Apuntes de matematicas 1

Eiemplos: l El conjunto de las letnas del idioma español 2 EI coiijunto de losnúmeros 1, 3,5,7,9, I1, 13' 15 ''#g* Edlc.Jó¡ el ¿,10 20og El conjunto de los puntos de un plano El conjun

'{r ffiUÁ n/ s* ffi6**¿ *;'**-¿ - *'- -\

REIMPRE§IÓN R,DYISADA Y CORR,E GIDA

Marzo de 2OOe,2,OOO qiemplares

EDICIÓNNO COMEBCIAI/

Tirqie f ,irnita¡lo

FITCI]-I¡TAD DE CIENCIA§ ECONÓ}T ICAS

¡NTRODUCCION

Durante algunos años a la fecha cuando fue reestructurado e

progtarna dc Maternáticas I, el estudiante tropezó con Ia dificultad d,

no disponer de un texto que lb permiüeia estudiar el prograrnr

completo del curso, sin necesidad de reanrrir a dive¡sos textos en locr¡ales solo podía €ncontr¿u una mínima parte del contenido deProgIama,

Por ello se vio la necesidad imperante de recopilar en lor

presentcs apuntes todo el material necesa¡io a manera de que sin qur

se pretenda ser exhar¡stivo, se cubra lo indispensable del programa de

curso y por lo consiguiente, proporcione al estudia¡rte una guía par

el esh¡dio de la materia

se utiliza en clase con el propósitó de hacer m& fáciL su comprensióntambién se ha úatado de sintetizar los puntos esenciales que podríantraer alguna dificultad en el estudio y comprensión por parte de

estudiante, especialmente en aquellos temas que no son familiarerprra el estudiante por no habe r estado comprendido en los progamar

Como todo trabqio inicial, el presente adolescerá de algunor

defectos y erro¡es que en el fufuro se irán enmendando, con l:

colaboración del mismo estudiante a quien desde ya se Ie agradeceri

reportar a cualguier catedrático del curso de Matemáticas I, de lor

La elaboración de todo trabajo de esta naturaleza por rnu)

sencillo que pretcnda ser, requiere de un gran esfuerzo p¡rra sr

elaboración La aceptación del mismo por parte del estudiante ser¡

de rnucha satisfacción y estímulo para continua¡ la tarea, hasti

culminar con la elaboración de un texto que cumpla a cabüdad loobjctivos

El Autor

IN D I C E

ELENIENTOS DE TOGICA

1 PROPOSICION

¿ Proposici<l¡i, concepto

u enunüiado abierto,; definición

c Proposiciones sirnples y compuestas

vii) Recíproca de la impltcación

viii't Inuersc de la ímplierción

i*) Contmposttiuo o contmrrecíproca

x) Equiualencia

' xi) Etercicios

xii) Tautología y contradicción

a Elementos de los conjuntos

II II

c

d

e

t2 t3

Conjunto finito y conjunto infinito

ii) Propiedad trutuitius

i) Unión de corljuntos, definición

i) hopiedad conmuntatiua

i¡) Propiedad qsociotiua

Intersección de conjuntos, definició n

D iferencia sim étrica, defin ición

ii) Propiedbd conmutatiuaii¡) Propiefud uociatiua

3030

3l

32

3333343535

ól43

43

444444

45

4647

525253 535454555656

s757

585858595962

vi) Ley de caneelrción en la euma

vii) Ley de cancelación en el prcd.uctoNUMEROS ENTEROS

a Postulados en el producto de números enreros

b O¡den en los números enterosi postulado

4

64 ó4 64 65 65 66676768 70

74 75

los números ¡acinnales BI

c Díferencia de núme ro¡ racionales Dcfintcióu g4

i) , Expreeión algebriiicoo defintción

ri) Término, monemrc, polinomb,

Términos semejantes

.Valor frumérico de las expresiones algebráicas

M ultiplicrción d e expreslones algeb ráicas

D Potenciwión

Productos notable¡

División de exprcsionos algebráicas

iii) Producto de fitcciones algebróicas

íii) Rsdicoles simplificdos

in) Raciorwlizacilín de denominadores

i0 Íonna ihcompléta, cuando c = o

iii) Forma incotnpleta, cuando b = o

iv) Fortna completo

i) Valor obsoluto

iii) Ecuceianee con uolor abaaluto

rrupiedades de las relactr¡¡reo biooriae

Propiedad tránsitiva Defin iciónAntisim etría.D efinició

I

m

n ñ

1091r0

123

L23L27

Función Potendial rimPle

Función valor ab¡oluto

Funcionc¡ Polinómicas

Csro¡ do ls funclón

Función Racional

Función r¿dicol eimPle

Función de Ia lfrioa ract¿

lr) MétodoPlano¡ Y rcmlPlanorCourpooicióa de funclonegEsquima de lc funclón comPuesta

22r

z2l

226226227

2?A

2»

230233214237

1 Todo guatemaltec<¡ es centroamericano

2- Guatemala está en la América del Norte'

