Luận Văn Vô Tuyến Tin Học Truyền Thông - Thuật Toán Biến Đổi Fourier Nhanh

- Tín hiệu tiền định là tín hiệu mà ta biết trớc đợc tham số hoặc quyluật biến thiên của tham số của nó.- Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu mà ta không thể biết trớc đợc tham số hay quy lu

Thuật toán biến đổi Fourier nhanh

Trong chơng trớc chúng ta đã giới thiệu tổng quan về thuật toán biến

đổi fourier nhanh

Nguyên tắc cơ bản của tất cả các thuật toán FFT là dựa vào việc phântách DFT N điểm thành DFT nhỏ hơn ( tức là số điểm tích DFT nhỏ hơn ).Theo cách này chúng ta sẽ khai thác cả tính đối xứng và tính tuần hoàn củahàm N

1. Tính đối xứng Wk(N-n) = (Wkn)*

2. Tính tuần hoàn Wkn = Wk(n+N)

Thuật toán phân chia dựa trên việc phân chia dãy x(n) thành dãy nhỏhơn đợc gọi là thuật toán phân chia theo thời gian, vì chữ số n thờng đợc gắnliền với thời gian Nguyên tắc thuật toán này đợc minh họa rõ nhất khi taxem xét tổng hợp khi N lấy giá trị đặc biệt: N là lũy thừa của 2 ( do đó có tênFFT có số 2 N=2M)

N là một số chẵn nên ta có thể tính X(k) bằng cách tách x(n) thành haidãy mới có chứa N/2 điểm một dãy chứa điểm lẻ, một dãy chứa điểm chẵn

Cụ thể từ công thức tính X(k) ta có:

1 N , 2 , 1 , 0 k Với W

) n ( x )

k

(

X

1 N

0 n

kn 1

N

kn

lẻ n n

ẵ ch n

W)n(xW

)n(x)

k(X

Hoặc bằng cách thay thế biến n = 2r khi n chẵn, n = 2r+1 đối với n

lẻ:

) W )(

1 r 2 ( x W

) W )(

r 2 ( x

W ) 1 r 2 ( x W

) 2 ( x )

k ( X

1 2 N

o r

1 2 N

0 r

rk 2 k

rk 2

1 2 N

o r

1 2 N

0 r

k ) 1 r 2 ( rk

o r

1 2 N

0 r

rk 2 / N

k N

rk 2 /

N W x ( 2 r 1 ) W W

) 2 ( x )

k ( X

o r

rk 2 / N

0 r

rk 2 / N

Mặt dù chỉ tính số k của X(k) chạy qua N giá trị k= 0, 1, 2, …, N-1., N-1

Do X0(k) và X1(k) là tuần hoàn theo k với chu kỳ N/2, sau khi 2DFT X0 (k)

và X1(k) tơng ứng đợc tính, chúng sẽ đợc kết hợp với nhau để tạo ra DFT N

điểm là X(k)

Để minh họa bằng hình vẽ ta chọn ví dụ N=8, hình vẽ sau đây minhhọa cách tính X(k) theo biểu thức (*) cho một dãy 8 điểm Nhánh ra của mộtnút bằng giá trị của nút xuất phát nhân với hệ số truyền của nhánh Nếunhánh không ghi hệ số thì ta hiểu hệ số truyền của nhánh bằng 1

rễ so sánh ta giả thiết rằng N đủ lớn để có thể có N-1 xấp xỉ là N) Sau khiphân tách thành 2DFT N/2 điểm ta cần 2(N/2)2 phép nhân phức và2(N/2)2 phép cộng phức để thực hiện X0(k) và X1(k) và thêm N phép cộngphức để tính X(k) từ X0(k) và X1(k)

Tổng cộng lại ta cần N + 2(N/2)2 = N + N2/2 phép nhân phức và phépcộng phức để tính tất cả các giá trị của X(k).

Ta có thể kiểm tra với N>2, N + N2/2 nhỏ hơn N/2 Vậy với Nchẵn ta đã chia nhỏ 2DFT N/2 điểm với số phép tính và đơng nhiên thờigian tính nhỏ hơn Với N/2 lại là một số chẵn thì hoàn toàn tơng tự, ta lại

có chia DFT N/2 điểm thành DFT N/4 điểm

Nừu số điểm có dạng N = 2M thì ta có thể tiếp tục chia đôi nh vậy Mlận, cho đến khi số điểm tính DFT là bằng 2 để phân biệt với FFT cơ số 4nếu N = 4M

