Đề cương chi tiết học phần - TOÁN CAO CẤP

Nghiên cứu hàm một biến: đi sâu vào các định nghĩa về giới hạn, đạo hàm, phép tính vi phân, nguyên hàm và tích phân.. Câu hỏi ôn tập Câu hỏi ôn tập về: các phép toán trên ma trận, các ph

TOÁN CAO CẤP

Mã học phần: 5110016001 Thời lượng: 3 tín chỉ

Dành cho các lớp cao đẳng chính qui

2011 – 2012

CHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG

Ngành: Tất cả các ngành Chuyên ngành: Tất cả chuyên ngành

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN

1 Thông tin học phần:

1.4 Yêu cầu của học phần: bắt buộc

2 Thông tin giảng viên:

S

tt

sinh

Học hàm học vị

Số điện thoại

Email

1 Bùi Quang Danh 1962 Cử nhân 0913874205 bqdanh@yahoo.com

2 Trịnh Minh Quang 1983 Thạc sĩ 0938791393 trmquang@yahoo.com

3 Trần Thanh Lộc 1986 Thạc sĩ 9017730461 ttloca7@yahoo.com

4 Nguyễn Xuân Phương 1967 Thạc sĩ 0907172804 xuanphuongnguyen67@gmail.

com

5 Trần Thị Tuyết Dung 1968 Thạc sĩ 0903887881 tttuyetdung2003@yahoo.com

3 Trình độ đào tạo: Sinh viên cao đẳng năm thứ nhất

4 Phân bổ thời gian:

Nghe giảng lý thuyết: 36 tiết

Thực hành 9 tiết, trong đó: 2 tiết kiểm tra (hệ số 2)

5 Mục tiêu của học phần:

Kiến thức:

Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về giải tích và đại số, trau dồi tư duy logic và rèn luyện kỹ năng tính toán

Kỹ năng:

Thông qua việc nghiên cứu, học tập về phép tính vi tích phân đối với hàm một biến và hàm nhiều biến, sinh viên có thể vận dụng để giải quyết một số vấn đề trong lĩnh vực kinh

tế Tiếp cận các định nghĩa về phương trình vi phân và chuỗi, sinh viên có đủ cơ sở để hiểu sâu hơn các môn học trong chuyên ngành Nhiều bài toán thực tế được đưa về xử lý trên ma trận, qua các phép toán và phép biến đổi ma trận

Đây cũng là điều kiện tiên quyết để tiếp tục các học phần khác như Toán kinh tế, Tin học ứng dụng

Thái độ:

Nghiêm túc lắng nghe trong giờ lý thuyết, tích cực xây dựng và đóng góp ý kiến bài học

Tự giác học bài và làm bài tập trong giờ tự học

6 Mô tả vắn tắt nội dung của học phần:

Giới thiệu vị trí, ý nghĩa môn học

Nghiên cứu hàm một biến: đi sâu vào các định nghĩa về giới hạn, đạo hàm, phép tính vi phân, nguyên hàm và tích phân

Giới thiệu hàm hai biến và các ứng dụng của nó

Giới thiệu kiến thức cơ sở về phương trình vi phân, kiến thức cơ sở về chuỗi số

Giới thiệu ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Giới thiệu một số vấn đề ứng dụng toán trong kinh tế

7 Nhiệm vụ của sinh viên:

- Lên lớp nghe giảng, đọc tài liệu trước

- Làm bài tập trên lớp và ở nhà

- Tham dự đầy đủ các lần kiểm tra và thi kết thúc học phần

8 Tài liệu học tập:

8.1 Giáo trình, bài giảng:

- Bài giảng môn học Toán cao cấp do các giáo viên tổ Khoa Học Cơ Bản, Trường Cao đẳng Kinh Tế Đối Ngoại biên soạn

8.2 Tài liệu tham khảo:

- Phạm Hồng Danh (chủ biên), Giáo trình toán cao cấp, giải tích, NXB Đại học quốc gia

tp HCM, 2007

- Trương Lâm Đông, Toán cao cấp, phần I: Đại số tuyến tính, 2007

- Bài tập toán cao cấp đại số tuyến tính và giải tích, trường đại học kinh tế tp HCM, 2011

- Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp, NXB Giáo dục,2000.

- Trần Xuân Hạo, Toán cao cấp (dành cho ngành kinh tế),NXB Khoa học kỹ thuật,1996.

