Bài tập nâng cao động học chất điểm

Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng từ A đến B cách nhau đoạn = d AB = 8m thông qua hai giai đoạn: Bắt đầu khởi hành tại A chuyển động nhanh dần đều và sau đó tiếp tục chuyển [r]

2 BAI TAP LUYEN TAP TONG HOP

Chuyén dé 1: CHUYEN DONG THANG DEU

1 Hai xe chuyển động thăng đều trên cùng một đường thắng với các vận tốc không đổi: v, = 40 (Am / h) va

v, = 60(Am/h) Tinh d6 giam khoang cach gitta hai xe sau 1,5% khi:

— hai xe chuyén dong ngược chiêu

— hai xe chuyển động cùng chiêu

Bài giải

—_ Chọn chiều đương là chiều chuyển động của mỗi xe Ta có: s, = vị; s; = 9›;f

—_ Khi hai xe chuyển động ngược chiều: As = s, + s; =(v, +9,)/

— Khi hai xe chuyển động cùng chiều: As'=|s, — s;|= (v; —v,)/

As = (40+ 60).1,5 =150km

ta dạo si = 30km

Vậy: Độ giảm khoảng cách giữa hai xe khi hai xe chuyển déng nguoc chiéu 1a 150km và khi hai xe chuyên động cùng chiều là 30#z:

2 Một con kiến chạy ra từ một lỗ nhỏ thông xuống tô kiến dưới lòng đất, kiến chạy theo một đường thăng

sao cho vận tốc của nó tỉ lệ thuận với khoảng cách đến lỗ nhỏ Tại thời điểm mà con kiến cách lỗ nhỏ một

khoảng /, =1m thi van toc cia no 1a v, =2(cm/s) Sau thời gian bao lâu, kiến sẽ cách lỗ nhỏ một khoảng

bP

— _ Thời gian chuyển động của kiến từ khoảng cách lh dén /, la: t= ar = 75s

Yị 1

Vay: Sau 75s, kién sẽ cách lỗ nhỏ một khoảng 7, = 2z:

3 Một xe đạp xuất phát từ một điểm 44 trên đường cái để

trong một khoảng thời gian ngăn nhất đi đến một điểm Ø A C X D năm trên cánh đồng (hình vẽ)

(m>1) so với vận tốc của nó khi chạy trên đường cái Hỏi

xe đạp phải rời đường cái từ một điểm Œ cách 2 một khoảng x bao nhiêu?

(Trích đê thi Olympic 30/4, 1997) Bài giải

Gọi v,,v, 1a van tốc xe đạp khi đi trên đường cái và khi đi trên cánh đồng (v, = m, )

AD-x + Vx +l’ 4Dv,+v,Nx + —v,x

—_ Thời gian vật đi từ 4 đến C rồi đến B: t=

—_ Vì A4D,v,,v, không đổi nên /=/, khi y= y„„, với youve +L —v,x

— Tacó: y=w,ýx + -v,xe© (ví —v;)x” —2y,x+vị - y” =0

— Quan hệ x và y chỉ có ý nghĩa khi phương trình có nghiệm, nghĩa là A >0

<©>A'= yy; -(v# -3)(v —v;) >0>y >7 ty —v;)

— Thoigian ¢=¢,, khi y=y,,,

^ ` A 2 x: ^ ` Az ` ` ~ a 2 A t

động đi và về của mỗi ca nô 4 va B 1an luot la ¢, va ¢, Hãy xác định tỉ sô ~

t B

Độ cong của mặt biển không đáng kể

a) Định khoảng cách cực tiêu giữa tàu 4 và tàu B

b) Tàu Ø phải chạy theo hướng nào dé bắt kịp tàu 44 Định thời gian rượt đuổi Các tàu đều chuyên động theo quỹ đạo thăng

Bài giải a) Khoảng cách cực tiểu giữa hai tàu

Chọn sốc tọa độ ở 44, hệ tọa độ x44y như hình vẽ

dy V4

V,tV,

Vậy: Khoảng cách cực tiêu giữa hai tàu là: đ, =

b) Hướng chạy của tàu Ø và thời gian rượt đuổi

chảy rồi khi đến bờ tại diém C phải chạy ngược trở lại với vận tốc u để về đến điểm B Tim u dé hai người

đến B cung lúc Biết vận tốc dòng chảy vạ =2kø/h, vận tốc của hai người bơi đối với nước là

Vậy: Để hai người đến Ø cùng lúc thì vận tốc chạy của người thứ hai trên phải là u = 3km/h

7 Hai xe chuyển động thăng đều trên hai đường thăng hợp với

nhau một góc @ với vận tốc có độ lớn lần lượt là Vị, V; Biết tại

thời điểm hai xe cách nhau một khoảng nhỏ nhất 7 thì xe (1)