Điểm với (N=8) theo phơng pháp phân chia theo thời gian vẽ cho

0 l

k ) 1 l ( 2 2 N

1 4 N

0 l

lk 2 2 N

0 ( k ) g ( 2 l ) W g ( 2 l 1 ) W

X

) k ( X W ) k ( X

o r

rk 2 / N

1 2 N

o r

rk 2 / N

0 ( k ) x ( 2 ) W g ( ) W X

N DFT

1 4 N

0 l

lk 4 N k

2 N

diểm 4

N DFT

1 4 N

0 l

lk 4 N

DFT N/4 điểm

Nh vậy X0(k) lại đợc tách thành hai DFT: X00(k) và X01(k) với X00(k)

là DFT của dãy g(r) có chỉ số chẵn và X01(k) là DFT của dãy g(r) có chỉ sốlẻ

Hình 4.2.2, minh họa cách chia DFT N/2 điểm Khi đó hệ số W thực

sự mang gí trị đặc biệt là 1 và -1 nên trong thực tế ta không phải làm phépnhân nữa và phép chia cũng dừng lại ở đây

 Kết quả của việc kết hợp hình (4.1) và (4.2) nh sau

M = log2(N) phân tích chia có thể dựa vào hình sau:

Nó tơng ứng với mỗi tầng trong sơ đồ, ta cần N phép nhân phức đểnhân kết qủa của DFT của tầng trớc với hệ số W tơng ứng và N phép cộngphức để nhóm kết qủa lại với nhau Tổng cộng ta chỉ cần N.log2(N) phépnhân phức và N.log2(N) phép cộng phức để thực hiện toàn bộ FFT

DFT N/4 điểm

DFT N/4 điểm

DFT N/4 điểm

DFT N/4 điểm

X(0) W0 W0 X(0)X(4) -1 W2 W1 X(1) X(2) W4 W2 X(2)X(6) -1 W6 W3 X(3)X(1) W0 W4 X(4)X(5) -1 W2 W5 X(5)X(3) W4 W6 X(6)

X(7) -1 W6 W7 X(7)Hình 4 2.4 sơ đồ minh hoạ tính DFT N điểm phân chia theo thời gian sau

ba lần phân chia (N=8)

Để tiện cho việc tính toán ta quy ớc nút i của tầng thứ m đợc ký hiệu làXin(i) Mỗi tầng có N nút và có M=log2(N) tầng Để thuận tiện ta ký hiệudãy vào x(n) nh là tầng thứ 0 Nh vậy đối với tầng thứ m+1 ta có thể coi dãyvào x(n) nh là dãy Xin(i) nh là dãy vào và Xm+1(i) kết quả tính toán nh là dãyra

) q ( X W ) q ( X ) p ( X

) q ( X W ) q ( X ) p ( X

m r N m

m 2

N r N m

1 m

m r N m

1 m

/ N r

/ N r

W    nên ta còn có thể tiếp tụcrút bớt phép tính nhân đi một nữa số hạng T  WNrXm( q )

T ) q ( X ) q ( X

T ) p ( X ) p ( X

m 1

m

m 1

Hình 4 2.6 Lu đồ tính toán của một “hình Bớm” đã đợc cải tiến Lu

đồ này ta chỉ cần một phép nhân

Tóm lại: Với cách sử dụng thuật toán ta thấy giảm đáng kể đợc sốphép nhân, thời gian làm phép nhân lớn hơn rất nhiều thời gian làm phépcộng

3 Thuật toán tính tại chỗ (Inplace)

Các sơ đồ tính FFT trình bày ở trên không những cho ta thấy hiệu quảcủa tính toán, mà còn cho ta thấy cách cất giữ số liệu vào x(n) và kết qủa raX(k) ta thấy mỗi tầng của các hình đều có N nút vào và N nút ra

Nếu nh ta cho mỗi nút tơng ứng với một biến phức trong khi lập chơngtrình thì số ô nhớ cần dùng sẽ khá lớn (tỷ lê Nlog2N)

Dãy vào đợc bố trí theo thứ tự phân chia nh trên hình vẽ thì ta nhận

đ-ợc kết qủa ra theo đúng thứ tự tăng dần của nó Và sau mỗi lần tính một tầng

ta có thể dùng ô nhớ chứa dãy vào để chứa dãy ra với một số ô nhớ phụ trợthêm trong quá trình tính toán Cụ thể trong mỗi “hình bớm” ta thấy ngayXm(P) và Xm(q) không cần dùng đến nữa nên ta có thể chứa vào đó kết qủa

ra là Xm+1(P) và Xm+1(q) tơng ứng Nh vậy nút nằm trên cùng một hàngngang của các tầng đợc hiểu là chứa trong cùng một ô nhớ cùng một chỗ

Sau khi làm nh vậy đối với tất cả các tầng kết qủa cuối cùng là dãyX(k) sẽ nhận đợc tại các ô nhớ chứa dãy vào x(n) vậy là thuật toán tại chỗ

Ví dụ: N=8, chỉ số của dãy vào là n có thể biểu diễn bằng 3 bits là n2,

n1, n0, việc lúc đầu dãy x(n) đợc phân thành hai dãy chẵn và lẻ có thể quy vềviệc phân dãy x(n) thành dãy có bit n0 = 0 và dãy có bit n0 = 1(tơng ứng sốlẻ)