- Lê Văn Hốt, Toán cao cấp, NXB Thống Kê, 1998

9 Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:

9.1 Điểm trung bình bộ phận: trọng số 40%

- Điểm kiểm tra thường xuyên: hệ số 2 (sinh viên làm 2 bài kiểm tra bắt buộc)

9.2 Điểm thi kết thúc học phần: trọng số 60%

- Hình thức thi: Thi viết thời gian 75 phút ( tự luận )

10 Thang điểm: theo qui chế 43.

11 Nội dung học phần:

11.1. Nội dung tổng quát:

5 Chương 4: Phương trình vi

phân

11.2 Đề cương chi tiết học phần:

Bài mở đầu (1 tiết)

Mô tả: Giới thiệu môn học, kế hoạch học tập và kiểm tra (chi tiết các buổi học)

Mục tiêu: vị trí môn học trong chương trình đào tạo, mục đích ý nghĩa của Toán học trong đời sống và tư duy toán học

Kỹ năng: giảng lý thuyết, sinh viên ghi nhận

Yêu cầu: Tài liệu tham khảo bắt buộc, tài liệu tham khảo bổ sung, các tài liệu liên quan

và thái độ nghiêm túc đối với môn học

Chương 1 Đại số tuyến tính

Mô tả: Cung cấp các kiến thức cơ bản về:

- Các Định nghĩa ma trận, các dạng ma trận

- Thực hiện được các phép toán trên ma trận, các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Mục đích: Sau khi học chương này sinh viên:

- Nêu được Định nghĩa ma trận, các dạng ma trận

- Thực hiện được các phép toán trên ma trận, các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Kỹ năng: Nhận biết được các dạng ma trận, biến đổi ma trận trên dòng

Yêu cầu:

- Thực hiện các phép toán trên ma trận

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp giải hệ phương trình tuyến tính

Nội dung (13 tiết)

1.1 Ma trận

1.1.1 Định nghĩa ma trận

1.1.2 Các loại ma trận

1.1.2.1 Ma trận không:

1.1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột:

1.1.2.3 Ma trận chuyển vị

1.1.2.4 Ma trận vuông cấp n

1.1.2.5 Ma trận tam giác

1.1.2.6 Ma trận chéo

1.1.2.7 Ma trận đơn vị

1.2 Các phép toán trên ma trận

1.2.1 Cộng hai ma trận

1.2.2 Nhân số cho ma trận

1.2.3 Nhân hai ma trận

1.3 Định thức

1.3.1 Định thức cấp 1, 2, 3

1.3.2 Định thức con bù và phần bù đại số

1.3.3 Định lý Laplace

1.3.4 Tích chất

1.4 Ma trận nghịch đảo

1.4.1 Định nghĩa

1.4.2 Cách tìm ma trận nghịch đảo

1.5 Hạng của ma trận

1.5.1 Định thức con

1.5.2 Định nghĩa

1.5.3 Tính chất

1.6 Hệ phương trình tuyến tính

1.6.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính

16.2 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

1.6.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính

1.7 Tóm tắt

1.7.1 Tóm tắt lý thuyết

Tóm tắt lý thuyết về: ma trận, các phép toán trên ma trận, các phép biến đổi ma trận 1.7.2 Câu hỏi ôn tập

Câu hỏi ôn tập về: các phép toán trên ma trận, các phép biến đổi ma trận, cách giải tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Bài tập ứng dụng trong kinh tế:

Bài 1: Cho một thị trường gồm ba loại hàng hóa Hàm cung, hàm cầu và giá của chúng

thỏa mãn các điều kiện sau

1

2

3

1 2 3

4 4

s

s

s

,

1 2 3

1 2 3

8 2

d d d

a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường

b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa

Bài 2: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành, ma trận hệ số đầu vào như sau:

0, 2 0,3 0, 2

0, 4 0,1 0, 2 0,1 0,3 0, 2

A

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết tỷ trọng giá trị gia tăng của các ngành đóng góp cho nền kinh tế

c) Biết mức cầu tiêu dùng và xuất khẩu là d1=10,d2=5,d3=6 Hãy xác định mức tổng cầu của mỗi ngành

1.7.3 Bài tập, hướng dẫn và đáp số

Bài tập về các phép tính trên ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính

Nội dung tự học (28 tiết)

- Trả lời các câu hỏi ôn tập trong giáo trình

- Hoàn tất bài tập các chương đã học

- Ghi nhận lại các thắc mắc các câu hỏi nảy sinh trong quá trình làm bài tập.