đang chuyển động hướng về giao diém O va cach O mot khoảng

/, nhu hinh vẽ Tìm vị trí của xe (2) lúc này Xét hai trường hợp:

+ Vận tốc tương đối giữa chúng vuông góc với

đường thắng nối hai vị trí của chúng

Áp dụng định lí hàm s6 cosin trong tam giac OIK, ta co:

V5 =v tv; +2v,v, cosa =v, + (v2) — 2v,v, V2 cos 45° =v =>v, =v, va AOIK vudng can ở

1:vw„ LOI=J=O©I,=0

Vậy: Xe (2) lúc đó đang ở Ó

Truong hop v, =v, va œ =60”:

Tam giác @Ø/K' đều, suy ra tam giác Ó/7 cân tại O: L=OJ=1,

Vay: Xe (2) luc d6 dang 6 J, cach O mot doan gidng nhu xe (1)

§ Một xe buýt đuổi theo một xe đạp chạy trén mét duong thing AB voi téc dé khong đổi lần lượt là 63km/h va 33km/h Mot xe tai chay trén mot duong thang khác (không song song với 448) với tốc độ

khong d6i la 52km/h Khoang cach tir xe tai dén xe buyt lu6n luén bang khoang cách từ xe tải đến xe đạp Tìm vận tôc của xe tải đôi với xe buýt?

Vậy: Vận tốc của xe tải đối voi xe buyt 1a v., =25km/h

9 Hai đường thăng d, va đ, tạo với nhau một góc 60° Chúng chuyển d;

động theo các vận tốc v, V3, theo phương vuông góc với chính nó Biết

vị =47m/ s, vy = 3m / s, tìm vận tốc của giao điểm OÓ 0 a

Sau lIsđ đến vi trí d',AH=v;d, đến vị trí

d,’

d',, AK =v,;v=O0O': van toc cua giao diém O

Ap dung dinh li ham sé sin cho A4HO' va AAKO, ta duoc:

OO” = AO” + AO’ — AO'.AO cos 60°

Vậy: Vận tốc của giao điểm O 1a v=5,42m/s

10 Thanh AB đồng chất tiết điện đều đài / được tựa vào bức

tường thăng đứng như hình vẽ Đầu dưới Ø của thanh có một con

chuột bò theo thanh với vận tốc y không đổi đối với thanh ngay vào

thời điểm đầu dưới Ø của thanh chuyển động đều theo nền nhà về

phía phải với vận tốc + Hỏi trong quá trình chuyên động theo

thanh, con chuột lên được độ cao cực đại băng bao nhiêu so với nên

nhà vả tìm điều kiện của y và ø Xét hai trường hợp:

—_ Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi chưa kịp lên

—_ Độ cao của con chuột tại thời điểm / là MK=”: khoảng

cách từ góc Ó đến thanh ở thời điểm ¢ 1a ON =

—_ Trong tam giác vuông OGN,ON <OG= oHA< =

=>h=h,, oH =H,, _ =45° (A4OB vuông cân)

e Trường hợp con chuột đạt độ cao cực đại khi chưa lên kịp tới 4:

0

Ta CÓ: / 200845 Lv2 (1)

tị 2u Con chuột chưa kịp lên tới 44 nên v/„ <” (2)

chuột đạt độ cao cực đại khi vừa lên t6i 4 thi 4, =L,/1- (=| „>1

11 Trên đường thắng (A) có ba xe chuyển động cùng chiều Người ngồi trên xe 1 thấy gió thổi vào xe mình

theo hướng øz =60°: người ngồi trên xe 2 thấy gió thối vào xe mình theo hướng /j =30° Hỏi người ngôi

trên xe 3 thấy gió thổi vào xe mình theo hướng z nào

Biét a, B,y là các góc tạo bởi hướng gió thổi (năm trong mặt phăng đứng chứa A) mà người ngồi trên xe tương ứng thây và phương chuyển động (A) của các xe Tốc độ chuyển động của xe 3 bằng trung bình cộng

của tốc độ xe I và tốc độ xe 2

Bài giải

Gọi v,,v,,v; lân lượt là vận tôc của gió thôi đôi với xe Ì, xe 2, Xe 3; v,, v,, 9, |» = mm lân lượt là vận tôc

chuyên động của các xe và ø là vận tôc gió thôi

— Theo công thức cộng vận tôc, ta có:

Với: BC=-v;BÉ=-v;BB=-v, (với

CD= DE)

(3)

tany tanó0” tan30 Vậy: Người ngồi trên xe 3 thấy gió thối vào xe mình theo hướng z = 40°54'