Sau đó việc phân chia chẵn lẻ của hai dãy con lại đợc tiến hành thôngqua bit n1 là bằng 0 hay bằng 1 Công việc cứ tiếp tục nh vậy với bit n2

Vậy thứ tự các bít biểu diễn chỉ số của dãy x(n) đợc phân chia khi nãy

là n0, n1, n2 tức là ngợc với thứ tự các bit biểu diễn chỉ số của dãy vào x(n) lúc

đầu là n2, n1, n0 Do đó việc phân chia kiểu này gọi là kiểu “đảo bít” (bitreserse) n2

X(2) W0 W2 1

X(3) W0 W2 -1

X(4) -1

X(5) -1 W1 -1

X(6) 1 W2

X(7) -1 W2 W3 -1

Lu đồ minh họa tính DFT N điểm phân chia theo thời gian với dãy vào đợc sắp xếp theo thứ tự tự nhiên và dãy ra đợc sắp xếp theo thứ tự đảo bít Đây là lu đồ sắp xếp lại từ hình trên II thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số: 1 Nguyên tắc chung: Thuật toán FFT dựa trên việc phân chia nhỏ dãy vào x(n) để tách việc tính DFT N điểm thành các DFT X(0) g(0) X(0)

X(1) g(1) X(2)

X(2) g(2) DFT X X(4)

N/2 điểm

0 n

1 N

2 / N n

nk N

nk

W ) n ( x )

k (

0 n

1 2 / N

0 n

nk N k

) 2 / N ( N

nk

W ) n ( x )

0 n

nk N k

W ) 2 / N n ( x ) 1 ( ) n ( x )

k

(

X

x(0) X(0) x(1) X(4)

r = 0, 1, …, N-1.(N/2 - 1).

2 / N rn 2

W  nên ta có thể thấy ngay X(2r) chính là DFT N/2

điểm của dãy g(n) = x(n) + x(n + N/2), g(n) là tổng của nửa đầu của dãyx(n) với nửa sau của dãy x(n) Còn X(2r + 1) là DFT N/2 điểm của tích W

đối với dãy h(n) = x(n) - x(n + N/2);

h(n) là hiệu nửa đầu của dãy x(n) với nửa sau của dãy x(n) Nh vậyDFT N điểm của dãy x(n) có thể đợc tính nh sau:

Trớc hết ta tạo ra hai dãy g(n) và h(n), sau đó thực hiện h((n).Wn cuốicùng thực hiện DFT của hai dãy này, ta sẽ có các điểm ra X(k) chỉ số chẵn

và X(k) chỉ số lẻ

Mỗi DFT N/2 điểm ta lại tiến hành hoàn toàn tơng tự nh đã làm ở trên

để tách một cái thành hai DFT N/4 điểm Cứ thế cho đến lúc các DFT cuốicùng là các DFT 2 điểm Các bớc và hình vẽ trung gian không đợc trình bày

ở đây Ta thấy mỗi tầng cần N/2 phép nhân và có M = log2(N) tầng Số phép

0 n

rn 2 N

n N

1 2 / N

0 n

rn 2 N

W W ) 2 / N n ( x ) n ( x )

1 r 2 ( X

W ) 2 / N n ( x ) n ( x )

2 ( X

nhân là (N/2).log2(N), bằng số phép nhân trong cách tính theo phơng phápnhân chia theo thời gian.

Nói chung: Cả hai thuật toán đầu tính tại chỗ, số phép nhân phứctrong cả hai thuật giải là nh nhau Vì vậy nên khả năng lựa chọn giữa haithuật ngữ FFT rât it

III Cách tính FFT ngợc: (IFFT: Inverse FFT)

0 k

kn N

W ) n ( x )

0 k

kn N

W ) k ( X N

1 ) n (

0 k

kn N

*

*

W ) k ( X )

n (

để có:

* 1

N

0 k

kn N

* ( k ) W X N

1 ) n (

có thể bằng bớc sau:

 Cho dãy x(k), lấy liên hợp phức của X(k) bằng cách đổi dấu phần ảo củaX(k)

 Gọi chơng trình tính FFT để tính FFT của dãy X(k) đã đổi dấu phần ảo

 Lấy liên hợp phức của kết qủa thu đợc bằng cách đổi dấu phần ảo sau đóchia cả dãy cho hệ số tỷ lệ N để thu đợc kết qủa mong muốn

Phụ lục thuật toán biến đổi FFT viết trên ngôn ngữ C đợc trình bàytrong phần phụ lục.