3 El Petén es un departamento de ia República de

Guatemala

4 El lago de Atitlín está en él departamento de SoI-ólá

5 L¿ luna es un satélite natural de tra tierra

6 Dos más dos igual a cuatro {2 + 2 = +y '

8 Todos los hombres tienen cgatro ojos

9 Tres ¡nás ci¡¡co igual a nueve (3 + 5 = 9)

I0 El verde es un col<¡r primario

12 El sistema económico de Guatemala es capitalista

13 l,a monrda nacional de Guatemala es el Queual

74 EI municipio de Sa¡ra¡ate pertenece al departáme.nto de

Guatemaia

15 Todas las florcs son de color rdo

16 El árbol nacional de Guatcmala cs el pino

17 Ocho es mcnor que doce (8 ( 12)

lE La mayor partc de lor guatemaltecos'son indlgenas

Una expresión de la cual rro s pu.de decir si es verdadera

falsa, no es ur.ra proposición

V

F.

V

v v

\r v

F FF

1T

V v

F FF

v

v

4) Las flore¡ deljardín

5) Esto es muy complicado

6) Así

7) Que calor

8) a-b ) 6

9) Las hojas del á¡bol

t0) Las luces del vehículo

Forma Propoeicionat, Fropoeición abierta, o En¡¡nei¡do rbierto

Iltfinición¡ Forma proposicional es la expresién que sc trmsforma

en verdadera proposición, al substituir la variable o el el-e¡ncn to

impreciso, por un elernento fijo'

Ella llegó tarde a su oficina

Al¡gno robó en el Banco Central

Alguicn está llo¡ando

Ella se cortó un dedo de la mano :

5=X2+2x 3

Ellos se fueron a bailar

t) 9(r)=3 +3=3

g) Juüo se fue aI cine

5) Luisa llegó ta¡de a su ofrcina

6) Pedro Ba¡rios robó+¡rdBancofsr,tral

7'| Carmen está [orarrdo

8) María.sc corüó{ür dedo de h,slano

?) s=(2)2 + (Z(Zl-3,+ 5=4+4-3,r b=B_B + E=5

l0) Carlos yMaría f¡¡eron a baila.

hoposiciones Sümploe y Compueetra

Ior ejuploc rnt riores, trensfotmadós en v€¡dsderos

p¡opo-eicions qudur aaí:

I

2 3

Lo lluvia ei iurpoitante para,laagrio,lltura

El meto tiene 100 ccntlmet¡os

El año.ticne doce ¡aeses

Pedro Lépez es buen estudiante

La lcchc es alirnentd

) La refrigeradora.cs un bicrr duraders

) Todo guatcmaltrco €s ccntroarncrica¡roIhopoeiciiin Conpuestr.

La proporlciór cor.pu'rta c8 l¡ combiaocién tfc enunci¡do¡

sirnples, o blcr, es aquelle que puedc lor dercompuostr cn

:

Tengo todavía sed, aunqu.g mi vaso esté vacío

Yo se ale rnán, se inglés, pero no sé chino

T'engo calor y estoy sudando

Juan es más alto queJulio ó'anibos soq de la miima estatura

O Ca¡men es mayor que Julia o ambas son de la misma edad

Hace fríc y el arnbiente está húmedo

Carlos y.José va¡r de excrrrsión

Sl tengo dinero mañana, entonces voy aI cine

Q"mpr.o un lapicero o una pluma .

Si hay particlo de fáot ball hoy, entonce s voy ál estadio

Juan es menor que Pedro o bien Pedro es menor queJuan

El sol dá calor y energía

4 + 5 = 9 & 2 esunnúmeropar

Ed¡dóo PaE el año 2ooe

C¡nectivos

Las proposiciones compuestas gequiere4 del uso de :ico¡rectivos'

o .5ea que para relaciona¡.las-¡7¡oposiciones simples se hace'nécesarió I a

aplicación de conectivos, y estós son:'

Si se tienen las proposiciones:

p = El cine esüá abierto

p = El número trcs e¡ írirp""

q = EI número doe es par

6r = Carlos es mayorde edad; q * Carlos ticne lice¡rcia para

conducir automóvil,Valores de Vcrdid.

Conviene sdalar aqui que la prr.rposición sencilla o sirnple

so-lo puede üener dos ,alores de verdad, que sea ,,verdadera,,

3 + § = Béutaproposiciónesverdadera

El volcán dr agrra está en el Departamento dr euezaltenango.

(F'alra)

4) El Gobierno Central está en la Giudad dc Gu¿tetnda'(Verdadera)

vérdad; que sea ve¡dadera o que sea falsa, pero nrurca verdaderay falsa

alavez

p ro po sicion es simples , lo s valo¡es po sibler ;on cuatro '

Cuando 8e tiooe üaa proposicién compuests de tres

proposiciones simplcr, lo¡ vslo¡cs posibles ron ocho,'y

Cuando es una proposición cornpues.ta de euatro proposiciones

De lo anterior ¡e deduce qu9 P¡ra üaa Propotición compuesta

constante y n es el aúmoro de propo'ricioacr rimplea

Por ejernplo en el caso de cinco proposiciones se tend¡án:

F

v

vFF'

