) một chức năng phức tạp của biến z Nói chung, cả x n và X (z) đều có thể phức tạp Người ta cho rằng tổng trên phía bên phải của (1) hội tụ cho ít nhất là một số giá trị của z Chúng ta tự giới hạn với trình tự z-biến đổi chỉ với một N số lượng hữu hạn các điểm khác 0 Trong trường hợp này, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể viết lại (1) :

(2) trường hợp khoản (2) hội tụ cho tất cả z trừ z = 0

Phương trình (1) và (2) giống như các biểu thức xác định cho biến đổi Laplace của một tàu xung cách đều nhau với các biên độ xn Hãy để khoảng cách của các xung điện được tand cho tàu xung

Sau đó, biến đổi Laplace là giống như X (z) nếu chúng ta để cho

(3) Nếu chúng ta đang đối phó với việc lấy mẫu dạng sóng thì mối quan hệ giữa các dạng sóng ban đầu và tạo sóng xung lực được hiểu rõ hơn qua hiện tượng răng cưa Do đó, phép biến đổi z theo trình tự của các mẫu của một dạng sóng thời gian được hiểu là đại diện của biến đổi Laplace của các dạng sóng ban đầu

Phép biến đổi Laplace của một chuỗi các xung lặp đi lặp lại các giá trị của nó được thực hiện trong một dải ngang của mặt phẳng s với chiều rộng là 2 / T ở tất cả các dải khác song song với nó Ở các biểu đồ biến đổi z mỗi dải như vậy vào toàn bộ mặt phẳng s , hoặc ngược lại, toàn bộ mặt phẳng z tương ứng với bất kỳ dải ngang của mặt phẳng z…-∞ < < ∞, ví dụ như, miền /T < / T tại s= +j

Tương ứng như thế, trên trục jw của các mặt phẳng-s, theo đó chúng ta thường đánh đồng biến đổi Laplace với biến đổi Fourier, là vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z, và nguồn gốc của các mặt phẳng-s tương ứng với z = 1 Phần bên trong của vòng tròn đơn vị mặt phẳng z tương ứng với nửa trái của mặt phẳng-s, và bên ngoài tương ứng với mặt phẳng nửa bên phải Đường thẳng trong mặt phẳng s tương ứng với vòng tròn hoặc xoắn ốc trong mặt phẳng z Hình 1 cho thấy sự tương ứng một đường viền trong mặt phẳng-s với một đường viền trong mặt phẳng z Để đánh giá biến đổi Laplace của tàu xung dọc theo đường đồng mức tuyến tính là để đánh giá z biến đổi của dãy dọc theo đường viền xoắn ốc

Hình 1: Sự tương ứng của một đường viền mặt phẳng z (A) với một đường viền mặt phẳng s thông qua mối quan hệ

Giá trị của phép biến đổi z thường được tính dọc theo đường tương ứng với trục jw, cụ thể là vòng tròn đơn vị Điều này tương đương với biến đổi Fourier rời rạc và có nhiều ứng dụng bao gồm cả dự toán của quang phổ, lọc, nội suy, và sự tương quan Các ứng dụng của tính toán biến đổi z vòng tròn đơn vị ít hơn, nhưng là một trong những điều được trình bày ở những phần khác [6], cụ thể là tăng cường cộng hưởng quang phổ trong hệ thống cho một trong những thứ có sự biết trước của các vị trí của các cực Chúng ta chỉ có thể tính toán (2) cho một tập hữu hạn các mẫu, do đó chỉ thể tính toán (2) tại một số hữu hạn điểm, zk

(4) Các trường hợp đặc biệt mà nhận được sự chú ý nhất là tập hợp các điểm cách đều nhau xung quanh vòng tròn đơn vị,

(5) trong đó

(6)