Tµi liÖu tham kh¶o

1 Xö lý tÝn hiÖu vµ läc sè – t¸c gi¶ : NguyÔn Quèc Trung

2 Lý thuyÕt m¹ch tÝn hiÖu – t¸c gi¶ : §ç Huy Gi¸c (chñ biªn )

3 GhÐp nèi m¸y tÝnh –t¸c gi¶ : NguyÔn M¹nh Giang

4 Xö lý tÝn hiÖu sè – t¸c gi¶ Qu¸ch TuÊn Ngäc

5 M Hassler , J Dunjnck “ Fcltrec eslednques ” TE XLX Pressestolytechinesques roman-des , Lausanne 1982

6 INMOS Limited “ Digital Signal Processing “ Prentice Hall international( UK ) Ltd Priented and bound in Great Britain by Willian Clowes Ltd.1993

7 Burrus , C.S , and Parks ,T.W DFT/FFT and Convolution algorithimJohn Wiley and Son, New York , 1985

8 Digital Signal Processing application with the TMS320 Family Theory ,Algorith in and Implementation , Volume 3 , Texas Instrument , Inc,Dallas , Texas , March 1990

TMS320 ( 62xx Technical Brief , Texas Instrumemt , Inc Pallas,Texas JW January 1997 )

BN Burrus , C.S , Heideman , M.T , Jones , D.L , Sorensen , H.V

“Real – Valued Fast Fourier Tranform in algorithms ”, IEEETransactions on acoustios , Speed , and Signal Processing , Vol .LSSP- 35 TV.6 , PP 849 – 863 ,June 1987

Mở đầu

Giới thiệu khái quát về vai trò lọc số và phân tích phổ

- Nh ta đã biết ngày nay có rất nhiều hệ thống thông tin và để đánh giá

đợc chất lợng truyền dẫn, thu phát thông tin ngời ta xử dụng xác suất lỗi bít Xác suất lỗi bít là tham số quan trọng trong hệ thống thông tin số

nên cần có biện pháp giảm bớt xác xuất lỗi bít trong thông tin số

Dựa trên việc nghiên cứu về lý thuyết thông tin ngời ta chỉ ra rằng :Nếu cho một tín hiệu vào, tín hiệu ấy thuộc một vùng nào đó Bằng cách biến

đổi xử lý DSP sang vùng tơng tự thì ta có thể giảm đợc tạp và nhiễu

Trong DSP chứa bộ lọc số quan trọng, bộ lọc này dùng với hai mục

đích chính:

- Tách tín hiệu đã bị ghép

- Phục hồi những tín hiệu đã bị nhiễu (méo) theo một số kiểu nào đó.Những bộ lọc thông tin tơng tự (analog), hay điện (electric) cũng đợcdùng với hai mục đích trên Tuy nhiên những bộ lọc số có thể tạo đợc bằngkết quả vợt trội hơn

Trên thực tế nhờ có bộ lọc số mà DSP trở lên phổ biến

Nh đã biết ở trên bộ lọc số có hai ứng dụng chính:

Tách tín hiệu và phục hồi tín hiệu.

Tách tín hiệu : rất cần thiết khi tín hiệu bị ảnh hởng bởi nhiễu, ồn hay

tín hiệu khác

Ví dụ: phơng pháp đo hoạt động của tim thai nhi, khi vẫn nằm trongbụng mẹ, tín hiệu đó chịu ảnh hởng của hơi thở và nhịp tim của ngời mẹ, bộlọc tách các tín hiệu này ra nh vậy sẽ phân tách một cách riêng lẻ

Ví dụ: Một đoạn băng thu với những thiết bị tồi có thể qua bộ lọc đểthu đợc âm thanh tốt hơn Vấn đề đó đều có thể đợc giải quyết với bộ lọc sốhay bộ lọc tơng tự Bộ lọc tơng tự rẻ, nhanh Tuy nhiên, chỉ lọc tín hiệu cótần số và cờng độ lớn, chất lợng lọc không cao Còn bộ lọc số thì đem lạichất lợng thực hiện tốt Bộ lọc số có thể đạt đợc chất lợng gấp cả ngàn lần bộlọc tơng tự

Điều này gây ra một tranh cãi lớn về việc xử lý vấn đề lọc ra sao.Với

bộ tơng tự ngời ta muốn nhấn mạnh vào việc kiểm soát các giới hạn của thiết

bị nh là độ chính xác và sự ổn định của điện trở và điện dung

Ngợc lại bộ lọc số lại tốt đến mức mà sự thể hiện của bộ lọc thờng bị

bỏ qua.Ngời ta chỉ nhấn mạnh vào giới hạn của tín hiệu vào và ra về mặt lýthuyết Trong DSP các tín hiệu vào và ra của bộ lọc số nằm trong trờng thờigian (Time do main) Sở dĩ nh vậy là vì tín hiệu đó đợc tạo thành bằng cáchlấy mẫu trong khoảng thời gian là đều nhau

Tuy nhiên, đây không phải là cách lấy mẫu duy nhất Cách lấy mẫuthông dụng thứ hai tín hiệu lấy khoảng không gian đều nhau