24

lv

iv lv

l1,'

lv

lv Iv l'l

v

F'F

q

v v

r

F

v'v:ú'

La negación ( t ) de trna propoaición es teJsr ci ia prc.posici

i i

I I

ir

a)c)

v

b)d)

\r 1) p = El pizarrón del a¿la dé matemáticas I, ie§ verde

§i partimos dp o^ue esta proposición es verdadera, se liene

a)

b)

c)

d)

p = Elpizarrón del.aula de matemáücas I es verde

! p = El pizarrén del aula.de ;matemáticas I no es ve¡de

p = El pizarrón dcl a,ula de matemáticas I, es rojo

{ p = El,pizarrón del aula de matemáticas'I, no 9s rojo

p = la semana tiene sicte'días

p = la sc{nana tiene sicte «llas

t p =.la semana no tiene si'ete días

p =-la seÍnana tiene nueve días

! p +'la,iemana no ti:nc nueve dias

4) q ='El Volcán de agua está en el departamento de Sacatepéque.z

5) p =-¡ni escritorio cs de metal

Conjunción

La Conjunción ( A) de dos proposiciones cs verdcde¡¡ ¡óls

en el caso en qüo amb¡s scen verdadcras, y faleas, ¡i una do lgs

paftes o cornponentec o ambls ¡sn fal¡a¡

Tabla de Verdad

los

v

F F

p = prirnera componEntc o parte

3) 6 es mrittipto de S & 16 es múltiplo de 4

b) 6 es rnúJtiplo de B y 16 no es míritiplo de.4 .

c) 6 no es múttiplo de 3 y 16 es múttiito a" a

d) 6 no es múltiplo de B v 16 no os.rr,lltipl .le 4

Ejercicios:

mulüplo de 5

r

8) Carlos estudia y Fcdro traibaja

0) Antonio es alto y gordo

$,e¡n tfiries crlrnfi or1 el caso de los cjercicio* i,4,y tr"

Die¡mción

I-a dioyuncfón puede ser inclu¡ivu c¡ escl*eiva cuanr

''e tr&ts de lo diryunciófl cxch¡nivu ¡s indic* s*ioe;ando rf e,najo

d

sÍmbolo uux rayita as!': 9-, V, o bie* haciendo l;i sci:¡rsdilón dc algu:

otra forma, de lo contrario sc trata de la disyutrc;ión inclusivt

v

FFF

a)

b)

c)d)

Edlclón pm st sño 2O0g

r16¡g qúltiplo dc 4

Disyrnción Inclusiva'

La DisyunciÓn Inclusiva (v) de dos proposiciones es

yerd.adera, siernpre gue al rnenos una de las proposiciones sea

verdade¡a, o bien qui, ft disyunción sea verdadera cuando una de

p = Primera comPonente o Parte

a) comPro radio o televisor

bi o*pro radio o rro comPro televisor

c) no comPro radio o comPro televrsor

d) no comPro radio o no comPro televisor

Ejercicioe:

1) Ped¡o trabaja o estudia

2\ Me comPro zaPatos negros o cales

3i dnalizaiemot ltiát'gulos o cuadriláteros

5) ComPro carro o comPro raüo

6) Me cornpro camisa o pantalón

7) Manuel es compositor o cantante

8) Ma¡ía canta 9 baila

9) Julio usa cqnisa o camiseta

10) Juan tiene sed o hambre

Diqnrneión Excftxiva

Lr Diayunción Bxclusiva (y) ec vo¡dadora ouando sólo uor

do las oosponen.tos os ve¡d¿'dera, y falsa, ouendq ambas cosrpononte,

Tabla de Verdmd

p

v v

Ejercicior:

l) 9 es un número Par o ImPar

2) lo¡ estudiantut presentes tiencn más de !8 alioe o tiene mEnot

3) A es un círcqlo o rln triángulo

5) Pe dro es ;tlto o es bajo

6) Crrrne¡r tiene l0 años ó 15 años de edati

,,,,-*

7) hcil es domingo o lunes

g) hoy a ias 20 horas es.iar en la Cir¡dad tlniversitaria o en

Implicación

caso5, salvo cuando ei antecedEnte es vcrdadero y la consccuente

falsa, en cuyo csso la imptricación cs falsa'

P = antecedente, Premis4 hiPótesis

q = consecuente, conclrrsión, tesis

seca

d) Si no e¡tá lloviendo, entonces iu r¿e esrá secaEjereicios:

f) Si do¡ ángulos son opuestos por el vértice, entonces

lqs dc

ángulos son iguales - - ' v" lv¡¡ee i (Teorema de Ia

geometría ouclidiana elemental, que y

5) si me pagan hoy mi sueldo, entonces hé a le noche al cine

6) Si los ba¡cos egtán abiertos, entonces existe

actividadcomercial

a)

b)

c)

d)