12 Có 4 bạn học sinh cùng đến trường tham dự kỳ thi Olympic truyền thống 30/4 nhưng chỉ có 1 chiếc xe

máy và 2 nón bảo hiểm, chấp hành luật giao thông nên 2 bạn đi xe và 2 bạn còn lại đi bộ, dọc đường bạn

đang ngồi sau xuống xe tiếp tục đi bộ và xe có 2 lần quay lại đón 2 bạn đi bộ ở những vị trí thích hợp sao cho

cả 4 bạn đến được trường cùng một lúc Biết răng vận tốc đi xe gấp 5 lần đi bộ và coi răng vận tốc của các

bạn đi bộ đều như nhau, nơi xuất phát cách trường 5z Xác định vị trí mà xe đã đón 2 người đi bộ lên xe cách vị trí xuất phát một đoạn bao nhiêu?

Bài giải

Giả st’ O là nơi xuất phát: 7 là trường: 4, là 2

điểm xe đón 2 bạn đi bộ còn C,D là 2 điểm mà hai

bạn trên xe xuống tiếp tục đi bộ, ta có đồ thị chuyền

động của các bạn như hình vẽ

Do vận tốc đi bộ như nhau, vận tốc xe không đổi nên

cac hinh OMNK,KNPO,OMPO đều là những hình

— Quang duong ma ban | phai di: s, =OA+3AB+5BC =3CD+ DT =5BC +804

— Thoi gian di duoc của xe: /= SBC +8OA (1)

v x

— Quang duong ma ban 4 di la: OB + BT =OB+BC+CT

Vậy: VỊ trí mà xe đã đón 2 người đi bộ lên xe cách vi tri xuất phát một đoạn (2⁄44 = OB = lkm

13 Hai vành tròn mảnh bán kính ®, một vành đứng yên, vành còn lại chuyên

động tịnh tiến sát vành kia với vận tốc vy (hình vẽ) Tính vận tốc của giao điểm

Œ giữa hai vành khi khoảng cách giữa hai tâm O,O, =d

Bài giải

Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ

— Vi hai vòng tròn có bán kính như nhau, nên OH = S04 „ nghĩa là: x„ = = = xv

— Do do, theo phương năm ngang, C luôn chuyên động đều với vận tốc v_= >

— Vi giao diém C chuyên động trên đường tròn tâm Ó,

nên vận tốc y„ luôn tiếp tuyến với đường tròn này

2 BAI TAP LUYEN TAP TONG HOP

Chuyén dé 2: CHUYEN DONG THANG BIEN DOI DEU, SU ROI TU DO

14 Một vật chuyên động chậm dân đều Xét ba đoạn đường liên tiếp băng nhau trước khi dừng lại thì đoạn ở giữa vật đi trong thời gian 1s Tìm tổng thời gian vật đi ba đoạn đường băng nhau kể trên

(Trích đê thi Olympic 30/4, 1998) Bài giải

Gọi ba quãng đường liên tiếp là 48,5C và CD;a là gia tốc chuyển động của vật Ta có:

— Từ các phuong trinh trén, ta duge: v, = v,v3; vị = v,v2:; a=V, (1 — v2)

—_ Thời gian đi hai quãng 48 và CD) là:

—_ Thời gian đi tổng cộng trên cả quãng đường 4Ð là /= í +, +í;

—=t=x6+43-2-42+1+42+1=x6+3 (s)

Vậy: Tổng thời gian đi ba đoạn đường trên là =^/6 +3 (s)

15 Một xe tải cần chuyên hàng giữa hai điểm 4 và cách nhau một khoảng 7 = 800 Chuyên động của

xe g6m hai giai đoạn: khởi hành tại 4 chuyển động nhanh dần đều và sau đó tiếp tục chuyển động chậm dẫn

để dừng lại Ø Biết răng độ lớn gia tốc của xe trong suốt quá trình chuyển động không vượt quá 2/s” Hỏi phải mắt ít nhật bao nhiêu thời gian để xe đi được quãng đường trên?

(Trích đê thi Olympic 30/4, 1999) Bài giải

Gọi s là quãng đường đi trong chuyển động nhanh dan đều; z,ø lần lượt là độ lớn gia tốc của xe trong 2 giai

doan (a va b>0).

—_ Trong giai đoạn đầu, ta có: s = sai >= = (: v¿=2as (2)

a

— Trong giai đoạn sau, ta có: vị =20(L—s) (3); v,=5t, (4)

— Tu (2) ừ (2) va (3) suy ra: 2as va : 2as=2b|L— =2b(L-s)>s ¬p (5) và = L-s= L—s ¬p (6)

— Tir (1) va (5) suy ra: # = Gaba (7)

— Tw (3), (4) va (6) suy ra: 7, = Gas (8)

— Thời gian tổng cộng xe đi từ 4 đến B: t=4,44,= _2bL = ==, ah (2!