Ví dụ: Tởng tợng ta đọc đồng thời từ một mảng các biến cảm sắp xếp cáchnhau 1Cm dọc theo cánh của một chiếc máy bay Trong trờng hợp này ta cóthể ứng dụng nhiều phơng pháp, tuy nhiên việc sử dụng thời gian hay khônggian vẫn là hai phơng pháp phổ biến nhất Khi thấy có trờng thời gian trongDSP chứng tỏ điều này muốn nói đến mẫu thời gian

Trong DSP có một bộ lọc tuyến tính Bộ lọc tuyến tính cho một đápứng xung ,một đáp ứng bớc,một đáp ứng tần Mỗi đáp ứng này đều chứathông tin đầy đủ về bộ lọc, nhng cách thể hiện nó khác nhau Nếu một đápứng đợc sử dụng thì hai đáp ứng còn lại có thể tính toán gián tiếp thông qua

đáp ứng này

Song song với việc lọc số, trongDSP thì việc phân tích phổ trong DSPcũng khá quan trọng Nó cho chúng ta thấy dạng phổ và cách tính toán phổcủa tín hiệu trong vùng thời gian và vùng tần số Bằng cách sử dụng Fourierrời rạc (Dicrete - Fourier - Transform ):

- Tính toán đợc phổ của tín hiệu

- Sử dụng ngay bớc xử lý tín hiệu

- Tìm thấy phổ trong vùng tần số từ vùng tơng ứng và ngợc lại

Ví dụ: sử dụng thuật toán FFT (Fast - Founer – Transform) nó nhanh gấp

100 lần so với việc sử dụng DFT

Phổ tần tín hiệu là thông tin rất chung đợc mã hóa dới dạng hìnhsin Tín hiệu đó đợc đặc trng bởi biên độ , tần số và góc pha trong đó vùng

tần số có một vai trò quan trọng DSP sử dụng để đa ra thông tin trên Haynói cách khác, qua biến đổi DSP từ vùng thời gian sang vùng tần số ta đã đợctín hiệu bớt nhiễu, tạp và cho phổ tần số gần nh mong muốn Phân tích phổ

có tác dụng lọc nhiễu, khử tạp, cải thiện đợc những nhợc điểm trong hệthống thông tin bằng cách ứng dụng DSP

- khi công suất truyền không đỗi can nhiễu càng lớn chất lợng truyền

và thu tin tức càng giảm

Ví dụ: các tín hiệu nhìn thấy là sóng ánh sáng mang thông tin, tín hiệu

đợc phân làm hai loại: - tín hiệu tiền định

- tín hiệu ngẫu nhiên

- Tín hiệu tiền định là tín hiệu mà ta biết trớc đợc tham số hoặc quyluật biến thiên của tham số của nó.

- Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu mà ta không thể biết trớc đợc tham

số hay quy luật biến thiên của tham số, mà có thể đánh giá nó bằng

lý thuyết xác xuất

- Tín hiệu là một tham số của thời gian và nhiễu tham số khác

2 Cách biểu diễn tín hiệu:

- Về mặt toán học, tín hiệu đợc biểu diễn bởi một hàm của một hoặcnhiều biến số độc lập

Ví dụ: (hình 1.1) minh họa cách biễu diễn tín hiệu Sa(t) là một hàmbiến số và biến số này chính là thời gian t

Vì hàm là hàm một biến nên ta gọi là tín hiệu một chiều

Sa(t)

Hình 1.1

Ví dụ 2: trong xử lý số ta chỉ xét hình ảnh, một ảnh đợc biểu diễn trên

hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, ảnh ia(x,y) là tín hiệu hai chiều ia(x,y) biểudiễn nh sau:

 Tín hiệu tiền định :có hai loại

-Tín hiệu liên tục

-Tín hiệu không liên tục

+ Tín hiệu liên tục: có định nghĩa nh sau:

C1: - Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu làliên tục thì đó là tín hiệu liên tục

C2: - Xét trong miền thời gian tín hiệu S(t) đợc gọi là tuần hoàn nếu

nó thoả mãn điều kiện S(t) = S(t+nT)

T có gía trị hữu hạn và gọi là chu kỳ của tín hiệu tuần hoàn

S(t) tín hiệu tuần hoàn

n là số nguyên bất kỳ

Nếu dựa vào biên độ ngời ta phần tín hiệu ra làm hai loại: - Tín hiệu tơng tự : - Tín hiệu lợng tử hóa * Tín hiệu tơng tự: nếu biên độ của tín hiệu liên tục là liên tục thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu tơng tự (hình a) xa(t) xa(t) 89

79

69

(a) (b) 59

49

39

29

9

0 t 0 t

 Tín hiệu lợng tử hóa (hình b)