Edldón páE d sfio 2OOo

Implicación: Si au¡nenta el procio de la energía eléctrica, Grtonce$

se comptarán menos aprratos elóctricos,

Recíprocar §i se compraa mgnoq aparatos eléctricos, ontonces

Inversa: Si no aumenta el preoio do la ener$ía eléctrícz, €ntonceg

no se comp¡arán menos aparrtoa eléctricos

Contrapositiva: Si no corrlpran rnenos aparatos eléctricos,entonces no

aumehtará e I precio de.la energía eléctrica

Tabla de Verdad Implica- Re cíproca Inversa contrapbsitiva

-,;ffi Edlclór p@ ol oflo 20C0

e doe proposlcioncn ( + ) e,r verdader

es vcrd¿dera y la otra f,alúa, entoncesEjemplo:

Si se tiene la proposición:

Si un polfgono ticne 4 lador, Batonces dicho po,fgotrtro es u

cuadrilátero

o sea poq implicacíón

La tecíproca de la ilnplicación e.s

F

V

nrq + 'Vp

contrapositiva tienen los mismos

con la lnversa tienen también

v

F

VV

valoregvalores

De lc¡ anterior se dedr¡ce que Ia cquivalencia es irna tloblc

[(p* q) & (q* p!+p s {, donde po qescorrdición

9 + p es condición suficiente

Tabla de Verdad

p

V v

Scgún i¡ irbi¡ tnterior, lar proioricicncs ge R ies iiguiaa're s:

a) Uu poligone tieno 4 irdos ¡i dicho po!ftono er ua

l) Un animal es un hombre, ssi es ;aclonal

4 Un número es Dar, si tienc al factcr 2

4) Un vehículo rnotorizado funciona, ssi tiene combustible

5) Compraré casa, ssi el Banco me presta el dinero

flcae 4 ladoa, ¡i dlchs polfSono no Gs u¡1

ll) [h -'] v (sA e)t * (p vo)

lÍi If.'-'|,; l'$,T,¿!(i-"li I I{ -,,031,

Determinr el valor dc ve¡,ad de.un¡

proposicitin, dadoa dos varr

"or¿ná"r"'y*gue q es tambióa ve¡dadr

3) ¿euó valor de verdad tiene

un¿ propocición r, sji s6 rabe r

4) úeuó volo¡ de verdad tiene usa propoeición

o, ai te rabo «

(r *:§) e¡ falga y qus r os fal¡a?

lJo-,,'.1:,1,'Ji::,:"r[J:",u,:1;:-i',a proporicrón p, rr sc tietrd q

Deternainu el valor de verdad de Ia¡ ¡iqrrianr* **-^ .

compueetas, dodo

"[ *nlr.' á; "-r¿]'tr ;ffi"Jffi"§:if"Til";

ll st p_or verdade¡a, q & r ecn farsar, cual ec eiv¡ror.dovcrd

para las ¡iguientes proposiclonea

, Contradicción

v

Ejemplo de tiina Tabla dc Ve¡d¡d con hea propoaieioner

FF

P q

V V

Contradicción

TautplogíaTautología

T.autoIogía

Tautología6ontradicción

v V

Como puede óbservarse en esta tabla de verdad de tres pr

da proposición se puale segtrir el ptor:edimienüo que * describ«

Para 1a segunda proposicidn (2n" c.olurnna) s* escribr

valores verdadcros, después 2'¡alores falsos y sc repíte e1 m

Fara la tercera proposición (3a ooiumna) se escribr

valor verdadero, un valor falso, un valor verdadero, un valor f

et cétera

Si sE trata de une proposicrún de 4 propcsieionelposibilidaries son 16, pare este caso se col<¡can e¡r Ia 1¿ colunvalores verdadrros scguidos y despu.és I val<¡res ia.lsos, en I

cr¡lurnna se colocan 4 va}-¡res verdadrrus, 4 va.lores talsos, 4 vil'erdatlrros, y * valores falsos, en la 9a colurnria" se colocan 2 v¿

v

F

V

FF

v

o

verdaderos! 2 lterdadcros' 2 vaiores ialsos';

etcétera; y par e un vaior verda'iero' ur-r valor

faiso,'.:n valor .v así s':cesivs'mtntÉ'

Z, ii{TñUDUCCiOii A iÁ TECRTA T}E CONJUNTL'¡S

La vedadera histoia d* ia teoría de ios coniunios, es rjecir, ei

fundamentos de todas las rnatemáttcas

animales, los rít's, etc.)

Se tiaman elernentos «ie los conjuntos' a ios oi:jetos reuni'ios

eR uR conjuuto, se;arr esios t-l-úrrleros, PersÚÍ¡as' cosas u cb'lctcs' '¡"

dircmos rju!- estos elemcntcs ilertenecen a, o son miembros riel

conjunto

Eiemplos:

l) El conjunto de las letnas del idioma español

2) EI coiijunto de losnúmeros 1, 3,5,7,9, I1, 13' 15

''#g*

Edlc.Jó¡ el ¿,10 20og

El conjunto de los puntos de un plano

El conjunto de las vocales a, e, i, ó, u

El conjurito de los vc¡lcanes cle la república de Gu.a.temda

El conjunto de los núrneros pares positivos'

El conjunto cle los nr'rmeros inrpares negativos

El conjunto de los estudiantes: Pedro, Jrü, Mig'uel, RafaJosé

El con¡unto de los colores prirliarios: rojo, amarillo y azutr

EI conjunto de los Números i{aturales

El conjunto de los puertos ma¡ítimos de (Suatemala,

EI conju¡rto de jugadores de un equipo rle foot-'bail :

