Trắc nghiệm ứng dụng tích phân có đáp án

Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elíp và đường tròn phần hình phẳng được tô đậm trên hình ve quay xung quanh trục AA'.. Tính thể[r]

PHẦN 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số y  f x ( )trên đoạn  a b ; 

Phương pháp giải:

Bước 1 Giải phương trình f x    g x    0

Giả sử ta tìm được   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a      b 

Phương pháp giải:

Bước 1 Giải phương trình f y  g y 0

Giả sử ta tìm được   , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình  a      b 

x x

S   f x  g x dx   h x  g x dx

Với: + x1 là nghiệm phương trình: f x g x 

+ x2 là nghiệm phương trình: f x    h x  

+ x3 là nghiệm phương trình: h x    g x  

Trong đó: a x  1  x2  x3  b

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1 Diện tích S của miền giới hạn:

0

y f ( x ) y

DẠNG 1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi các

đường yf x , trục hoành và hai đường thẳng x 1,x2 (như

A

 4

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình vẽ) được tính bằng

C f ( ) 2 = 3

D f ( ) 2 = 0

Câu 12. Tính diện tích Scủa phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol

đi qua gốc toạ độ và hai đoạn thẳng AC và BCnhư hình vẽ bên ?

, Ox, x =1, x = d (d >1) bằng 2:

 bằng:

Câu 17. Cho Parabol y = x2 và tiếp tuyến At tại A(1 ; 1) có phương trình: y = 2x – 1 Diện tích của phầnbôi đen như hình vẽ là:

Câu 18. Cho ba đồ thị: y  2 ,x y   x 3 và y 1 như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên (phần gạch trong hình) là:

A S 

ln 2 2 . B

11

ln 2

S  

4750

S 

13

4

1

Câu 20. Cho hàm số y  f x ( ) có đồ thị y  f x  ( ) cắt trục Ox tại

ba điểm có hoành độ a b c   như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây

k 

D k  ln 3.

m 

52

m 

54

m 

Câu 25. Parabol

22

S S

C m

Câu 29. Cho hai hàm số y  f x y ( ),  g x ( )có đồ thị  C1

Câu 30. Cho y1  f x1( ) và y2  f x2( ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử:  và  , với

a   b, là các nghiệm của phương trình f x1( )  f x2( ) 0  Khi đó diện tích của hình phẳng giớihạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức:

Câu 31. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x2 và y = x

9

112

Câu 32. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 3 y 2 x và y0 Mệnh đề nàosau đây là đúng?

0

1d2

( )

Sf x dx

C

1 2 0

( )

Sf x dx

D

1 2 0

8

20 3

Câu 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong yx3và yx5

1

Câu 36. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x 5 0, x y  3 0.

a b  Khi đó giá trị của a b . thuộc khoảng nào sau đây?

Câu 42. Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol  P : y x  2 4x 5 

và 2 tiếp tuyến tại cácđiểmA 1;2 , B 4;5    



C

9S4



D

13S8



Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2

ln( 2) 4

Câu 45. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:y   2 x y2;  1  x2 và trục Ox bằng a b 

với a b   , Khi đó giá trị của

a

b thuộc khoảng nào sau đây?

S=

24

S = +

3

3 ln2

S = +

3

2 ln2

S= +e

B

1.2

Câu 51. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P y x: = 2- 2x+2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5)

và trục Oy là giá trị nào sau đây?

Câu 52. Cho hàm số y x= 2- 2x+2 có đồ thị ( )C Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độbằng 3 có đồ thị D Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C , đường thẳng V và trục tung.Giá trị củaSlà:

92

S =

94

S =

910

S =

Câu 53. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

14

14 1

3

DẠNG 2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 59. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng là 30m người ta

làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ) Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là haiđường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m Kinh phí để làm mỗi m2làm đường 500.000 đồng Tínhtổng số tiền làm con đường đó (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

30m

50 m

2m

A 119000000. B 152000000. C 119320000. D 125520000.

Câu 60. Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là 60m, người ta làm một

con đường nằm trong sân (Như hình vẽ)

A 3.895.000 (đồng). B 1.948.000 (đồng). C 2.388.000 (đồng). D 1.194.000(đồng)

Câu 62. Cô Minh Hiền có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn

bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m Cô Minh Hiền muốn trồng hoa

trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như

hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi Cô Minh

Hiền cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm

tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Câu 63. Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng cây

trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000

đồng/ m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm

D 4821322 đồng.