Tín hiệu hình sin là tín hiệu đơn giản nhất

S(t)= Acos(2/T +) (1-2) Trong đó A,T, ,  là hằng số

A :biên độ không đổi : tần số góc

Tín hiệu (1-2) là tín hiệu đơn âm, tức là nó chỉ có một vạch Trong thực tế không tồn tại các tín hiệu tuần hoàn, song tín hiệu có chu kỳ lặp lại

và tồn tại trong khoảng thời gian khá lớn có thể xem nh tín hiệu tuần hoàn Tín hiệu S(t) không thoả mãn điều kiện (1-1) gọi là tín hiệu không tuần hoàn (rời rạc) hay phi chu kỳ

- Tín hiệu rời rạc: nếu tín hiệu đợc biểu diễn bởi hàm các biến rời rạc thì tín hiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc

- Dựa vào biên độ ngời ta có thể phân loại tín hiệu rời rạc làm hai

* tín hiệu số

 Tín hiệu lấy mẫu: nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên tục (không

đợc lợng tử hóa ) thì đợc gọi là tín hiệu lấy mẫu

 Tín hiệu số: biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó làtín hiệu số

 Tín hiệu tiền định S(t) đợc có thể là tín hiệu liên tục hoặc tín hiệuxung

Tín hiệu S(t) đợc gọi là tín hiệu liên tục nếu nó là hàm liên tục theo biếnthời gian t Tín hiệu S(t) có giá trị khác không trong khoảng thời gian khá

bé liên tục còn ngoài khoảng thời gian đó S(t)=0 nó đợc gọi là tín hiệuxung

 Tín hiệu ngẫu nhiên: tín hiệu S(t) đợc gọi là tín hiệu ngẫu nhiênnếu ta không thể biết trớc giá trị cũng nh quy luật biến thiên tham

số của nó

Ví dụ: điện áp tơng ứng tiếng nói của ngời là một tín hiệu ngẫu nhiên

đối với tín hiệu ngẫu nhiên ta phải đánh giá nó thông qua tham số của lýthuyết xác suất nhng

Quy luật phân bố xác suất, phân bố phổ, công suất tín hiệu Tín hiệu ngẫunhiên cũng có thể là tín hiệu hữu ích hoặc can nhiễu

Ví dụ: Tín hiệu đo đài Rađa phát đi hoặc khi gặp mục tiêu cần pháttín hiệu phản xạ trở lại mà máy thu rađa thu đợc là tín hiệu ngẫu nhiên hữuích

Còn tín hiệu mà máy rađa thu đợc không phải từ tín hiệu phát lại mà từnguồn khác là tín hiệu ngẫu nhiên

4

5 4 Các hệ thống xử lý tín hiệu:

có thể phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu theo chính tín hiệu cần xử

lý Có một hệ thống tơng tự ở đầu vào của hệ thống chúng đặt các tín hiệu

t-ơng tự thì ở đầu ra chúng ta thu đợc các tín hiệu tt-ơng tự

Xử lý tín hiệu số

S & H: Sampling and Hold Mạch trích mẫu và giữ mẫuLPF: Low-pass Filter Mạch lọc thông thấp

ADC: Analog-Digital Convertor Bộ biến đổi tơng tự - số

DAC: Digital-Analog Convertor Bộ biến đổi số-tơng tự

DSP: Digital Signal Processor Bộ xử lý tín hiệu số.

2 Cách biểu diễn tín hiệu rời rạc:

1 Biểu diễn toán học: Một tín hiệu rời rạc đợc biểu diễn bởi một dãy

các giá trị thực hoặc phức Nếu có đợc hình thành bởi giá trị thực thì đợc gọi

là tín hiệu thực Còn nếu tín hiệu đợc hình thành bởi giá trị phức thì gọi là tínhiệu phức

- Tín hỉệu rời rạc gồm hai phần :tín hiệu lấy mẫu

Ts: chu kì lấy mẫu

Để tiện cho cách biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ chuẩn hoá biên

độc lập từ nTs bởi chu kì lấy mẫu Ts nh sau

nTs/Ts=n

Sau khi chuẩn ta có x(nTs)

s

T Bởi hóa chuẩn

N n N học n

á to thức Biểu

4 n 0 4

n 1

4 n 0 4

n 1

xn

x(n)

-1 0 1 2 3 4 n

c.Biểu diễn bằng dãy số:

Các biểu diễn này là ở chỗ chúng ta liệt kê giá trị Xn thành một dãy

nh sau: Xn = X(n-1), X(n), X(n+1)

để chỉ ra giá trị của X(n) tại vị trí thứ n ta dùng ký hiệu vectơ n bởi vì khi

dùng cách biểu diễn này ta không biết đâu là X(n) vì tín hiệu rời rạc thựcchất là các dãy số nh cách biểu diễn này nên ta thờng gọi là tín hiệu rời rạcX(n) là dãy X(n)