EI conjunto cie los n{r,¡neros múltiplos de dos , ,

El conjunto «ie cu.adra¡rtes de uru eje de coordenad¿s :

El conjurrto dr los poderes del esta,rlo: Ejecutivc, tr egislati

yJudicial

34

5 c

1

I

e)t0)

pto onjuntos rorrespondienter

los 9" <xiben'sus elementos, y en

forzosamente obictou concretos, percept;Lrle s pbr alguno de nuest¡

cinco sentido§, ? qur oe pnede hablnr de conjuntcs abstractou, cor

pccados capitales §in rr*,argo, ol decir los pensarnientos pasad,

presentes y venirleros o futurosn estog n¡r constltr"lyen un conjuntói

rnismo ai decir uu gn¡po de persona* o una arboleda; porque rro est

bien definidos c no purden defi¡¡irse .

Not¡cién

Pera dcsignar a los conjunlos $e ils&n generalmente le¡ let:

mayüsculas del alfabeto: A., B, C, X, Y, Z y p¿ra reprercntar a i

clerncntog de los conjuntos sr u*an las lrt¡'a.s minúscuins del alfaber

a, b, c, dr.,.x, y, z.

Para escribir un conjunto se usa Ia simbología siguiente,

consiste en encerTar elrtre llaves los elementos del conjunto o bien el

enunciado de sus pro¡iicdades

Coniunto finito y conjunto .infinito

Conjunto

Finito-§e dice que un corijuuto e¡ flnlto, cuendo el númo¡o de su¡

elemsnto¡ puede deto¡ntina,rse aúa cuando cstos 398tr oumstotoÉ

hl conjunto de los días de la sernana

El conjunto de los departamentos de la Repúbüca de

Guatemala

El conjunto de los habitan.tes de la repiblica de §l Salvador

El conjunto de los estudiantes ir,lscritos en la facrrltad de

El conjunto de los lggos del continente americano

El conjunto de los puntos cardinales

Coniuntq In{tniio.

El conjunto infinito cs aquel en el cual no 80 puode

determinar la totalidad de sus elementos

Ejemplos:

1) El conjunto de los ní¡meros enteros

2l EI conjunto de las estrellas del firmamcnto

3) El conjunto de Ios cuadrados de los números naturales

4) El conjunto de los números racionales

5) EI conjunto de los números reales

6) El conjunto de puntos de la recta numéricaPertenencia,

Ejempio,

Si qe tiene el'conjunto: A = f t', t, ,, n} sc pu.edcn hacer

1 € A El elcmento 1 pertenece a el conjunto A

4 € A El elernento 4 pertenece a el conjunto A

5 + A El elemento 5 nq pertenece 4 el conjunio d,

0 + A E[ el¿mento "0" no.pertf,t¡ec€ a el conjunto A

conjunto dado, se usa ei símbol«¡ de pertpnencia con una djago;ral.Forma de Definil o Dete¡minal un Conjurrto

Defiuir o determinar un conjunto, significa decir cuáles s(

sus elementos, o sea que, un conjunto está bien determinado cuan(

side¡en

Métodor prra Dcterminar o Definir Conjuntór

Edld&r pera el Eilo 2009

f'<¡dos los elementc¡s que pertenecen ¿ un conjunto se

cnurñeran, escribiénciolos cnire llaves y separrados Pcr comas'

El coniunto de los colores primarios

3 = { iojo, amarillo, or,rtJ

Hay caros cn gue pueden represontar¡e lo¡ conjuntor u¡ando

purrto3 suspenaivos sieínpre que lor eleaeotos aigan un orden, o bien

que se pueda deflnir sr¡ú} es el primero, euál'és el regundo,., y'cuf,l

es el ene-é¡imo elemento de ese conjunto (vale decir, ol último

También pueden representarse algunos conjuntos infinito¡,

dc lr riguiente müc.ra, siempré que no haya ainbigücd¡d fcbpecto a

la pcrtonencia de un elemento dado del co4Junto

Esta consiste en escrihi¡ a los eJementos del conjunto.como

una variable y a continuación una proposición qrre depende di ¿ichavariable

iii) Ejernplos:'

l) El conjunto {g los meses del año

M = [ x/x es un mes ael aiio]

2) El conjunto de los nírmeros naturales mayores que 2 y

1s)20)21)

22',)

23)24\

' Si con¡ldoramos do¡ conjuntot: A, B, !a!pe quo para cad

cle¡uento o perteneciente sl conjunto A (a e A), es ta,mblén cicrtrquc el plcrento a pertéteco el oonjuato E (e e= B).En u¡ caio comr

éste, dcctmos que eI coqfuato A cqtá Inclutdo en,.ó óontenido en c

conjunto B, y que e[ cooJunto A es un subconjuato del gbn]uatr

B" A os un conJunto mcflor y B qt rrl conJupio mayor Par

reprerontar este propiedad sc uea la uolaclón A c B, o bien B I I

(guc selco A ostÁ contenldo cL B,o bién B contieno a ;'r,)

¡oió¡ p80 d Éño z'JCg

88

qtho"

Ejempler;

En'consecuencia podemos dccir que A c B.

