Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim1 = 0 > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1
n
1 n
*Các phép toán giới hạn :
lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ;
limvnlimun =
vn
limun limvn
*Các định lý về giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn)
Nếu n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim1 =
un Nếu limun = thì lim = 0 1
un
*Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = u1
1 – q
1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau:
a) lim 2 b) lim c) lim
n + 1
2n + 1
n - 1
1 n2
2.Tính các giới hạn sau:
a) lim2n2 + n – 3 b) lim c) lim
n2 + 1
– n2 + n – 1 2n2 – 1
3n – 1 n2 – 2 d) lim 4n – 1 e) lim
3 n
3 3
f)lim( n2 – 2n – n) g) lim2sinn + 3cosn
3n – 2
3.Tính các giới hạn sau:
a) lim2n – 3 b) lim( ) c) lim )
d) lim n – 1) e) limn n – 1
3n2 + 2
f) lim 2n n2 + n g) lim
1 n 3 n n
3 3 2
h) lim 2n – 3 – n i) lim( )
3n + 1 n2 + n – n2 + 1 j) lim n( n2 + 1 – n2 – 2) k) lim(3 n3 2n2 n)
l) lim 4n2 + 1 – 2n – 1 m) lim(1 + n2 – )
n2 + 4n + 1 – n n4 + 3n + 1 n) lim n2 +
3
1 – n6 n4 + 1 – n2 4.Tính các giới hạn a) lim 2n – 5.3n b) lim c) lim
3n + 1
2n + 2n + 1 2n + 4.3n
4.3n + 7n + 1 2.5n + 7n d) lim 3n – 4n e) lim f) lim 3n + 4n
(– 2)n + 3n (– 2)n + 1 + 3n + 1
(– 1)n + 2n
1 + (– 3)n g) lim 1 + a + a2 + … + an với |a| < 1 ; |b| < 1
1 + b + b2 + … + bn
4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = 2 ; un+1 = 2 + un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; u1 n+1 =
2
1
2 – un a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó
6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515
7.Tính lim(1 – 1).(1 – ).(1 – )…(1 – )
22
1 32
1 42
1 n2
8 Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ 1
4 Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
9 Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – x1 n n N
2 a)Chứng minh rằng: |xn – 2| < ( )1 n n ≥ 3
2 b) Tính limxn
DeThiMau.vn
Trang 210.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; u1 n +1=
2
un2 + 1 2 a) Chứng minh rằng: un < 1 n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = 6 và un +1= 6 + un
a) Chứng minh rằng un < 3 n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên
c) Tính limun
Giới hạn hàm số
*Các phép toán về giới hạn hàm số
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a
x a
x a
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)
lim f (x) lim f (x)
*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K
chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu thì
lim g(x) lim h(x) L
x a
lim f (x) L
Định lý 3: Nếu
1 lim f (x) 0 thì lim
f (x)
Nếu
1 lim f (x) thì lim 0
f (x)
Định lý 4:
x 0
s inx
x
x 0
x
sinx
x 0
sin kx
kx
x 0
kx
sin kx
*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 0
0
1.Tính các giới hạn sau:
2 x
2 x x
lim
2
2
3 x x x lim
2
2 3
1
c) d)
4 x x
x x lim 2
2
2
1 x x x lim 2
2 3
1
9 x x
9 x x x
2 3
3
1 x lim
2 3 4
1
g) h)
1 x x
3 x x lim 2 2
1
3
2
2 x x lim
i) k) m,nN
1 x
x x x 4
5 6
1
1 x lim n m
1
2.Tính các giới hạn sau:
x 4
3 5 x lim 4
x 1 x 1 lim 0 x
3 x 2 lim 2 7
d) e) f)
4 x
3 1 x
2
x 2 x lim
2
x 5 3 lim
4
g) h)
3 x
2 x 3 x lim 1
4 x 7 x
1
i) j) k)
1 x
x x lim 2
1
1 x lim 1
x 2 x lim 2
3 x 2
3 7 x lim 1
1 x 1 x lim
2
1
2 x x
3
1
o)
1 x
x x 3 x lim
3 2
1
3.Tính các giới hạn sau:
a) b)
3 3
x lim
2 x x lim 3
3 5
1
c) d) e)
1 x 1
x lim 3 0
0
1 x 1
x 4 x lim 2 3
4
9 x
5 x 10 x 2 lim
2 3
3
2 x x 10 lim 3
2
h) i)
4 x
2 x 6 x
3
2
3 2
x 2
8x 11 x 7 lim
x 3x 2
4
x 1
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim
(1 x)
n
2
x 1
x nx n 1 lim
(x 1)