Phương trình (6) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Độc giả có thể dễ dàng chứng minh rằng, trong công thức (5), giá trị của k chỉ đơn thuần lặp lại giá trị N cùng

z k, đó là nguyên căn của sự đồng nhất Nth Biên đổi Fourier rời rạc đã được thừa nhận tầm quan trọng đáng kể, một phần vì tính chất tốt đẹp của nó, nhưng chủ yếu là vì từ năm 1965, nó đã được biết đến rộng rãi do các tính toán của (6) có thể đạt đến được, chứ không phải trong các phép nhân phức tạp N 2 và bổ sung kêu gọi của ứng dụng trực tiếp (6), nhưng trong một cái gì đó của trật tự các hoạt động log2Ar N nếu N là một sức mạnh của hai, hoặc N ^ hoạt động nếu các số nguyên yếu tố chính của N Một thuật toán bất kỳ hoàn thành được gọi là một FFT Phần lớn về tầm quan trọng của FFT là DFT có thể được sử dụng như một bước đệm để tính toán các sản phẩm có

độ trễ như nếp cuộn, tự tương quan và nếp cuộn chéo nhanh hơn so với trước đây [3], [4] Các DFT, tuy nhiên, một số hạn chế mà có thể được loại bỏ bằng cách sử dụng các thuật toán CZT mà chúng tôi sẽ mô tả Chúng tôi sẽ điều tra tính toán của biến đổi z- trên một đường viền tổng quát hơn, có dạng

z k = AW -k , k = 0, 1, • • •, M - 1 (7a) trong đó M là một số nguyên tùy ý và cả A và W là số bất kỳ phức tạp của dạng:

(7b)

(7c) (xem hình 2.) các trường hợp A = 1, M-N, W = exp (-j2 / N) tương ứng với các DFT Đường viền chung mặt phẳng z bắt đầu với điểm z = A và, tùy thuộc vào giá trị của W, xoắn ốc hoặc liên quan đến nguồn gốc xuất Nếu W o = , đường viền là một vòng cung của một vòng tròn Khoảng cách giữa các góc của các mẫu là 27r £o - Đường viền mặt phẳng s tương đương bắt đầu với điểm

(8) điểm chung trên đường viền mặt phẳng s

(9)

Từ A và W là số bất kỳ phức tạp, chúng ta thấy rằng điểm sk nằm trên một đoạn đường tùy ý thẳng chiều dài tùy ý và mật độ lấy mẫu Rõ ràng các đường viền chỉ ra trong (7a) không phải là các đường viền chung nhất nhưng nó được coi là tổng quát hơn mà DFT áp dụng Trong hình 2, một ví dụ về đường viền gen-Eral này được thể hiện trong cả hai mặt phẳng-z và mặt phẳng s

Hình 2: Minh họa các tham số độc lập của thuật toán C2T (A): cách đánh giá phép biến đổi z theo một đường xoắn ốc tại điểm bắt đầu z=A (B) đường thăng tương ứng

với đường xoắn ốc trên và các tham số độc lập trong mặt phẳng s

Để tính toán biến đổi z dọc theo đường đồng mức tổng quát hơn này sẽ có vẻ để yêu cầu các phép nhân NM và bổ sung các đối xứng đặc biệt của tx ^ ijlirk / N) được khai thác tại nguồn gốc của FFT vắng mặt trong trường hợp tổng quát hơn Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng bằng cách sử dụng W chuỗi "2/2 trong các vai trò khác nhau, chúng ta có thể áp dụng FFT để tính toán của biến đổi z dọc theo các đường viền của (7a) Kể từ khi cho W 0= 1, Wn trình tự, 2 là một sinusoid phức tạp của tần số tuyến tính ngày càng tăng

Dạng sóng tương tự được sử dụng trong một số hệ thống radar có tên là “chrip”, chúng ta gọi thuật toán mà chúng ta đang mô tả là chrip – phép biến đổi z (C2T) Vì C2T cho phép thực hiện phép biến đổi z một cách tổng quát hơn FFT do đó mà C2T cũng linh hoạt hơn FFT, mặc dù nó được cho là tương đối chậm hơn FFT Thêm vào

đó C2T cũng có them một số đặc điểm tự do khác như sau:

1 Số lượng thời gian trích mẫu không nhất thiết phải bằng với số mẫu của phép biến đổi z

2 M hay N không cần phải là số tự nhiên

3 Góc không gian của zk là bất kỳ

4 Đường bao quanh không phải là đường tròn nhưng có thể xoắn vào hay xoắn ra tương ứng với trạng thái gốc Ngoài ra, điểm z0 là bất kỳ nhưng cũng giống như trường hợp với FFT nếu như xn được nhân them với của z0-n trước khi biến đổi

II Đạo hàm của phép biến đổi CZT

Cùng với đường bao quanh của (7a),(4) trở thành

(10) Trong đó, ở lần xuất hiện đầu tiên, dương như yêu cầu NM phép nhân và phép cộng như chúng ta đã

Hình 3: minh họa các bước liên quan khi tính toán các giá trị của phép biến đổi z khi

sử dụng thuật tóan CZT quan sát Nhưng, chúng ta hãy sử dụng phép thế một cách khéo léo, bởi vì Blustein[5]

(11) Cho các thành phần của W trong (10) Điều này tạo ra một biểu thức rõ ràng là cồng kềnh hơn nhiều

(12) Nhưng, thực tế là (12) có thể được coi như một quá trình bao gồm 3 bước

1 Thành lập 1 chuỗi mới y n bằng cách nhân thêm với x n theo công thức sau:

(13)

2 Thu gọn y n lại bằng cách định nghĩa thêm dãy v n :

(14)

Ta thu được dãy gk:

(15)

3.Nhân g k với để thu được X k

(16) Quá trình ba bước được minh họa trên hình 3, trong đó bước 1 và bước 3 tương ứng yêu cầu N,M phép nhân còn bước 2 là một phép cuốn lại có thể được tính bằng một kỹ thuật tốc độ nhanh thực hiện bởi Stockham [3], dựa trên cách sử dụng FFT Bước 2 là phần chính trong nỗ lực điện toán và yêu cầu 1 thời gian gần như tỷ lệ với

(N+M)log(N+M)

Bluestin đã sử dụng phép thế (11) để chuyển một DFT thành một phép cuộng như trên hình 3 Các hệ tuyến tính trong đó phép cuộn là tương đương có thể đươc gọi là một bộ lọc chrip, đôi khi nó được sử dụng để phân tích phổ Bluestin[5] chỉ ra rằng với N là một số chính phương, bộ lọc chrip có thể được tổng hợp một cách đệ quy với

bộ nhân và việc tính toán DFT có thê tỷ lệ với N3/2

Sự linh hoạt và tốc độ của thuật toán CZT lien quan tới sự linh hoạt và tốc độ của phương pháp của tích chập tốc độ cao FFT Bạn có thể nhớ lại là tích của DFT của 2 chuỗi là một DFT đường xoắn ốc của 2 dãy và tích chập có thể được tính như tích của

2 DFT , tích của 2 mảng số phức và một phép biến đổi Fourier ngược trên miền gián đoạn (IDFT) , nó cũng có thể được tính bằng FFT Tích chập thông thường có thể được tính như một đường xoắn ốc bằng cách thêm vào các điểm 0 ở cuối một hoặc cả

2 dãy, do đó câu trả lời bằng số chính xác cho tích chập thông thường có thể thu được

từ một đường xoắn ốc

Chúng ta có thể tóm lại chi tiêt của thuật toán CZT trong đó giả thiết là đã tồn tại một chương trình FFT ( hay một máy có mục đích đặc biệt) luôn sẵn sàng để tính DFT và IDFT

Bắt đầu với một dạng song với N mẫu xn và tìm M mẫu của Xk trong đó A và W đã được chọn trước

1 Chọn L là số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng N+M-1 tương thích với chương trình FFT của chúng ta Với hầu hết người sử dụng nó có nghĩa L là một lũy thừa của 2 Chú ý rằng trong khi rát nhiều chương trình FFT sẽ làm việc với L bất kỳ, chúng sẽ không thể thực hiện cho mọi L Trong một số rất nhỏ , L nên là hợp tử cao

2 Thành lập của L điểm thuộc dãy yn từ dãy xn theo công thức

(17)