- chú ý : tín hiệu rời rạc X(n) đợc định nghĩa chỉ với n nguyên

X(n) không đợc coi nh bằng 0 đối với giá trị không nguyên này

X(n) không đợc định nghĩa với gía trị không nguyên này

Trong cách biểu diễn trên thì cách thứ hai là ta hay dùng để phân tích chuỗiFourier trong bản luận văn này,hay ngời ta gọi là The Discrete FourierTransform

Biến đổi Fourier rời rạc là biến đổi một chuỗi phần tử sử dụng dớidạng tín hiệu số, tín hiệu số đợc hình thành từ số thực thì gọi là tín hiệu thực,tín hiệu số đợc hình thành từ số phức thì đợc gọi là tín hiệu phức

DFT phân tín hiệu ra làm 4 dạng nh sau:

 tín hiệu liên tục không sin (aperiodic - continuos), nó bao gồm hàmExponentials và tín hiệu đờng vòng Gaussian Tín hiệu mở rộng vềcả hai phía của 0, tức là cả âm và dơng không có sự lập lại theo chu

kỳbiến đổi Fourier của tín hiệu dạng là đơn giản và gọi là Fourier_transform

Tín hiệu sin -liên tục:

Loại này bao gồm dạng sin dạng vuông và nhiều dạng khá, nó đợc lặp

đi lặp lại theo chu kỳ mở rộng từ phía âm sang đến vùng dơng Đó là việcbiến tớng của sự biến đổi Fourier gọi là Fourier Series

 Tín hiệu rời rạc không sin:

Tín hiệu rời rạc mở rộng cả hai phía âm và dơng hữu hạn không có sựlặp lại theo chu kỳ gọi là Discrete Time Fourier Transform

Rời rạc tuần hoàn: là điểm rời rạc, tín hiệu này lặp lại giống chu kỳ

tr-ớc ở dạng số âm và số dơng hữu hạn

Trên đây là tổng quan về tín hiệu và đối với DSP chỉ sử dụng cho tínhiệu rời rạc để phân tích tổng hợp lọc số và biến đổi

Các thao tác của việc xử lý dùng để làm biến dạng sự phân bố tần sốcủa các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệthống đợc gọi là sự lọc số.

Một bộ lọc số là một hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số

n, sơ đồ khối cho nh sau:

Trong miền Z hệ thống đợc đặc trng bởi hàm truyền đạt H(Z)

Hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc chính là biến đổi Z của đápứng xung và đợc ký hiệu là H(Z) H(Z)= ZTh(n)

m ( x )

n ( y

) n ( h ) n ( x ) m n ( x ).

m ( h )

n ( x ) n (

k n ( y

0

N 0 k

 h(n)

Nếu hàm truyền đạt HZ đợc đánh giá trên vòng tròn đơn vị Z=1 Ta

jωω k

M

0 r

jω - r jω

jω jω

Z a

Z b )

X(e

) Y(e e

H

Y(ej) = H(ej).X(ej)

Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha củatín hiệu vào x(n) đợc biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng H(ej)

Chính trong dạng của H(ej) đã xác định đợc việc suy giảm hoặckhuếch đại các thành phần tần số khác nhau Hệ thống tơng ứng với H(ej)này gọi là độc lập

Vấn đề tổng quát trong bộ lọc là việc tạo ra hệ thống tuyến tính bấtbiến hệ thống này có đáp ứng tấn số mong muốn và có thể thực hiện đợc vềmặt vật lý

Để cho một hệ thống thực hiện đợc về mặt vật lý thì nó phải là nhânquả và ổn định

m).

h(m).x(n h(n).x(n)

h(n)Quan hệ này nói lên rằng chiều dài của đáp ứng xung h(n) là rất quantrọng, hệ số h(n) là đặc trng cho hệ thống vì thế ta có thể phân loại các hệ

Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

thống thành hai loại lớn tuỳ theo chiều dài của đáp ứng xung đặc trng cho hệthống.

Loại 1: Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn,

nó gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn (FTR) tức là (0 1)

n-Loại 2: Đặc trng xung có chiều dài vô hạn, hệ thống đợc gọi là hệthống đáp ứng xung chiều dài vô hạn, tức là h(n) khác không trong khoảngthời gian 0< t<

1 Tính chất của bộ lọc số đáp ứng xung chiều dài hữn hạn (FIR).

- Bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn đợc đặc trng bởi hàmtruyền đạt sau đây:

0 n

n

h(n)Z H[Z]

0 n

h(n) ln(n)Tơng tự ta thấy rằng H[Z] chỉ có các điểm cực đại tại gốc tọa độ củamặt phẳng Z Vậy điểm cực đại nàyluôn luôn nằm trong vòng tròn đơn vịcho nên hệ thống luôn ổn định Mặt khác H[Z] ở dạng đa thức bậc N-1 của

Z hoặc Z-1, mà các hệ số chính là giá trị của đáp ứng xung h(n)