Vậy: Thời gian ngắn nhất để xe đi hết quãng đường trên là tain = 408

16 Một chất điểm chuyển động trên một đường thăng từ 44 dén B cach nhau doan d = AB = 8m thong qua hai giai đoạn: Bắt đầu khởi hành tại 4 chuyên động nhanh dân đều và sau đó tiếp tục chuyển động cham dan đều để dừng lại tại Ø Cho biết độ lớn của các gia tốc trong suốt quá trình chuyển động không vượt quá 2cm / s” Tính thời gian ngăn nhất để chất điểm đi được quãng đường trên

(Trich dé thi Olympic 30/4, 2013) Bai giai

Chọn chiều (+) là chiều chuyên động của chất điểm

Gọi s, là quãng đường đi trong chuyển động nhanh dân đều, 3; là quãng đường còn lai; a, va a, là gia tốc của chất điểm trong 2 giai đoạn chuyển động

Dau “=” xay ra khi a, =—a,

— Tir(5) suy ra: ¢,,, =2 4s (d = 8m; a, =2cm/s° =0,02m/s*) => ty, =2 8 _ gs

(Trích đề thi 30⁄4, 2013)

Bài giải

— Quang đường chất điểm phải di: S = 5 al * (1)

—_ Gọi n là số lần chất điểm chuyền động với thời gian T, , ta CÓ:

S= san? + ar, | (san + al, + 2a 2 2 | (san + 2617 ] + sa 2

cái [Sai (Dat) na

sa 2 = [1+345+ 4(2n-1) ]+77,.a(1+2+ +n) (2)

— Tu (1) va (2) ta được:

18 Trên trục Óx, một chất điểm chuyển động biến đổi đều có hoành độ ở các thời điểm ttt, lần lượt là x;„x,,x; Biết rằng: /;—f# =1, —f; =f

Hãy tính gia tốc của chuyên động theo X,,X,%3,¢ va cho biết tinh chất của chuyên động

Bài giải Giả sử tại thời điểm ban đầu (chọn t, = 0), chất điểm có tọa độ *;„ vận tốc Vv, va gia tốc z (không đổi)

néu _ <x, thì chât điêm chuyên động chậm dân đêu

19 Một đoàn tàu bắt đâu rời ga chuyển động nhanh dân đều Xét trên 2010 ray đầu (kể từ khi tàu rời øa) ở đoạn ray thứ 2009 tàu đi mắt thời gian „ Hãy tính thời gian tàu đi qua ray thứ 2010 và cả 2010 đoạn ray Cho răng các đoạn ray có chiều dài bằng nhau và đặt sát nhau

Bài giải

Chon hé quy chiéu gan với vật 2, chiều (+) là chiều chuyển dong cua vat 1; goi mat dat la vat 0

eee eee —> —>

2

giá trị nhỏ nhât là đ,„ = (ity)

21 Một chất điểm bắt đầu chuyển động từ điểm 4, (x,,0) theo chiều dương của trục Óx với gia tốc không đổi z, Cùng lúc đó, chất điểm thứ hai từ điểm Ø, (y„,0) cũng bắt đầu chuyển động theo chiều dương của

trục Óy với gia tốc không đổi a,

a)_ Hỏi sau bao lâu hai chất điểm lại gần nhau nhất và tính khoảng cách giữa chúng lúc đó?

b) Với điều kiện nào của z,,ø;, xạ, y; thì chúng có thể gặp nhau?

Bài giải 3) Sau bao lâu hai chất điểm lại gần nhau nhất và khoảng cách giữa chúng lúc đó

—_ Phương trình chuyên động của các chất điểm:

+ Chat diém 1: x= x, tar (1)

+ Chat diém 2: y= y, tat (2)

— Khoang cach d gitta hai chat diém 6 thoi diém 1:

d=ax'+y =2 (Ai +4)” +(A +4yyy)K + x; +yi (với k=/).

1 4ac —bŸ +- (ái +a (x; + Yo 7 (4%, T9) y (ay Xo )

— Từ đó: k=ứ Ð —_ AX) T 4, Yg —_ 2y +4;}ụ) — —2 (a,x, +,Vy) (4)

22 Hai máng rất nhẵn 43 và CD cùng năm trong một mặt

phăng thăng đứng và cùng hợp với phương ngang một góc như

nhau, CD =2 Hai vật nhỏ được thả đồng thời không vận tốc

đầu từ Ava C

Thời gian để vật trượt từ 4 đến B là ¡ và thời gian đẻ vật trượt

từ C đến D là t, Sau bao lâu kể từ khi thả, khoảng cách giữa

hai vật là ngăn nhất?

Bài giải