3 Tính L điểm DFT của yn bởi FFT Gọi chúng là Yr với r=0,1,…,L-1

4 Xác định L điểm DFT của dãy vn theo quan hệ

(18) Tất nhiên, nếu L = M+N-1 thì miền trong đó vn là bất kỳ sẽ không tồn tại Nếu miền đó tồn tại một khả năng rõ rang tăng lên M, số điểm mong muốn của phép biến đổi z mà chúng ta tính toán, cho tơi khi miền đó không tồn tại

Chú ý là vn có thể được chia làm hai nửa với n=M-1 và n=L-N+1 và nếu 2 nửa này tiến đến vùng giáp nhau một cách khác nhau thì dãy kết quả có thể là một lát của một chuỗi vô không giới hạn Nó được biểu diễn trên hình 4 Chuỗi vn được định nghĩa theo cách để buộc đường xoắn ốc cho ta kết quả số mong muốn của một tích chập thong thường

5 Tính DFT của vn và gọi nó là Vr, r=0,1,…,L-1

6 Nhân Vr với Yr tương ứng từng điểm với nhau, cho ta Gr

Gr=VrYr, r=0,1,…,L-1

7 Tính L điểm IDFT gk của Gr

8 Nhân gk với cho ta kết quả Xk

Với gk mà k M thì bị loại

Hình 4 mô tả dạng song điển hình (độ lớn được biểu diễn, bỏ qua góc pha) trong mỗi bước của quá trình

Hình 4: Biểu đồ mô tả sự biến đổi các chuỗi liên quan trong thuật toán CZT (A) chuỗi đầu vào x k với N giá trị (B) chuỗi trọng lượng đầu vào yn (C) DFT của yn (D) giá trị vủa chuỗi vô hạn W (E) chuỗi vn được tạo xấp xỉ từ mảng của W (F) DFT của vn (G) tích Gr=Yr.Vr (H) IDFT của Gr (I) giá trị mong muốn M của phép biến đổi Z

III Điểm sau cùng của tính toán

Hoạt động đếm và cân nhắc thời gian.

Một số hoạt động đếm có thể được thực hiện, khoảng từ tám bước như đã trình bày Chúng tôi sẽ cung cấp từng bước trong tất cả các bước, dĩ nhiên, nhiều giá trị biến thể

có thể được xem xét

1) Giả định rằng bước 1, chọn L, là một hoạt động không đáng kể

2) Hình thành yn từ xn với yêu cầu N là một phép nhân phức tạp, không kể các giá trị của các hằng số A ~ nWn/2 Các hằng số có thể được prestored, tính toán khi cần thiết, hoặc tạo ra đệ quy như cần thiết Các tính toán đệ quy sẽ yêu cầu hai phép nhân phức tạp cho mỗi điểm

3) L điểm DFT đòi hỏi một thời gian / cFFT L log2 cFFTL cho L một công suất trong hai, và một chương trình FFT rất đơn giản Phức tạp hơn (nhưng nhanh hơn) chương trình có những công thức tính toán với thời gian dài hơn

4), 5) vn được tính cho hoặc M hoặc N điểm, tùy theo giá trị nào lớn hơn Đối xứng trong W-^12 cho phép các giá trị khác của vn mà không cần tính toán Thêm nữa, vn có thể được tính đệ quy FFT mất thời gian tương tự như trong bước 3 Nếu cùng một đường đồng mức được sử dụng cho nhiều bộ dữ liệu, Vr chỉ cần được tính một lần và được lưu lại

6) Bước này đòi hỏi các phép nhân L phức tạp

7) Đây là phép biến đổi FFT khác và yêu cầu thời gian tương tự như bước 3

8) Bước này đòi hỏi các phép nhân M khá phức tạp

Vì số lượng mẫu của xn hoặc Xk rất lớn, thời gian tính toán cho các CZT tăng dần tới giá trị tiệm cận theo một tỉ lệ thuận từ L tới log2 L Đây giống như một loại tiệm cận phụ thuộc của FFT, nhưng tỷ lệ không đổi là lớn hơn cho CZT bởi vì hai hoặc ba FFT được yêu cầu thay vì một, và bởi vì L là lớn hơn so với N hoặc M Tuy nhiên, CZT là nhanh hơn so với việc tính toán trực tiếp như công thức (10) ngay cả đối với các giá trị tương đối khiêm tốn của M và N, thứ tự của 50