- Tự nghiên cứu nội dung chương 2 trước khi lên lớp

Chương 2 Hàm một biến

Mô tả: Cung cấp các kiến thức cơ bản về tập hợp, ánh xạ, logic mệnh đề, định nghĩa hàm

số, tính giới hạn, đạo hàm bằng định nghĩa, bằng công thức, các công thức để tính nguyên hàm, tích phân

Mục tiêu: Sau khi học chương này sinh viên:

- Có được các kiến thức cơ bản về tập hợp, ánh xạ, logic mệnh đề

- Nêu lên được định nghĩa hàm số, giới hạn, đạo hàm bằng định nghĩa, bằng công thức, biết các công thức để tính nguyên hàm, tích phân xác định

Kỹ năng: Tính được các giới hạn, đạo hàm bằng định nghĩa, bằng công thức, sử dụng các công thức để tính nguyên hàm và các phương pháp tích phân xác định một cách linh hoạt, nhanh chóng và chính xác

Yêu cầu:

- Nắm rõ định nghĩa, hiểu và áp dụng các công thức tính giới hạn và đạo hàm của hàm số

- Vận dụng tính được tích phân và các ứng dụng của nó

Nội dung (13 tiết và một tiết kiểm tra)

2.1 Tập hợp:

2.1.1 Định nghĩa tập hợp:

2.1.2 Cách diễn tả tập hợp:

2.1.2.1 Liệt kê

2.1.2.2 Tính chất đặc trưng

2.1.2.3 Giản đồ Venn

2.1.3 Vài tập hợp thông dụng:

2.1.3.1 Tập hợp số tự nhiên

2.1.3.2 Tập hợp số nguyên

2.1.3.3 Tập hợp số hữu tỷ

2.1.3.4 Tập hợp số thực

2.1.3.5 Tập rỗng

2.1.4 Tập hợp con, tập hợp bằng nhau:

2.1.4.1 Tập hợp con

2.1.4.2 Tập hợp bằng nhau

2.1.5 Các phép toán trên tập hợp:

2.1.5.1 Phép giao

2.1.5.2 Phép hợp

2.1.5.3 Phép hiệu

2.1.5.4 Phần bù

2.1.5.5 Tập hợp tích của hai tập hợp A và B

2.2 Ánh xạ

2.2.1 Định nghĩa

2.2.2 Đơn ánh

2.2.3 Toàn ánh

2.2.4 Song ánh

2.3 Hàm một biến

2.3.1 Định nghĩa hàm một biến

2.3.2 Đồ thị hàm một biến

2.3.3 Dãy

2.3.4 Hàm hợp

2.3.5 Hàm số đơn điệu

2.3.6 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

2.3.7 Hàm số tuần hoàn

2.3.8 Hàm số ngược

2.3.9 Hàm số sơ cấp

2.3.9.1 Hàm số lũy thừa y = x

2.3.9.2 Hàm số mũ y = a x

2.3.9.3 Hàm số logarit y = log a x

2.3.9.4 Hàm số lượng giác sinx, cosx, tanx, cotx

2.3.9.5 Hàm số lượng giác ngược arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx 2.4 Giới hạn

2.4.1 Giới hạn của dãy số

2.4.1.1 Định nghĩa giới hạn dãy số

2.4.1.2 Các giới hạn đặc biệt

2.4.2 Giới hạn của hàm số

2.4.2.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

2.4.2.2 Tính chất

2.4.2.3 Các giới hạn cơ bản

2.4.2.4 Câc đại lượng tương đương

2.5 Hàm số liên tục

2.5.1 Định nghĩa hàm số liên tục

2.5.2 Định lý hàm số liên tục

2.5.3 Tính chất hàm số liên tục

2.5.4 Liên tục một phía

2.6 Đạo hàm :