De aeucrdo a la defirigión anterio¡, dcüimoe que A c B,

atí ios eiementos iiei conjunto A oatán contr¡¡idot en el corrjurr^ro B.

Si decimos que B C A, usando los mismos conjuntrs del

ejen¡plo anterior, podemos obsety&t, de acuerdo a 1a definición que

B ( A, porque los elementos de B (elei con3unto B) n9 es^uán

conte-nidos en el conjunto A

De lo anüerior se colige q.ue para decir que un conjunto no e§'

tá contenido en otro, 8e usa el símbolo do contención, cou una

diago-*^t ^^t i¡¡4, 4§¡ F

Aplicando toc Diagrem¡s dc Verin, tenemos:

Figura 1 Figara 2

a.

sigliendo con el ejemplo anterior: Figura 1 se parte de la Jefinición,

V'

,d+B

Edlclón p.ra e¡ s6o 2000

Er¡ consecuencia A C B, o $ca que A si está couteniitro en B

Edlción Para e] !ño 2009

Por io tanto es q¡a equivaiencia por la doble r,r4.r.iicación y e§ verdadera

Si se torna el ejemplo rie la figura 3, se tierie :

Luego se concluye que B + A

Ior eonjuntos nun¡érico¡ quc uúafcüto¡' f,rccucatcmctrto lotrsiguicntcr:

Conjunto c¡, por cl momcntg dlremo¡

que torlnr l¡ formo a/b = É dondc

s & b ¡on b t' o, (todo Gntcoro puedo

exlrrctar$E coroo fraóctóm)

ft: Conjunto de loc númeror teales, que iniluye adernár de !o¡

ya rnencionados al conjuuto de lou nfisrcros $rracionales

Ejercioioe pare estshleeer lÁ,c ¡elaeionec de contención entre losconluntoe siguientesr

i,)

g=f x¡xez; k '=3(x(?[

P=f X/x eZ,'ii 'xz = 4i

g=fx/xGz, &, x=2K,.Keu, &*Pdxtsl

I-os ctu4urrtos anteriores en forrna tahuler,

Fara t{cte¡rninr.r st un coni,¡nto e¡tá cor,rtsni.do en (rtr€r, {}t necet¡rlo

sabc¡ rl lot nlenrcntos d;t primar conjuptu estdn turnbión on cl

rc6undo conlunttl^

d e I conjuntoD .r, i" ¿tfi"ición de contención' {e:córn$robó que el

elemento Z no p.*,.,lce al conjun*'o C' pcr lo taáto .D-$ C:se deja

al estudiante verificar las demás relaciones planteadas'

¡=!x/x eZ, k-4(x{31 = t -3'-2'-1'O',l'2'31

g={ X/X = 2K., Kez, & -3{X( 3 I = i :Z',o',21

c,=lxlxez, X= 3K, Kez &-g(x( g } = { -J, 0,sl

Definir el Conjunto Vacío P =

| |

Un conjunfo vacío es aquél que no iiene elernerrtos, o sea gue

de,olementos-Ejemploo

r=lx/xe z &,D(x( -zI =

J= lX.lX €suna persona hurnara

l) A- la,b."[ ; i]= lb,c,a[

Ei orden de ,los elementcs en conjuntos no t:cn; ¿1.:iportancia.

En e) cjemplo l) pu*de of)s,rrüarse qu-c lor dos coajuntostlenen !os rri¡mos etrenrclnto¡ sn .-rcnrÉ,r.¡e)lcit Iu¿JE eil!r€garsc que

A=B

o

vivá que ¡nide trecr: metros .de

hurnana ri.r:l que tiene 50C anosf

que licir* 5 ojosl

¿,,¿:,, n¡.¡¿li ¡r"

EI hecho de qire se repita un elemento, no aitera aI conjunto,

porque solamente se torna Unavez, de donde p,odemos señalar que:

O sea qtre la propiedad reflexiva en la contención se da'cuando

rlor conjuntos son iguales.

En consecueneia pueden expresarse así:

A C B porque !o¡ elementos C*i eo,njuate A están también e4 cl

conj'eato B, & el eonj;nió A es Fiistints del eonjunto B, de,donde

potiemor cxpresa¡ que B ,1 A

C.onjunto Vscío

El conjunto vací,: ri.:ln n:o-conjunto de todo conjtrnto e ri

v

La dste¡minacién de valores de verded de la definición, nos

pcrmitc afiimar gue ci conJunto vtcío es subcoajua',o de todo

conjunto

Famiü¡ de Conjuntou

L¿ familia de los conluntos es un conjunto cuvos elementos

también son conjuntos

Ejemploe:

l) La l'ederación Nacional de Deportes, que está constituidapor

las Federaciones de Foot-Ball, Boli-Ball, Basquet-Ball, etc

2) El Conjunto { { r,o|,, 1 4 1, 1 8,4[[ e¡, una famitia de

A la famiüa de todos los subconjuntos de un conju:rto A, s€

le llama Conjunto Potencia de A

El nümero de subconjuntos que se obtienen d,e u' ccnjunto A,

ts igual a 2n, donde n es igual al nútnero de'eiementos de! *(,njunto A

Operacioncs eon Conjuntoa

A U B = Unión del conjunto A con eI conjunto B, qu e es

los elementorjq* están e.n el conjunto B

en consideración Ia definición"da cada uno

X = 3 K donde K puede.tornar los valores enteros mayores o iguüs

x = 4 K donde K es un número entero y X erá uñ nhmero rriayor

que -10 y menor o igual que 8

X = 4(-l) =-4

X=4(0) -o X=4(1) ={

PropieCades de la Unión

a ¡r D - D u A

i,a propiedad con¡nutativa nas ¡nCica que es Eo mismo turir

el cc.niunto A con el ccnjunto B, que e! ccnjuntc B cmel conjunto

¡,v '

BUA = { 3,+,5,7,21

en A u B,-están B u A, ya que no importa ei iugar que ocupan,los

elementcs en un conjuntc

ii) Propiedari Asociativa:

(AuB)uC = A{-/ (BuC)

Nos fndica la propiedad asocistive que oa Ia unión de

coTjuntos Be puede? agrypar de itiferentes maoelsn, y quc el

AnIi=f X/](e,A & XEBI

La propiedad conmuntativa' quiere decir q-"*' il'r: 1'r

inter§eccióu * pr"d, intersect¿¡ el conjrrnto A to1.tl conjunto

B, o bien el conjuuto B con el conjunto A' quc eI resultado es igual'

Se dice que'los conjuntos A & B son 4jenos si al intersectarlo

da como resultado cI conjunto vacío

A - B, es ig.ral a tomar todos los elernentos que están en el conjunto

A, pero que no estén en el conjunto B,

Leyes sobre ldenüdadee.

, EdlJtr p*ñ.1 ,to ¡lol

Lo que es lo misrno a decir:

¿An = (A-ts) u(B-A)

aAs = (AuB) -(AnB)

Y se llama complemento de un sub-conjrurto der universo 'a

!a difercncia entre e! tlrr¡,,eno y .f *i-"""irr,aá

Edlcló¡i par¿ el año 2O0g

2) U = Z & B = I X/X es un número entero par I

Bu = | X/X es un número entero impar I

e)

61

Dlagrama dcl ojornplo I t(A u nc¡ rr C) .- A"- g

Sor,blec +n lor dilgrtuiar tlc la pú¡;trr:i

e;iffillrtrtc lnr opcrlclgncr gu€

Í{qq-A) n cl u cc=

a) ur-4p-rq miimos conjuntos de los ejempios 1 & 2 a¡terioreq

rcalicc las alguicn tca operacignes:

l) [(Ac : c)u Bcf n e

2) t(c-B)q -Alc n 1gcuc¡

s) t(B n A) uCl u t(An G)c \, Bci u l(A - B) u cl

u) U¡ando Diágramas «ie Venn, resolve¡:

r) t(AuB)-Cl n Bc

3) FñAc) u (A^G)c

[(cnAc)-(Brc)1

-(Bc-4) t(A-Bc)-c] u ¡(cc-A) u(BñAc)l

5) t(Q n a¡c u,(F - c)lc n (Ae _ sc)

ter¡ninar a gu,e operación corresponden las sigrrientes gráficas:

Edtc.lón p3ra etsño 2OO9

3 NUMERoS nAtun¿f"ns 1

El conjuntr; de lqs Números Naturales son ios núrneros rque se

usaron y se usan;en la ac'tualidad para contar

Ediclr p¿E d atu ADú

Algunos r¡atemáticos incluyen el cero comb número natt¡ral

y otroc en cambio parten del número uno (:1).

En nuest¡o curso íiinclurt.r.¡e el cero,(0)

¡¡-,f il, 1, 2,8,4,5,6, 7,.,.1

Cada nrlrnercr natriral tier¡e uüo .siguiente q!¡e se

sumándole una unidad aI núme¡o anterio¡ El único que

anterior es el cero (0)

En el conjunto de los núrrreros naturales se definen las

operaciones de suma y producto que todos ya saben, por lo que no se

enta¡án a conoce¡los

Partiremos explicando las profiedades de la su¡na y del

producto, en los nú¡neros naturales n'N""

hopiedades

lÉ a, b, c € N, Se tiene la propiedad

i) Cerradura

A+b € N & ab eN

Esto quiere decir que Ia suma ele d'os n¡merqs naturales da

como resultado otro núinero natural y.É'lprodücto de'dos números

naturales también da como resultado otro.¡tümero natural A esta

propiedad se le llama cerradu¡a

+

++

+

6 15

t4

6

1018

qq

15

Conrnut¿tividad

IÉ a,b É NSr¡m¡

iv) Elemento Neubo.