Giảm trong lưu trữ

CZT có thể được đưa vào một dạng hữu ích cho tính toán bằng cách xác định lại việc thay thế công thức (11) để đọc

Phương trình (12) có thể được viết lại như sau

Các dạng của phương trình mới tương tự như (12) trong đó các dữ liệu đầu vào xn trước khi xử lí bằng một chuỗi phức tạp () với một chuỗi thứ hai và sau xử lí bằng một chuỗi thứ ba để tính toán đầu ra chuỗi Xk Tuy nhiên, có sự khác biệt trong các bước chi tiết để thực hiện CZT Dữ liệu đầu vào Xn có thể được coi là đã được chuyển mẫu bên trái N0, ví dụ như, xử lí bởi , thay vì W0 Khu vực mà phải được hình thành,

để có được kết quả chính xác từ quá trình khởi tạo lại, là

Bằng cách lựa chọn N0 = (N-M) / 2, nó có thể được nhìn thấy các giới hạn mà được đánh giá là đối xứng, nghĩa là, là một chức năng đối xứng trong cả hai phần thực và phần ảo của nó ( Do đó mà biến đổi của cũng là đối xứng trong cả hai phần thực và phần ảo của nó.) Có thể được hiển thị bằng cách sử dụng giá trị này đặc biệt của N0 , chỉ (L / 2 +1) điểm của cần phải được tính toán và lưu trữ và những điểm phức tạp (L /

2 +1) có thể chuyển đổi sử dụng bằng một L / 2 điểm biến đổi.2 Do đó tổng lưu trữ cần thiết cho biến đổi của là L+2 điểm

Chỉ sửa đổi khác để các thủ tục chi tiết để đánh giá CZT trình bày trong mục II của bài viết này là: 1) sau L điểm IDFT bước 7, các dữ liệu của mảng gk phải được luân chuyển bên trái N0 điểm, và 2) yếu tố trọng số cho các gk là hơn là Yếu tố bổ sung đại diện cho một sự thay đổi dữ liệu N0 mẫu bên phải, do đó phần bù sự chuyển đổi ban đầu và giữ các vị trí của dữ liệu bất biến đối với giá trị của N0 được sử dụng

Một ước tính của các lưu trữ cần thiết để thực hiện các CZT bây giờ có thể được thực hiện Giả sử rằng toàn bộ quá trình sẽ diễn ra trong lõi, lưu trữ được yêu cầu cho VT trong đó có L +2 điểm; cho yn, trong đó có 2L điểm, và có lẽ đối với một

số lượng khác mà chúng tôi muốn để tiết kiệm, ví dụ, đầu vào, hoặc giá trị của hoặc

Nguyên tắc bổ sung.

Kể từ khi CZT cho phép M N, Có thể là lí do sẽ phát sinh M »N hoặc N >> M Trong những trường hợp này, nếu số lượng nhỏ là đủ nhỏ, phương pháp (10) được gọi là phương pháp trực tiếp Tuy nhiên, nếu ngay cả số lượng các số nhỏ hơn là nhiều nó có thể thích hợp để sử dụng các phương pháp phân đoạn được mô tả bởi Stockham [3] Hoặc là lap-lưu lại hoặc lap-thêm vào phương pháp có thể được sử dụng Một phần cũng có thể được sử dụng khi phát sinh vấn đề quá lớn để có thể xử lý trong bộ nhớ chính Chúng tôi đã không thực sự gặp phải bất kỳ những vấn đề này và đã không được lập trình CZT với khả năng dự phòng cho bộ phận

Kể từ khi các đường viền cho các CZT là một đoạn thẳng trong mặt phẳng, rõ ràng là việc lặp đi lặp lại áp dụng các CZT có thể tính toán bằng biến đổi Z dọc theo một đường viền là piecewise xoắn ốc trong mặt phẳng z hoặc piecewise tuyến tính trong mặt phẳng