Tài liệu Noisuy HK2 (Web) 0506 docx

Lập bảng sai phân :... VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON... NỘI SUY GHÉP TRƠN.

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506

CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)

NỘI DUNG

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY

-x k : mốc nội suy, y k : giá trị (hàm) nội suy

Từ bảng này, nội suy giá trị y bảng tại điểm x = ?

Mốc nội suy x0 x1 … x =   xk  … xn-1 xnGiá trị nội suy y0 y1 … y = ? … yn-1 yn

Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(x k ) = y k , k = 0 … n  y bảng  P()

Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (x k , y k ) }, k = 0  n

NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE

-Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(x k ,y k )} , k = 0  n

! đa thức L(x), bậc  n, thoả đ/kiện nội suy L(xk ) = y k , k = 0 … n

Cách 1: 3 mốc  n = 2  L(x) = ax 2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)

Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(x k ,y k )} , k=02

Tại x = 3, y bảng ?

Giá Trị nội suy yk 0.5 0.4 0.25

4.05

2

5.02

16

4.05

.225

.6

5.02

4

c b a

c b a

c b a

y bảng  L(3) = 0.325

VÍ DỤ SAI SỐ

a

x x

x

x n

x

f x

L x

!1

max)

()

, 100

) 3 (

3max)

115  L115 

!3

1

Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trị bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = xây dựng tại các mốc x 0 = 100, x 1 = 121, x 2 = 144 Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4

115

x

NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ

Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L 0 (x) + 0.4L 1 (x) + 0.25L 2 (x)

2)

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

-(n+1) mốc  -(n+1) đa thức nội suy cơ sở Đa thức nội suy

cơ sở L k (x) tại x k (k = 0 … n): L k (x k ) = 1, L k (x i ) = 0  i  k:

1

k

k k

x L x

L x

L x

L x

L

x L

x x

x x

x

x x

L

n k

k k

k k

k

n k

0

1 1

()

()

Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x)

Chỉ phụ thuộc bộ mốc {x k } (0  k  n), không phụ thuộc y k

2

L

)5.3

45.335.315

35

)(7)(5)

Viết biểu thức L k (x) (Không tính!) Thay x  Giá trị

NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU

-Bảng {(x k ,y k )} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x 0 , x 1 =

x 0 + h, x 2 = x 1 + h … x n = x n-1 + h Lập bảng sai phân :

ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

)1

(

!2

1

y n

n t

t

t y

t

t y

t y

(

!2

1

y n

n t

t y

t

t y

t y

x

Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến

Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)

VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON

VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON

-Tất cả sai phân: Nội suy Newton  Lagrange!

Đa thức nội suy tiến: x  15

!3

2

10006

02

10026

.00832

.02588

0)

N

t x

2

10003

02

10057

.00532

.08192

0)

N

x = 54  t = –0.2  N 2 (–0.2) = 0.80903 sin54 = 0 8090 Câu hỏi: Tính tại x = 54 với Nội suy tiến Nhận xét?

HIỆN TƯỢNG RUNGE

-Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x 2 ), x  [-1, 1] bằng đa

thức nội suy, 5 mốc cách đều Tính L(0.95), so sánh

giá trị tính được với giá trị chính xác f(0.95)

Lập bảng nội suy: 5 mốc cách đều trên [–1, 1] 

x 0 = –1, x 1 = –0.5, x 2 = 0, x 3 = 0.5, x 4 = 1 & y k = f(x k )

038

Giá trị L(0.95) = Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04

KẾT QUẢ

-So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P 4 (x)

Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!

NỘI SUY GHÉP TRƠN

Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3

0

1 1 1

0

1 1 1

0

''''

'

'

x S

x S

x S

x S

x S x

S

  0''0 x0 

XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3

2,1

,

3 1

2 1 1

1 1

3 0

2 0 0

0 0

x x

d x

c x b a

x S

x x d x

c x b a

x

S x

2

2,1,

1

1 1

1

0 0

0

x x

b a

x S

x x

b a

x

S x

NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

-1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [x k ,x k+1 ], k = 0  n –1

2/ Điều kiện nội suy: S(x k ) = y k , k = 0, 1 … n

x x d x

x c x

x b a

S

x x x

x x d x

x c x

x b a

S S

,,

,,

,,

1

2 1 1

1 1

1 1

2 1

3 1 1

2 1 1

1 1

1 1

1 0

3 0 0

2 0 0

0 0

0 0







GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3

-I/ Độ dài h k = x k+1 – x k , k = 0 … n –1 Hệ số a k = y k , k = 0 … n

Bước III: II/ c = [c 0 , … c n ] T là nghiệm (c n = S’’(x n )/2) hệ Ac = e với                           1 0

0 ) ( 2 0

0 ) ( 2 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 n n n n h h h h h h h h h h h h A                                                  0 ) ( 3 ) ( 3

) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0 0 1 1 1 2 n n n n n n h a a h a a h a a h a a h a a h a a e 1

0

, 3

) 2

h

a

a

k

k

k k

1 0

, 3

h

c

c d

k

k k

VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

2 1

0 h h 

h

Mốc NS x0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 Giá trị NS y0 = 2 y1 = 1 y2 = 3 y3 = 2

3,

1,

23

BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3

0 0

0

1 0

c c

h h

a a

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT)

h F

Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(x k , y k )} theo nghĩa BPCT

TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH

ax b

x a

y x x

b x

a

1 1

1 1

1 2

Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn tìm a, b So với đường cong y

= h 1 (x)  Tổng S =  (h 1 (x k ) – y k ) 2 : càng bé càng tốt

VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT

ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO

k k

ax c

b a

F

1

2 2

,,

c F b F a F

x a

c b

x a

c b

x a

n k

k

n k

k

n k

k

1 2 1 3 1 4

Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch

k k

ax b

a

F

1

2 2

F

ax b

x a

x b

x a

n k

k

n k

k n