Bài tập GT 2-Chương 3,4

1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 Chương III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Bài 1.. Tính các tích phân sau:.. Tính các tích phân đường loại hai theo hai cách ABC a.. Tính các tích phân đường: OA

1

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 Chương III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT Bài 1 Tính các tích phân sau:

.

L

a  xy ds trong đó L là biên của tam giác có đỉnh A(0,0), B(1,0), C(0,1)

2

L

b x  y ds trong đó L là nửa đường tròn x2 y2 4, y0



L

xyds

c. trong đó L là cung có phương trình tham số x 2t,y t , t4 [0,1]

L

d  x  y ds, trong đó L là đường tròn 2 2





L

ds

e I

x y, với L là một phần đường thẳng

1 1 2

y x nối hai điểm A 0, 1 và

2, 0

Bài 2* Tính 

L

ds

x2 , L là đường tròn



















0

2 2 2 2

z y x

a z y x

Bài 3 Tính các tích phân đường loại hai theo hai cách

ABC

a  xydx xy dy, ABC là đường gấp khúc A(0,0), B(2,0), C(3,2)

2 3

L

b.I  xydx  x y dy với L là biên của tam giác ABC: A(0,0), B(1,0),C(1, 2).

AB

c I   (5x  4y)dx  (4y  3x)dy với L là cung x  a2 y2 theo chiều từ A(0,-a) đến B(0,a) ( a > 0)

Bài 4 Tính các tích phân đường:

OAB

a  cos y 1 e dx  2ysin y e dy trong đó OAB là đường gấp khúc : O(0;0), A(1,1); B(2,0)

L

 , L là nửa đường tròn x2y2 a (y2 0, a0) theo chiều từ A(1,0) đến B( 1,0)

2

L

c  xy   x y dx  xy   x y dy, L là đường tròn x2 +y2 = ax ( a >0 )

L

d  x y dx y xy ln x x y dy

(x 1) (y 1) 1 , tích phân lấy theo chiều dương

L

e  x y x y dx xy  x y dy, L là nửa đường tròn x2 + y2 = 2ay , x > 0, a  0 hướng đi từ O(0,0) đến A(0,2a)

Bài 5 Tính 2 2

L





 với L là đường cong kín, trơn lấy theo chiều dương, không đi qua O(0,0), giới hạn miền đơn liên D

AB

J  (2xy sin 2x)dx(k.ycos xy )dy, a) Tìm k để J không phụ thuộc đường lấy tích phân

b) Tính J với k 2 , và AB là cung yx32x 1 đi từ A(1,0) đến B(0,1)

AB

x 2xy 3 dx y 2x y3 dy

1/4 cung tròn x2 y2 1; x, y0, nối A(1;0) đến B(0;1)

Bài 8 Chứng tỏ tích phân

2

2 2 2 AB

(1 x )dy 2 xydx I

(1 x ) y



 , không phụ thuộc đường lấy tích phân trong miền đơn liên 2  

D  \  1,0 Từ đó tính tích phân khi AB là đường cong nối A(0;0), B(1,1) không cắt Ox tại điểm nào khác ngoài A

Bài 9: Chứng minh các biểu thức sau là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó, tìm

hàm đó:

b e  cos x y dx e  cos x y 2 dy

Bài 10: Tính các tích phân mặt loại một

a.

