Bài tập về đẳng thức CôSi16527

BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và xy2a(a > 0)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

y x

1

1 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x5 23x

Bài 3: Cho x  y15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

B = x4 y3

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = trong đó x > 0

x

x x

2

5 6

Bài 5: Cho a, b, x là những số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x

b x a x

Bài 6: Cho x 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

 1

2

17 2

2







x

x x

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

3

34 6







x

x x

Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N =

x

x3 2000

Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và x  y6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

y x y x

P5 3 1216

Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x

y xy x

Q







Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

1

25 4





x x

Bài 12: Cho 0 x 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

x x

4 1

3





Bài 13: Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện  xyza

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xyyzzx

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 2 2

z y

x  

Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x yz12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x

z z

y y

Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x yza

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 









 

























 

z

a y

a x

a

1 1

1

Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện abc 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =    

 a b c

c b a













1 1 1

1 1 1

Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện x  y 1 và x > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

B = 2 3

y x

Giải

Bài 1: xy  2 2

a

a y x











A = (dấu “=” xảy ra x = y = a)

2

2

2

a a

a xy

y

Vậy min A = (khi và chỉ khi x = y = a)

2

a

Bài 2: ĐKXĐ: 5 x  23

max A2 = 36  max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)

Bài 3: ĐKXĐ: x 4 ; y3

B  8  min B = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)

max B2 = 16 max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

Bài 4: A = 3 10 3 (dấu “=” xảy ra

2

5 2 3 2

5















x

x x

x

x

2

5



)

2

1



x

Vậy min A = 103 (khi và chỉ khi 10)

2

1



x

Bài 5: P =      2 (dấu “=” xảy ra )

x

ab x b

a x

ab

Vậy min P =  2 (khi và chỉ khi )

b

Bài 6: Q =   (dấu “=” xảy ra

1

8 2

1 2 1

8 2

1 1

2

16

12

























x

x x

x x

x



1

8 2

1







x x

 x = 3) Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3)

Bài 7: ĐKXĐ: x 0

3

25 3

3

25

32



















x

x x

x

3

25





x x

Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4)

Bài 8: N = 2  2000  2 100010003 = 3 100 = 300

x x

x x

x x

x  

(dấu “=” xảy ra  x = 10)

x

x2 1000 

Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10)

Bài 9: P =  

y

y x

x y

y x x y

























= 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra  và )

x

x 12

y

y16

và )

Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi x 2; y4)

Bài 10: Q =    

8 16 2 16 2

, 3

2



















y x y x y

x

xy y

x

(dấu “=” xảy ra  16   4, kết hợp điều kiện ta được





y x y

x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5) Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)

Bài 11: A =     4 2.10 4 24

1

25 1 4 2 4 1

25 1















x

x x

x

(dấu “=” xảy ra    )

2

7 1

25 1





x x

Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi )

2

7



x

3 2 3 4 7 7 1

4 1

3 2 7 1

4 1

3

























x x

x x

x x

x

(dấu “=” xảy ra     2)

1 3 1

4 1

3











x x

x

Vậy min B =  2 (khi và chỉ khi )

3

1

3



x

Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được:

?

 

7 1

4 1

3 4 1

3













x x

x x x

c x

x b x

ax x









1 4 1

3 4 1

3

Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7

Bài 13: a) ; ;

2

2 2

y x

xy 

2

2 2

z y

yz 

2

2 2

x z

zx 

;

2 2 2

z y x zx yz

x y z xy yz zx

zx yz

xy     2 2  

3A 2 ; A (dấu “=” xảy ra x = y = z = )

a

3

2

a



3

a

Vậy max A = (khi và chỉ khi x = y = z = )

3

2

a

3

a

b) B = x2 y2 z2 xyz2 2xyyzzx

B = a2  2xyyzzx

B min  xy yzzx max  (theo câu a)

3

2

a zx yz

xy  

Lúc đó B = (khi và chỉ khi x = y = z = )

3 3

3

a

Bài 14: P2 =

y

x z x

z y z

y x x

z z

y y











Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:

x yz

z y x x z

z

y x z

y x y

x

4

44

2 2 2











y xz

x z y y x

x

z y x

z y z

y

4

44

2 2 2











z yx

y x z z y y

x z y

x z x

z

4

44

2 2 2











Do đó P2  4x yz  x yz 3 xyz

P2 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra   x = y = z = 4) Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)

Bài 15: ;

x

yz x x

yz x

x

z y x x x

4 2

2

;

y

xz y y

xz y

y

z x y y y

4 2

2

;

z

yx z z

yx z

z

y x z z z

4 2

2

Do đó Q    (dấu “=” xảy ra x = y = z = )

64



xyz

xyz



3

a

Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z = )

3

a

Bài 16: abc 1  1 abc 0

Tương tự 1 b 0 ; 1 c 0

Mặt khác 1a11bc  1b   1c 2 1b 1c

Tương tự 1b2 1a 1c ; 1c2 1a1b

1 1

1 8 1

1

= 81a1b 1c

A =    

    8

1 1 1

1 1 1















c b a

c b a

3

1 1

1

Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi )

3

1





a

Nếu y > 0 thì:

5 3 2 5

108

5 3 3 3 2 2

5 3 3 3 2 2

y

x           



3125

108 5

1 108

3 2 2 3

2

















y x

3125

108

5

3

; 5

2 3

Từ (1) và (2) suy ra: max B = (khi và chỉ khi ; )

3125

108

5

2



x

5

3



y