Toán học Các phép toán một số hàm tính toán, rút gọn khác39678

Hàm sum , hàm product.

CÁC PHÉP TOÁN

I Các phép toán c b n (c ng ,tr , nhân, chia, l y th a, khai c n,…)

1) Phép c ng, tr , nhân , chia, khai c n,…

N m phép toán ‘c ng’, tr ’ , ‘nhân’, ‘chia’ , ‘l y th a’ đ c khai báo v i các kí hi u t ng

ng là ‘+’ , ‘ – ’, ‘ * ’ , ‘ / ’ , ‘ ^ ’

Riêng phép khai c n ph i dùng cú pháp khác

+ c n b c hai c a s a (th c hay ph c) đ c khai báo b ng l nh:

+ c n b c n c a s a (th c hay ph c) đ c khai báo b ng l nh:

Các ví d :

> 2+1/2;

5 2

> x-3/5;

-

x 3 5

> 12*5/7-3/2;

99 14

> 2^6;

64

> (1/3+5)^4-753;

4543 81 Chú ý: Maple có th tính toán đ c các s r t l n Ch ng h n:

S ch s c a s trên có th tìm đ c b ng l nh:

> length(%);

Maple có th tính toán trên các bi u th c ch a bi n:

> 3*x+5*y-2+x-y;

+ -

4 x 4 y 2

> (x+y)/(x^2-y^2);

+

x y

-

x2 y2

rút g n bi u th c trên ta dùng l nh nh sau:

> simplify(%);

- 1

-

y x

* Tính 12345 :

> sqrt(12345);

12345 + Tính 123468 :

> sqrt(123468);

2 30867 + Tính 3- : 8

- N u dùng l nh surd thì đ c k t qu :

> surd(-8,3);

-2

- N u dùng l nh root thì đ c k t qu :

> root(-8,3);

+ Tính 3-8, 0:

- N u dùng l nh surd thì đ c k t qu :

> surd(-8.0,3);

-2.000000000

- N u dùng l nh root thì đ c k t qu :

> root(-8.0,3);

+ 1.000000000 1.732050807I

2) Gán giá tr cho m t bi u th c hay m t bi n

Gán giá tr c a f(bi u th c, hàm, th t c, list,…) cho a ta dùng cú pháp:

Cú pháp: > a: = f;

Ví d 1:

Gán giá tr c a k t qu 24 1

4

+ vào bi n a, ta th c hi n nh sau:

> a:=sqrt(24)+1/4;

:=

a 2 6 + 1

4 Sau khi gán giá tr vào m t bi n, ta có th dùng các hàm, th t c khác đ tác đ ng lên bi n

đó

Ch ng h n v i a đ c xác đ nh nh ví d trên ta có th tính a 2

> `a^2`:=a^2;

:=

a^2 æ è

çç2 6 + 1öø÷÷

4 2

1) K t h p phép tính c n a b thành ab

Cú pháp: [ > combine(…);

Th ng thì khi nh p a b thì Maple v n hi n th k t qu nh khi nh p

Xem các ví d :

Nh p vào Maple 3 6 :

> sqrt(3)*sqrt(6);

3 6

+ nhân hai c n th c này ta dùng l nh:

> combine(%);

18

+ đ i c n s trên ra s th p phân ta dùng l nh sau:

> evalf(%);

4.242640687

2 Tr c c n th c m u c a bi u th c ch a c n

Ví d 1:

a =

+Nh p a vào Maple:

> a:=1/(2+sqrt(3)+sqrt(2));

:=

+ +

+ Tr c c n th c m u c a a:

> rationalize(a);

(2 + 2 - 3 () - + 3 4 2)

23

Ví d 2:

Tr c c n th c m u c a bi u th c 1

2

p x

= +

+ Nh p vào Maple:

> p:=1/(sqrt(x)+2);

:=

+

x 2 + Tr c c n th c m u:

> p:=rationalize(p);

:=

p - + 2 x

- + 4 x

3 n gi n m t bi u th c ch a c n

Cú pháp: > simplify(a, ‘option’);

Trong đó: - a là bi u th c ch a c n;

- option là các t khóa nh ‘radical’, ‘sqrt’, ‘power’,…

Ví d 1:

-+

+ Nh p bi u th c trên vào Maple:

> a:=1/sqrt(2)+3-2/(sqrt(2)+1);

:=

a 2 + -

2 +

2 1

+ n gi n bi u th c trên:

> simplify(a);

+

4 7 2

2 ( 2 + 1) + Tr c c n th c m u, ta đ c

> a:=rationalize(a);

:=

a (4 + 7 2 () - + 1 2)