4.Tính các giới hạn sau:
a) b) c) d)
x
x sin lim
0
x lim
0
x sin lim
0
x
x cos 1 lim
DeThiMau.vn
Trang 3e) f) g)
x cos
1
x cos
1
lim
0
x
x cos x cos
x
x cos 1 lim
x sin
x cos x
sin
3
lim
6
x
x cos x sin lim
4 x
1 x sin x cos lim
2
4 4
0
x cos x sin
1
x cos x sin
1
lim
0
x cos
1 x sin
1 ( lim 0
2 ( lim 0
x
x sin
x cos 1
2
lim
2 0
x
x
x 2 cos x cos 1 lim
x tg
x 2 cos x
sin
1
lim
2 0
x
x cos x sin lim 4
1 x cos lim
4.Tính các giới hạn sau:
x 0
s inx sin 3x x
tgx s inx lim
x
2
x 0
1 cosx lim
tg x
d) e) f)
x
2
cosx
lim
x- /2
2
lim(1 cos2x)tgx
x 4
1 tgx lim
1 cot gx
x
4
s inx - cosx
lim
1 - tgx
3
x 3
tg x 3tgx lim
cos(x + )
6
lim x.sinx
x
x 0
2 1 cosx
lim
tg x
x 0
1 sin 2x 1 sin 2x lim
x
x
lim(sin x 1 sin x )
x
lim(cos x+1 cos x )
5.Tính các giới hạn sau:
1 x
3 1
x
1
(
1
4 x
4 2 x
1 (
2
x
x 2
lim
x 3x 2 x 5x 6
x x
) x x )(
1
x
(
lim
3
2
x x x lim
2
e)lim ( x2 x 3 x ) f)
g)limx( x2 5 x) h)
i) lim ( x2 x 1 x2 x 3 ) i)
2
2 x
x x 2 3x lim
4x 1 x 1
x
lim
x 1
2
3 3 x
x 2x 3 lim
x x 1
1 x x
1 x x 1 x x lim
2
2 2
x 7 lim
2
6.Tính giới hạn các hàm số sau
a) b)
2 x
x x lim
2
c) d)
x
1 sin x lim 2
0
x cos 3 x sin lim
2
1 x
x x cos 5
2
2 x
lim( x x x
x lim(2x 1 4x 4x 3)
i) 3 2 3 j)
x
lim(x 3x x )
x
7.Tìm 2 số a,b để
a)lim ( x 2 x 1 ax b ) 0
b) ax b) = 0
1 x
1 x ( lim
2
8 Tính các giới hạn sau:
xlim x x 2x 2 x x x
xlim x 3x x 2x
Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo
o
o
xlim f (x)x f (x )
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
xo (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và
lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a;b) sao cho f(c) = 0
DeThiMau.vn
Trang 4Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = 3x – 5 b)f(x) =
x2 + 3x
x + 2 x2 + 4 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = tại xo = 1
1 x khi 3
2x
1
x khi 4 x
x2
b) f(x) = tại xo = 2
2 x khi 3
11
2 x khi 2 x x
6 x x
2 3
c) f(x) = tại xo = 1
sin x
khi x 1
x 1 khi x 1
d) f(x) = tại xo = 1
2
2
x 3x 2
khi x 1
x 1 x khi x 1 2
e) f(x) = tại xo = 2
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
f) f(x) = tại xo = 0
3
3
x khi x 0
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
g) f(x) = tại xo = 0
3 2
1 cosx
khi x 0 sin x
1
khi x 0
6
h) f(x) = tại xo = 2
1 2x 3
khi x 2
2 x
1 khi x 2
3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
a) f(x) = tại x0 = 1
1 x khi a
2x
1
x khi 1 x
x2
b) f(x) = tại x0 = 1
1 x khi a
1
x khi 1
x
3 x x
2 3
1 cos4x
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
khi x 0 x
4 x
x 2
4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
2 x khi
x 1
2
x khi 7 x
x2
5
x khi 4
3x
5 x 2 khi 2
x
3 2x
2 x khi 4
x
10 x 3 x
2 2
5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
a) f(x) =
3 3x 2 2
khi x 2
x 2 1
4
b) f(x) =
sin(x )
3 khi x
3
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R
DeThiMau.vn
Trang 5a) f(x) = b) f(x) =
2
x khi x
cos
2
x 2 khi b asinx
2
x khi x sin 2
3 x khi
x 4
3 x 1 khi b ax
1
x khi
x2
6 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7 Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0; ]1
3 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : a = 0
m + 2 +
b
m + 1 +
c m a)Chứng minh rằng af( m ) < 0 với a 0
m + 1 b)Cho a > 0 , c < 0 ,chứng minh rằng f(1) > 0
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b]
12 Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x = 0
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và , là hai số dương bất kỳ Chứng minh rằng: phương trình f(x) = f(a) + bf() có nghiệm trên
+ [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) và xo > 7
12
DeThiMau.vn