S

z dS

 , với S là bán cầu x2 y2z2 a , z2 0

3

S

b. x y z dS, trong đó S là phần mặt phẳng x y 1 nằm trong góc phần tám

thứ nhất và giới hạn bởi mặt phẳng z 1

 2 2

S

c  x y dS với S là mặt nón z x2y ,2 bị chắn bởi mặt phẳng z 1 , kể cả đáy nón

S

d.zdS với S là phần mặt nón z x2 y2 nằm giữa hai mặt trụ x2 y2 1 và

x y 9

S

e. xyyzzx dS với S là phần mặt nón z x2y2 bị cắt bởi mặt trụ

x y ax

Bài 10: Dùng công thức Stokes để tính:

2 3

L

a x y dxdyzdz nếu L là đường tròn

z 0







L

b (yz)dx (z x)dy(x y)dz; L là giao tuyến của mặt trụ x2y2 a2 với mặt

phẳng x z 1

a  h theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu đứng nhìn theo hướng dương của Oz

Bài 11: Tính các tích phân mặt loại hai:

2 S

a.xdydzdxdzxz dxdy S là mặt ngoài của phần hình cầu xác định bởi

x y z 1, x0, y0, z0

S

b  yz dydz+ zx dzdx+ xy dxdy , với S là phía ngoài của mặt nón

x  y  z 0   z a , không kể đáy

 2 2

S

c. x y dxdy S là mặt dưới của mặt tròn x2 y2 R , z2 0

4

S

d.xdydzydzdxzdxdy, với S là mặt ngoài của hình trụ x2y2 R ,2   2 z 2 không kể hai đáy

2

S

e.x dydz ydzdxdxdy, S là mặt xung quanh của khối trụ

x y  2ax, (a0), 0 z a (không kể 2 đáy), tích phân lấy theo phía ngoài

S

f xzdydzyxdzdxzydxdy S là mặt phía ngoài của hình tạo bởi các mặt

x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = 1

S

g.x dydzy dzdxz dxdy S là phía ngoài mặt cầu x2 y2z2 R2

5

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1: Giải các phương trình:

x y x y

x

2

dy xe

c.

dx  y 1 y



Bài 2: Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau:

y

a xy y x sin

x

   với điều kiện y(1)

2





b (x 2y)dx xdy 0  

y

c y

 



d (x y 2)dx (x  y 4)dy 0

e (2x y 1)dx (4x 2y 3)dy 0   

f y tg

  

2

g (xy)ydxx dy0

Bài 3: Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau:

a 1 x y2xy 1 x

2

b xy  y x arctgx

c yxyy ln y

d 2ydx y 6x dy0

Bài 4: Giải các phương trình vi phân Bernoulli:

2

a xy  y y ln x

2

b (2xy y)dxxdy0

6

2

c 2y

  



2

2x

d y

x cos y 4sin 2y

 



2

e xy 2xy ln x y 0

Bài 5: Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:

a 1 x x y dx x y 1 ydy0

b 2xe e dx x 1 e dy0

c 2xyy dx x 2xyy dy0

2

2

(x y )dx 2xydy

x



Bài 6:Tìm thừa số tích phân dạng (x), (y) để giải phương trình:

a x2y dxxdy0

y

b dx y ln x dy 0

c 2xy y dx y  x y dy0

d (yx y )dx(2xyx )dy0

e (sin yx )dxx sin 2ydy0

Bài 7: Giải các phương trình vi phân sau:

a y3y2ye xe 2

f y y 2cos xx

2x

b y5y6y(x 1)e x

g y y xe

x

c y2y y 2e x

h y2y y 4e

d y 9y6cos3x 3x

i y3y2yxe

e y y 2x k y   y 2sin x

Bài 8: Giải các phương trình vi phân sau:

7

1

a y 4y

sin 2x

  

1

b y y

sinx

  

x 2

e

c y 2y y

1 x

  



x

1

1 e

   

 thỏa mãn điều kiện y(0) 1, y (0)  2

Bài 9: Giải các phương trình Euler sau:

2

a x yxy y 2sin(ln x)

2

b x yxy y cos(ln x)

2

c x yxy y x

Bài 10: Giải phương trình: xy2yxyex bằng phép đổi hàm zxy

Bài 11: Giải hệ phương trình:

a x 2x 3y

  



    



d

  



   



b x 2x y

y ' x 4y

  



   



x ' 5x 3y e

y ' 3x y



   



x ' 3x y

c

y ' 4x y



  