2 + Khai tri n (b ng l nh expand) ta đ c:

> a:=expand(a);

:=

a 5 - 3 2

2

Ví d 2:

Cho bi u th c b= 2 6-2 2 x+ 1

+Nh p bi u th c vào Maple:

> b:=sqrt(2)*sqrt(6)-2*sqrt(2)*sqrt(x+1);

:=

b 2 6 - 2 2 x + 1 + N u dùng l nh simplify ta đ c k t qu :

> b:=simplify(b);

:=

b 2 3 - 2 2 x + 1 + N u mu n g p các d u c n ta ph i dùng l nh combine:

> b:=combine(b,radical);

:=

b 2 3 - 2 2 x + 2

Ví d 3:

Cho bi u th c c= x3 x+ -1 2 6 y 2x

+ Nh p bi u th c vào Maple:

> a:=sqrt(x)^3*sqrt(x+1)-2*sqrt(6)*sqrt(y)*sqrt(2*x);

+ n gi n c b ng l nh simplify ta đ c k t qu :

> a:=simplify(a);

+ Làm g n c b ng l nh combine (c, radical) ta đ c k t qu :

> c:=combine(c,radical);

+ N u khai báo thêm t khóa “symbolic” trong câu l nh, ta đ c k t qu :

> a:=combine(a,radical,symbolic);

:=

a x x (x + 1) - 4 3 x y

4 Bi n đ i các bi u th c ch a c n v d ng đ n gi n

Ví d 1:

4 3 2

+Nh p a vào Maple:

> a:=(4-3*sqrt(2))^3;

:=

a (4 - 3 2) + N u đ n gi n a b ng l nh simplify, ta đ c k t qu :

> a:=simplify(a);

:=

a -(- + 4 3 2)3 + C ng dùng simplify nh ng thêm option ‘radical’, ta đ c k t qu :

> a:=simplify(a, radical);

:=

a (4 - 3 2)3 + N u khai tri n dùng l nh ‘expand’, ta đ c k t qu :

> a:=expand(a);

:=

a 280 - 198 2 + N u dùng l nh ‘radnormal’ ta c ng đ c k t qu :

> a:=radnormal(a);

:=

a 280 - 198 2

Ví d 2:

Cho bi u th c a = 59 30 2+

+Nh p vào Maple:

> a:=(59+30*sqrt(2))^(1/2);

:=

a 59 + 30 2 + N u khai tri n b ng l nh ‘expand’ , ta đ c k t qu :

> a:=expand(a);

:=

a 59 + 30 2 + N u dùng l nh ‘radnormal’, ta đ c k t qu :

> a:=radnormal(a);

Ví d 4:

+Nh p bi u th c vào Maple:

> b:=(20*x^2+120*x+180)^(1/2);

:=

b 20 x2 + 120 x + 180

+ n gi n b ng l nh ‘radnormal’, ta đ c:

> b:=radnormal(b);

:=

b 2 5 (x + 3)2

+ n gi n b ng l nh ‘simplify’ có option ‘sqrt’, ta đ c:

> b:=simplify(b,sqrt);

:=

b 2 5 csgn(x + 3 () x + 3)

+ N u gi s x > -3 tr c khi dùng l nh trên, ta đ c:

> assume(x>-3);

b:=simplify(b,sqrt);

:=

b 2 5 (x~ + 3) + N u đ n gi n bi u th c v i ‘RealDomain’, ta đ c:

> use RealDomain in simplify(b) end use;

2 5 x + 3 Chú ý: V i l nh trên mà ta v n khai báo option ‘sqrt’ trong simplify thì k t qu là:

> use RealDomain in simplify(b,sqrt) end use;

2 5 signum + (x 3 () x + 3)

§ Mong r ng, qua m t s ví d trên quý b n đ c nh n bi t đ c ch c n ng c th c a m i

l nh đ v n d ng có hi u qu c bi t là tính ‘g n g i’ c a các l nh r t khó phân bi t và

các ‘option’ trong m i l nh

5) Hàm tính giá tr tuy t đ i c a s th c x

Ví d 1:

> abs(2*x);

2 x

> abs(sqrt(3+2*sqrt(2))*x^2);

( 2 + 1) x2

> a:=abs(-5*x*y*z^2);

:=

a 5 x y z2

Có th dùng hàm ‘expand’ đ phân tích k t qu trên:

> a:=expand(a);

:=

a 5 x y z 2

Ví d 2:

+ Nh p vào Maple:

> m:=5*abs(x)*abs(x-1)*abs(y^2);