- Một thuận lợi khác đối với bộ lọc FIR là do chiều dài của h(n) làluôn hữu hạn nếu h(n) là không nhân quả thì:

h(n)0 với n<0

Ta có thể đa nó về nhân quả bằng cách chuyển về gốc toạ độ (Trongmiền n) giá trị đầu tiên khác không của h(n) và vấn đề bảo đảm H(ej)không thay đổi

2 Đáp ứng tần số của pha (đáp ứng pha):

Cái lợi cơ bản nhất của bộ lọc FIR là khi tính toán h(n) là khả năngtính toán theo bộ lọc pha tuyến tính Tức là chúng ta có thể gia công bộ lọcFIR bằng cách coi đáp ứng tần số H(ej) của nó có pha tuyến tính Cũng vậy

tín hiệu qua giải thông của bộ lọc sẽ xuất hiện chính xác ở đầu ra với độ trễ

đã cho, bởi vì chúng ta đã biết chính xác đáp ứng pha của nó

Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định với các mẫu:

0 n

1 N 1

1

1)Z h(N

h(1)Z h(0)

0 n

1 N

0 n

1 N

0 n

jnω jω

h(n)sin( ω j[

cos(

h(n)e )

H(ej) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 vậy chúng ta chỉ nghiên cứu

H(ej)  và () trong khoảng 0   2 (hoặc là -    ) và trong ờng hợp đặc biệt nếu h(n) là thực thì H(ej) là hàm chẵn và () là hàm lẻtrong khoảng một chu kỳ, vì vậy ta chỉ cần nghiên cứu H(ej) trong khoảng

tr-0    

3 Phân tích DFT

Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc đã chuyển việc biểu diễn tínhiệu x(n) trong miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X(f)trong miền tần số (hoặc tần số  = 2f) tức là trên trục ảo j vì j là biến số

ảo nh vậy ta có X(f) là một hàm phức của biến 

Theo toán tử, ta ký hiệu toán tử FT[x(n)]= X(ej) hoặc X(f)

x(n)  FT X(ej) hoặc là X(f)tức là toán tử FT tác động vào x(n) sẽ cho X(ej)

*Để diễn đạt cách biến đổi ta đa ra các dạng biểu diễn X(f) hay ta cóthể viết là X(ej)

 Biểu diễn dới dạng phần thực và phần ảo

X(ej) là một hàm biến phức nên ta biểu diễn X(ej) trong miền tần

số dới dạng phần thực và phần ảo nh sau :

X(ej) = Re[X(ej)]+jIm[X(ej)]

 Biểu diễn dói dạng modun là argument

X(ej) là hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn dới dạng modun

và argument nh sau :

X(ej) = |X(ej)| ejarg[x(ej)]

|X(ej)| : Phổ biên độ của x(n)

arg[X(ej)] : Phổ pha của x(n)

Ta cũng có quan hệ phổ biên độ và phổ pha và phần thực, phần ảo củaX(ej) X(ejω)  Re2[X(ejω)]  Im[X(ejω)]

)]

Re[X(e

)]

Im[X(e Arctg

)]

jω jω



Ngoài ra ta còn dùng ký hiệu () để chỉ argument

()= arg[X(ej)]

X(ej)= X(ej)ej()

 Biểu diễn dạng đó lớn và pha

Giả sử ta thể hiện X(ej) ở dạng sau:

X(ej) = A(ej)ej ()

A(ej) là thực và có thể lấy giá trị dơng hay âm

A(ej) =X(ej)

 Điều kiện tồn tại phép biến đổi Fourier:

Biến đổi chỉ tồn tại nếu chuỗi trong công thức sau hội tụ

x(n)e )

Hay chuỗi trong công thức (*) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thoả mãn

điều kiện sau:

điều kiện (*) tức là ta nói rằng: Biểu đồ Fourier của tín hiệu có năng lợnghạn và luôn luôn tồn tại

3.FFT

Ta đã giới thiệu phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) việc tính toánDFT đợc ứng dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biẹt là phân tích phổ nh ngành

xử lý tín hiệu tiếng nói địa chất vật lý, y tế, rađar

Nh tính toán DFT tốn nhiều thời gian

Vì vậy ngời ta đã quan tâm nhiều đến việc rút ngắn thời gian tínhtoán Đặc biệt năm 1965 ngời ta đã tìm ra thuật toán tính DFT một cách rấtnhanh chóng và có hiệu quả đợc gọi là phép biến đổi nhanh Fourier hay còngọi tất qua tiếng anh là FFT ( Fast Fourier Transform) FFT là một thuậttoán nó làm cho DFT thực hiện với thuật toán này một cách nhanh gọn Kể

từ khi ra đời, FFT đã tạo ra một bợc ngoặt lớn và thực sự đóng vai trò hết sứcquan trong trong việc phân tích thiết kế và thực hiện các thuật toán xử lý tínhiệu số cũng nh tín hiệu tơng tự

Trong biến đổi DFT của x (n) là