2.6.1 Các định nghĩa đạo hàm

2.6.2 Các đạo hàm cơ bản

2.6.3 Các quy tắc tính đạo hàm

2.6.4 Đạo hàm cấp cao

2.6.5 Đạo hàm của hàm hợp

2.6.6 Định lý L’Hospital

2.6.7 Cực trị địa phương

2.6.7.1 Định nghĩa

2.6.7.2 Định lý

2.6.8 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2.7 Vi phân

2.7.1 Định nghĩa vi phân

2.7.2 Các quy tắc tính vi phân

2.7.3 Vi phân cấp cao

2.8 Nguyên hàm và tích phân

Định nghĩa nguyên hàm của hàm số, các tính chất và công thức tính nguyên hàm Giới thiệu tích phân xác định, các quy tắc tính tích phân, áp dụng để tính tích phân suy rộng loại

1, gồm các nội dung chính sau:

2.8.1 Nguyên hàm

2.8.1.1 Định nghĩa nguyên hàm

2.8.1.2 Tính chất nguyên hàm

2.8.1.3 Các nguyên hàm cơ bản

2.8.2 Tích phân xác định

2.8.2.1 Định nghĩa tích phân xác định

2.8.2.2 Tính chất tích phân xác định

2.8.3 Các phương pháp tính tích phân

2.8.3.1 Phương pháp phân tích

2.8.3.2 Phương pháp đổi biến

2.8.3.3 Phương pháp từng phần

2.8.4 Tích phân suy rộng

2.8.4.1 Tích phân suy rộng có cận là vô cực

2.8.4.2 Tích phân suy rộng cho hàm dưới dấu tích phân không bị chặn

2.9 Tóm tắt

2.9.1 Tóm tắt lý thuyết:

Tóm tắt lý thuyết về: hàm một biến, giới hạn, đạo hàm, vi phân, nguyên phân, tích phân và tích phân suy rộng

2.9.2 Câu hỏi ôn tập

Câu hỏi ôn tập về: hàm một biến, giới hạn, đạo hàm, vi phân, nguyên phân, tích phân

và tích phân suy rộng

Bài tập ứng dụng kinh tế:

Bài 1: Hàm cung của một mặt hàng có dạng như sau: P + Q =30 Và hàm chi phí là

TC = ½ Q2 + 6Q +7 a/ Tìm sản lượng sản xuất ra để tổng doanh thu TR là max

b/ Tìm sản lượng sản xuất để lợi nhuận là cực đại

Bài 2: Giá xây dựng cao ốc văn phòng gồm x tầng được chia làm 3 thành phần sau:

a/ $10 triệu USD cho tiền mua đất

b/ 1

4 triệu USD $ mỗi tầng

c/ chi phí thiết kế cho mỗi tầng là 10 000 $

Hỏi có bao nhiêu tầng trong tòa nhà này sẽ được xây dựng để chi phí trung bình cho mỗi tầng là min?

Bài 3: Cho hàm cung và hàm cầu như sau

P = QS + 8

P = -3QD + 80

Chính phủ quyết định đánh thuế là t$ cho mỗi đơn vị sản phẩm Tìm t để tổng doanh thu về thuế của chính phủ là max giả sử rằng điều kiện cân bằng của thị trường là xảy ra trong thị trường

2.9.3 Bài tập, hướng dẫn và đáp số

Bài tập về: hàm một biến, giới hạn, đạo hàm, vi phân, nguyên phân, tích phân và tích phân suy rộng

Nội dung tự học (28 tiết)

- Đọc và tìm hiểu các kiến thức mà giáo viên đã giảng dạy trên lớp qua giáo trình được cung cấp và một số tài liệu bổ trợ khác như: Toán cao cấp dành cho ngành kinh tế tác giả

Trần Xuân Hạo, NXB Khoa học kỹ thuật

- Trả lời các câu hỏi ôn tập trong giáo trình

- Làm các bài tập về giới hạn, đạo hàm, tích phân trong giáo trình và tài liệu tham khảo

- Tự nghiên cứu nội dung chương 3 trước khi lên lớp

- Ghi nhận lại các thắc mắc, các câu hỏi nảy sinh trong quá trình tìm hiểu chương 1 và trong quá trình làm bài tập

Kiểm tra (1 tiết): nội dung kiểm tra kiến thức chương một và chương hai.