:=

m 5 x x - 1 y2 + Có th k t h p các giá tr tuy t đ i trong k t qu trên dùng hàm ‘combine’ cùng v i option

‘abs’:

> m:=combine(m,abs);

:=

m 5 x (x - 1 y) 2

6 Hàm c ng m t chu i các giá tr

b) Cú pháp 2: > add(i, i=[li]);

Trong đó: : - m, n là các s nguyên d ng;

- [li] là m t t p h p các s (th c);

- x là m t bi u th c

Ví d 1:

Tính t ng các s 3

i bi t i Î{1; 2; 6} + Nh p bi u th c tính vào Maple:

> add(i^3,i=1 6);

441

Có th xây d ng t p h p {1; 2; 6} sau đó tính t ng c a i trong t3 p đó:

+ Xây d ng t p h p:

> x:=[seq(i,i=1 6)];

:=

x [1 2 3 4 5 6, , , , , ] + Tính t ng các s 3

i v i i thu c t p h p đó:

> add(i^3, i = x);

441 +C ng có th dùng câu l nh th ba nh sau:

> add(i^3, i in x);

441

@V n d ng hàm này đ xây d ng ch ng trình tính chu vi c a m t tam giác

Ví d 2:

Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy cho ba đi m A( ) (1; 2 ,B -1;1 ,) (C 0; 2- )

Tính chu vi c a tam giác ABC

+ Nh p các đi m A, B, C vào Maple và xác đ nh tam giác ABC:

> with(geometry):

> point(A,1,1),point(B,-1,1), point(C,0,-2):

> triangle(ABC,[A,B,C]);

ABC

+ Tính đ dài các c nh c a tam giác ABC:

> canh:=sides(ABC);

:=

canh [ 4, 10, 10] Làm g n k t qu :

> canh:=simplify(canh);

:=

canh [2, 10, 10] + Tính chu vi c a tam giác ABC:

> add(i,i in canh);

+

2 2 10

Ví d 5:

P x =a +a x a x+ + +a x

+ Dùng Maple đ vi t đa th c trên:

> P(x):=add( a[i]*x^i, i=0 8 );

:=

( )

P x a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7 + a8x8 Chú ý: Hàm add ch có th tính t ng trong kho ng ch a s c th M t kho ng ch a xác

đ nh (ch a bi n) thì Maple không th c hi n đ c l nh add

Ch ng h n, tính t ng 1 2 3 n+ + + + :

> add( i, i=1 n );

Error, unable to execute add

Ta th y, Maple đã thông báo l i và không th th c hi n l nh ‘add’

§ kh c ph c nh c đi m này ta có th dùng hàm ‘sum’ nh sau:

> S:=Sum( i, i=1 n );

:=

=

i 1

n i

> S:=value(S);

:=

S (n + 1)2 - -

2

n 2

1 2 (Hàm sum s đ c gi i thi u sau)

7 Hàm nhân m t chu i các giá tr

Trong đó: : - m, n là các s nguyên d ng;

- [li] là m t t p h p các s (th c);

- x là m t bi u th c

Ví d 1:

Tính tích c a 7 s t nhiên đ u tiên (khác không):

+ Nh p bi u th c tính vào Maple:

> mul(i, i=1 7);

5040

Ví d 2:

+Nh p bi u th c tính vào Maple:

> mul(1+1/i, i=2 2008);

2009 2

8 Hàm sum , hàm product

Các ví d :

Ví d 1:

Tính t ng S1= + + + +1 3 5 (2n+ 1)

+ Nh p bi u th c vào Maple:

> S1:=Sum(2*i+1, i=0 n);

:=

=

i 0

n (2 i + 1)

+ Tính giá tr c a bi u th c trên:

> S1:=value(S1);

:=

S1 (n + 1)2

Nh n xét: Trong câu l nh nh p bi u th c ta dùng hàm ‘Sum” _ kí t S vi t hoa

Maple quy đ nh , hàm “Sum” cho hi n bi u th c c a t ng c n xác đ nh Còn hàm “sum” _

ch s vi t th ng_ tính giá tr c a t ng c n xác đ nh

Ch ng h n v i t ng Ví d 1 trên, ta dùng hàm ‘sum’ thì đ c k t qu :

> S1:=sum(2*i+1,i=0 n);

:=

S1 (n + 1)2

Ví d 2:

2x -3x + - = x 1 0

+ gi i bài toán trên ta tìm t ng c a các s k v i k thu c t p nghi m c a ph ng trình trên ( dùng hàm RootOf() đ xác đ nh t p nghi m c a ph ng trình ):

> sum(k,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1));

3 2 + Tìm t ng bình ph ng c a các nghi m c a ph ng trình trên:

> sum(k^2,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1));

5 4 + Tìm t ng l p ph ng các nghi m c a ph ng trình trên:

> sum(k^3,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1));

21 8 {N u dùng hàm ‘Sum’ thì k t qu là:

> Sum(k^3,k=RootOf(2*x^3-3*x^2+x-1));

å

=

k RootOf ( 2 _Z3 - 3 _Z2 + - _Z 1 )

k3

+Xem k t qu b ng l nh:

> value(%);

21 8

+N u dùng hàm ‘evalf’ đ xem k t qu thì ta đ c:

> evalf(%);

+ 2.625000000 0 I

Ta nh n th y k t qu c a hàm ‘evalf’ khôngtr c quan b ng k t c a c a ‘value’

Qua đây chúng tôi mong quý b n đ c l u ý cách dùng hàm ‘value’ ho c ‘eval’ m t cách phù

h p đ tính giá tr c a m t k t qu nào đó}

Ví d 3:

Tính tích các nghi m s c a ph ng trình 5 2

7x -4x +3x- = 5 0 + L nh tính tích các nghi m:

> product(x,x=RootOf(7*x^5-4*x^3+3*x-5));

5 7

Ví d 4:

Xây d ng bi u th c f x( ) (= x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

+ Nh p vào Maple:

> f(x):=product(x+i,i=1 4);

:=

( )

f x (x + 1 () x + 2 () x + 3 () x + 4)

@N u dùng th t c ‘Product’ thì k t qu hi n th d i d ng kí hi u

Ch ng h n:

> Product(i+1,i=1 n);

Õ

=

i 1

n (i + 1)

Ví d 5:

G i x x là hai nghi1; 2 m c a ph ng trình x2- 2x- 3 1+ = 0

2 2

1 2

1 2

1

3

Q

x x

+

+ Xác đ nh t p nghi m c a ph ng trình dùng l nh RootOf:

> T:=RootOf(x^2-sqrt(2)*x-sqrt(3)+1);

:=

T RootOf(_Z2 - 2 _Z - 3 + 1) + Tính giá tr c a t ng 2 2

1 2

x +x :

> s1:=sum(x^2,x=T);

:=

s1 2RootOf(_Z2 - 3,index = 1)

K t qu hi n th ch a c th xem chi ti t giá tr c a s1, ta dùng l nh:

> s1:=allvalues(%);

:=

s1 2 3 {N u dùng l nh ‘value’ hay ‘evalf’ thì k t qu không c th b ng l nh ‘allvalue’}

+ Tính giá tr c a t ng x1+ : x2

> s2:=sum(x,x=T);

:=

s2 RootOf(_Z2 - 2, index = 1)

:=

+ Tính tích x x : 1 2

> s3:=product(x,x=T);

:=

s3 - 3 + 1 + T các k t qu trên, suy ra giá tr c a Q:

> Q:=1/s1-s2/(3*s3);

:=

Q 3 - 6

2

3 (- 3 + 1)

> Q:=simplify(Q,radical);

:=

Q 3 - 3 + 2 2

6 ( 3 - 1)

> Q:=expand(Q,radical);

:=

Q 3 + + 6

2 6

2 3 6

9 Hàm eval, evalf, value, allvalues.(các hàm tính giá tr)

a) Hàm value đ c s d ng khi mu n tìm k t qu c a các bi u th c nh : Int (nguyên hàm,

tích phân), Sum (t ng), Limit( gi i h n) , Diff (đ o hàm)

Ví d 1:

Tính giá tr c a bi u th c ( ) 2

2

1

x

+ Nh p bi u th c tích phân vào Maple:

> F(x) := Int(x^2+1/x^2, x);

:=

( )

ó õ

ô

ôx2 +

1

x2 x

+ Tìm m t k t qu c a phép toán trên (dùng l nh ‘value’):

> F(x):=value(%);

:=

( )

F x x3 -

3

1 x

Ví d 2:

Tìm gi i h n sau

0

sin 2 lim

x

x G

x

®

+ Nh p bi u th c gi i h n vào Maple:

> G := Limit(sin(2*x)/x, x=0);

:=

G lim

®

x 0

( ) sin 2 x x + Tính giá tr c a gi i h n trên:

> G:=value(G);

:=

Ví d 3:

Tìm k t qu c a t ng S= + + + 1 2 n

+ Nh p bi u th c S:

> S:=Sum(i,i=1 n);

:=

=

i 1

n i

+ Tìm k t q a c a t ng trên:

> S:=value(S);

:=

S (n + 1)2 - -

2

n 2

1 2

Có th dùng g p hai l nh trên nh sau:

> S:=value(Sum(i,i=1 n));

:=

S (n + 1)2 - -

2

n 2

1 2 2) Hàm eval dùng đ tính giá tr c a m t bi u th c v i đi u ki n cho tr c

Ví d 1:

Tính giá tr c a bi u th c 2

2

+ Nh p bi u th c vào Maple:

> f:=3*x^2-x-sqrt(3);

:=

f 3 x2 - - x 3 + Tính giá tr c a f khi x = 3 1+ :

> eval(f,x=sqrt(3)+1);

- -

3 (1 + 3)2 1 2 3 Làm g n k t qu b ng l nh ‘radnormal’:

> radnormal(%);

+

11 4 3

2

> eval(f,x=-5/2+sqrt(6));

+ - -

3 æ è

çç- + 5 öø÷÷

2 5

> radnormal(%);

157

Ví d 2:

Tìm giá tr c a bi u th c 2

1

f = x + - bix t x là m t nghi m (th nh t) c a ph ng trình

2

x - - = x

+ Xác đ nh nghi m th nh t c a ph ng trình x2- - = bx 1 0 ng l nh:

> n1:=RootOf(x^2-x-1,index=1);

:=

n1 RootOf(_Z2 - - _Z 1,index = 1) + Tính giá tr c a f khi x=n1:

> eval(x^2+x-1,x=n1);

RootOf _Z2 - - _Z 1,index = 1 2 RootOf(_Z2 - - _Z 1, index = 1) 1

+ Hi n th giá tr c th c a k t qu trên b ng l nh ‘allvalues’:

> allvalues(%);

+ -

æ è

çç 5 + öø÷÷

2

1 2

2 5 2

1 2 Làm g n k t qu trên:

> radnormal(%);

+

5 1

3 Hàm evalf dùng đ tính giá tr g n đúng c a m t bi u th c, m t phép toán K t qu hi n

th d i d ng s th p phân

ho c: > evalf[n](a);

hi n th k t qu c a a v i n ch s (bao g m c ph n th p phân)

Ví d 1:

Tính giá tr g n đúng c a 3 đ n 17 ch s th p phân:

+ Ta dùng l nh trong Maple nh sau :

> evalf[18](sqrt(3));

1.73205080756887729 + ho c

> evalf(sqrt(3),18);

1.73205080756887729

Ví d 2:

Tính giá tr g n đúng c a s p:

+ Tính g n đúng đ n 46 ch s th p phân:

> evalf[47](Pi);

3.141592653589793238462643383279502884197169399

+ Tính g n đúng đ n 246 ch s th p phân:

> evalf[247](Pi);

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781\

062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822\

725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428\

0975665933446128475648233786783165271202

@ ng d ng l nh này đ minh h a s Pi là s vô t (s th p phân vô h n không tu n hoàn)

khi d y bài s th c cho h c sinh Giáo viên có th l y m t vài s h t và s vô t và tính g n đúng giá tr c a các s đó đ n hàng tr m ch s đ h c sinh quan sát và rút ra k t lu n c n

đ t đ c Rõ ràng, máy tính c m tay không th c hi n đ c công vi c này

* Chú ý: N u không khai báo s n thì Maple l y k t qu m c đ nh v i 10 ch s (bao g m c

ph n th p phân)

Ch ng h n:

> evalf(sqrt(1111));

33.33166662

Ví d 3:

Tìm nghi m g n đúng c a ph ng trình x2- 3x- = 7 0

+ Gi i ph ng trình :

> eq:=x^2-sqrt(3)*x-7=0;

:=

eq x2 - 3 x - 7 = 0

> solve(eq,{x});

, {x = 3 + } 2

31

2 {x = 3 - }

2

31 2 + Tính g n đúng nghi m đ n 13 ch s (k c ph n th p phân):

> evalf[13](%);

, {x = 3.649907585200} {x = -1.917856777630}

4) Hàm ‘allvalues’ đ c s d ng khi mu n hi n th các k t qu c a m t phép tính d i d ng

c th (c n th c, l y th a,…) và tr c quan

Ví d 1:

Tìm t p nghi m c a ph ng trình x4- - = x 1 0

+ Gi i ph ng trình :

> Tn:=solve(x^4-x-1=0,x);

Tn := RootOf(_Z4 - - _Z 1, index = 1), RootOf(_Z4 - - _Z 1,index = 2),

RootOf _Z4 - - _Z 1,index = 3 ,RootOf(_Z4 - - _Z 1, index = 4)

+ Hi n th k t qu d i d ng c n th c:

> allvalues([Tn]);