Câu 64 Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được

giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất

hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ).

Biết AB  2 ( )  m , AD  2( ) m Tính diện tích phần còn lại

A 41 B 4    1 

Câu 65. Thầy Hiền muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong

phía trên là một Parabol Giá 1 m 2

của rào sắt là 700.000 đồng Hỏi Thầy Hiền phải trả bao nhiêu tiền

để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

1,5m 2m

5m

A 6.520.000 đồng. B 6.320.000 đồng. C 6.417.000 đồng. D 6.620.000đồng

Câu 66. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bứctranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức

tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  6 m,chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF là

hình chữ nhật cóMN  4 m; cung EIFcó hình dạng là

một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của

cạnh AB và đi qua hai điểm C, D Kinh phí làm bức

tranh là 900.000đồng/m2.

Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?

A 20.400.000 đồng. B 20.600.000 đồng. C 20.800.000 đồng. D 21.200.000đồng

CHỦ ĐỀ 2 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

y

f(x)

f(x)

y d

C D

E F

N M

12 m

6 m

4 m

I

Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy

Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f x  

, trục Ox

và hai đường thẳng x a và x b   a b  

quay xung quanh trục Ox là:

  2Ox

quay xung quanh trục Ox

tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:

  2   2V

b Ox a

quay xung quanh trục Ox

tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:

  2   2V

b Oy a

1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:

0

y f ( x ) y

b Ox a

b Oy a

V   f y  g y dy

.

DẠNG 1 THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Câu 67. Cho y  f (x) là hàm số liên tục trên đoạn   a; b  

Hình phẳng giới hạn bởi các đường

y f (x), y 0 , x a và x b  quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V Khẳng

định nào sau đây là đúng?

V  

B.

4 3

V  

C.

15 8

D.

8 15

Câu 77. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng   H

giới hạn bởi đường cong

1

x x

0( )d

V

C.



 18  15

V

D.

19 15



 (với a  Z , b  Z*,

a

b là phân số tối giản) Tính a b 

Câu 82. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình  H quanh Ox với   H

được giởi hạn bởi đồthị hàm số y  4 x x  2 và trục hoành

Câu 84. Cho hình phẳng   H

giới hạn bởi các đườngy  2 x x , y  2  0 Khi   H

quay xung quanh

trục Ox thu được khối tròn xoay có thể tích

   

a V

b 1 , với a b là phân số tối giản Khi đó a.b bằng



V

8 3



8 3



D.

5 6



Câu 87. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số



 24

x y

x , trục Ox và đường thẳng x 1.Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox

e V

e V

được giới hạn bởi đường thẳng d y :  2 x, trục Oxvà x  3 Hình   H

quay quanh trục Oxtạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích là V Hỏi V được tính bởi công thức nàosau đây ?

A B lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục Ox Tính

thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang AA B B/ / khi quay quanh trục Ox.

Câu 95. Trong mặt phẳng (P) cho đường elíp (E)có độ dài trục lớn là



AA' 8, độ dài trục nhỏ là BB' 6  ; đường tròn tâm O đường kính là

BB'như hình vẽ Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho

miền hình phẳng giới hạn bởi đường elíp và đường tròn (phần hình phẳng

được tô đậm trên hình ve) quay xung quanh trục AA'.

là mộthình chữ nhật có hai kích thước là f x  

A V 32 2 15 B



1243

V

C. 

1243

x

Tính thể V của B. Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ x (với 0 x 2

V

C.

2

.4

V

D.

2

.8

Câu 101.Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của

đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa

hình tròn đường kính AB có diện tích là 32πvàBAC = 300 Tính thể tích

vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm)

xung quanh đường thẳng AB

Câu 102.Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt

phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của

một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được biết

mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4 dm.

A.V   (dm ).

3736

3 B V  192  (dm ).3

C V   (dm ).

3368

, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường

kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một

hình nêm (xem hình minh họa dưới đây) Kí hiệuV là thể tích của hình

D.V 1350cm3

Câu 105.Trong chương trình nông thôn mới, tại xã Vĩnh Ngọc - Nha

Trang có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ Tính thể tích khối

bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường

Câu 106.Thành phố Nha Trang định xây cây cầu bắc ngang

con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp

cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu

cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m Bề

dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ

Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua

diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)

C 40m3 D.100m3.