El clemcnto ncutro cn l¡ suma cr ccro y cn el producdo

[,.a rlistribütividad del producto respecto a la suma

Haciendo uso de la ley de cancelación:

a) Resolver la ecu¿ción a * x, = b donde "b" sea la suma

de dos números naturales, siendo 'na" uno de los suma¡rdos

6 13*x= 21 10 5*x-17 Jf*x=*l+s ,+x=12+l x= I x=12

7 6*x = l0 , 11 x*15= 16

§,+ x = \6.+ 4 x+*!= )E+ | x = | x= I

8 xtll= 13 12 x.tJ-J x+)Í= 2*21 x*t=417

b) Re¡olver l¡ ecureióa ¡ " x : b, donde b" ic pucdedmcomponer on ol producto de dor fsstorGt neturdcr, ricndo .,1"uno dc cllos

Llu nú¡mro n¡tu¡.al "¡t' €s -*toi que otro rnimero n¿tr¡ral "b", siexiste

un tsccr númcm natural 't'" tal que:

En ei ejempl'o uno, puede observarse que ? y 3 son nú¡oeros

nahtralec, pero dicha ecr¡eción no es posible ieeolverla a t¡¡vás del

coqjunto de los nrimero¡ nahrralee, y eÉ,o mi¡uio sucgde con loe

o-troe dos ejemplos, por lo cual se agregan a ellos okog nú¡n€ros

llama-dos "negativo6", así: para cada núaero natural "a" debe existir ot¡o

número " -a", tal que:

7-N,3 -{ b 5 + (-E) = (-5) + 5 = o

(_7)=0=(_7) +7 7=O=-7+7

0=0=0

9+(-g) =0 9-9=0 15+(-15)=0'+15-15=0

('-+)+4=0+ -Q+4=0

Ampllando el eonJunto de lo¡ ¡:úmero¡ naturales con

inclusiós de los nümeros ueg&fí,ru8, ne furnra el conJunto de

uúmaros: Z, o s,ea que ei conjunto de los númcroe enteros e

forrnatlo por todos les aúmcros positivos y todos lo¡ núme:

negativor;furcluyendo cl cero (0)

EI conjunto de tr¡s núrneros enteros lo podemos reprcser

así:

Z = | -5, 4, -I, - 2, -L,0, l, 2: g, 4, 5,6, l, .l

Cú n Jos núrnera¡ ente¡ot trmbién podamos hrccr opcrrcio

de ¡r.¡m¡ rr pr;r'ducto (inuitipii,,;;ción) coino sn cl c¡¡o de lo¡ númcnatu¡aies ¡ üenen lat, rnip,man propieduder que lor nl¡¡ncm¡ n¡tur¡(-I leE que Sl:

'i

Conmutativa para ia sunra y el producto

Asociativa para la suma y el producto

Elemento Neuitr der la t\rmay el p:oducto

Es üstributiva del pro«tu.cto, rcspecto a la zuma

Ley de cancelación para la suma y el producto"

Fero adernás dc estas prupiedades §e agrega rJ Sirnéirico

Aditivo, que se riefinió en párrafo anterior

La rest¿ o diferc',1¡cia es el resultado de sumar un número

positivo con eI S,:i:ótricr¡ Aditivr¡ de otro número positivo

Si ee eumsn dos núheros negativoe, se sulnan como si fucra¡r

números naturales y al rezultado se le pone el signo rrcgativo ( - )"

Si ee surnan un positivo con wr rlegativ$r 6; ;',ür'r;ltadr: se¡á tra

diferencia entre el número mayor en términos absolutos y el rrúmero

rnenor, aplicándole después el signo del número mayoi

I irsuficiente para resolverla.

Pero ahora que conocemos ei conjunto de Ios números enterosproceclernos a reselverla

lEjemplo.,

?) 7 * x= 3 Io, se descompone €n surna.nclos el núlnero 7

l++ * x= I Z".porcanccl,ación scelírninaelS en ambos

lados

4 * ¡¡ = Q 3o por el simétrico aditivo sabemos que:

a*(-a)=S { * * = l-+ +o ior cmcelnción clirnin¡mo¡ cI 4 positivo

Poshrledoe en el hodu"to d* ní¡meros entero¡"

(Postuladr: es una verdad indiemostrable, que no es evidente por

si misma, pero se adrnite crrurlo ciuria por estar d.e acuerdo con ' I a

§i decimos que todos

(0) y que totlos los númeror rr.gutiror ror, _.rror"s q !e cero:

se tienc que a, b e Z

a(b b-a)0 6(8o8-6>O

D-\r

NUMEROS RACIONAI,E§

Si se ücne la ecua¿ión ax=b' donde aheZ & "b" no tier¡c

aI factor "a", err este caso los enteros son Insr¡frcientca Para resoh¡er

* ir.a r;;;;;* por cuares ¡uiera .:H'j]*res a elta, por lo

La fracción donde el

numerador y el denominador nó tengan

y -l (núneros p¡imos entre.s{

y rlue

es el que sc usará p¡rra expresa¡ al n¡.imero

77

Q = Conjunto de los números racionales

a= lfi/",.u ez;a>0 & a,b sonprimosentresí

[

Un núme¡o racional es pues

una fracción i¡reduciblc quetta infinitas fracciones iguales

a eLla.

Se dice que todo núme¡o racional cs un dcci¡nal inf¡nito