Chương 3 Hàm hai biến

Mô tả: Cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm hai biến: định nghĩa hàm số, tính giới hạn, tính liên tục, các đạo hàm riêng và các cực trị của hàm hai biến

Mục tiêu: Sau khi học chương này sinh viên:

- Có được các kiến thức cơ bản về hàm hai biến

- Nêu lên các định nghĩa về giới hạn, liên tục, đạo hàm, cực trị của hàm hai biến

Kỹ năng: Tính được các giới hạn, tính liên tục và đạo hàm riêng cơ bản của hàm hai biến một cách linh hoạt, cẩn thận và chính xác

Yêu cầu:

- Áp dụng các kiến thức tính được giới hạn, đạo hàm và tìm cực trị của hàm hai biến

- Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên một miền đóng

Nội dung (10 tiết)

3.1 Hàm hai biến

Giới thiệu hàm hai biến và các vấn đề liên quan hàm hai biến

3.1.1 Định nghĩa hàm hai biến

Cho D là một tập hợp trong 2

 , người ta gọi ánh xạ f D  : , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực x y, D một số thực duy nhất z, ký hiệu là

 , 

f x y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập.

3.1.2 Biểu diễn hàm hai biến

Đặt z = f(x,y) Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y)

3.1.3 Miền xác định

Miền xác định của hàm số z = f(x,y) là tập hợp những cặp x y,  sao cho biểu thức f x y ,  có nghĩa

3.2 Giới hạn của hàm hai biến

Định nghĩa của giới hạn hàm hai biến và cách tính các giới hạn này trong một số trường hợp

Giới hạn của hàm số f(x,y) khi (x,y) dần về (x , y )0 0 là L, ta viết x,ylimx ,y0 0f x, y  L

nếu với mọi   0, tồn tại   0 sao cho f (x, y) L   , (x, y) D và

0< (x-x ) (y y )  

3.3 Tính liên tục của hàm hai biến

Định nghĩa về tính liên tục của hàm hai biến và cách xét tính liên tục của hàm hai biến Cho hàm số f x y ,  xác định trong miền D M x y0 0, 0 là điểm thuộc D Ta nói rằng hàm số f x y ,  liên tục tại M0 nếu:

i) Tồn tại  , lim 0,0  , 

x y x y f x y

ii)  , lim 0, 0  ,   0 , 0

x y x y f x y f x y

Hàm số f x y ,  được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền

D

3.4 Đạo hàm riêng

Định nghĩa về đạo hàm riêng của hàm hai biến, cách tính đạo hàm riêng cấp một và cấp cao

3.4.1 Định nghĩa đạo hàm riêng

 , 

zf x y là một hàm số xác định trong miền D, x y0, 0 là một điểm thuộc D Nếu cho yy y0, 0 là hằng số, mà hàm số một biến số x f x y , 0 có đạo hàm tại x x 0 thì

đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số f x y ,  tại x y0, 0 và được ký hiệu là: f x y x 0, 0 hay f x y0, 0

x



Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:

 0 0 0  0 0  0 0

f x y

x

 

  





Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số f x y ,  tại x y0, 0 ký hiệu là

f x y

y

 

  





Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo hàm của f đối với x; khi tính đạo hàm riêng đối y của f chỉ việc xem x là hằng số và lấy đạo của f đối với y

3.4.2 Đạo hàm riêng cấp hai

Các đạo hàm riêng f f x, y gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số zf x y ,  Ta

có thể xét các đạo hàm riêng của chúng:  f x x,  f x y,  f y x,  f y y gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f x y , 

3.5 Vi phân hàm hai biến

Định nghĩa về vi phân của hàm hai biến và cách tìm vi phân cấp một và cấp hai

3.5.1 Định nghĩa vi phân hàm hai biến

Xét hàm số hai biến số f x y ,  xác định trong miền D  2 M x y0 0, 0 và

M x  x y  y là hai điểm thuộc D.Nếu số gia:

      

có thể biểu diễn dưới dạng:

 0, 0

        

trong đó A B, là những số không phụ thuộc x, y, còn   0 và   0 khi

 x y,   0,0 (tức là M  M0) thì ta nói rằng hà số f x y ,  khả vi tại M0, biểu thức

A x B y   gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x y ,  tại x y0, 0 ứng với các số gia

,

  và được ký hiệu là df x y 0, 0

3.5.2 Định lý vi phân hàm hai biến

Nếu hàm số f x y ,  có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm M x y0 0, 0 và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì hàm số f x y ,  khả vi tại M0, vi phân toàn phần của f x y ,  tại M0 được tính bằng công thức:

 0, 0 x 0, 0 y 0, 0

df x y f x y  x f x y y