Câu 107.Một cái chuông có dạng như hình vẽ Giả sử khi cắt chuông bởi mặt

phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol

( hình vẽ ) Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 Tính

3



H

a V

B  

33 4



H

a V

C  

32





H

a V

Gọi M N E F, , , lần lượt là trung điểm của BC, AD , BN và NC Tính thể tích V của vật thể trònxoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh trục AB .

Câu 110.Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như

hình vẽ dưới đây Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều

cao là 6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là

Câu 111.Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol

bậc hai như hình vẽ Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt

đất là trục Ox) Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng

Câu 112.Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình

tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm Đường cong của bình là một cung

6 .

C.

22864

V=

2864 V=

Câu 113.Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề

mặt có được bằng cách quay đường tròn   C

quanh trục d ) Biết

rằng OI 30 cm,R5 cm Tính thể tích V của chiếc phao.

A.V 1500 cm 2 3 B.V 9000 cm 2 3

C.V 1500 cm  3 D.V 9000 cm  3

Câu 114.Một khối cầu có bán kính bằng 5dm, người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai

mặt phẳng cùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu

một khoảng bằng 3dm đề làm một chiếc lu đựng nước Thể tích cái lu bằng

Câu 115.Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường

kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn

nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8 và

BAC 30 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay

hình (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB



D.42.Câu 116.Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới

đây Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông

góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật

thể là:

A.

256

3



V

B.

32 3



V

D.

32 3 3



V

Câu 117.Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đườngtròn x2 y2 16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta đượcthiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

A

256 3

3



V

B

256 3



V

C

32 3 3



V

D

32 3



V

Câu 118.Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h và bán

kính đáy bằng R Khi đặt thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng

cách từ trục hình trụ tới mặt nước bằng

3 2

R

(mặt nước thấp hơn trụccủa hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều cao

của mực nước trong thùng là h1 Tính tỉ số

Câu 119.Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh

và vuông góc với mặt đáy là tam giác đều Cắt hình nón bởi mặt

phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của

khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).Kí hiệu V là thể tích

= πr

Câu 120.Cho một khối chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h Tính thể tích

V của khối chỏm cầu (S)

A

23

B

23

D

22

Câu 122.Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Tại bốn đỉnh A, B, C, D

người ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1 cm

Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục XY

A Vπ = 6 2+ π 16 .

B.

2 20 10

3

Câu 123.Câu lạc bộ bóng đá Manchester United dự định xây dựng SVĐ mới có

tên là Old trafford Hệ thống mái của SVĐ dự định được xây dựng có dạng hai

hình elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là 146 mét,

độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là 110mét,

độ dài trục nhỏ là 72 mét Giả sử chi phí vật liệu là 100 đôla mỗi mét vuông Tính chi phí cần thiết để xâydựng hệ thống mái sân.

A.98100 đôla B 98100 π đôla

C.196200 đôla D.196200π đôla

Câu 124.Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác

cong đều” như hình vẽ bên Đáy của hình (H) là một hình lục giác đều cạnh

3m Chiều cao SO = 6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên

của (H) là các sợi dây C C C C C C1, 2, 3, 4, 5, 6 nằm trên các đường parabol có

trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt

phẳng (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1m Tính thể tích

phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó

Giả sử v t( ) là vận tốc của vật M tại thời điểm t và s t( ) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian

t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ giữa s t( )

và v t( )

như sau:

● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s t¢ =( ) v t( )

● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s t( )=òv t t( )d

¾¾ ®từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian tÎ [a b; ] là

Nếu gọi a t( ) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v t( ) và a t( ) như sau:

● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v t¢ =( ) a t( )

● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v t( )=òa t t( )d

Câu 125.Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển độngchậm dần đều với vận tốc v t( )5 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt

đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

Câu 126.Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t    160 10  m s  / 

Quãng đường vật di chuyểnđược thời điểm t  0   s

đến thời điểm mà vật dừng lại là

A.S  1280   m

B.S  1240   m

C.S  2560   m

D.S  640   m

Câu 127.Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v2t10 (m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúcđạp phanh) Hỏi trong thời gian 7 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quảng đường bằngbao nhiêu?